Lista 5 Derivadas Parciais

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Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 5 - Ca´lculo 2
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Calcule as derivadas parciais de f .
(a) f(x, y) = ex
2y (b) f(x, y) = xcos(x− y)
(c) f(x, y) = y2ln(x2 + y2) (d) f(x, y) =
√
a2 − x2 − y2
(e) f(x, y) =
x2y
x2 + 2y2
(f) f(x, y) = ex
2
(x2 + y2)
(g) f(x, y, z) =
1
z
ln(x2 + y2) (h) f(x, y, z) = xsen(yz) + ysen(xz)
(i) f(x, y, z) =
xyz√
x2 + y2 + z2
(2) Determine uma equac¸a˜o para o plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto indicado:
(a) f(x, y) = 4x2y + y3, (1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 5)
(b) f(x, y) =
√
xy, (1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 1)
(c) f(x, y) = x sen(x+ y), (−1, 1, f(−1, 1)) = (1, 1, 0)
(3) Explique por que a func¸a˜o z = f(x, y) e´ diferencia´vel no ponto indicado:
(a) f(x, y) = 1 + x ln(xy − 5), (2, 3)
(b) f(x, y) =
x
x+ y
, (2, 1)
(4) Determine se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em (0, 0).
(a) f(x, y) =

y4 + 3x2y2 + 2yx3
(x2 + y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(b) f(x, y) =

2x5
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(5) Usando a diferencial dz, estime o valor de ∆z para as seguintes situac¸o˜es:
(a) z =
√
x2 + y2, (x, y) passando de (1, 2) para (1, 01, 2, 01).
(b) z = x2y, (x, y), (x, y) passando de (2, 4) para (2, 1, 4, 2).
(6) Um terreno tem a forma retangular. Estima-se que seus lados medem 1.200 m e 1.800 m,
com erro ma´ximo de 10 m e 15 m respectivamente. Determine o poss´ıvel erro no ca´lculo
da a´rea do terreno.
(7) Usando diferencial, determine o aumento aproximado do volume de um cilindro circular
reto, quando o raio da base varia de 3 cm para 3, 1 cm e a altura varia de 21 cm para
21, 5 cm.
(8) Encontrar um valor aproximado para as seguintes expresso˜es:
(a) (1, 001)3,02 (resp.: 1, 003).
(b) (0, 995)4 + (2, 001)3 (resp.: 8, 992).
(c)
√
(3, 99)2 + (4, 01)2 (resp.: 5, 6568).
(9) Um material esta´ sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha coˆnica. Em um
dado instante, o raio da base e´ de 12 cm e a altura e´ 8 cm. Usando a diferencial, obter
uma aproximac¸a˜o da variac¸a˜o do volume, se o raio da base varia para 12, 5 cm e a altura
para 7, 8 cm. Na˜o se esquec¸a que o volume de um cone com raio da base r a altura h e´
dado por V (r, h) =
pir2h
3
.
(10) Determine
dz
dt
, usando a regra da cadeia.
(a) z = tg(x2 + y), onde x = 2t e y = t2.
(b) z = ex(cos(x) + cos(y), onde x = t3 e y = t2.
(c) z =
x
y
, onde x = e−t e y = ln(t).
(11) Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
(a) z = l2 +m2, onde l = cos(xy) e m = sen(xy).
(b) z = uv + u2, onde u = xy e v = x2 + y2 + ln(xy).
(c) z = u2 + v2, onde u = x2 − y2 e v = e2xy.
(12) Determine
∂w
∂u
e
∂w
∂v
, se w = xy + xz + yz, x = u2 − v2, y = uv e z = (u− v)2.
(13) Seja h(t) = f(e2t, cos(t)), onde f : R2 → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
(a) Determine h′(t) em func¸a˜o das derivadas parciais de f .
(b) Sabendo que
∂f
∂x
(e2pi,−1) = 1
e2pi
, determine h′(pi).
(14) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das func¸o˜es:
(a) f(x, y) = ln(3x+ 5y)
(b) f(x, y) =
√
x+ y2
(c) f(x, y) = y tg(2x)
(15) Suponha que T (x, y) = 40−x2−2y2 represente uma distribuic¸a˜o de temperatura em uma
chapa de metal.
(a) Estando-se no ponto (3, 2), qual a direc¸a˜o e sentido de maior crescimento da tempe-
ratura? Qual a taxa de crescimento nesta direc¸a˜o?
(b) Estando-se no ponto (3, 2), qual a direc¸a˜o e sentido de maior decrescimento da tem-
peratura? Qual a taxa de crescimento nesta direc¸a˜o?
(16) Determine a ma´xima taxa de variac¸a˜o de f no ponto dado e a direc¸a˜o em que isso ocorre.
(a) f(x, y) = sen(xy), (1, 0) (resposta: 1; ~j).
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, (3, 6,−2) (resposta: 1; 3~i+ 6~j − 2~k).
(17) Determine todos os pontos nos quais a direc¸a˜o de maior variac¸a˜o da func¸a˜o
f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y e´ ~u =~i+~j (reposta: todos os pontos da reta y = x+ 1).
(18) Suponha que em uma certa regia˜o do espac¸o o potencial ele´trico V seja dado por V (x, y, z) =
5x2 − 3xy + xyz.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto (3, 4, 5) na direc¸a˜o de ~i +~j − ~k
(resposta: 32
√
3
3
).
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente no ponto (3, 4, 5)? Resposta: 38~i+6~j+12~k.
(c) Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o em (3, 4, 5)? Resposta: 2
√
406.
(19) Verifique se (0, 0) e´ ponto cr´ıtico da func¸a˜o f(x, y) =

3x2
4x2 + 2y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(20) Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es:
(a) z = x4 − 2x2 + y2 − 9
(b) z = cos2(x) + y2
(c) f(x, y) = cos(x)
(d) z = xe−x
2−y2
(21) Determine e classifique, quando poss´ıvel, os pontos cr´ıticos das func¸o˜es:
(a) z = x4 +
1
4
y5 + x+
1
3
y3 + 15
(b) z = 4xy − x4 − 2y2
(c) z =
y
x+ y
(d) z = ex
2+y2
(22) Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papela˜o. Determine as
dimenso˜es da caixa para que seu volume seja ma´ximo. (Resposta: Base do quadrado de
lado 2m e altura 1m.)
(23) Uma caixa de papela˜o sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as di-
menso˜es que minimizem a quantidade de papela˜o utilizada. (Resposta: Base do quadrado
de lado 40 cm e altura 20 cm.)
(24) Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelep´ıpedo para estocar 270m3
de combust´ıvel, gastando a menor quantidade de material em sua construc¸a˜o. Supondo
que todas as paredes sera˜o feitas com o mesmo material e tera˜o a mesma espessura,
determinar as dimenso˜es do tanque. (Resposta: x = y = z = 3 3
√
10.)
(25) A base de um aqua´rio com volume V e´ feita de ardo´sia e os lados sa˜o de vidro. Se o prec¸o
da ardo´sia (por unidade de a´rea) equivale a cinco vezes o prec¸o do vidro, determine as
dimenso˜es do aqua´rio para minimizar o custo do material. (Resposta: x = y = 3
√
2V/5 e
z = 5/2( 3
√
2V/5) )
(26) Uma indu´stria produz dois produtos A e B. O lucro da industria pela venda de x unidades
do produto A e y unidades do produto B e´ dado pela func¸a˜o
L(x, y) = 60x+ 100y − 3
2
x2 − 3
2
y2 − xy.
Supondo que toda a produc¸a˜o da industria seja vendida, determine quantas unidades dos
produtos A e B devem ser vendidas para que o lucro da indu´stria seja o ma´ximo poss´ıvel.
(Resposta: 10 unidades do produto A e 30 unidades do produto B.)
(27) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximo e mı´nimo da
func¸a˜o dada, sujeita a` restric¸a˜o indicada:
(a) f(x, y) = 4−2x−3y, sujeita a` x2+y2 = 1. (Resposta: ponto de ma´ximo (−2/√13,−3/√13);
ponto de mı´nimo (2/
√
13, 3/
√
13).)
(b) f(x, y) = y2 − x2, sujeita a` 1
4
x2 + y2 = 1. (Resposta: ma´ximo 1, mı´nimo −4.)
(c) f(x, y, z) = xyz, sujeita a` x2 + 2y2 + 3z2 = 6. (Resposta: ma´ximo 2/
√
3, mı´nimo
−2/√3.)
(28) Determine o ma´ximo e o mı´nimo absolutos de f(x, y) = 1+xy−x−y, no subconjunto D
do plano limitado pela para´bola y = x2 e pela reta y = 4. (Resposta: ma´ximo f(2, 4) = 3;
mı´nimo f(−2, 4) = −9.)
(29) A distribuic¸a˜o de temperatura na chapa circular x2 + y2 ≤ 1 e´
T (x, y) = x2 + y2 − 2x+ 5y − 10.
Determine as temperaturas ma´xima e mı´nima da chapa. (Resposta: ma´ximo −9 +√29;
mı´nimo −69/4.)
(30) Determine o ma´ximo e o mı´nimo absolutos de T (x, y) = x2 + xy + y2 − 6x + 2 na placa
retangular D = {(x, y)/0 ≤ x ≤ 5,−3 ≤ y ≤ 0}. (Resposta: O valor ma´ximo absoluto e´
11 e o valor mı´nimo absoluto e´ −10. )
(31) Determine o ma´ximo e mı´nimo absolutos de f(x, y) = 2 + 2x + 2y − x2 − y2, na regia˜o
triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0, y = 0 e y = 9−x. (Resposta:
O valor ma´ximo absoluto e´ 4 e o valor mı´nimo absoluto e´ −61.)
Respostas de alguns exerc´ıcios:
(1) Use o www.wolframalpha.com com o comando: f(x, y) derivatives in x and y. Por exemplo,
para calcular as derivadas parciais de ex
2y escrevaex
2y derivatives in x and y
o resultado sera´
∂ex
2y
∂x
= 2xyex
2y,
∂ex
2y
∂y
= x2ex
2y
(3) z = f(x, y) e´ diferencia´vel no ponto indicado porque as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) sa˜o cont´ınuas no ponto.
(4) (a) A func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
(b) A func¸a˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
(6) 36.000 m2
(7) 17, 1pi cm3
(9) 22, 4pi cm3
(15) (a) Mesma direc¸a˜o e sentido de ∇T (3, 2); ‖∇T (3, 2)‖ = 10.
(b) Mesma direc¸a˜o de ∇T (3, 2) e sentido oposto; −‖∇T (3, 2)‖ = −10.
Observac¸a˜o: Use tambe´m o site www.wolframalpha.com para conferir as respostas dos
exerc´ıcios.