Densidade de Sólidos Homogêneos e Regulares

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Universidade Federal de Goiás 
Instituto de Física 
Física Experimental I 
 
 
 
 
 
 
 
Densidade de Sólidos 
 Homogêneos e Regulares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alunos:​ Gabriel Lopes Camilo 
 Karine Silva Freitas 
 Marcos Estêvão Cardoso 
 
Prof.​ Dr. Antonio Alonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Goiânia, 12/05/17 
 
 
 
1. Objetivos 
 
O objetivo desta experiência consiste em medir a densidade de objetos sólidos homogêneos e                           
regulares (cilindros). A densidade de um sólido não pode ser obtida a partir de uma medição direta; é preciso                                     
medir a massa e o volume do objeto para em seguida calcular a sua densidade. Portanto, o valor da                                     
densidade e sua incerteza irão depender de outras duas medições, ou, em outras palavras, a avaliação de                                 
incerteza para a densidade é do tipo C. Esse processo leva à propagação (combinação) de incertezas que                                 
utilizamos neste experimento. ​[adaptado de 1] 
 
2. Introdução 
 
A densidade de um sólido homogêneo é definida por: 
 
onde m é a massa do sólido e V é o seu volume (para condições fixadas de temperatura, pressão, umidade                                       
do ar, etc...). Para a identificação de um material, a incerteza na densidade é tão importante quanto o                                   
próprio valor medido. Por exemplo, se a densidade obtida de um plástico ​X é ρ​X = 1,15 g/cm3 u​X =                                       
0,20g/cm3, o resultado é praticamente inútil para a identificação do plástico, pois a grande maioria dos                               
plásticos têm densidades entre 0,9 g/cm3 e 1,4 g/cm3. Se, por outro lado, a incerteza é u​X =0,052 g/cm3,                                     
então o número de possibilidades é bem menor e o plástico pode ser identificado com a ajuda de outros                                     
critérios mais simples, tais como transparência, consistência e coloração. Assim, podemos perceber a                         
necessidade de uma teoria para a propagação das incertezas das medições diretas (volume e massa) para                               
obter a densidade e, em particular, o cálculo da incerteza no resultado final.​[1] 
 
3. Procedimento experimental 
 
Este experimento consiste em determinar a massa ​m e o volume ​V de um cilindro metálico. A massa                                   
foi determinada por meio de balanças e o volume foi calculado a partir das dimensões geométricas do                                 
sólido, medidas por meio de fitas métricas e paquímetros. Para a determinação de ​V foi aplicado ummodelo                                   
tridimensional conveniente para o cilindro. O volume foi, também, aferido diretamente por meio de um                             
copo béquer contendo água.​[adaptado de 1] 
Em busca de alcançar os objetivos traçados, foram realizados três medições diferentes do mesmo                           
cilindro de alumínio, o qual possui densidade teórica ρ igual à​ 2,70 g/cm³​ ​[2]​. Os procedimentos foram: 
 
Determinação 1: 
A massa do sólido foi medida utilizando uma balança digital. Suas dimensões (altura e                           
circunferencia) com uma fita métrica. Determinou-se ummodelo de medição para ​ρ​, que contemple                           
explicitamente as grandezas medidas​[adaptado de 1]​. No caso: 
 
   
Determinação 2:  
As dimensões do cilindro (altura e diâmetro) foram medidas utilizando um paquímetro. Um                         
novo modelo de medição para ρ foi determinado, contemplando explicitamente as grandezas                       
medidas (utilize o valor da massa precedentemente aferido)​[adaptado de 1]​. No caso: 
 
1 
  
Determinação 3: 
Desta vez, utilizou-se um béquer parcialmente preenchido com água no qual o cilindro foi                           
imerso para determinar diretamente o volume do sólido. Mais uma vez foi escrito um novo modelo                               
de medição para ​ρ​, contemplando explicitamente as grandezas medidas diretamente (utilize o valor                         
da massa precedentemente aferido)​[adaptado de 1]​. No caso: 
 
 
 
4. Análise de dados 
 
Na tabela abaixo estão descritos os valores medidos no experimento. Com as unidades de seus 
equipamentos de medição. Exceto o volume ​v​ que, previamente, foi convertido de ​mL​ para ​mm​3​. 
 
Grandezas  Medição  Δ r  Δ r/√3   x ± u​x 
m​balança​ ± u​m  69,3 g  0,1 g  0,0577 g  (69,300 ± 0,058) g 
c​fita​ ± u​c  8,4 cm  1 mm  0,577 mm  (84,00 ± 0,58) mm 
h​fita​ ± u​h  4,9 cm  1 mm  0,577 mm  (49,00 ± 0,58)mm 
d​paquímetro​ ± u​d  2,57 cm  0,05 mm  0,028 mm  (25,700 ± 0,028) mm 
h​paquímetro​ ± u​h  4,92 cm  0,05 mm  0,028 mm  (49,200 ± 0,028) mm 
v​imersão​ ± u​v  30.000 mm​3  5.000 mm​3  2,887 mm​3  (30.000,0 ± 2,9) mm​3 
Tabela 1: ​Valores das medições, obtidos de forma direta, realizadas no experimento.  
Massa ​m,​ circunferência ​c​, altura ​h​, diâmetro ​d​ e volume ​v​. 
 
Podemos notar uma diferença muito significativa entre a resolução da fita métrica, de 1 mm, para a                                 
resolução do paquímetro, de 0,05 mm. O que reflete diretamente nos valores das incertezas de cada um.                                 
Tornando os resultados obtidos com os dados do paquímetro, muito mais precisos e úteis, se aproximando                               
de uma melhor forma, do​ valor verdadeiro​[3]​ .  
Os valores obtidos para ​a densidade ​ρ a partir dos três procedimentos de determinação, bem como,                               
suas incertezas (calculadas por meio da propagação de incertezas​[3]​) foram: 
 
Determinação 1: 
( 2,519 ± 0,046 ) g/cm​3 
Determinação 2: 
( 2,7150 ± 0,0053 ) g/cm​3 
Determinação 3: 
( 2,3100 ± 0,0019 ) g/cm​3 
Tabela 2: ​resultados de ​ρ​ em cada procedimento  
experimental. 
 
Para a realização dos cálculos de ​ρ as medidas da tabela 1 tiveram suas grandezas físicas convertidas                                 
2 
e adequadas às mesmas unidades do valor teórico da densidade do alumínio. 
Todos os cálculos, desenvolvidos em uma planilha digital, podem ser conferidos neste link:                         
https://goo.gl/LuzUiJ ​. E está disponível para comentários da comunidade. 
 
5. Conclusões 
Nenhuma determinação conseguiu o valor teórico esperado. Isto pode ser explicado por vários                         
fatores, entre eles, a impureza do cilindro de alumínio, contendo outros metais em sua composição. Como                               
também, a sua não completa homogeneidade, podendo conter bolhas de ar em seu interior. 
Outros fatores podem estar ligados a falta de acurácia na hora da leitura dos equipamentos, por                               
parte dos pesquisadores, ao realizar a ​interpolação​[3]​. Tais erros ou circunstâncias são totalmente aceitáveis                           
para um curso de laboratório um. 
Podemos notar, a partir dos resultados apresentados na ​Análise de Dados que a ​Determinação 2                             
alcançou o valor mais próximo do valor teórico. E que, tanto a ​Determinação 1 ​quanto a ​Determinação 3​,                                   
retornaram valores bem próximos e com uma incerteza bem apurada, mesmo se tratando de métodos bem                               
distintos um do outro. 
 
6. Referências 
 
[1] Experiência I: Densidade de sólidos homogêneos e regulares. Disponível em: https://goo.gl/jcVMqi >.                         
Acesso em: 11 de mai de 2017. 
[2] TABELA DE DENSIDADE DOS MATERIAIS. Disponível em: < https://goo.gl/UGeyy5 >. Acesso em: 11 de                             
mai de 2017. 
[3] ​TAYLOR,John R. Introdução à análise de erros: o estudo de incertezas em medições físicas. 2009. 
 
7. Apêndice A 
 
Derivadas parciais para cada modelo proposto nas três determinações de ρ neste experimento: 
Determinação 1: 
 
 
 
                       
Determinação 2: 
 
 
 
                       
Determinação 3: 
 
 
            
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