Aula 15 gabarito

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Movimento no Plano
Gabarito
Aula 15
Segmento que representa o módulo da coordenada s do corpo, 
coordenada sobre a trajetória. 
(1)
+
R 
-
-
R
+
(4)
+ R -
(3)
(2)
-R+
Exercício 1 - revisão
b) (3) e (4); coordenadas negativas.
a)
+ 
R
-
(b)
s
+ R - (a)
s
ss −=
ss =
Exercício 2
s < 0
s > 0
s: coordenada sobre a trajetória curvilínea. 
Um ponto P de um determinado corpo move-se
sobre a trajetória mostrada na FIG.2. A referência R
e convenção de sinais escolhidas pelo observador
estão indicadas na figura. A função que descreve a
posição de P foi obtida, valendo s(t) = 25 – 50 t
(cm,s). Considere a escala 1:10.
FIG. 2
- R +C
A
B
Exercício 3 – coordenada sobre a trajetória
a)Represente, na FIG. 2, o ponto P nos instantes t=0 
(ponto A) e t=1s (ponto B).
s(0) = 25 cm; s(1s) = -25 cm.
b)Em que instante de tempo o ponto passa por R? 
s(tR) = 0 ; 0 = 25 – 50 tR; Resp.: tR = 0,5s.
c)Deslocamento entre B e C?
sC = - 87,5 cm ; sB = -25 cm; Resp.: - 62,5 cm
FIG. 2
- R +C A
B
Exercício 3 – cont.
a)A Fig.3 mostra o ponto P no instante t=0. O ponto
P move-se sobre a curva com velocidade constante
e igual a 3cm/s, no sentido de P para R, obtenha a
função s(t).
s(t) = a + bt; a = s(0) = -9 cm;
b = v = 3 cm/s;
Resp.: s(t) = - 9 + 3 t (cm,s).
FIG. 3
+ R -
6 cm
P
Exercício 4 – coordenada sobre a trajetória
3 6
9
- 9
t(s)
s(cm)
b) Gráfico s-t
Exercício 4 (b e c)
c) Não. A coordenada s pode ter sido medida 
sobre uma curva qualquer e a função s(t) fornece 
apenas o resultado final da medida no instante t.
O ponto p é a projeção 
ortogonal de P sobre a
reta.
P
p
90o
Exercício 5 Noções preliminares 
para definição das 
coordenadas 
cartesianas:
projeção ortogonal
de um ponto é um 
outro ponto. 
x(cm)
y(cm)
J
x(cm)
y(cm)
J
Segmento verde: módulo de xJ
Segmento vermelho: módulo de yJ
Observador 1
xJ ≅≅≅≅ 18 m yJ ≅≅≅≅ 17m
Observador 2
xJ ≅≅≅≅ 11 m yJ ≅≅≅≅ - 9 m
Exercício 6 (a)
x(cm)
y(cm)
J
x(cm)
y(cm)
Referência escolhida por 1
Referência escolhida por 2
Os desenhos feitos por 1 e 2 foram superpostos
para mostrar a disposição espacial dos dois
sistemas de referência.
Exercício 6 (b)
O comprimento de cada
segmento é igual ao módulo da
coordenada correspondente.
vermelho: t=0.
azul : t=15s.
t(s) x(m) y(m)
0 5,6 -4,6
15 - 4,6 4,4
22 -7,8 -1,8
y (m)
x(m)0
t=0
t=15s
t=22s
Exercício 7
Função yexp(t)
Domínio : 0; 15s; 22s
Imagem: -4,6m; 4,4m; -1,8m
x
y
P
Py
Px
x
y
Os pontos Px e Py : projeções de P sobre os 
eixos cartesianos.
x e y: 
coordenadas 
cartesianas de P 
na representação 
geométrica 
x
y
P Py
Px
módulo de x: 
distância da 
origem a Px.
x < 0
módulo de y: 
distância da 
origem a Py.
y > 0
Representação geométrica da coordenada 
cartesiana: comprimento do segmento é o módulo
da coordenada 
0 x 
y 
Decomposição do movimento
Px e Py : pontos móveis
x(cm)
y(cm)
0
A
B
C
D
Posições de Px
c) Função modelo para o movimento de Px: x(t) = 14 + 53t (cm,s)
Supomos válida para 0 ≤ t ≤ 1,5 s (não conhecemos o movimento de P 
em tempos maiores do que 1,5 s e menores do que 0)
t(s) xexp (cm)
0,0 25
0,5 40
0,9 60
1,5 93
b) Função amostragem xexp(t)
Exercício 8
a) 
d) Segundo a amostragem: vAC = (yexp(0,9s) - yexp(0))/0,9s ≅≅≅≅ 19 cm/s 
Num dado sistema de referência, as projeções Px e Py de um
ponto P movem-se segundo as funções:
x(t) = 30 + 20t (cm,s)
y(t) = 15 t2 (cm,s)
Suas velocidades são dadas pelas funções:
x´(t) = 20 cm/s
y´(t) = 30 t (cm,s)
Respostas:
a) 20 = 30t ∴ t = 2/3
≅ 0,67s < 2s; sim
x’’(t) = 0
y’’(t) = 30 cm/s2
b)
Exercício 9
y(m)
x(m)
200
300
P FIG. 7
θ
A
B
Determine
No sistema de referência da figura, a reta suporte
do movimento de P é dada por:
y(x) = 200 - βx (x, y em metro) 
o valor de β: β = - coeficiente angular da reta = -(- 200/300) =
β = 2/3: é adimensional 
cos θ : cos θ = 200/ (2002 + 3002)1/2 ≅≅≅≅ 0,55
sen θ : sen θ = 300/ (2002 + 3002)1/2 ≅≅≅≅ 0,83 
tg θ : tg θ = sen θ/ cos θ = 0,83/0,55 ≅≅≅≅ 1,51
distância entre A e B: d = (2002 + 3002)1/2 ≅≅≅≅ 361 m
Exercício 10
x(cm)40 50 60 70302010 80 90 100 110 120
Proporções corretas:
30 cm
60 cm
30 cm
30 
cm
30 
cm
0
Desenho da cadeira 
segundo
as escalas desiguais 
dos eixos
João
Exercício 11
y (cm)
150
90
120
60
30
x(cm)40 50 60 70302010 80 90 100 110 120
0
Coeficiente angular e tangente num sistema cartesiano errado
ficam diferentes. Veja o que acontece com a reta.
y (cm)
150
90
120
60
30
αααα = 45º
Neste gráfico as escalas são diferentes. 
Consequência disto: o coeficiente angular da 
reta (2,59) é diferente de tg αααα (1)....
∴∴∴∴ tg αααα = 1 
∆y = 77,65 cm
medido na escala do eixo y
∆x = 30,00 cm
medido na escala
do eixo x
coeficiente angular 
da reta= ∆∆∆∆y/ ∆∆∆∆x = 2,59
reta
segmentos
projeções
Neste exemplo as projeções
dos extremos coincidem e o
segmento projetado se
confunde com um ponto. Tem
tamanho nulo.
As retas tracejadas estão
separadas no desenho para
visualização.
Exercício 12
reta
segmentos
45o
(a) (b)
θ
(c)
(d)
3 . cos 45º
≅≅≅≅ 2,12 cm
3 cm
2,5 . sen θ
em cm
0
Exercício 13
3cm
[ F ] No instante t=0, a sombra x do ponto P encontra-se em A.
[ V ] Quando P atinge o ponto B sua sombra y está em C.
[ V ] No instante em que a coordenada y de P é igual a zero, a sombra x 
coincide com o ponto P.
[ F ] A equação da trajetória de P é y(x) = 0,80 + (4/3) x (x e y em m).
[ F ] A equação da trajetória de P é y(x) = 0,80 - (8/9) x (x e y em m).
[ V ] O movimento da sombra x é dado pela função x(t)=0,36 t (m,s).
[ F ] Em t=0 tem-se x(t=0) =0 e y(t=0) = 0.
[ V ] O ponto P atinge B no instante t = (10/3) s.
[ V ] A distância percorrida pelo ponto P é 2m.
[ F ] A distância percorrida pela sombra y é igual a zero.
Exercício 14