Aula 11 gabarito

Prévia do material em texto

Aceleração
Gabarito
Aula 11
a)Levando em conta que a velocidade é a taxa
(instantânea) de variação da coordenada de posição,
complete com as palavras positiva ou negativa
conforme o caso:
A velocidade do corpo é positiva para o
observador A, sendo negativa para o observador B.
- R +v
+ R’ -v
observador A
observador B
P
P
Exercício 1 (a) 
b)Marque V (verdadeiro) ou F (falso)
( F ) - o sentido da seta da velocidade é dado pelo
observador, de acordo com a convenção escolhida.
( V ) - o sentido da seta da velocidade é determinado
pelo movimento do corpo.
( V ) - dada uma seta representando a velocidade, o
sinal da velocidade é dado pelo observador, de
acordo com a convenção escolhida.
Exercício 1 (b) 
a)A taxa de variação da coordenada de posição é
negativa. O valor absoluto é 24 cm/s.
A taxa de variação da coordenada de posição
com o tempo é de -24 m/s.
Para um certo observador, um movimento é descrito
pela função s(t) = 20 - 24t (cm,s).
Exercício 2 (a) 
Como v é negativa para qualquer t, a seta
da velocidade do corpo em qualquer
posição tem o sentido indicado na figura.
A seta deve ter 2 cm.
s(t) = 20 - 24t (cm,s)
- R +AvA
Exercício 2 (b) 
a)constantes α e β da função linear
v(t) = α + βt �velocidade do carro entre A e B 
A velocidade é dada em t=0 e t=10s,
sendo negativa.
+ R -A B
t = 10st = 0
vA vB
Exercício 3 (a) 
v(0) = -20 m/s ; v(10s) = -5m/s
Tem-se α = v(0) = - 20 m/s 
α + ββββ(10) = - 5
10 ββββ = 15 ββββ = 1,5 m/s2
v(t) = - 20 + 1,5 t (m,s)
+ R -A B
t = 10st = 0
vA vB
a)
Exercício 3 (a) – cont. 
b)gráfico simplificado v-t para o intervalo
0 ≤t≤10s.
t(s)
v(m/s)
10
- 20
-5
Exercício Exercício 3 (b) 
c) Se o ponto R estivesse à direita de B, haveria
mudanças nas respostas dos itens (a) e (b)? Em
caso afirmativo, diga quais.
Não haveria pois a velocidade não
depende da posição de R.
+ R -A B
t = 10st = 0
vA vB
vA e vB continuam sendo negativos
Exercício 3 (c) 
v(t) = 120 + 300t (m,s)
Qual é a unidade da grandeza cujo valor numérico
é 300?
m/s2 pois (300 t) é m/s.
Exercício 4 
Aplicando o procedimento da Aula III, mostre que:
u(t) = s(t) – sR2; w(t) = -s(t) + sR3
Exercício 5 (a)
- R2 + P +R3 -- R1 +
us w
sR2 sR3
Exercício 5(b) 
Como sR2 é constante, as velocidades médias 
dadas por s(t) e u(t) são iguais independente do 
intervalo de tempo. Portanto as derivadas também 
se igualam. Assim,
u´(t) = s´(t)
Da mesma forma, sendo sR3 uma constante:
w´(t) = -s´(t)
[ V ] o módulo da velocidade do corpo é o mesmo para
qualquer observador
[ F ] o módulo da velocidade do corpo é o mesmo, somente
para observadores que usam a mesma convenção de sinais
[ F ] o sinal da velocidade do corpo muda, se a posição da
referência mudar, mantendo-se porém a mesma convenção de
sinais.
[ V ] o módulo da velocidade, assim como o seu sentido, são
invariantes segundo diferentes observadores, quaisquer que
sejam as posições escolhidas para a referência e as
convenções de sinal adotadas por cada um.
Exercício 5 (c) 
c)Marque V (verdadeiro) ou F (falso)
Aceleração em cada caso:
a)v(t) = 120–150t (cm,s)
a = v’(t) = -150 cm/s2
b)v(t) = 12450t–30 (km,h)
a = v’(t) = 12450 km/h2
c)v(t) = -20 + 3,5t (m,s)
a = v’(t) = 3,5 m/s2
Exercício 6
Dê a aceleração desenvolvendo a solução com a
dupla derivada:
a)s(t) = 80 – 35 t + 27 t2 (cm,s)
v(t) = s’(t) = - 35 + 54 t (cm,s)
a(t) = v’(t) = 54
a = 54 cm/s2, constante pois função s(t) é
quadrática.
Exercício 7 (a)
b)s(t)=1,20t2 - 35t (m,s)
v(t) = s’(t) = 2,40 t - 35 (m,s)
a(t) = v’(t) = 2,40
a = 2,40 m/s2, constante pois função s(t) é
quadrática.
c)s(t) = 1,0 – 3t + 5t2 (m,s)
v(t) = s’(t) = - 3 + 10t (m,s)
a(t) = v’(t) =10
a = 10 m/s2, constante pois função s(t) é
quadrática.
Exercício 7 (b) e (c)
Aula VII: carrinho no trilho inclinado
modelo matemático do movimento do carrinho
sQ(t) = 62,8 t + 40,6 t
2 (cm,s)
v(t) = s’(t) = 62,8 + 81,2 t (cm,s) 0 ≤ t ≤ 0,561s
Exercício 8 (a)
a(t) = v’(t) = 81,2 cm/s2
constante pois s(t) é função quadrática em t.
b)gráficos v-t e a-t.
Aceleração é positiva; coeficiente angular de v-t,
positivo.
t(s)0,560
v(cm/s)
45,2
83,6
t(s)0,560
a(cm/s2)
81,2
Exercício 8 (b)
d)A aceleração da gravidade na sala
g = 9,79 m/s2 (medida pelo INMETRO).
Que fração de g é a aceleração do carrinho?
a/g = 81,2 / 979 ≅≅≅≅ 0,083
Exercício 8 (c)
Exercício 8 (d)
Estimativa do valor do ângulo entre o 
trilho e a horizontal na Aula VII, usando a 
aceleração do carrinho prevista pelo 
modelo sQ(t) obtido naquela mesma Aula.
Tomando o resultado 8(c), temos:
aceleração do carrinho = 81,2 cm/s2
Então, sen θθθθ = 81,2/979 = 0,083 ∴∴∴∴θθθθ ≅≅≅≅ 5o
Aceleração do carrinho na experiência do trilho
horizontal (Folha A), segundo o modelo s(t).
Da folha avulsa obtém-se
s(t) = - 41,1 + 45,3 t (cm,s)
para o movimento no trilho horizontal
A aceleração é igual a zero, pois a velocidade é
constante para o modelo s(t) linear.
Exercício 9
Um carrinho sobe o trilho que está inclinado. A
função s(t) = – 60t +10t2 (cm, s), descreve a
posição do carrinho para um determinado
observador.
P
FIG. 2
Exercício 10
P
FIG. 2
a) Convenções:
o ponto R coincide com P em t=0 pois s(0)=0;
- R + : porque a velocidade inicial é negativa e
o carrinho sobe o trilho.
Aceleração:
como v(t) = s´(t) = -60 + 20 t (cm,s) temos
a = constante = 2 x 10 = 20 cm/s2
- R+
Exercício 10 (a)
P
FIG. 2
b)Gráfico v-t entre t=0 e t=6s
- R+
t(s)60
v(cm/s)
- 60
60
3
Exercício 10 (b)
b)Gráfico s-t entre t=0 e t=6s.
- R+
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
t(s)
c
o
o
r
d
e
n
a
d
a
 
d
e
 
p
o
s
i
ç
ã
o
 
e
m
 
c
m
Exercício 10 (b) – cont.
Exercício 11 (a) 
v(t) = limite da expressão acima quando ∆t tende
para zero;
Então v(t) = 3t2 (m,s)
Exercício 11 (b) 
i) Dado: s(t) – 1500t2 – 5t3 (m,s)
Qual a unidade da grandeza cujo valor é -5?
m/s3
ii) Dê as funções v(t) e a (t) para esse trecho.
v(t) = s’(t); v(t) = 3000t – 15t2 (m,s)
a(t) = v’(t); a(t) = 3000 – 30t (m,s)
Exercício 11 (b) - cont 
iii) Quais são as condições iniciais do movimento?
iv) Calcule a aceleração do corpo em t=0 e em
t=50s.
a(0) = 3000 – 30.0 = 3000 m/s2
a(50s) = 3000 – 30.50 = 1500 m/s2
Condições iniciais: s(0) e v(0).
No movimento do foguete, tem-se: 
S(0) = 1500.02 – 5.03 = 0; v(0) = 3000.0 – 15.02 = 0 
u´(t) = s´(t) m/m convenção
w´(t) = - s´(t) convenções
opostas
Exercício 5(b): para as funções velocidade segundo dois 
observadores : 
Exercício 12 
Concluiu-se no 5(c) que o 
módulo da velocidade é o 
mesmo para qualquer 
observador*. 
Chegamos à mesma conclusão para a aceleração pois 
derivando as duas relações acima obtemos:
u´´(t) = s´´(t)
w´´(t) = - s´´(t)
o que leva à igualdade entre os módulos das acelerações para 
qualquer observador..
*Lembre que não estamos considerando movimento relativo entre observadores, 
o qual pode mudar este resultado. 
Exercício 13 
como se quer demonstrar
2)( ctbtats ++= ctbtv 2)( +=
2)
2
)(
()
2
)(
()(
c
btv
c
c
btv
bats
jj
j
−
+
−
+=
)]}()([2)()({
4
1
)]()([
2
)()( 22 ijijijij tvtvbtvtv
c
tvtv
c
b
tsts −−−+−=−
c
btv
t
2
)( −
=
2)
2
)(
()
2
)(
()(
c
btv
c
c
btvbats iii
−
+
−
+=
)]()([
2
])()([
4
1
)]()([
2
)()( 22 ijijijij tvtv
c
b
tvtv
c
tvtv
c
b
tsts −−−+−=−
])()([
4
1
)()( 22 ijij tvtv
c
tsts −=−
ou )]()([4])()([
22
ijij tstsctvtv −=−