Aula 12 gabarito

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Aceleração, sentido e 
sinal
Gabarito
Aula 12
Objeto caindo Objeto subindo
velocidade
aceleração
da gravidade
velocidade
aceleração
da gravidade
b) se módulo da velocidade decresce: 
as setas da velocidade e da aceleração têm 
sentidos contrários
a) se módulo da velocidade cresce: 
as setas da velocidade e da aceleração têm
mesmo sentido
O sentido da seta aceleração : dois casos
As setas azuis representam as
acelerações em cada instante. As setas
têm o mesmo tamanho pois é dito que
nesse movimento a aceleração é
constante.
A B
FIG.1(a)
a) setas da aceleração do carro
Exercício 1 (a) 
As setas azuis representam as
acelerações em cada instante pedido. As
setas têm o mesmo tamanho pois é dito
que nesse movimento a aceleração é
constante.
b) setas da aceleração do carro
A B
FIG.1(b)
Exercício 1 (b) 
Neste exemplo, o movimento torna-se
mais lento no final.
setas para a velocidade
velocidade
A B
FIG.2(a): movimento de B para A
aceleração
Exercício 2 
setas para a velocidade
Neste exemplo, o movimento torna-se
mais rápido no final.
FIG.2(b): movimento de A para B
A B
velocidade
aceleração
Exercício 2 – cont. 
t(s)
v(m/s)
100
- 22
- 5
a)Calcule a aceleração do carro
a = coeficiente angular da reta
⇒⇒⇒⇒ , positiva
Exercício 3 (a) 
f if if if i
f if if if i
v - vv - vv - vv - v
= == == == =
t - tt - tt - tt - t
=
2a
-5 -(- 40 )-5 -(-40 )-5 -(-40 )-5 -(-40 )
= 3,5m / s= 3,5m / s= 3,5m / s= 3,5m / s
10 - 010 - 010 - 010 - 0
-22
1,7
b) Nesse movimento, entre t=0 e t=10s :
[ F ]o módulo da velocidade aumenta e a aceleração
é positiva.
[ F ]o módulo da velocidade aumenta e a aceleração
é negativa.
[ V ]o módulo da velocidade diminui e a aceleração
é positiva.
[ F ]o módulo da velocidade diminui e a aceleração
é negativa.
Exercício 3 (b) 
- R +A B
t = 10st = 0
a = - 1,0 m/s2
- R +A B
t = 10st = 0
a = + 1,0 m/s2
+ R -A B
t = 10st = 0
a = - 1,0 m/s2
v(m/s)
100
15
5
t(s)
- 5
t(s)
v(m/s)
100
- 15
t(s)
v(m/s)
100
15
5
Exercício 4 (a) e (b) 
a)
- R +
a = - 1,0 m/s2
- R +
a = + 1,0 m/s2
+ R -
a = - 1,0 m/s2
b)
c)
Sentido e sinal da aceleração
Exercício 4 – cont. 
+ R -
- R +
+ R -
- R +
+ R -
- R +
+ R -
- R +
a < 0
a < 0
a < 0
a < 0
a > 0
a > 0
a > 0
a > 0
Exercício 5
a
desenhadas por Helena
aa
a
desenhadas por Joana
aa
a)
b)
(i) sH(t) = - sJ (t) pois sR´ = 0
(ii) s´H(t) = - s´J(t) foi demonstrado na Aula XI
(iii) s´´H(t) = - s´´J(t) mesma demonstração da Aula XI
Exercício 6 (a) e (b)
c) v(m/s)
10
20
15
t(s)-15
t(s)
v(m/s)
10
- 20
vH(t) = -15 – 0,5 t (m,s) vJ(t) = 15 + 0,5 t (m,s)
aH = v´H(t) = - 0,5 m/s
2 aJ = v´P(t) = 0,5 m/s
2
Exercício 6 (c)
Dados : 
observador 1: s(t) = 40 – 45 t + 15 t2 (cm,s)
observador 2: convenção de sinais oposta a 1 e y(0) = 0
Vimos na Aula XI e nesta (Ex. 6) que, as convenções
de sinal sendo opostas, invertem-se os sinais da velocidade
e da aceleração, em qualquer instante de tempo do movimento.
Então, dado que y(0) = 0 tem-se y(t) = 45 t – 15 t2 (cm,s)
Respostas: V F F V F V V
Exercício 7
Observador 1: v(t) = 72 - 54t (m,s) , 0 ≤ t ≤ 4s. 
Em t=0 o corpo está a 95 m de R entre R e R’.
+ R - - R’ +A
150m
50m
Exercício 8
[ F ] para o observador 1 a velocidade média do corpo é - 54 m/s.
[ V ] em t=0 o corpo move-se no sentido de R’ para R. 
[ V ] a função s(t) que descreve a coordenada de posição do corpo, para o observador 1, é 
s(t) = -95 +72t - 27 t2 (m,s), no intervalo 0 ≤ t ≤ 4s.
[ F ] a função s(t) que descreve a coordenada de posição do corpo, para o observador 1, é 
s(t) = -95 +72t - 108 t2 (m,s), no intervalo 0 ≤ t ≤ 4s.
[ F ] as condições iniciais do movimento para o observador 1 são s(0)=0, v(0)=0
[ F ] no instante em que o corpo para sua aceleração é igual a zero. 
FIG. 4
Observador 2: v(t) = -72 + 54t (m,s) , 0 ≤ t ≤ 4s. 
Em t=0 o corpo está a 95 m de R entre R e R’.
+ R - - R’ +A
150m
50m
Exercício 8 - continuação
[ V ] no instante t = s, a velocidade do corpo, segundo o observador 2 é 72 m/s.
[ F ] o módulo da velocidade diminui sempre, durante o intervalo 0 ≤ t ≤ 4s.
[ F ] para ambos os observadores, a aceleração do corpo é constante e vale - 54 m/s2.
[ V ] a função y(t) que descreve a coordenada de posição do corpo, para o 
observador 2, é y(t) = - 55 -72t + 27 t2 (m,s), no intervalo 0 ≤ t ≤ 4s.
3
8
FIG. 4
Observador 2: v(t) = -72 + 54t (m,s) , 0 ≤ t ≤ 4s. 
Em t=0 o corpo está a 95 m de R entre R e R’.
+ R - - R’ +A
150m
50m
Exercício 8 - continuação
[ F ] a seta mostrada na FIG.1, representa a velocidade do corpo ao passar pelo ponto A, conforme foi
desenhada pelo observador 1; o desenho feito pelo observador 2 para representar a velocidade no
ponto A teria sentido contrário ao que é mostrado na FIG. 4.
[ V ] ao passar pelo ponto A, a 50 m do ponto R, com velocidade de sentido igual ao mostrado na FIG. 4, a 
velocidade obtida pelo observador 2 é igual a -18 m/s.
[ V ] entre t=0 e t=4s, o corpo passa uma vez pelo ponto R’.
[ F ] a partir dos dados do problema pode-se afirmar que o módulo da velocidade do corpo no instante t=5s é 
igual a 198 m/s para ambos os observadores. 
[ V ] a partir dos dados do problema nada se pode afirmar a respeito da velocidade do corpo no instante t = 5s 
para qualquer um dos observadores. 
FIG. 4
f(t) = t2 + (5/3) t3 + k; f(0)= 0 = k 
f(t) = t2 + (5/3) t3
a) f ’(t) = 5t; determine f(t) sabendo que f(2) = 25 
f(t) = 2,5t2 + k, k constante; f(2) = k + 10 = 25 ∴∴∴∴
k= 15 ∴∴∴∴ f(t) = 2,5t2 + 15
b) f ’(t) = 3 + 4t e f(0) = 2
f(t) = 3t + 2t2 + k, k constante;
f(0) = k = 2 ∴∴∴∴ f(t) = 3t + 2t2 + 2
c) f ’(t) = 2t + 5t2 e f(0) = 0
Exercício 9
v(t) = 2,4 t + k ; k = v(0) = 5,0 ; 
v(t) = 2,4 t + 5,0 (m,s) 
s(t) = 2,4 (t2/2) + 5,0 t + k ; s(2,0s) = 0,8m 
s(t) = 1,2 t2 + 5,0t – 14,0 (m,s) 
Exercício 10
vA(0) vB(0)
- R +
A B
D
aA aB
vA(t) = 20 – 1,0 t (m,s) � sA(t) = 20 t -0,5 t
2 (m,s) 
vA(tf) = 0 � tf = 20s 
vB(t) = - 40 + αααα t (m,s)� 0 = -40 + α.20 α.20 α.20 α.20 ∴∴∴∴α =2,0 α =2,0 α =2,0 α =2,0 m/s
2222
� sA(tf ) = 200 m
Exercício 11
a) 
b) Condições iniciais: coordenada de posição e velocidade
no instante inicial. 
sA(0) = 0 (de acordo com a posição da referência)
vA(0)= 72km/h, positiva de acordo com a 
convenção de sinais.
c) sB(0) = 700m; vB(0) = - 144km/h
vB(t) = -40 + 2,0 t (m,s)� sB(t) = 700- 40 t + 1,0 t
2 (m,s) 
sA(t)
sB(t)
t(s)
200
C
o
o
r
d
e
n
a
d
a
 
d
e
 
p
o
s
i
ç
ã
o
 
e
m
 
m
300
700
20
vA(t)
vB(t)
t(s)
20
V
e
l
o
c
i
d
a
d
e
 
e
m
 
m
/
s
- 40
20
Exercício 11 (d, e)
I II
d) Df = sB(20s) – sA(20s) = 100m
e)
Exercício 12(a)
ti
P- R2 +- R1 +
1s
2s
R21,
s
yR2 = 0
tj
P- R2 +- R1 +
1s
2s
R21,s
221 sss R,1+=
221 sss R,1+=
Exercício 12(b)
Resolvendo os módulos chega-se a:
Esta é a expressão que relaciona as coordenadas de posição de dois 
observadores quando um deles está em movimento, neste exemplo, o 
observador 2. 
Ela é inteiramente geral, válida em qualquer instante de tempo t de 
qualquer movimento retilíneo. Escreve-se:
2P21P
sss
R,1+=O resultado anterior, , será o mesmo em qualquer instante de tempo t.
2P21Psss
R,1+=
)()()( ,1 ttt R2P21P sss +=
Exercício 12(c)
R2
- R1 +
V
R2 é um ponto móvel. Seu movimento, segundo o observador 1,
é descrito pela função s1,R2(t).
Condições iniciais: s1,R2(0) = 0; s1,R2´(0) = V
s1,R2(t) = a + bt, movimento uniforme pois V é dado como constante.
Na função sR2(t) tem-se então, a=0 e b=V logo,
s1,R2(t) = V t
Exercício 12 (d ,e)
O movimento de Patrícia é descrito pelas funções s1(t) e s2(t), 
segundo os observadores 1 e 2, respectivamente.
Do item (b), temos: s1(t) = s2(t) + s1,R2(t) 
Derivando cada lado da igualdade:
s1(t)´ = s2(t)´ + s1,R2(t)´ ou
v1 (t) = v2(t) + V
(e) v2(t) é a velocidade de Patrícia segundo 2, que está dentro do 
trem; vale 0,5 m/s. 
V, velocidade do trem, em relação ao referencial fixo, é igual à 
medida feita pelo instrumento instalado no próprio trem, pois 
este, como o velocímetro dos carros, mede sua velocidade 
relativamente ao trilho, fixo. Então, V = 5,0 m/s e
v1(t) = 0,5 + 5,0 = 5,5 m/s Resp.: 5,5m/s
(d)
Exercício 13
A expressão obtida em 12(d) 
v1 (t) = v2(t) + V
é enunciada genericamente da seguinte forma:
“A velocidade do corpo segundo o referencial fixo é igual à 
velocidade do corpo segundo o referencial móvel somada à 
velocidade do referencial móvel segundo o referencial fixo.”
Exercício 14
O enunciado genérico (Ex.13) é reproduzido abaixo:
“A velocidade do corpo segundo o referencial fixo é igual à 
velocidade do corpo segundo o referencial móvel somada à 
velocidade do referencial móvel segundo o referencial fixo.”
Fazendo as seguintes considerações:
Referencial fixo: –R+
Referencial móvel : carro 1 (C1)
Corpo: carro 2 (C2)
O enunciado fica:
“A velocidade do carro 2 segundo o referencial fixo é igual à 
velocidade do carro 2 segundo o carro 1 somada à 
velocidade do carro 1 segundo o referencial fixo.”
Exercício 14
.velocidade do carro 2 segundo o referencial fixo: 60 km/h
.velocidade do carro 2 segundo o carro 1: vC1
C2 (a calcular)
.velocidade do carro 1 segundo o referencial fixo: 50km/h
Usando o enunciado:
(i) 60 km/h = vC1
C2 + 50 km/h ∴∴∴∴ vC1
C2 = 60 – 50 = 10km/h
(ii) -60 km/h = vC1
C2 + 50 km/h ∴∴∴∴ vC1
C2 = - 110 km/h
Para as velocidades relativas tomam-se os módulos
(i) 10km/h carros no mesmo sentido
(ii) 110 km/h carros em sentidos contrários