Aula 13 gabarito

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Aula 13
Função modelo definida 
por trechos
Gabarito
Marque V (verdadeiro) ou F (falso):
[ F ] o corpo fica parado durante um intervalo 
de tempo muito curto, em torno de t=2s.
[ V ] a velocidade é nula apenas em t=2s.
[ V ] v(2s) = 0 e v´(2s) ≠ 0.
[ F ] v(2s) = v´(2s) = 0.
Exercício 1
- R +
t = 3s
t = 0
Exercício 2
t = 4s
t = 7s
- R +
- R +
Os três trechos do movimento
a) intervalo 0 ≤ t ≤ 3s. Dê a função s1(t).
s(t) = a + bt + ct2
s(0) = a = + 130 cm (pois o carrinho está abaixo da 
posição em que se encontra em 3s.)
v(t) = b + 2ct ; v(0) = b = -30 cm/s
v(3s) = 0 = - 30 + 6c ∴∴∴∴ 6c = 30 c= 5 cm/s2
- R +
t = 3s
FIG. 1
t = 0
Exercício 2 (a)
b) intervalo 3s ≤ t ≤ 4s. Dê a função s2(t). 
s2(3s) = s1(3s) = 130 – 30 x 3 + 5 x 3
2 = 85 cm → s2(t) = 85 cm
- R + t = 3s a t=4s
FIG. 1
t = 0
Exercício 2 (b)
c) intervalo 4s ≤ t ≤ tF.
s3(t) = αααα + ββββt + γγγγt2 ; v3(t) = ββββ + 2γγγγt 
A aceleração na descida é igual à de subida→ 2γ = 10 → γγγγ = 5 cm/s2
- R +
t = 4s
FIG. 1
t = tF
Velocidade em 4s é nula: então v3(4s) = 0 = β + 10x4 → b = - 40 cm/s
Substituindo as constantes β e γ na função s3(t): s3(t) = α– 40t + 5t2
Mas s3(4s) = 85 cm ; então: 85 = a - 160 + 80 = α– 80→→→→ αααα = 165 cm 
Tem-se então:
Exercício 2 (c)
d) mostre que tF = 7s.
s3 (tF) = 130 cm (ponto de partida = ponto de chegada)
2 2
F F F F
130 165 40t 5t 5t 40t 35 0= − + ∴ − + =
tF = 7s
[ ]
[ ] 


=±=
××−±=
70
10
F
2
F
10
1
90040
10
1
t
35544040
10
1
t
tF =
7s
1s menor 
do que 
4s
1600 – 700 = 900
Exercício 2 (d)
s(t) no intervalo 0 ≤ t ≤ tF consta de três partes:
s(t) =
0 ≤ t ≤ 3s
3s ≤ t ≤ 4s
4s ≤ t ≤ 7s
130 - 30t + 5t2 (cm,s)
85 cm
165 - 40t + 5t2 (cm,s)
Exercício 2 (e)
Velocidade: derivada da função s(t). 
v(t) =
0 ≤ t ≤ 3s
3s ≤ t ≤ 4s
4s ≤ t ≤ 7s
-30 + 10t (cm,s)
0
- 40 + 10t (cm,s)
Exercício 2 (f)
Aceleração: derivada da velocidade nos intervalos abertos.
a(t) =
0 < t < 3s
3s < t < 4s
4s < t < 7s
10 cm/s2
0
10 cm/s2
Exercício 2 (g)
-30
30
v(cm/s)
t(s)3 4 7
10
a(cm/s2)
t(s)3 4 7
Exercício 2 (h)
intervalos fechados intervalos abertos
-40
Exercício 3 (a)
João freando
t=0
MiguelTrecho I: de t=0 a t = t1
t1: João encontra Miguel a1
e João conversamMiguel
a2 = 0
Trecho II: de t1 a t2 =t1 + 10s
8 m/sJoão aceleraTrecho III: de t2 até atingir 8m/s em t3
a3
Trecho IV: de t3 a t4 = t3 + 20s 8 m/s
a4 = 0
Exercício 3 (a)
A escolha da referência e convenção de sinais é livre. Sugestão:
t=0
Miguel
- R +
30 m
Há dois instantes de tempo a determinar: t1 e t3
Trecho I
v1(t) = αααα + ββββt; v1(0) = αααα = 5 m/s; v1(t1) = 5 + ββββt1 = 0; ββββt 1 = -5 
s1(0) = 0 ∴∴∴∴ s1(t) = 5t + (ββββ/2)t2 mas 30 = 5t1 + (ββββ/2)t12
Resolvendo o sistema, encontra-se : 
a1 = -0,417 m/s2 ;t1 = 12s
v1(t) = 5 – 0,417 t (m,s)
s1(t) = 5t - 0,208 t
2 (m,s)
Exercício 3 (a)
Trecho II: de t1 = 12s a t2 = 22s
a2=0
v2(t) = v1(12s) = 0, constante; 
s2(t) = s1(12s) = 30m, constante
a2=0
v2(t) =0
s2(t) = 30m
e João conversamMiguel
Exercício 3 (a)
Trecho III: de t2 = 22s a t3
8 m/sJoão acelera
a3
v3(t) = αααα + 0,42 0,42 0,42 0,42 t; v3(22s) = 0 = αααα + 22. 0,417. 0,417. 0,417. 0,417; α α α α ≅≅≅≅ −−−− 9,174 m/s
v3(t3) = - 9,174 + 0,417 t3 = 8m/s ∴∴∴∴ t3 = 41 s
s3(t) = a - 9,174t + 0,208 t
2 ; 
s3(22s) = 30m = a - 9,174.22 + 0,208. 22
2∴∴∴∴ a=131 m
a3 = 0,417 m/s
2 ;t3 = 41 s
v3(t3) = - 9,174 + 0,417 t3
s3(t) = 131 - 9,174t + 0,208 t
2 (m,s)
Suponha a3 = -a1 = 0,42 m/s
2
Exercício 3 (a)
Trecho IV: de t3 =41s a t4= 61s
v4(t) = 8m/s, constante
s4(t) = a + 8t; 
s4(41s) = s3(41s) = 106 m ∴∴∴∴ 106 = a + 8. 41 ∴∴∴∴ a = -222m
a4=0
v4(t) = 8m/s 
s4(t) = - 222 + 8t (m,s)
8 m/s
a4 = 0
Exercício 3 (b)
s(t) =
5t - 0,208t2 (m,s) 0 ≤ t ≤ 12s 
30 m 12s ≤ t ≤ 22s 
131 - 9,174t + 0,208 t2 (m,s) 22s ≤ t ≤ 41s 
- 222 + 8t (m,s) 41s ≤ t ≤ 61s
Valores nas fronteiras dos trechos são aproximados;
Os intervalos são fechados, a aproximação vem de
Imprecisão numérica. 
a)
justificativas: s(0) > 0; a < 0
b) v(t) = - 40 t (cm,s)
c) s(t) = 70 - 20 t2 (cm,s)
d) anteparo: 110 cm abaixo de R (5,5 cm no papel)
e) -110 = 70 - 20 t2 ∴∴∴∴ t A= 3s
Exercício 4 (a), (b), (c), (d) e (e)
FIG. 3
P
+ R -
70 cm
110 cm
F
f) depois da colisão instantânea, v(3,0s) = 36 cm/s
v (t) = αααα - 40 t (cm,s) ; 36 = αααα - 40x3 ∴∴∴∴ αααα =156 cm/s
v (t) = 156 - 40 t (cm,s) , depois da colisão
tempo final: 0 = 156 - 40 tf ∴∴∴∴ tf= 3,9 s
Exercício 4 (f)
FIG. 3
P
+ R -
70 cm
110 cm
F
t = 3s, descontinuidade
da velocidade: valor 
não definido em 3s.
vantes(3s ) = -120 cm/s
vdepois(3s) = 36 cm/s-120
3 3,9
36
v(cm/s)
t(s)
Exercício 4 (g)
vantes (t) = – 40 t (cm,s) 0 ≤ t < 3s
vdepois (t) = 156 – 40t (cm,s) 3s < t ≤ 3,9s
Note os intervalos abertos para velocidade neste 
problema. Leia livro texto, 4ª ed., pg. 119, e explique.
-120
3
36
3,9
v(cm/s)
t(s)
Exercício 4 (g) – cont.
colisão: descontinuidade da velocidade
Exercício 5 (a)
s1(t) = a + bt; 
b = v(0) = - 3,0 m/s; a = s(0) = 1,5m 
0 ≤ t ≤ 1s 
reta-suporte + R -P
FIG. 4
t=0 t=1s
s1(t) = 1,5 – 3,0t ( m,s) 
3 m
Intervalo é fechado pois a função 
s1(t) não muda bruscamente de valor 
(é contínua) em t=1s. 
ida
Exercício 5 (a)
s2(t) = a + bt; v2(t) = b 
1s ≤ t ≤ 2,43 s 
Resolvendo:
-1,5 = a + b.1
2,1 = b; -1,5 = a + 2,1 x 1 ∴ a = - 3,6 m
t=0 t=1s
s2(t) = -3,6 + 2,1 t ( m,s) 
Para reproduzir o movimento de volta:
s2(1s) = -1,5m e v2(1s) = 0,70 x 3 = 2,1 m/s
reta-suporte + R -P
FIG. 4
volta
fechado, pela 
mesma razão 
Exercício 5 (b)
s(t) =
0 ≤ t ≤ 1s1,5 – 3,0 t (m,s)
-3,6 + 2,1 t (m,s) 1s ≤ t ≤ 2,43s
v(t) =
0 ≤ t < 1s- 3,0 m/s
2,1 m/s 1s < t < 2,43s
a(t) =
0 0 ≤ t ≤ 1s
0 1s ≤ t ≤ 2,43s
Intervalos de tempo para v(t) são semi-aberto e aberto.
Há descontinuidade da velocidade nas bordas. 
Exercício 5 (c)
1,00
-1,5
2,43 t(s)
s(m)
1,5
1,00
-3,0
2,43 t(s)
2,1
v(m/s)
1,00 2,43 t(s)
a(m/s2)
Exercício 5 (d)
0,56
-104
1,12 t(s)
114
v(cm/s)
t em 
segundos
sexp em cm
0 4
0,56 68
1,12 10
1,68 62
2,24 15
2,80 57
3,36 19
Tabela da Aula 4: em azul, a 1ª oscilação para o observador 1
Exercício 5 (e)
A velocidade nos extremos varia bruscamente