Aula 17 gabarito

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Vetores na física - velocidade 
e aceleração
Gabarito
Aula 17
0 10 20 30-10-20-30
x(cm)
10
20
-10
-20
y(cm)
30
-30
No sistema de referência cartesiano, 
as escalas nos eixos x e y são 
iguais. Na figura, os tamanhos das 
setas tracejadas é o mesmo, 
consequência dessa propriedade. 
As deduções feitas nesta e nas 
próximas aulas, envolvendo
a geometria e trigonometria, são
válidas somente com essa condição.
0 10 20 30-10-20-30
x(cm)
10
-10
y(cm)
Exemplo mostrando que 
escalas diferentes 
deformam as dimensões 
do mundo real. imagem real
imagem deformada
0 x 
y 
ponto P : corpo
ponto Px : projeção x
ponto Py : projeção y
Decomposição do movimento 
no plano : três movimentos
concatenados, de P, Px e Py
Px e Py : pontos móveis
[ F ] pode-se escrever = ± 9,8 m/s2 pois o sinal da
aceleração depende das convenções usadas pelo observador;
[ F ] um vetor que representa uma velocidade de módulo 120
m/s deve ter o mesmo tamanho de um vetor que representa
uma aceleração de módulo 120 m/s2;
[ F ] se vejo um jogador correndo no campo de futebol, indo da
minha direita para minha esquerda, num dado instante t, posso
usar esse sentido para definir o vetor velocidade do jogador.
[ V ] a velocidade do carro de fórmula 1, registrada num painel,
num instante de tempo t, é o módulo do vetor velocidade do
carro nesse instante.
a
�
Exercício 1
As linhas 
tracejadas nestes 
casos ficam 
perfeitamente 
superpostas.
Na figura estão 
exageradamente 
separadas para 
melhor 
visualização.
reta
FIG.1
A
�
B
�
C
� D
�
E
�
Estas projeções têm 
valor igual a zero; são 
representadas por pontos.
Exercício 2
0
y 
x 
vx(t)
vy(t)
)(tv
�
Decomposição de vetores
0
y 
x vx(t)
vy(t) )(tv
�
θθθθ
θcos)()( tvtvx
�
=
θsentvtvy )()(
�
=
22 )]([)]([)( tvtvtv yx +=
�
[ ] pelo sentido do eixo x.
[ X ] pelo sentido do vetor.
[ ] pelo ângulo entre o vetor e o eixo x, 
[ ] por ambos, sentido do vetor e sentido do eixo.
Exercício 3
Para encontrar os sinais das projeções, use o fato de que
θθθθ < 90o e sendo assim cos θθθθ e sen θθθθ são positivos. O símbolo
v representa módulo do vetor e é portanto positivo.
x
y
x
y
x
y
x
y
vx = - v cos θ
vy = v sen θ
vx = v cos θ
vy = v sen θ
vx = v cos θ
vy = - v sen θ
vx = - v cos θ
vy = - v sen θ
Exercício 4
x
θ
t
0
y 
x 
αααα
- R + s(t)
x(t)
y(t)
reta suporte
da trajetória de P
a)
Exercício 5 – Parte I
b) 1a e 2a relações: devem fornecer x(t) e y(t) a partir de s(t)
e o ângulo dado.
0
y 
x FIG. 4 
- R + 
posição de P no instante t
αααα
Exercício 5 – Parte I
s(t)
x(t)
y(t)
Transposição do 
segmento y(t) forma um 
triângulo retângulo.
x(t) = s(t) . cos αααα (1a)
y(t) = s(t) . sen αααα (1b)
Funções proporcionais
)()( tkftg =
=
∆
−∆+
=
→∆
t
tgttg
tg t
)()(
lim)(' 0
t
tkfttkf
t
∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim 0
t
tfttf
kt
∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim 0
Como k é constante: 
→
∆
−∆+
=
→∆
t
tfttf
ktg t
)()(
lim)(' 0 )(')(' tkftg =
como se quer demonstrar
c) αααα é constante, portanto, de (1a) e (1b) obtém-se:
x’(t) = s’(t). cos αααα (1c)
y’(t) = s’(t). sen αααα (1d)
x’'(t) = s’'(t). cos αααα (1e)
y’'(t) = s’'(t). sen αααα (1f)
Exercício 5 – Parte I
a)
FIG. 5
- R +
x
y
α
posição de P num 
instante t
x(t)
s(t)
y(t)
Exercício 5 – Parte II
a
b)
x(t) - a = s(t). cos αααα (2a)
y(t) - b = s(t). sen αααα (2b)
x’(t) = s’(t). cos αααα (2c)
y’(t) = s’(t). sen αααα (2d)
x’'(t) = s’'(t). cos αααα (2e)
y’'(t) = s’'(t). sen αααα (2f)
Note que a e b são constantes, não contribuem
para as derivadas.
Exercício 5 – Parte II
Tabela I 
I II
x(t) = s(t). cos αααα (1a) x(t) = a + s(t). cos αααα (2a)
y(t) = s(t). sen αααα (1b) y(t) = b + s(t). sen αααα (2b)
x’(t) = s’(t). cos αααα (1c) x’(t) = s’(t). cos αααα (2c)
y’(t) = s’(t). sen αααα (1d) y’(t) = s’(t). sen αααα (2d)
x’'(t) = s’'(t). cos αααα (1e) x’'(t) = s’'(t). cos αααα (2e)
y’'(t) = s’'(t). sen αααα (1f) y’'(t) = s’'(t). sen αααα (2f)
Exercício 6 (a)
Observação: as relações das duas primeiras linhas da coluna II mostram
que x(t) e y(t) não são projeções da s(t). A única exceção é o caso em que
as duas referências coincidem (coluna I).
Portanto, não use as notações sx(t) e sy(t) 
[ V ] a relação entre a velocidade da sombra x e a velocidade do corpo
é a mesma em I e II.
[ F ] a relação entre a velocidade da sombra y e a velocidade do
corpo mudaria se o ponto R se aproximasse do eixo y, mantendo-se
na reta suporte da trajetória.
[ F ] os segmentos que fornecem s(t), x(t) e y(t) formam um triângulo
retângulo tanto em I quanto em II.
[ V ] os segmentos que fornecem s(t), x(t) e y(t) formam um triângulo
retângulo apenas na opção I.
[ V ] s’’(t)2 = x’’(t)2 + y’’(t)2 nas duas opções, I e II.
[ V ] s’(t)2 = x’(t)2 + y’(t)2 nas duas opções, I e II. 
[ F ] s(t)2 = x(t)2 + y(t)2 nas duas opções, I e II.
Exercício 6 (b)
Exercícios 7 e 8 
s’(t)
s’(t) . cos αααα
s’(t) . sen αααα
do Exercício 6
αααα
x´(t)
y´(t)
s’(t)
αααα
= s’(t))( tv
�
αααα
vx(t)
vy(t)
)(tv
�
Vetor velocidade e suas
componentes:
αααα
vx(t)
vy(t)
s’(t)
1 2
3 4
Comparando e :2 4
x´(t) = vx(t)
y´(t) = vy(t)
x´´(t) = ax(t)
y´´(t) = ay(t)
Analogamente:
Triângulo retângulo:
Esse resultado pode ser generalizado: é verdadeiro em 
qualquer movimento e está geometricamente 
representado na figura a seguir.
)(tv
�
x
y
vy= y’(t)
vx = x’(t)
)(ta
�
x
y
ay = y’’(t)
ax= x’’(t)
Generalização
Exercícios 7 e 8 
(ii) a velocidade de Py , projeção y de P, é igual à 
projeção y da velocidade de P.
Exercício 8
(iii) a aceleração de Px , projeção x de P, é igual à 
projeção x da aceleração de P.
(iv) a aceleração de Py , projeção y de P, é igual à 
projeção y da aceleração de P.
(i) a velocidade de Px , projeção x de P, é igual à 
projeção x da velocidade de P.
Completando os os itens (ii), (iii) (iv):
x 
y 
vx(t)
vy(t)
)( tv
�
x’(t)
vx(t) = x’(t)
y’(t)
vy(t) = y’(t)
Atenção ao que é diferente: 
A igualdade 
só é verdadeira no movimento retilíneo
Outro resultado válido para qualquer 
movimento é a igualdade
)(')( tstv =
�
)('')( tsta =
�
FIG. 7
y
Posição de P em t
x
vxax
vyay
a
� v
�
[ F ] a velocidade de Px é negativa.
[V] a aceleração de Px é negativa.
[F] a aceleração de Py é positiva.
[V] para Px a velocidade vx tem sentido contrário à aceleração ax
[F ] para Py a velocidade vy tem sentido contrário à aceleração ay
[F ] nesse instante a sombra x se aproxima da origem do sistema de
referência.
Exercício 9 (a) e (b) 
y
x
v
�
vx = 3 m/s vy = -1,2 m/s
θ
y
x
a
�
ax = -2,0 m/s
2 ay = -5,0 m/s
2
θ
Exercício 9 (c)
= 3,23 m/s
= 5,39 m/s2
v
�
a
�
Exercício 10 (a) e (b) Do gabarito da aula 16:
x(t) = 96 t (cm,s)
y(t) = 8,4 t + 414 t2 (cm,s)
b)
ax = x´´(t) = 0
ay = y´´(t) = 828 cm/s
2
Como ax=0, ay>0 e o eixo 
y aponta para baixo, a 
previsão do modelo é a 
seguinte :
a aceleração da bolinha
é vertical e para baixo.
x
y
a) Não. O sistema que foi 
usado é o da figura.
x
y
)
30
5
( sv
�
Exercício 10
c) vx(t) = x´(t) = 96 cm/s
vy(t) = y´(t) = 8,4 + 828 t(cm,s)
vx(1/6) = 96 cm/s
vy(1/6) = 8,4 + 828.(1/6)
= 146 cm/s
scms /175) =
6
1
(v
�
146 cm/s
3cm
96 cm/s
2cm
x(km)
y(km)
0
FIG. 6
P 
M 
t
R 
+ 
-
A 
θ
t = 0
x(t) = 3,84 – 9,6 t + 5,6 t2 (km,h)
6 km
4,8 km
3
,6
 k
m
s(t)
x(t)
sen θ = 3,6/6 = 0,6
cos θ = 4,8/6 = 0,8
tg θ = 0,6/0,8 = 0,75
s(t) cos θθθθ
Pára aqui: no papel, 
a 0,7 cm da origem
Exercício 11 (a)
x(0) = x(t) + s(t) cos θ
s(t) = [x(0) – x(t)]/ cos θ
s(t) = 12t – 7t2 (km,h)
y(t) = x(t) . tg θ
y(t) = 2,88-7,2t +4,2t2 (km,h)
y(t)
x(0) = 3,84 km
Exercício 11(b)
6
h
7
[ V ] o barco leva , ou 0,857 h, para parar.
[ F ] a função s(t) é dada pela relação.
[ F ] o movimento do barco é uniforme .
[ F ] a posição inicial da sombra y é dada por y(0) = 3,6 km.
[ V ] a velocidade da sombra y num instante t é dada pela função vy(t) = -7,20 + 8,4 t (km,h).
[ F ] a distância total percorrida pelo barco é igual à soma das distâncias percorridas pelas 
sombras.
[ F ] em t=0 a sombra x e a sombra y coincidem com o ponto A.
[ V ] s(t) = 12 t – 7 t2 (km,h).
[ F ] y(t) = - 7,2 t + 4,2t2 (km,h). 
[ V ] y(t) = 2,88 – 7,20 t + 4,2 t2 (km,h).
[ F ] o barco atinge a margem (ponto M) com velocidade nula.
[ V ] o barco não chega na margem.
[ V ] x(tp) e y(tp) são negativos.
[ F ] o barco (ponto P) encontra-se com apenas uma de suas sombras durante o movimento.
[ V ] o coeficiente angular da função linear y(x) que representa a reta suporte da trajetória 
de P a é igual à tangente de θ. 
x(t)
s(t)
cos
=
θ