Temas de Geometria Espacial

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HENRIQUE WAKIMOTO DE ALMEIDA
Temas de Geometria Espacial
Campinas - SP
2016
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Conteu´do
1 Teorema de Pappus 4
1.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Teorema de Cavalieri 8
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Princ´ıpio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Princ´ıpio de Cavalieri como Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 So´lidos Platoˆnicos 13
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Fo´rmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Isometrias do R3 15
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Transformac¸o˜es do espac¸o R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Tranformac¸o˜es Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Soma e Produto de Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.5 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.6 Equac¸a˜o Caracter´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.7 Isometrias do R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.7.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.7.2 Reflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.7.3 Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.8 Refereˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Quate´rnios 20
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.1 Soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.2 Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.3 Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.4 Mo´dulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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5.2.5 Inverso Multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Forma Polar dos Quate´rnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3.1 Multiplicac¸a˜o de Quate´rnios na Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4.1 Rotac¸o˜es no espac¸o 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4.2 Composic¸a˜o de Rotac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.5 Reflexo˜es no Espac¸o 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5.1 Composic¸a˜o de Reflexo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Trigonometria na Esfera Unita´ria 30
7 Observac¸o˜es 32
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1 Teorema de Pappus
1.1 Definic¸o˜es
Definic¸a˜o 1. Seja A a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e entre as retas
verticais x = a e x = b, com f e g func¸o˜es cont´ınuas e f(x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b], enta˜o:
A =
b∫
a
[f(x)− g(x)]dx (1)
Definic¸a˜o 2. Se uma func¸a˜o f e sua derivada f ′ sa˜o cont´ınuas no intervalo [a, b], enta˜o o com-
primento L do arco da curva y = f(x) do ponto A(a, f(a)) ao ponto B(b, f(b)) e´ dado por:
L =
b∫
a
√
1 + f ′[g(x)]2dx (2)
Feitas as definic¸o˜es, podemos enunciar as proposic¸o˜es para volumes de so´lidos de re-
voluc¸a˜o e a´reas de superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
Proposic¸a˜o 1 (Volumes). Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas em [a, b], com f(x) ≥ g(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b].
Seja A a a´rea da regia˜o R, limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas verticais x = a
e x = b. O volume V do so´lido obtido pela rotac¸a˜o de R em torno do eixo x e´ dado por
V = pi
b∫
a
[f(x)2 − g(x)2]dx (3)
Se o so´lido e´ obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo y, enta˜o seu volume e´:
V = 2pi
b∫
a
x[f(x)− g(x)]dx (4)
Proposic¸a˜o 2 (A´reas). Seja y = f(x) uma func¸a˜o definida no intervalo [a, b]. Se f(x) ≥ 0 e f ′
sa˜o cont´ınuas neste intervalo, enta˜o a a´rea A da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o de y = f(x), com
x ∈ [a, b], em torno do eixo x e´ dada por:
A = 2pi
b∫
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx (5)
Se rotacionada em torno do eixo y, enta˜o A e´
A = 2pi
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx (6)
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Definic¸a˜o 3 (Centro de Massa de Regia˜o Plana). Sejam y = f(x) e y = g(x) duas func¸o˜es tais
que f(x) ≥ g(x) no intervalo [a, b] e ale´m disso, cont´ınuas neste intervalo. Seja A a a´rea da regia˜o
R limitada pelas func¸o˜es f e g em [a, b]. O centro de massa dessa regia˜o plana e´ dado por:
x =
1
A
b∫
a
x[f(x)− g(x)]dx y = 1
A
b∫
a
1
2
[f(x)2 − g(x)2]dx (7)
Definic¸a˜o 4 (Centro de Massa de Arco). Seja f uma func¸a˜o cont´ınua com derivada cont´ınua em
[a, b]. Seja L o comprimento do arco da func¸a˜o f , de extremos (a, f(a)) e (b, f(b)). O centro de
massa desse arco e´ dado por:
x =
1
L
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx y =
1
L
b∫
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx (8)
Enunciamos enta˜o o Teorema de Pappus
Teorema 1 (Volumes). Se uma figura plana de a´rea A, com centro de massa (x, y), e´ rotacionada
em torno de um eixo que na˜o a intercepta, enta˜o o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado e´ dado
pelo produto entre a a´rea A da figura rotacionada e o comprimento da circunfereˆncia cujo raio e´ a
distaˆncia entre o centro de massa dessa figura e o eixo de rotac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o. Rotac¸a˜o no eixo x:
V = 2pi
b∫
a
x[f(x)− g(x)]dx = (2piA) 1
A
b∫
a
x[f(x)− g(x)]dx
= (2piA)x
= 2piAxA
= 2pidA
onde d e´ a distaˆncia do eixo de rotac¸a˜o ao centro de massa.
Para a rotac¸a˜o no eixo y, o volume e´:
V = pi
b∫
a
[f(x)2 − g(x)2]dx = (2piA) 1
A
b∫
a
1
2
[f(x)2 − g(x)2]dx
= (2piA)y = 2piyA
= 2pidA
onde d e´ a distaˆncia do eixo de rotac¸a˜o ao centro de massa.
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Teorema 2 (A´rea de Superf´ıcies). Se um arco, de comprimento L, que tem centro de massa (x, y),
e´ rotacionado em torno de um eixo que na˜o o intercepta, enta˜o a a´rea da superf´ıcie gerada e´
dada pelo produto entre o comprimento L do arco e o comprimento da circunfeeˆncia cujo raio e´ a
distaˆncia entre o centro de massa desse arco e o eixo de rotac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o.
A = 2pi
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx = (2piL)
1
L
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx
= (2piL)x = 2pixL
= 2pidLonde L e´ comprimento do arco rotacionado e d = x e´ a distaˆncia entre o centro de massa e o eixo
de rotac¸a˜o.
Se rotacionada em torno do eixo y, enta˜o
A = 2pi
b∫
a
f(x)
√
1 + [f(x)]2dx = (2piL)y = 2piyL = 2pidL
1.2 Aplicac¸o˜es
1. (a) Encontre o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o R do
primeiro quadrante limitada pela func¸a˜o definida por f(x) = x2 e pelas retas x = 1 e
y = 0.
Temos que a´rea e´ A =
1∫
0
x2dx = 13 e as coordenadas do centro de massa e´
x =
1
A
1∫
0
xf(x)dx = 3
∫
0
1x3dx =
3
4
y =
1
A
1∫
0
1
2
f(x)2dx = 3
1∫
0
1
2
x4dx =
3
10
assim o centro de massa esta´ no ponto
(
3
4 ,
3
10
)
. Agora, encontramos o volume
V = 2pidA = 2pi
(
3
4
)(
1
3
)
=
pi
2
Ou ainda, podemos fazer:
V = 2pi
1∫
0
xf(x)dx = 2pi
1∫
0
x3dx =
pi
2
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(b) Agora, calcule o volume com y = x− 2.
Para isto temos de calcular a distaˆncia do centro de massa de ponto (34 ,
3
10) ao eixo y,
aplicando a fo´rmula da distaˆncia entre ponto e reta
d =
|ax+ by + c|√
a2 + b2
=
|1(34)− 1( 310)− 2|√
12 + (−1)2 =
31
√
2
40
e enta˜o o volume sera´ dado por
V = 2pidA = 2pi
(
31
√
2
40
)(
1
3
)
=
31
√
2pi
60
2. Determine o centro de massa de um setor circular de raio r, com abertura de θ = pi2 . Quando
rotacionado em torno do eixo y, o setor tera´ a´rea de A = 14pir
2, gera um so´lido cujo volume
e´ igual a metade do volume de uma esfera de raio r, i.e. V = 12
4
3pir
3 = 23pir
3. Portanto,
V = 2pidA
2
3
pir2 = 2pi(d)
(
1
4
pir2
)
=⇒ d = 4r
3pi
Como a distaˆncia do centro de massa ao eixo y e´ igual a` distaˆncia ao eixo x, temos que as
coordenadas do centro de massa e´ ( 4r3pi ,
4r
3pi ).
3. Encontre a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva y =
√
4− x2, em torno do eixo y,
com 1 ≤ x ≤ 2.
L =
b∫
a
√
1 + [f ′(x)]2dx =
2∫
1
√
1 +
x2
4− x2dx =
2pi
3
(Comprimento do arco)
x =
1
L
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx =
3
2pi
2∫
1
2x√
4− x2dx =
3
√
3
pi
(x do Centro de Massa)
y =
1
L
b∫
a
x
√
1 + [f ′(x)]2dx =
3
2pi
2∫
1
√
4− x2 2√
4− x2dx =
3
pi
y do Centro de Massa
∴ (x, y) = (3
√
3
pi
,
3
pi
)
Assim, pelo Teorema de Pappus, a a´rea de superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva y =
√
4− x2
em torno do eixo y e´:
A = 2pidL = 2pi
(
3
√
3
pi
)(
2pi
3
)
= 4pi
√
3 u.a
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Note que o centro de massa na˜o precisa, necessa´riamente pertencer a` curva. Se o eixo de
rotac¸a˜o for o eixo x, enta˜o a a´rea de superf´ıcie e´:
A = 2pidL = 2pi
(
3
pi
)(
2pi
3
)
= 4pi u.a
1.3 Refereˆncias
http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/471/1/CT_PROFMAT_M_Rautenber%20Robson%
20Raulino_2013.pdf
2 Teorema de Cavalieri
2.1 Introduc¸a˜o
O estudo de a´reas de regio˜es e volumes de so´lidos no Ensino Me´dio e´ embasado
pelo Princ´ıpio de Cavalieri (1598-1647, matema´tico italiano). A fim de exemplificar o
ca´lculo do volume de um so´lido um pouco mais complicado que os usuais prismas, cones
e cilindros, imagine uma pilha de moedas de 25 centavos de real; o volume desta pilha
pode facilmente ser calculado empregando a fo´rmula do volume de cilindro. Agora,
mantenha a base da pilha na mesma posic¸a˜o e desloque um pouco o meio, deixando-a
sinuosa. Como calcular o volume deste novo so´lido, ja´ que na˜o e´ mais um cilindro?
O Princ´ıpio de Cavalieri nos fornecera´ as ferramentas (emprestadas do Ca´lculo
Diferencial e Integral) que tornam poss´ıvel o ca´lculo de a´reas e volumes. A seguir
enunciamos o Princ´ıpio como Axioma e depois como Teorema.
2.2 Princ´ıpio de Cavalieri
Axioma 1 (A´reas). Sejam R e S regio˜es limitadas de um plano, e seja r uma reta desse plano.
Suponha que, para toda reta s paralela a r, as intersec¸o˜es de R e S com s sejam vazias ou segmentos
tais que a raza˜o entre seus comprimentos e´ constante. Enta˜o a raza˜o entre as a´reas R e S e´ essa
mesma constante.
(PATERLINI, 2010, p. 43-47 apud PRIMO, 2013, p. 21-22).
Como exemplo, vamos determinar a a´rea da elipse E e da circunfereˆncia C cujas
equac¸o˜es sa˜o dadas por E : x
2
a2
+ y
2
b2
= 1, onde b < a e C : x2 + y2 = a2. Tomemos E e
C no mesmo sistema retangular de eixos coordenados. Assim, podemos reescrever E e
C em func¸o˜es de y, obtendo:
E : y =
b
a
√
a2 − x2 (9)
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C : y =
√
a2 − x2 (10)
Substituindo (2) em (1) vem:
√
a2 − x2︸ ︷︷ ︸
a´rea de E AE
=
b
a
√
a2 − x2︸ ︷︷ ︸
a´rea de C AC
=⇒ AE = b
a
AC (11)
Sabendo que a a´rea da elipse e´ AE = piab e a a´rea do c´ırculo e´ AC = pia
2,
piab =
b
a
pia2 (12)
Portanto, a raza˜o entre segmentos correspondentes da elipse e circunfereˆncia de-
finidos pelas retas secantes verticais paralelas a uma reta dada e´ ba .
Figura 1: Elipse E : 12x
2 + y2 = 2 e circunfereˆncia C : x2 + y2 = 4 - A´rea
Axioma 2 (Volumes). Considere dois so´lidos A e B. Se qualquer plano horizontal secciona A e
B segundo figuras planas, tais que a raza˜o entre entre suas a´reas e´ uma constante, enta˜o a raza˜o
entre os volumes V (A) e V (B) e´ essa constante.
(PATERLINI, 2010, p. 43-47 apud PRIMO, 2013, p. 21-22).
O ca´lculo dos volumes dos so´lidos, pelo Axioma 2, se facilita, porque basta com-
parar as a´reas definidas pelos planos paralelos ao plano da base e desde que tais so´lidos
tenham a mesma altura.
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Figura 2: Prismas - Volumes
2.3 Princ´ıpio de Cavalieri como Teorema
Teorema 3 (A´reas). Consideremos em um plano um sistema de coordenadas cartesianas Oxy, e
seja R a regia˜o delimitada por y = 0, y = b > 0 e pelos gra´ficos das func¸o˜es cont´ınuas x = f1(y) e
x = f2(y), 0 ≤ y ≤ b, com f1(y) ≤ f2(y) ∀y. Seja S a regia˜o delimitada por y = 0, y = b e pelos
gra´ficos das func¸o˜es cont´ınuas x = g1(y) e x = g2(y), 0 ≤ y ≤ b, com g1(y) ≤ g2(y). Suponhamos
que exista k > 0 tal que f2(y)− f1(y) = k[g2(y)− g1(y)] ∀y. Enta˜o a(R) = ka(S ).
Demonstrac¸a˜o. Da teoria de integrac¸a˜o de func¸o˜es reais temos:
a(R) =
∫∫
R
dxdy =
b∫
0
 f2(y)∫
f1(y)
dx
 dy = b∫
0
[f2(y)− f1(y)]dy =
=
b∫
0
k[g2(y)− g1(y)]dy = k
b∫
0
[g2(y)− g1(y)]dy
= ka(S )
(PATERLINI, 2010, p. 3).
Teorema 4 (Volumes). Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, e seja P um
so´lido finito delimitado por z = 0, z = c > 0 e por uma quantidade finita de gra´ficos de func¸o˜es
cont´ınuas do tipo y = f(x, z) e x = g(y, z). Para cada t tal que 0 ≤ t ≤ c, seja Pt a intersec¸a˜o
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de P com o plano z = t. Seja Q outro so´lido finito delimitado por z = 0, z = c > 0 e por uma
quantidade finita de gra´ficos de func¸o˜es cont´ınuas do tipo y = f(x, z) e x = g(y, z). Para cada t
tal que 0 ≤ t ≤ c, seja Qt a intersec¸a˜o de Q com o plano z = t. Suponhamos que exista k > 0 tal
que a(Pt) = k.a(Qt) para todo t. Enta˜o v(P ) = k.v(Q).
Demonstrac¸a˜o. Da teoria de integrac¸a˜o, vem:
v(P ) =
∫∫∫
P
dxdydz =
c∫
0
[
∫∫
Pz
dxdy]dz =
c∫
0
a(Pz)dz =
∫ c
0
ka(Qz)dz = k
c∫
0
a(Qz)dz = kv(Q)
(PATERLINI, 2010, apud PRIMO, 2013, p. 24).
2.4 Aplicac¸o˜es
Proposic¸a˜o 3. A a´rea AL da elipse L :
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 e´ piab.
Demonstrac¸a˜o. Na˜o usaremos a integral dupla pois e´ necessa´rio o Teorema de Green,visto apenas
no Ca´lculo II. A a´rea calculada usando o Axioma fora feita no Axioma 1. Isolando y emL , obtemos
y = ±b
√
1− x2
a2
. Assim, a func¸a˜o f(x) = b
√
1− x2
a2
e´ a curva superior da elipse e a sua a´rea e´ dada
por:
2
a∫
−a
f(x)dx = 2b
a∫
−a
√
1− x
2
a2
dx
Substituindo x = asen(t), dxdt = acos(t) =⇒ dx = acos(t)dt, vem:
2b
a∫
−a
√
1− x
2
a2
dx = 2b
pi
2∫
−pi
2
√
1− a
2sen2(t)
a2
acos(t)dt
2ab
pi
2∫
−pi
2
cos2(t)dt = ab
pi
2∫
−pi
2
1 + sen(2t)dt = piab
Proposic¸a˜o 4. O volume da esfera e´ 43piR
3.
Demonstrac¸a˜o. Considere um cilindro circular reto de raio R e de altura 2R, uma esfera tambe´m
de raio R e tal que estejam apoiados sobre um mesmo plano α, e dentro do cilindro dois cones tais
que as bases sejam as bases do cilindro.
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Tome um plano qualquer paralelo a α de forma que intercepte os so´lidos em uma altura
R + h. Assim, obtemos uma regia˜o chamada coroa circular com raios R e h, com h < R, de a´rea
ACC = piR
2 − pih2.
Sejam Vesf := volume da esfera, Ab := a´rea da base, Vcil := volume do cilindro e Vcone :=
volume do cone, temos, pelo Princ´ıpio de Cavalieri
Vesf = Vcil − 2Vcone
= AbaseH − 21
3
AbaseH
= piR22R− 2
3
piR2R
= 2piR3 − 2
3
piR3
=
4
3
piR3
conforme afirmamos.
Podemos ainda calcular usando integrais triplas:
Sabendo que uma esfera e´ obtida pela rotac¸a˜o, em torno do eixo Ox, da circunfereˆncia
C := x2 + y2 = r2, a escrevemos E em coordenadas esfe´ricas:
E :

x = rsenφcosθ
y = rsenφsenφ, onde r =
√
x2 + y2 + z2
z = rcosφ
A regia˜o sera´: P = {(r, φ, θ)|0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ φ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi} = [0, a]× [0, pi]× [0, 2pi]. O volume
Vesf enta˜o, sera´ dado por:
∫∫∫
P
dxdydz =
a∫
0
 pi∫
0
 2pi∫
0
r2sen(φ)dθ
 dφ
 dr
= 2pi
a∫
0
 pi∫
0
r2sen(φ)dφ
 dr
=
2
3
pia3
pi∫
0
sen(φ)dpi
=
4
2
pia3
conforme quer´ıamos.
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2.5 Refereˆncias
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3674/5/Disserta%C3%A7%C3%
A3o%20-%20Kariton%20Pereira%20Lula%20-%202013.pdf
http://www.dm.ufscar.br/~ptlini/paterlini_cavalieri.pdf
http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ss2014/p2ma111ss2014/index.html#q04
http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/296/2011_00148_
MARCIO_EDUARDO_PRIMO.pdf?sequence=1
http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/12/o-principio-de-cavalieri.
html
http://www.professores.uff.br/salete/cdiii/Calculo21.pdf
http://www.dm.ufscar.br/~ptlini/paterlini_cavalieri.pdf
3 So´lidos Platoˆnicos
3.1 Introduc¸a˜o
Na Gre´cia antiga acreditava-se que a mate´ria era formada pelos cinco so´lidos platoˆnicos e
ale´m disso, os so´lidos eram associados ao fogo (tetraedro), terra (cubo), a´gua (icosaedro),
ar (octaedro) e Universo (dodecaedro).
Figura 3: So´lidos Platoˆnicos
3.2 Fo´rmula de Euler
f − a+ v = 2 (13)
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Temos, para cada so´lido platoˆnico: O dual de um poliedro e´ obtido unindo os centros
Figura 4: Fonte: PINTO, Paulo R.
das faces adjacentes, obtendo-se um novo so´lido. Podemos verificar a fo´rmula de Euler
para cada poliedro de Plata˜o:
• TETRAEDRO: 4-6+4=2;
• CUBO: 6-12+8=2;
• OCTAEDRO: 8-12+6=2;
• DODECAEDRO: 20-30+12=2 e;
• ICOSAEDRO: 12-30+20=2.
Mas por que apenas cinco so´lidos? Suponha que um poliedro tem p lados e que cada
aresta pertence a somente dois lados, valendo pf = 2a =⇒ f = 2ap . Ainda, que
de cada ve´rtice saem q arestas e que cada aresta une dois ve´rtices, e portanto vale
qv = 2a =⇒ v = 2aq . Suponha que vale a fo´rmula de Euler f − a+ v = 2.
2a
p
− a+ 2a
q
= 2
∴ 1
p
+
1
q
=
1
a
+
1
2
E para que fo´rmula continue valendo, p e q devem ser maiores ou iguais 3 e como o lado
direito da equac¸a˜o na˜o pode ser menor ou igual a 12 , p e q devem ser menores ou iguais
5. E desta forma, p e q podem assumir apenas os valores 3, 4 ou 5 e pelo menos um
deles deve ser 3. Assim sendo, temos cinco possibilidades:
1. (p, q) = (3, 3) =⇒ 13 + 13 = 23 = 46 = 1a + 36 =⇒ a = 6, 2a = 3f = 3v = 12 ∴ f =
v = 4 (TETRAEDRO);
2. (p, q) = (3, 4) =⇒ 13 + 14 = 712 = 1a + 612 =⇒ a = 12, 2a = 3f = 4v = 24 ∴ f =
8, v = 6 (OCTAEDRO);
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3. (p, q) = (4, 3) =⇒ 14 + 13 = 712 =⇒ a = 12, 2a = 4f = 3v = 24 ∴ f = 6 v = 8
(CUBO);
4. (p, q) = (3, 5) =⇒ 13 + 15 = 815 = 1630 = 1a + 1530 =⇒ a = 30, 2a = 3f = 5v = 60 ∴
f = 20 v = 12 (ICOSAEDRO) e;
5. (p, q) = (5, 3) =⇒ 15 + 13 = 815 = 1630 =⇒ a = 30;2a = 5f = 3v = 60 ∴ f = 12 v =
20 (DODECAEDRO).
3.3 Refereˆncias
http://www.ime.unicamp.br/~marcio/ss2011/ma770/p3/index.html#q04
4 Isometrias do R3
4.1 Introduc¸a˜o
No espac¸o real bidimensional indicado por R2 estabelecemos algumas isometrias (trans-
formac¸o˜es lineares que preservam o comprimento e o aˆngulo). Agora, definiremos tais
isometrias no espac¸o real tridimensional denotado por R3.
4.2 Transformac¸o˜es do espac¸o R3
Definimos como transformac¸a˜o a regra T que associa cada vetor ~X do espac¸o tridi-
mensional a algum vetor T (X) desse espac¸o. Chamados de imagem de ~X sob T o
vetor T (X) e o conjunto de todos os vetores que sa˜o imagem de vetores que sofreram a
transformac¸a˜o T e´ chamado ”range”de T .
4.3 Tranformac¸o˜es Lineares e Matrizes
T

x1
x2
x3
 =

a1x1 + a2x2 + a3x3
b1x1 + b2x2 + b3x3
c1x1 + c2x2 + c3x3

Cada tranformac¸a˜o desta forma e´ chamada de transformac¸a˜o linear do espac¸o tridi-
mensional. A matriz

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
 e´ denotada matriz da transformac¸a˜o T e indicada
por m(T ). Assim, temos por exemplo,
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R1θ =

1 0 0
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ

︸ ︷︷ ︸
Rotacao no eixo x1
R2θ =

cosθ 0 senθ
0 1 0
−senθ 0 cosθ

︸ ︷︷ ︸
Rotacao no eixo x2
R3θ =

cosθ senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1

︸ ︷︷ ︸
Rotacao no eixo x3
Denotamos por id a matriz identidade m(I) =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Como no plano, se T e´ uma transformac¸a˜o linear com matriz m(T ), enta˜o
m(T )( ~X) =

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3


x1
x2
x3
 =

a1x1 + a2x2 + a3x3
b1x1 + b2x2 + b3x3
c1x1 + c2x2 + c3x3

Teorema 5. Sejam ~X e ~Y vetores, enta˜o T e´ transformac¸a˜o linear se, e somente se, satisfazem:
T ( ~X + ~Y ) = T ( ~X) + T (~Y ) (14)
T (r ~X) = rT ( ~X), para algum escalar r (15)
Demonstrac¸a˜o. (1) De fato,
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3



x1
x2
x3
+

y1
y2
y3

 =

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3


x1
x2
x3
+

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3


y1
y2
y3

Demonstrac¸a˜o. (2) De maneira similar a` demonstrac¸a˜o de (1).
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4.4 Soma e Produto de Transformac¸o˜es Lineares
Se T e S sa˜o transformac¸o˜es lineares, a soma T + S e´ dada pela condic¸a˜o:
(T + S)( ~X) = T ( ~X) + S( ~X) ∀ ~X
Ale´m disso, (T + S)( ~X + ~Y ) = T ( ~X + ~Y ) + S( ~X + ~Y ). Segue que para todo par ~X, ~Y ,
(T + S)( ~X + ~Y ) = (T + S)( ~X) + (T + S)(~Y )
De forma semelhante,
(T + S)(t ~X) = t(T + S)( ~X)
Se a matriz da transformac¸a˜o T e´ m(T ) =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 e a matriz de S e´ m(S) =

b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
enta˜o m(T + S) de T + S e´:
(T + S)

x1
x2
x3
 = T

x1
x2
x3
+ S

x1
x2
x3

=

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


x1
x2
x3
+

b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33


x1
x2
x3

=

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33


x1
x2
x3

e podemos escrever
m(T + S) = m(T ) +m(S)
Da lei da distributividade, temos:
(m(T )m(S))m(R) = m(TS)m(R) = m((TS)R) = m(T (RS))
= m(T )m(SR) = m(T )(m(S)m(R))
m(T )m(S) +m(T )m(R) = m(TS) +m(TR) = m(TS + TR)
= m(T (S +R)) = m(T )m(S +R)
= m(T )(m(S) +m(R))
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4.5 Autovalores
Seja T uma transformac¸a˜o linear do R3 e t um nu´mero real. Dizemos que t e´ autovalor
de T se existe algum vetor ~X na˜o-nulo tal que
T ( ~X) = t ~X e ~X 6= 0
Se t e´ autovalor de T , enta˜o dizemos que o vetor ~Y e´ autovetor de T correspondente a
t se T (~Y ) = t~Y .
1. Exemplo. Seja pi um plano pela origem e S uma transformac¸a˜o que reflete cada vetor atrave´s
de pi. Se ~Y e´ um vetor de pi, enta˜o S(~Y ) = ~Y e se ~U e´ vetor perpendicular a` pi, portanto
S(~U) = −~U . Assim, para t = 1 e t = −1, existe vetores ~X na˜o-nulos satisfazendo S( ~X) = t ~X.
Se ~X e´ vetor que na˜o pertence a` pi e nem e´ perpendicular ao plano, enta˜o S( ~X) na˜o e´ mu´ltiplo
de ~X. Dizemos que 1 e −1 sa˜o autovalores de S ale´m disso, os autovetores correspondentes
a` 1 sa˜o todos os vetores de pi e os correspondentes a` −1 sa˜o todos os vetores perpendiculares
a` pi.
2. Exemplo. Fixe λ real. Seja Dλ dilatac¸a˜o por λ. Enta˜o, para todo vetor ~X, Dλ( ~X) =
λ ~X e consequentemente λ e´ autovalor de Dλ. Todo vetor ~X ∈ R3 e um autovetor de Dλ
correspondendo ao autovalor λ.
4.6 Equac¸a˜o Caracter´ıstica
Dada uma transformac¸a˜o, como podemos determinar os seus autovalores? Assuma t
um autovalor de T e

x1
x2
x3
 6= 0 o autovetor correspondente. Enta˜o T

x1
x2
x3
 = t

x1
x2
x3

e portanto,
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3


x1
x2
x3
 = t

x1
x2
x3
 ≡

a1x1 + a2x2 + a3x3 = tx1
b1x1 + b2x2 + b3x3 = tx2
c1x1 + c2x2 + c3x3 = tx3
=⇒

(a1 − t)x1 + a2x2 + a3x3 = 0
b1x1 + (b2 − t)x2 + b3x3 = 0
c1x1 + c2x2 + (c3 − t)x3 = 0
A equac¸a˜o caracter´ıstica da transformac¸a˜o T e´ portanto o determinante
det

a1 − t a2 a3
b1 b2 − t b3
c1 c2 c3 − t
 = 0 (16)
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e desenvolvendo o lado esquerdo, obtemos o polinoˆmio caracter´ıstico:
− t3 + u1t2 + u2t+ u3 = 0 (17)
onde u1, u2, u3 sa˜o constantes.
Teorema 6. Enta˜o, um nu´mero real t e´ autovalor de T se, e somente se, e´ raiz de uma equac¸a˜o
caracter´ıstica.
4.7 Isometrias do R3
Uma transformac¸a˜o linear e´ dita isometria se preserva o tamanho dos segmentos. Assi,
T e´ isometria no R3 se, e somente se,
|T ( ~X)| = | ~X| ∀ ~X
Proposic¸a˜o 5. Uma isometria T preserva o produto interno, ou seja, para todo vetor ~X, ~Y
T ( ~X) · T (~Y ) = ~X · ~Y
Proposic¸a˜o 6. Se T e´ isometria, enta˜o T tem 1 ou −1 como autovalor e na˜o ha´ outro.
Demonstrac¸a˜o. Toda transformac¸a˜o linear tem autovalor t para algum vetor ~X 6= 0, T ( ~X) = t ~X,
enta˜o
| ~X| = |T ( ~X)| = |t ~X| = |t|| ~X| =⇒ |t| = 1
Assim, t = 1 ou t = −1.
Proposic¸a˜o 7. Se T e´ isometria, enta˜o det(T ) = 1 ou det(T ) = −1
4.7.1 Rotac¸a˜o
Fixe um vetor ~F e seja pi um plano pela origem e perpendicular a` ~F e fixe um nu´mero
θ. Denotamos Rθ a transformac¸a˜o do plano pi que rotaciona cada vetor em pi no sentido
anti-hora´rio pelo aˆngulo θ sobre ~F . Seja ~Y um vetor, podemos escreveˆ-lo como
~Y = ~Y ′ + s ~F
onde ~Y ′ e´ projec¸a˜o de ~Y sobre pie s e´ escalar. Definimos
T (~Y ) = Rθ(~Y
′) + s ~F
Proposic¸a˜o 8. Se T e´ rotac¸a˜o sobre um eixo, enta˜o T e´ isometria com det(~T ) = 1.
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4.7.2 Reflexa˜o
A matriz de reflexa˜o e´ obtida trocando-se o sinal da coluna correspondente ao plano
pelo qual se quer refletir. Assim, a matriz reflexa˜o no plano x3 e´: Spi =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 0

4.7.3 Cisalhamento
Seja Hk uma transformac¸a˜o de matrix
(
1 0
k 1
)
. Enta˜o,
(
1 0
k 1
)(
1 0
m 0
)
=
(
1 0
k +m 1
)
e HkHm = Hk+m.
4.8 Refereˆncias
BANCHOFF, Thomas. WERMER, John. Linear Algebra Through Geometry. 1992.
http://wiki.icmc.usp.br/images/f/ff/TransfGeometricas3D.pdf
5 Quate´rnios
5.1 Introduc¸a˜o
Numa tentativa de generalizar os nu´meros complexos R2 para o R3, Hamilton descobriu
os Quate´rnios (H) no espac¸o quadrimensional R4. Escrevemos os quate´rnios na forma:
q = a0 + a1i+ a2j + a3k (18)
onde a0 e´ um nu´mero real e a1, a2, a3 e´ um vetor do R3. Costuma-se dizer que a0 e´ uma
dimensa˜o auxiliar. Assim, o tomamos por duas partes: a escalar S(q) e a vetorial V (q).
Dizemos que um quate´rnio e´ puramente escalar se S(q) = a0 e puramente vetorial
se V (q) = a1i+ a2j + a3k
Podemos pensar os quate´rnios puramente vetoriais como vetores do espac¸o tridimensi-
onal usual (espac¸o de nossa percepc¸a˜o). O denotamos enta˜o de forma resumida por:
q = a+ ~A (19)
onde a, a parte escalar (real) e ~A, a parte vetorial (R3).
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Figura 5: Representac¸a˜o geome´trica do quate´rnio q
5.2 Operac¸o˜es
5.2.1 Soma
A soma se da´ naturalmente, somando-se componente a componente.
1. Por exemplo, sejam q = 2 + 5i+ 2j + 3k e r = 1 + 2i+ 8j + 2k. Enta˜o:
q + r = (2 + 1) + (5 + 2)i+ (2 + 8)j + (3 + 2)k = 3 + 7i+ 10j + 5k
5.2.2 Produto
Sejam q = a + ~A e r = b + ~B quate´rnios, o produto deles e´ linear e distributivo em
relac¸a˜o a` soma e na˜o e´ comutativo. O elemento neutro e´ 1 =< 1, 0, 0, 0 >. Define-se o
produto:
qr = (a+ ~A)(b+ ~B) = a0b0 − ~A · ~B + a0 ~B + b ~A+ ~A× ~B (20)
1. Por exemplo, sejam q = 2 + 5i+ 2j + 3k e r = 1 + 2i+ 8j + 2k. Enta˜o:
qr = (2)(1)− [(5, 2, 3) · (2, 8, 2)] + 2(2, 8, 2) + 1(5, 2, 3) + (5, 2, 3)× (2, 8, 2)
qr = 2− 32 + (4, 16, 4) + (5, 2, 3) + det

i j k
5 2 3
2 8 2

qr = −30 + (4, 16, 4) + (5, 2, 3) + (−20,−4, 36)
qr = −30 + (−11, 14, 43)
qr = −30− 11i+ 14j + 43k
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Figura 6: Produto de Quate´rnios no Mathematica
5.2.3 Conjugado
Seja q = a+ ~A, define-se o conjugado de q por
q∗ = a− ~A (21)
1. Por exemplo, seja q = 2+5i+2j+3k, o seu conjugado e´ q∗ = 2−(5i+2j+3k) = 2−5i−2j−3k.
Temos ainda que o conjugado do produto e´ o produto dos conjugados na
ordem inversa, isto e´:
[(a+ ~A)(b+ ~B)]∗ =
[ab− ( ~A · ~B) + (a ~B + b ~A+ ~A× ~B)]∗ =
ab− ( ~A · ~B)− (a ~B + b ~A+ ~A× ~B) =
ab− ( ~A · ~B) + a(− ~B) + b(− ~A) + ~B × ~A) =
(b− ~B)(a− ~A) = (b+ ~B)∗(a+ ~A)∗
2. Por exemplo, considere q = 2 + 5i+ 2j + 3k e r = 1 + 2i+ 8j + 2k. Temos que:
• Conjugado do produto:
(qr) = −30− 11i+ 14j + 43k
(qr)∗ = (−30− 11i+ 14j + 43k)∗ = −30 + 11i− 14j − 43k (F)
• Produto dos conjugados:
q∗ = (2 + 5i+ 2j + 3k)∗ = 2− 5i− 2j − 3k;
r∗ = (1 + 2i+ 8j + 2k)∗ = 1− 2i− 8j − 2k;
r∗q∗ = (1− 2i− 8j − 2k)(2− 5i− 2j − 3k) = −30 + 11i− 14j − 43k (�)
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Assim, (F) e´ igual a (�), como afirmado.
Agora, se efetuarmos o produto de um quate´rnio pelo seu conjugado obtemos
qq∗ = (a+ ~A)(a− ~A) = a2 + || ~A||2 = a2 + a21 + a22 + a23 (22)
e note que qq∗ = q∗q.
5.2.4 Mo´dulo
O mo´dulo e´ definido por|q| =
√
qq∗ (23)
e note que |q|2 = a2 + || ~A||2
1. Considere q = 2 + 5i+ 2j + 3k. O seu mo´dulo e´ dado por:
qq∗ = (2+5i+2j+3k)(2+5i+2j+3k)∗ = (2+5i+2j+3k)(2−5i−2j−3k) = (42+0i+0j+0k)
|q| =
√
qq∗ =
√
42
Ou podemos aplicar a equac¸a˜o (6) e obter o mesmo resultado:
|q| =
√
qq∗ =
√
22 + 52 + 22 + 32 =
√
42
O produto dos mo´dulos e´ igual ao mo´dulo do produto ou seja,
|qr|2 = (qr)(qr)∗ = (qr)r∗q∗ = q(rr∗)q∗ = |r|2qq∗ = |r|2|q|2 =⇒ |qr| = |r||q|
2. Por exemplo, considere q = 2 + 5i+ 2j + 3k e r = 1 + 2i+ 8j + 2k.
|qr| = | − 30− 11i+ 14j + 43k| =
√
3066
|q||r| =
√
42
√
73 =
√
3066
como quer´ıamos.
3. Decorre o Teorema dos Quatro Quadrados de Euler, que diz se dois inteiros foram
obtidos como a soma de quatro quadrados, enta˜o o seu produto tambe´m pode ser escrito
como a soma de quatro quadrados. Ou seja, dados a20 + a
2
1 + a
2
2 + a
2
3 e b
2
0 + b
2
1 + b
2
2 + b
2
3, com
a, b ∈ Z, podemos pensa´-los como a norma dos quate´rnios q e r, respectivamente, e de fato,
|qr| = |r||q|. Assim, por exemplo, 32 + 22 + 62 + 52 = 74 = |q|2 e 12 + 72 + 32 + 42 = 75 = |r|2,
o produto 75 ∗ 75 = 5550 pode ser escrito como a soma de quatro quadrados? Fazemos:
qr = −49 + 32i+ 42j − 19k
|qr|2 = (−49)2 + (32)2 + (42)2 + (−19)2 = 2401 + 1024 + 1764 + 361 = 5550
E portanto, o nu´mero 5550 pode ser escrito como a soma dos quatro quadrados (−49)2 +
(32)2 + (42)2 + (−19)2.
23
H
en
ri
qu
e
W
ak
im
ot
o
de
Al
m
ei
da
5.2.5 Inverso Multiplicativo
Se a norma e´ diferente de zero, i.e, se q 6= 0, enta˜o o seu inverso e´ dado por:
q−1 =
q∗
|q|2 (24)
1. Continuemos a considerar q = 2 + 5i+ 2j + 3k. O seu inverso enta˜o sera´
q−1 =
2 + 5i+ 2j + 3k√
42
2 =
2 + 5i+ 2j + 3k
42
=
2
42
+
5
42
i+
2
42
j +
3
42
k
∴ q−1 = 1
21
+
5
42
i+
1
21
j +
1
14
k
5.3 Forma Polar dos Quate´rnios
Definimos um quate´rnio puramente vetorial na forma (0, ~n), onde ~n e´ vetor unita´rio e
~n · ~n = 1 e ~n2 = −1. Assim, os quate´rnios da forma a + b~n sa˜o multiplicados como se
fossem complexos.
Agora, dado q = a + ~A, temos que ~A = || ~A|| ~n. Ale´m disso, note que a = |q|cosθ e
|| ~A|| = |q|senθ e assim podemos reescrever q sob a forma:
q = a+ || ~A|| ~n (25)
E obtemos q na forma polar:
q = a+ ~A = a+ || ~A|| ~n = |q|(cosθ + ~n senθ) = |q|U(~n, θ) (26)
1. Seja u = 0 + 1i+ 1j + 0k. Queremos reescrever u em coordenadas polares e para isto temos:
• || ~A|| = 1i+ 1j + 0k = || ~A|| ~n = √2~n;
• ~n =
√
2
1 i+
√
2
1 j + 0k;
• |q|cosθ = a e;
• |q|senθ = || ~A||
Assim,
√
2cosθ = 0 =⇒ cosθ = 0 e √2senθ = √2 =⇒ senθ = 1 e portanto, θ = pi2 .
Definido o argumento, segue que :
q =
√
2
(
cos
pi
2
+ sen
pi
2
~n
)
onde ~n =
√
2i+
√
2j.
24
H
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ri
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e
W
ak
im
ot
o
de
Al
m
ei
da
5.3.1 Multiplicac¸a˜o de Quate´rnios na Forma Polar
Definimos o produto de quate´rnios na forma polar por:
qr = |q|U(~n, θ) |r|U(~m,ϕ) = |q||r| U(~p, ψ) (27)
onde U(~p, ψ) = U(~n, θ) U(~m,ϕ). Se ~n = ~m, enta˜o os quate´rnios unita´rios U(~n, θ) e
U(~m,ϕ) sa˜o complexos unita´rios e sa˜o multiplicados conforme a regra: U(~n, θ) U(~n, ϕ) =
U(~n, θ + ϕ)
Para o caso geral, basta desenvolver o produto do lado direito da equac¸a˜o:
(cosψ + p senψ) = (cosθ + n senθ)(cosϕ+m senϕ) (28)
5.4 Aplicac¸o˜es
5.4.1 Rotac¸o˜es no espac¸o 3D
Seja ~r, o vetor que queremos realizar uma rotac¸a˜o, representado por um quate´rnio
p = (0, ~r). A rotac¸a˜o sera´ representada por um quate´rnio unita´rio q = (s,~v), i.e, tal que
qq∗ = 1. A rotac¸a˜o enta˜o sera´ dada por:
Rq(p) = qpq
−1 (29)
mas como q e´ unita´rio, temos que q∗ = q−1, enta˜o a expressa˜o acima podera´ ser reescrita
assim:
Rq(p) = qpq
∗ (30)
e expandindo esta u´ltima, obtemos:
qpq∗ = (0, s2~r − (~v · ~v)~r + 2(~v · ~r)~v + 2s~v × ~r) (31)
Ale´m disso, notamos que q = (s,~v) e´ unita´rio e enta˜o s2 + |~v|2 = 1. Logo, sempre existe
um aˆngulo θ tal que s = cosθ e |~v| = senθ e assim,
q = (s,~v) = (cosθ, ~n senθ), |~n| = 1 (32)
Substituindo (15) na (14), obtemos:
(0, s2~r−(~v·~v)~r+2(~v·~r)~v+2s~v×~r) = (0, (cos2θ)~r+(1−cos2θ)(~n·~r)~n+(sen2θ)~n×~r) (33)
Assim, para relizar rotac¸a˜o anti-hora´ria sobre ~r por um aˆngulo θ ao redor de um eixo
unita´rio definido por ~n devemos:
• Representar ~r pelo quate´rnio p = (0, ~r);
25
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e
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de
Al
m
ei
da
• Representar a rotac¸a˜o desejada pelo quate´rnio q = (cos ( θ2) , sen ( θ2) ~n);
• Realizar a operac¸a˜o Rq(p) = qpq∗;
• A parte real do resultado sera´ nula e a parte vetorial sera´ o resultado da rotac¸a˜o.
1. Por exemplo, queremos rotacionar o vetor ~v = (2, 0, 0) em torno do eixo ~n = (0, 1, 0)
em 60◦. Reescrevemos ~v = (2, 0, 0) ≡ p = (0, 2, 0, 0) e fazemos a operac¸a˜o v′ =
qpq∗. Assim, q =
(
cos
(
60
2
)
, sen
(
60
2
)
(0, 1, 0)
)
=
(√
3
2 , 0,
1
2 , 0
)
e q∗ =
(√
3
2 , 0,−12 , 0
)
∴ v′ = qpq∗ = (0, 1, 0,−
√
3)
Figura 7: Rotac¸a˜o do vetor ~v
5.4.2 Composic¸a˜o de Rotac¸o˜es
Queremos agora aplicar duas rotac¸o˜es q1 e q2 sucessivamente. Tal rotac¸a˜o composta
sera´ dada pela expressa˜o:
Rq2(Rq1(p)) = Rq2(q1pq
∗
1) = q2q1pq
∗
1q
∗
2 = q3pq4 (34)
Mas q4 = q
∗
3, enta˜o:
q3pq4 = q3pq
∗
3 = Rq3(p) (35)
1. Por exemplo, imagine um avia˜o, inicialmente voando para o norte, realiza uma rotac¸a˜o de 90◦
em torno do eixo leste/oeste (voltando o nariz para o solo) e depois outra de 90◦ em torno
do eixo sul/norte (voltando a asa esquerda para o ce´u).
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ri
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e
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ak
im
ot
o
de
Al
m
ei
da
Resoluc¸a˜o 1 (aqui o eixo x = j e y = i)
A primeira rotac¸a˜o sera´:
q1 =
(
cos
90
2
, sen
90
2
(0, 1, 0)
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
(0, 1, 0)
)
=
(√
2
2
, 0,
√
2
2
, 0
)
A segunda, dada por:
q2 =
(
cos
90
2
, sen
90
2
(1, 0, 0)
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
(1, 0, 0)
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
, 0, 0
)
Compondo q1 e q2, obtemos
q3 = q2q1 =
(
1
2
,
(
1
2
,
1
2
,
1
2
))
Que corresponde a uma rotac¸a˜o anti-hora´ria de θ = 2arccos
(
1
2
)
= 120◦ em torno do eixo
definido pelo vetor
(
1
2 ,
1
2 ,
1
2
)
.
Resoluc¸a˜o 2 (escolha usual dos eiexos x = i e y = j)
Definimos o eixo leste/oeste ~n = −i e θ = 90◦ ≡ pi2 =⇒ θ2 = pi4 . A primeira rotac¸a˜o sera´
dada pelo quate´rnio q1 = cos
θ
2 + ~nsen
θ
2 =
√
2
2 − i
√
2
2 . Definimos o eixo sul/norte ~n = j e
θ = 90◦ ≡ pi2 =⇒ θ2 = pi4 . A segunda rotac¸a˜o sera´ dada enta˜o por q2 = cos θ2 + ~nsen θ2 =√
2
2 +
√
2
2 j. Substituindo q1 e q2 na lei de composic¸a˜o (q2q1)~v([q2q1]
∗) = q2(q1~vq∗1)q∗2 temos:
q = (
√
2
2 +
√
2
2 j)(
√
2
2 −
√
2
2 i) =
1
2 − 12 i+ 12j + k, que na forma polar e´ q =
1
2︸︷︷︸
cos θ
2
+
√
3
2︸︷︷︸
sen θ
2
(− 1√
3
i+
1√
3
j + 1√
3
k) ∴ θ2 =
pi
3 =⇒ θ = 2pi3 = 120◦.
2. Um objeto que esta´ na posic¸a˜o A sofre uma rotac¸a˜o em torno do eixo y de 90◦ chegando a uma
posic¸a˜o B. A partir de B o objeto sofre outra rotac¸a˜o de 90◦em torno do eixo x chegando em C.
Determine o eixo de um rotac¸a˜o que o leve diretamente de A para C. Quate´rnio correpondente
a` primeira rotac¸a˜o:
q1 =
(
cos
θ
2
, sen
θ
2
~n
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
(0, 1, 0)
)
Quate´rnio correpondente a` segunda rotac¸a˜o:
q2 =
(
cos
θ
2
, sen
θ
2
~n
)
=
(√
2
2
,
√
2
2
(1, 0, 0)
)
Quate´rnio correpondente a` rotac¸a˜o de A para C:
q3 = q2q1 =
(√
2
2
,
√
2
2
(1, 0, 0)
)(√
22
,
√
2
2
(0, 1, 0)
)
q3 =
(√
2
2
√
2
2
− 0,
√
2
2
√
2
2
(0, 1, 0) +
√
2
2
√
2
2
(1, 0, 0) +
√
2
2
√
2
2
(0, 0, 1)
)
=
(
1
2
,
1
2
(1, 1, 1)
)
27
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ri
qu
e
W
ak
im
ot
o
de
Al
m
ei
da
q3 =
(
1
2
,
√
3
2
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
))
=
(
cos
120◦
2
, sen
120◦
2
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
))
Ou seja, o eixo de rotac¸a˜o pedido e´
(
1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
.
5.5 Reflexo˜es no Espac¸o 3D
Se quisermos agora refletir um vetor ~v com relac¸a˜o a um plano que tem vetor normal
unita´rio ~n, primeiro roda-se ~v por um aˆngulo de 180◦ com relac¸a˜o ao vetor ~n e depois
multiplica-se o resultado da rotac¸a˜o por (−1), assim:
~v ′ = S(~n)~v = (−1)R(~n, 180◦) = (−1)U(~n, 90◦) (~v) U(~n,−90◦) = (−1)(0+~n) (~v) (0−~n)
(36)
∴ ~v ′ = S(~n) ~v = ~n (~v) ~n (37)
e´ a expressa˜o para a reflexa˜o de ~v com relac¸a˜o ao plano ortogonal ao vetor unita´rio ~n.
1. Queremos refletir o vetor v = (0, 3,−1, 2) quaternioˆnico em relac¸a˜o ao plano perpendicular
ao vetor unita´rio ~n =
(
0, 23 ,
1
3 ,
2
3
)
, ou seja, o plano 23x+
1
3y +
2
3z = 0. Para isto, aplicamos a
rotac¸a˜o de 180◦ e multiplicamos por (−1). Assim, pela equac¸a˜o (13), q = 0 + 23 i + 13j + 23k,
v = 0 + 3i− j + 2k, q∗ = 0− 23 i− 13j − 23k, qvq∗ = 0 + i+ 3j + 2k, (−1)qvq∗ = 0− i− 3j − 2k
e portanto, v′ = −i,−3j − 2k.
Figura 8: Relexa˜o do vetor ~v
5.5.1 Composic¸a˜o de Reflexo˜es
A composta de duas reflexo˜es resulta em uma rotac¸a˜o pelo dobro do aˆngulo entre dois
vetores unita´rios ortogonais aos planos refletores no sentido anti-hora´rio com relac¸a˜o ao
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ak
im
ot
o
de
Al
m
ei
da
produto vetorial destes vetores, conforme:
S(m)S(n)v = m(nvn)m = (mn)v(nm) =
[−m · n+m× n]v[−n ·m+ n×m] =
[n ·m+ n×m]v[n ·m− n×m] =
[cosϕ+ lsenϕ]v[cosϕ− lsenϕ] =
U(l, ϕ)vU(l,−ϕ) =
R(l, 2ϕ)v (38)
onde l e´ vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido do produto m × n, ou seja, m × n = lsenϕ,
em que ϕ e´ o menor aˆngulo entre m e n determinado por n · n = cosϕ.
1. Agora, queremos refletir o vetor v = (0, 1, 1, 1) sucessivamente em relac¸a˜o aos vetores q1 =
(0, 1, 0, 0) e q2 = (0, 0, 1, 0).
Figura 9: Multiplicac¸a˜o de Quate´rnios no Mathematica
Figura 10: Composic¸a˜o de Reflexa˜o
29
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da
6 Trigonometria na Esfera Unita´ria
Ate´ agora estudamos a trigonometria da circunfereˆncia unita´ria. Mas como resolver
problemas envolvendo a astronomia ou as navegac¸o˜es nos oceanos? Foi desenvolvido
enta˜o, ja´ ha´ bastente tempo, a trigonometria da esfera, ou trigonometria esfe´rica. Faz-
se algumas definic¸o˜es iniciais:
1. A intersecc¸a˜o de um plano passando pelo centro da esfera chama-se c´ırculo ma´ximo.
Se este plano na˜o passa pelo centro, enta˜o obtemos os c´ırculos menores;
2. A intersecc¸a˜o de dois c´ırculos ma´ximos definem um aˆngulo esfe´rico. A sua
medida e´ igual a` medida do aˆngulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o
formam.
Figura 11: Triaˆngulo Tri-Retaˆngulo Esfe´rico
3. Os vetores sa˜o tambe´m definidos na trigonometria esfe´rica. O vetor esfe´rico e´
representado geometricamente pelo arco de circunfereˆncia (meridiano) ou algebri-
camente pelo produto dos quate´rnios puramente vetoriais definidores dos extremos
do arco. No entanto, este na˜o e´ ta˜o livre quanto na trigonometria circular, podendo
apenas partir de pontos pertencentes ao mesmo meridiano.
Sejam q1 = (0+ ~A), q2 = (0+ ~B) e q3 = (0+ ~C). Desta forma, os lados do triaˆngulo
esfe´rico sa˜o definidos como:
• Lado a, oposto ao ve´rtice q1 ≡ A, e´ associado ao quate´rnio unita´rio q3q−12 , de
forma que q3q
−1
2 (q2) = q3;
• O lado b, oposto ao ve´rtice q2 ≡ B, e´ associado ao q1q−13 ;
• O lado c, oposto ao q3 ≡ C, e´ associado ao q2q−11 .
30
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Al
m
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Agora, note que ~A · ~B = || ~A||︸︷︷︸
1
|| ~B||︸︷︷︸
1
cosγ = cosγ; || ~A × ~B|| = || ~A||︸︷︷︸
1
|| ~B||︸︷︷︸
1
senγ = senγ e
~A× ~B = C senγ.
Enta˜o temos que:
• q2q−11 = (0 + ~B)(0− ~A) = ~A · ~B + ~A× ~B = cosγ + C senγ;
• q3q−12 = cosα+A senα;
• q1q−13 = cosβ +B senβ.
Os vetores representantes dos treˆs lados de um triaˆngulo ou pol´ıgonos no R3 multipli-
cados e´ nulo, ou seja, e´ elemento neutro da soma vetorial. Da mesma forma, os vetores
do triaˆngulo esfe´rico ABC, quando multiplicados, resulta no vetor unita´rio (Condic¸a˜o
de Fechamento), conforme:
(q1qq
−1
3 )(q3qq
−1
2 )(q2q
−1
1 ) = 1 (39)
Observe que
(cosβ +B senβ)︸ ︷︷ ︸
(cos( 2β
2
)+nBsen(
2β
2
))
(cosα+A senα)︸ ︷︷ ︸
(cos( 2α
2
)+nAsen(
2α
2
))
(cosγ + C senγ)︸ ︷︷ ︸
(cos( 2γ
2
)+ncsen(
2γ
2
))︸ ︷︷ ︸
quate´rnios rodadores que levam a` mesma posic¸a˜o
= 1
Assim,
A lei dos senos nesta trigonometria e´
sen(a)
sen(α)
=
sen(b)
sen(β)
=
sen(c)
sen(γ)
(40)
A lei dos cossenos e´ dada por
cos(a) = (cos(b))(cos(c)) + (sen(b))(sen(c))cos(α) (41)
A soma dos aˆngulos internos ultrapassa 180◦, chamado de excesso esfe´rico, definido
por e = (α+β+ γ)− 180◦. Na Figura 7, temos um triaˆngulo tri-retaˆngulo e neste caso,
o excesso esfe´rico e´ e = 270◦ − 180◦ = 90◦ = pi2 radianos. A esfera unita´ria tem a´rea
igual a 4pi, dada por:
e = (α+ β + γ)− pi (42)
Temos ainda as expresso˜es abaixo
cos(a) = cos(b)cos(c)− (nb · nc)sen(b)sen(c) (43)
31
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Al
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O aˆngulo entre nb e nc e´ pi−α de forma que (nb · nc) = −cos(α) e (nb× nc) = Asen(α)
e portanto:
− (A · (B × C)) = sen(α)sen(b)sen(c) (44)
1. Exemplo. Na trigonometria plana, dados lados e aˆngulos, temos quatro casos: LLL, LAL,
ALA e LAA. Na trigonometria esfe´rica temos seis casos: AAA, LLL, LAL, ALA, LLA, AAL.
Agora, dados A = 60◦, b = 30◦ e c = 60◦, encontrar o lado e aˆngulos restantes.
cos(a) = cos(30◦)cos(60◦) + sen(30◦)sen(60◦)cos(60◦) = 0, 649519053
∴ a = −24, 85◦ ≡ 335, 15◦
cos(c) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)cos(c) =⇒ C = −0, 164398988
∴ C = −9, 419◦ ≡ 350, 581◦
cos(b) = cos(a)cos(c) + sen(a)sen(c)cos(B) = 0.821994937 =⇒ B = 47, 1◦
Refereˆncias
http://www.ime.unicamp.br/ marcio/ss2011/ma770/cpxqtn/cq2.htm
http://www.ime.unicamp.br/ marcio/ss2011/ma770/cpxqtn/cq3.htm
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ mgattass/Quaternios.pdf
http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ mgattass/LivroCG/06 Transformacoes
Geometricas e Quaternios.pdf
http://www.feg.unesp.br/ anachiaradia/Material/aulahttp://www.mat.ufrgs.br/ porto-
sil/passa2a.html
7 Observac¸o˜es
Disciplina: Geometria Espacial
Curso: Licenciatura em Matema´tica
Instituic¸a˜o: IMECC/UNICAMP
Este trabalho foi escrito com base nas aulas de Geometria Espacial, e pode conter erros
(por parte do autor). Na˜o houve intenc¸a˜o de infringir direitos autoriais enta˜o, se alguma
parte deste trabalho lhe pertence, entre em contato.
32
	Teorema de Pappus
	Definições
	Aplicações
	Referências
	Teorema de Cavalieri
	Introdução
	Princípio de Cavalieri
	Princípio de Cavalieri como Teorema
	Aplicações
	Referências
	Sólidos Platônicos
	Introdução
	Fórmula de Euler
	Referências
	Isometrias do R3
	Introdução
	Transformações do espaço R3
	Tranformações Lineares e Matrizes
	Soma e Produto de Transformações Lineares
	Autovalores
	Equação Característica
	Isometrias do R3
	Rotação
	Reflexão
	Cisalhamento
	Referências
	Quatérnios
	Introdução
	Operações
	Soma
	Produto
	Conjugado
	Módulo
	Inverso Multiplicativo
	Forma Polar dos Quatérnios
	Multiplicação de Quatérnios na Forma Polar
	Aplicações
	Rotações no espaço 3D
	Composição de RotaçõesReflexões no Espaço 3D
	Composição de Reflexões
	Trigonometria na Esfera Unitária
	Observações