Solução Avaliação 2 tipo 2 (Gabarito Prova 2017.1 do prof. Fabio Sperotto)

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UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
ECT - Escola de Ciências & Tecnologia
ECT2301 - Álgebra Linear - 2017.1
BCT - Bacharelado em Ciências & Tecnologia
Professor - Fábio Sperotto Bemfica
Data: 26 de maio de 2017
QUESTÃO NOTA
Q 1
Q 2
TOTAL
Avaliação 2
Nome:
Escreva de forma legível. Pode fazer à lápis.
Questão 1 (2,5 pontos) Calcule ∫
C
x2y dx+
x3
3
dy + xy dz ,
onde C é a curva interseção do parabolóide hiperbólico z = y2− x2 com o cilindro x2+ y2 = 1 com orientação
no sentido anti-horário quando visto de cima (z positivo).
Figura 1: Gráfico do parabolóide hiperbólico limitado por C.
Solução: A curva C é o contorno de uma superfície S. O gráfico da função z = y2−x2 contém C e, portanto,
escolhemos
S = {(x, y, z)|z = y2 − x2, (x, y) ∈ D} ,
sendo que
D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 1}
é o disco de raio 1. Como C está no sentido anti-horário de quem olha de cima, então a normal de S aponta
para cima e
nˆdS = (2x~ı− 2y~+ ~k)dA .
Como ∫
C
x2y dx+
x3
3
dy + xy dz =
∫
C
~F · d~r ,
sendo
~F = x2y~ı+ x
3
3 ~+ xy
~k, calculamos
∇× ~F = x~ı− y~ .
Pelo teorema de Stokes ∫
C
~F · d~r =
∫∫
S
(∇× ~F ) · d~S
= 2
∫∫
D
(x2 + y2)dA , D → R :
{
0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ r ≤ 1
= 2
∫ 2pi
0
∫ 1
0
r3 drdθ
= pi
∫
C
~F · d~r = pi
1
Questão 2 (2,5 pontos) Encontre o fluxo
∫∫
S
~F · d~S, onde ~F = z arctan(y2)~ı+ z3 ln(x2+1)~+ z2~k e S é o gráfico
da superfície aberta z = 2 − x2 − y2 que está acima do plano z = 1 e tem normal apontando para cima.
[Dica: tampe a superfície S com uma superfície S1. Então calcule o fluxo sobre S1 e sobre a superfície fechada
S2 = S1 ∪ S usando o teorema da divergência.]
Figura 2: Gráfico da superfície aberta S.
Solução: Como S não é fechada, temos que criar a superfície fechada S2 = S ∪ S1, onde
S1 = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, z = 1} ,
é a superfície que fecha S e cuja normal aponta no sentido negativo de z, ou seja,
nˆ1dS = −~kdA ,
sendo
D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 1}
o disco de raio 1. Agora S2 é uma superfície fechada que é o fechamento de uma região E do espaço definida
por
E = {(x, y, z)|1 ≤ z ≤ 2− x2 − y2, (x, y) ∈ D} .
Temos agora que obter o fluxo sobre S2 e sobre S1 pois∫∫
S
~F · d~S =
∫∫
S2
~F · d~S −
∫∫
S1
~F · d~S .
Pelo teorema da divergência e usando
∇ · ~F = 2z
obtemos ∫∫
S2
~F · d~S =
∫∫∫
E
∇ · ~FdV
=
∫∫
D
∫ 2−x2−y2
1
2zdzdA
=
∫∫
D
[
(2− x2 − y2)2 − 1] dA , D → R : {0 ≤ θ ≤ 2pi
0 ≤ r ≤ 1
=
∫ 2
0
∫ 2pi
0
[
(2− r2)2 − 1] rdθdr
= 2pi
∫ 2
0
[
(2− r2)2 − 1] rdr
= 2pi
[
− (2− r
2)3
6
− r
2
2
]2
0
=
4pi
3
.
Já sobre S1 temos que
~F · nˆ1dS = −z2dA = −dA .
2
Sendo assim, ∫∫
S1
~F · d~S = −
∫∫
D
dA
= −A(D) = −pi .
Juntando os fluxos temos ∫∫
S
~F · d~S = 4pi
3
+ pi =
7pi
3
3