Aulas 09 a 12 - Corrente Estacionária

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EE 521EE 521
Introdução à Teoria EletromagnéticaIntrodução à Teoria Eletromagnética
Corrente
Estacionária
Quadro 2
Corrente Estacionária Corrente Estacionária 
� Corrente e densidade de corrente.
� Velocidade de cargas e fluxo da corrente
� Equação da continuidade.
� Classificação dos materiais.
� Condutores.
� Lei de Ohm.
� Resistência elétrica.
� Força eletromotriz.
Quadro 3
Corrente Estacionária Corrente Estacionária 
� Lei de Joule.
� Condições de contorno condutores (perfeitos 
ou não).
� Materiais dielétricos.
� Tempo de relaxação.
� Condições de contorno envolvendo 
dielétricos (perfeitos ou não).
� Capacitância e exemplos.
Quadro 4
Introdução
� Chegou a hora de se observar a aplicação das leis e 
dos métodos vistos até agora a alguns materiais com 
os quais se pode precisar trabalhar na prática. 
� Após a definição de corrente e densidade de corrente, 
e tendo desenvolvido a equação fundamental da 
continuidade, o condutor será apresentado.
� Na sequência, define-se a Lei de Ohm em suas duas 
formas, microscópica e macroscópica. 
� Com estes resultados, será possível definir resistência 
e determinar valores para algumas das formas 
geométricas mais simples que os resistores podem 
assumir.
Quadro 5
Introdução II
� Mais adiante, as considerações de força eletromotriz 
poderão ser traçadas, resultando na lei de Kirchhoff
para tensões. 
� A equação da continuidade é então usada para 
também definir a lei de Kirchhoff para correntes e, 
mais tarde, para se obter o tempo de relaxamento do 
material. 
� A lei de Joule pode então ser introduzida e a 
dissipação de energia calculada. 
� As condições de contorno a que as superfícies dos 
condutores devem estar submetidas serão obtidas.
Quadro 6
Introdução III
� Depois de uma breve consideração geral sobre o 
semicondutor, a polarização de materiais elétricos 
será investigada, com a introdução da permissividade 
relativa, ou constante dielétrica. 
� As condições de contorno dos dielétricos serão 
também obtidas.
� Conhecendo-se condutores e dielétricos, chega-se aos 
capacitores e alguns exemplos serão analisados. 
� Os princípios fundamentais do eletromagnetismo de 
que dependem resistores e capacitores serão nesta 
etapa estudados, ficando o indutor para mais tarde.
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Quadro 7
Corrente
� Cargas elétricas em movimento constituem uma corrente, 
medida em ampère (A) → a corrente é definida como a razão 
em que o movimento de cargas, passando por um 
determinado ponto ou atravessando um determinado plano de 
referência, constitui-se em 1 coulomb por segundo:
� A corrente é, então, definida como o movimento de cargas 
positivas, embora a condução nos metais seja constituída pelo 
movimento de elétrons.
� Na teoria dos campos, o interesse é, em geral, em situações 
que ocorrem em um ponto em vez de numa grande região →
assim, o conceito de densidade de corrente, medida em 
ampères por metro quadrado (A/m2) se torna mais útil. 
dt
dQI =
Quadro 8
Densidade de corrente
� Densidade de corrente é um vetor representado por J →
seja o incremento de corrente ∆I que atravessa uma 
superfície incremental ∆S que é normal à densidade de 
corrente, de maneira que:
� No caso mais geral em que a densidade de corrente não é 
perpendicular à superfície, generaliza-se para:
� A corrente total é, então, dada por: 
SJI n∆=∆
SJI
rr
∆⋅=∆
∫ ⋅= S SdJI
rr
Quadro 9
Densidades de corrente e de carga
� A densidade de corrente pode ser relacionada à velocidade de 
deslocamento de uma densidade volumétrica de carga em um ponto. 
� Considere o elemento de carga da figura, tal que:
� Para simplificar a apresentação, 
considera-se que o elemento 
volumétrico de carga esteja orientado 
com os seus eixos paralelos aos eixos 
coordenados e que possua somente a 
componente x da velocidade. 
LSvQ vv ∆∆=∆=∆ ρρ
v
Quadro 10
Densidade de corrente e de carga
� No intervalo de tempo ∆t, o elemento de carga moveu-se uma distância ∆x, 
conforme mostrado na figura. 
� Para o deslocamento do incremento de carga através de um plano de 
referência perpendicular à direção do movimento, em um intervalo 
incremental de tempo ∆t, a corrente resultante fica:
LSvQ vv ∆∆=∆=∆ ρρ
xSQ v ∆∆=′∆ ρ
xvv vSt
xS
t
QI ∆=
∆
∆∆=
∆
′∆
=∆ ρρ
xvx vS
IJ ρ=
∆
∆
=
vJ v
rr ρ=
Quadro 11
ComentáriosComentários
� A última equação demonstra muito claramente que a 
carga em movimento constitui uma corrente. 
� Este tipo de corrente é denominado corrente de 
convecção e ρvv é a densidade de corrente de 
convecção. 
� Note que a corrente de convecção é linearmente 
relacionada à densidade volumétrica de carga assim 
como à velocidade.
Quadro 12
Exemplo 1
Dado J = 10y2z ax – 2x2y ay + 2x2y az A/m2, determine (a) a 
corrente total atravessando a superfície x = 3, 2 ≤ y ≤ 3, 3,8 ≤
z ≤ 5,2, na direção ax, e (b) o módulo da densidade de 
corrente no centro desta área.
( ) ( )∫ ∫∫ ⋅+−=⋅=
2,5
8,3
3
2
222
ˆˆ2ˆ2ˆ10 xzyx
S
adydzayxayxazySdJI
rr
(a) Deve-se aplicar a relação entre a corrente e a densidade de 
corrente: 












==⋅= ∫ ∫∫
2,5
8,3
23
2
3
2,5
8,3
3
2
2
2
1
3
11010 zydydzzySdJI
S
rr
A399=I
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Quadro 13
Exemplo 1 (cont.)
(b) Para o módulo da densidade de corrente no centro desta 
área, deve-se determinar o ponto central. Assim, para as 
coordenadas já informadas, o ponto é (3; 2,5; 4,5). Assim:
( )
( ) ( ) 242424
222
44100,,,,
ˆ2ˆ2ˆ10,,
zxyxzyzyxJzyxJ
azxayxazyzyxJ zyx
++==
+−=
r
r
( ) 2A/m1,2965,4;5,2;3 =J
Quadro 14
Conservação das cargasConservação das cargas
� Embora se suponha o estudo de campos estáticos no 
tempo, a introdução do conceito de corrente é 
logicamente seguida de uma discussão sobre a 
conservação de cargas e a equação da continuidade. 
� O princípio da conservação da carga estabelece 
simplesmente que as cargas não podem ser nem 
destruídas e nem ser criadas.
� Contudo, quantidades iguais de carga positiva e 
negativa podem ser simultaneamente criadas, obtidas 
por separação, destruídas ou perdidas por 
recombinação. 
Quadro 15
Equação da continuidadeEquação da continuidade
� A equação da continuidade decorre do princípio da 
conservação da carga, quando se considera uma região 
confinada por uma superfície fechada. 
� A corrente através da superfície fechada é:
� Este é o fluxo para fora da superfície, fluxo de cargas positivas, 
que deve ser balanceado por um decréscimo de cargas 
positivas (ou talvez um acréscimo de cargas negativas). 
� Dentro da superfície fechada, a carga denotada por Qi
decresce, então, numa razão de -dQi/dt, e o princípio da 
conservação de cargas requer, então:
∫ ⋅= S SdJI
rr
dt
dQSdJI i
S
−=⋅= ∫
rr
Quadro 16
ComentáriosComentários
� É bom responder a uma pergunta frequente: "Não há erro de 
sinal? Não seria I = dQ/dt?".
� A presença ou a ausência de sinal negativo depende de que 
carga e que corrente é considerada. 
� Na teoria de circuitos, associa-se o fluxo de corrente em um 
terminal de um capacitor com a razão no tempo do acréscimo 
de cargas na placa correspondente. 
� No caso da corrente da equação anterior, tem-se um fluxo 
para fora → a definição de corrente como movimento de carga 
envolve contagem de elementos de carga fluindo de algum 
lugar para outro. 
� Se fosse o contrário, o incremento de carga ∆Q representaria 
um acréscimo na quantidade de carga para um dado sentido 
em relação a um ponto de referência, e, a corrente nessa 
região deveria, então, ser dada por +dQ/dt.
Quadro 17
AplicandoAplicando--se o teorema da divergênciase o teorema da divergência� A última equação mostra a chamada forma integral da equação 
da continuidade.
� A forma diferencial ou pontual da equação da continuidade é a 
forma obtida mudando-se a integral para uma integral de 
volume pelo teorema da divergência:
� A derivada transforma-se em derivada parcial (ρv pode 
depender do espaço) ao fazê-la aparecer dentro da integral, de 
maneira que, no final:
( ) 






−=⋅∇=⋅ ∫∫∫
volume
v
volume
S
dv
dt
ddvJSdJ ρ
rrrr
t
J v
∂
∂
−=⋅∇ ρ
rr
Quadro 18
InterpretandoInterpretando
� Lembrando a interpretação física de divergência, esta 
última equação indica que a corrente ou carga por 
segundo que sai de um pequeno volume é igual à 
razão de decréscimo de carga por unidade de volume 
em cada ponto.
� A aplicação deste princípio será mais explorado 
quando do estudo do fluxo de carga do interior de 
superfícies em condutores e dielétricos.
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Quadro 19
Exemplo 2
Numa região próxima à origem, há uma densidade de corrente 
apontando radialmente para fora, dada por J = 10r -1,5 ar
A/m2. (a) Qual é a corrente que atravessa a superfície esférica 
r = 1 mm? (b) Qual é a taxa de variação de ρv para r = 1 mm? 
(c) Com que taxa está aumentando a carga no interior da 
esfera r = 1 mm?
( ) ( )[ ]
( ) A40
ˆsinˆ10
2
0 0
25,1
rrI
addrarSdJI rr
S
pi
φθθ
pi pi
=
⋅=⋅= ∫ ∫∫
−
rr
(a) Deve-se aplicar a relação entre a corrente e a densidade de 
corrente, assumindo coordenadas esféricas: 
( ) A97,3mm1 =I
Quadro 20
Exemplo 2 (cont.)
(b) A taxa de variação de ρ é obtida utilizando-se a equação da 
continuidade e calculando-se o divergente de J para r = 1 mm:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )smC1058,1mm1
101
5
mm1
5
1011
38
53
5
5,12
2
2
2
×−=
∂
∂
×
−=
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
−=⋅∇−=
∂
∂
−
−
t
t
r
r
t
rr
rr
Jr
rr
J
t
v
v
v
r
v
ρ
ρ
ρ
ρ rr
Quadro 21
Exemplo 2 (cont.)
(c) A taxa com que a carga no interior da esfera deve 
aumentar para compensar a carga que deixa a superfície de r
= 1 mm é obtida diretamente dos fundamentos que acabam 
por definir a equação da continuidade:
∫ ⋅=−= S
i SdJ
dt
dQI
rr
( )
( ) sC97,3mm1
40
−=
−=
dt
dQ
rr
dt
dQ
i
i pi
Porém, este resultado já foi calculado no item (a), pois 
considerou-se a superfície em questão como fechada (casca 
esférica). Desta forma, pode-se escrever que:
Quadro 22
Fluxo em materiaisFluxo em materiais
� Os físicos descrevem o comportamento dos elétrons em torno do núcleo 
positivo do átomo em função da energia total do elétron em relação a uma 
referência zero para um elétron no infinito. 
� A energia total é a soma da energia cinética com a potencial.
� Como energia deve ser dada a um elétron para puxá-lo para fora o núcleo, 
a energia de cada elétron em um átomo é uma quantidade negativa.
� Mesmo que esse modelo tenha algumas limitações, é conveniente associar 
estes valores de energia com órbitas em torno do núcleo, sendo as energias 
mais negativas correspondentes às órbitas de menor raio. 
� De acordo com a teoria quântica, somente níveis discretos de energia ou 
estados de energia são permitidos em um dado átomo e o elétron deve, 
portanto, absorver ou emitir quantidades discretas de energia, ou quanta, 
para passar de um nível a outro. 
� Um átomo normal na temperatura zero absoluto tem um elétron que ocupa 
cada um dos mais baixos níveis de energia, começando a partir do núcleo e 
continuando até que o suprimento de elétrons seja esgotado.
Quadro 23
Condutor metálicoCondutor metálico
� Em um sólido cristalino, como metal ou diamante, os átomos são dispostos 
muito próximos, muitos elétrons estão presentes e outros níveis de energia 
são permissíveis por causa das forças de interação entre os átomos. 
� Verifica-se que as energias que podem ser atribuídas aos elétrons estão 
agrupadas em largas faixas, ou bandas, cada uma constituindo níveis 
discretos muito numerosos e próximos. 
� Na temperatura zero absoluto, um sólido normal tem cada nível ocupado, 
começando do mais baixo e prosseguindo até que todos os elétrons
estejam localizados. 
� Os elétrons com níveis mais altos de energia, ou elétrons de valência, estão 
localizados na banda de valência. 
� Se existem níveis permissíveis mais altos na banda de valência ou se a 
banda de valência entra levemente na banda de condução, então uma 
quantidade adicional de energia cinética pode ser dada por um campo 
externo, aos elétrons de valência, resultando num fluxo de elétrons. 
� Este sólido é chamado condutor metálico. 
Quadro 24
Fluxo em materiaisFluxo em materiais
� Mostram-se, abaixo, as bandas de valência preenchidas e as 
bandas de condução vazias para diferentes materiais a 0 K.
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Quadro 25
Isolante e semicondutorIsolante e semicondutor
� Se o elétron ocupar o nível mais alto da banda de valência e se 
existir uma faixa de energia proibida (gap) entre as bandas de 
valência e condução, então o elétron não pode aceitar uma 
quantidade adicional de energia em pequenas quantidades e o 
material é um isolante. 
� Observar que, se uma quantidade muito grande de energia 
puder ser transferida para o elétron, ele pode ser 
suficientemente excitado para pular a faixa proibida, para 
dentro da região onde a condução pode ocorrer facilmente →
ruptura do isolante (ou ruptura do dielétrico).
� Uma condição intermediária ocorre quando somente uma 
pequena região proibida separa duas bandas → pequenas 
quantidades de energia em forma de calor, luz, ou campo 
elétrico, podem aumentar a energia do elétron no topo da 
banda completa e prover a base para a condução. 
� Estes materiais são “isolantes" que dispõem de muitas 
propriedades dos condutores e são chamados semicondutores.
Quadro 26
Avaliando o condutorAvaliando o condutor
� Seja um condutor, onde os elétrons de valência, ou de condução ou livres, 
movem-se sob influência de um campo elétrico. 
� Com o campo E, um elétron tendo uma carga Q = -e sofrerá uma força tal 
que:
� No espaço livre, este elétron aceleraria e sua velocidade (e energia) 
cresceria continuamente.
� Num material cristalino, o deslocamento do elétron é impedido por 
contínuas colisões com a estrutura cristalina termicamente excitada e uma 
velocidade média constante é logo atingida. 
� Esta velocidade vd é chamada velocidade de arrastamento (drift) e é 
linearmente relacionada à intensidade de campo elétrico pela mobilidade µe
do elétron no dado material.
EeF
rr
−=
Ev ed
rr µ−=
Quadro 27
Mobilidade e velocidadeMobilidade e velocidade
� Para bons condutores, como o alumínio, cobre, ouro e prata, a velocidade 
de drift de alguns centímetros por segundo é suficiente para produzir um
sensível aumento da temperatura e poder causar o derretimento do fio se o 
calor não for rapidamente removido por condução térmica ou irradiação. 
� Seja condutor, onde os elétrons de valência, ou de condução, ou livres, 
movem-se sob influência de um campo elétrico, pode-se obter por 
substituição que: 
� Na equação acima, ρe é a densidade de carga do elétron livre, já que a 
densidade de carga total ρv é zero, pois cargas iguais positivas e negativas 
estão presentes no material neutro. 
� Para um condutor, a relação mais usual entre J e E é dada pela 
condutividade σ, definindo a chamada forma pontual ou local da Lei 
de Ohm:
EJ
rr
σ=
EJ ee
rr
µρ−=
Quadro 28
Alguns valoresAlguns valores
6,17 × 1070,0056PRATA
5,80 × 1070,0032COBRE
3,82 × 1070,0012ALUMÍNIO
σ (S/m)µe (m2/V.s)MATERIAL
Quadro 29
Condutividade e resistênciaCondutividade e resistência
� A condutividade é uma função da temperatura. 
� A resistividade, que éo inverso da condutividade, 
varia quase linearmente com a temperatura em torno 
da temperatura ambiente.
� Para o alumínio, cobre e prata, a resistividade cresce 
cerca de 0,4% para cada 1 K de crescimento na 
temperatura.
� Para vários materiais a resistividade cai abruptamente 
a zero à temperatura de alguns graus Kelvin →
propriedade da supercondutividade. 
� Cobre e prata não são supercondutores, embora o 
alumínio o seja (para temperaturas abaixo de 1,14 K).
Quadro 30
Isotropia e anisotropiaIsotropia e anisotropia
� Os condutores metálicos obedecem à Lei de 
Ohm com rigor e ela é uma relação linear. 
� A condutividade é constante em largas faixas 
de densidade de corrente e de intensidade de 
campo elétrico. 
� A Lei de Ohm e os condutores metálicos são 
também descritos como isotrópicos, ou seja, 
têm iguais propriedades em todas as direções. 
� Um material que não é isotrópico é chamado 
anisotrópico (será visto oportunamente).
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Quadro 31
Condutividade e mobilidadeCondutividade e mobilidade
� Das duas equações definidas anteriormente, pode-se 
concluir que: 
� Da definição de mobilidade, é interessante notar que 
uma temperatura mais alta implica maior vibração dos 
átomos ou moléculas da estrutura cristalina, causando 
um maior impedimento ao deslocamento do elétron 
para um dado campo elétrico.
� Assim, com a maior temperatura, a velocidade de drift
fica mais baixa e, consequentemente, a mobilidade, 
levando a condutividade a ser mais baixa e 
resistividade mais alta.
eeµρσ −=
Quadro 32
Lei de Ohm macroscópicaLei de Ohm macroscópica
� A aplicação da Lei de Ohm de um ponto de vista 
macroscópico (visível a olho nu) leva a uma relação 
mais familiar, provavelmente vista em cursos de 
circuitos elétricos.
� Inicialmente, considera-se que J e E sejam uniformes 
conforme mostrado na região cilíndrica abaixo.
b a
Quadro 33
ResistênciaResistência
� Sendo J e E uniformes, então: 
� A relação entre a diferença de potencial entre os dois terminais do cilindro 
para a corrente que entra no terminal positivo, contudo, é identificada a 
partir da teoria elementar de circuitos como resistência do cilindro e, 
portanto:
I
S
LV
L
VE
S
IJ
ELVLELELdELdEV
JSSdJI
baab
a
b
a
b
ab
S
σ
σσ =∴⇒===
=⇒⋅=⋅−=⋅−=⋅−=
=⋅=
∫∫
∫
rrrrrrrr
rr
S
LReRIV
σ
==
Quadro 34
Resistência para campo não uniformeResistência para campo não uniforme
� A última equação é a conhecida Lei de Ohm e permite a 
obtenção da resistência R, medida em ohms (Ω), de objetos 
condutores que possuam campos uniformes. 
� Se os campos não forem uniformes, a resistência pode ainda 
ser definida pela relação entre V e I, onde V é a diferença de 
potencial entre as duas superfícies especificadas no material e 
I é a corrente total que atravessa a superfície mais positiva 
dentro do material. 
� Trabalhando um pouco com as equações integrais definidas 
anteriormente e a Lei de Ohm, pode-se escrever uma 
expressão geral para a resistência quando os campos são não 
uniformes: 
∫
∫
⋅
⋅−
==
S
a
bab
SdE
LdE
I
VR rr
rr
σ
Quadro 35
ObservaçãoObservação
� Na equação anterior:
– a integral de linha é tomada entre duas equipotenciais no 
condutor e a integral de superfície é tomada sobre a mais 
positiva destas duas equipotenciais. 
� Com o que foi desenvolvido até momento, ainda não 
se pode resolver problemas não uniformes, porém, 
isto será possível de ser feito oportunamente. 
� Como um exemplo da determinação da resistência de 
um cilindro, considere um fio de cobre de 1 mm de 
raio e 820 m de comprimento. 
� A área da seção reta é, portanto, pi x 10-6 m2, e a 
resistência do fio é de R = 4,5 Ω.
Quadro 36
Exemplo 3
Determine o módulo da densidade de corrente no interior de 
uma amostra de alumínio se: (a) a intensidade do campo 
elétrico é 70 mV/m; (b) a velocidade de arrastamento dos 
elétrons é 10-4 m/s; (c) a amostra tem a forma de um cubo de 
1 mm de lado, onde flui uma corrente total de 2,5 A; (d) a 
amostra tem a forma de um cubo de 1 mm de lado, com uma 
diferença de potencial de 75 µV entre faces opostas.
237 mMA6,210701082,3 =→×××=
===→=
− JJ
EEJJEJ AlAlAl σσσ
rrrr
(a) Da tabela anterior, deve-se utilizar o valor de condutividade 
para o alumínio de 3,82 × 107 S/m. Além disto: 
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Quadro 37
Exemplo 3 (cont.)
(b) o módulo da densidade de corrente no interior de uma 
amostra de alumínio quando a velocidade de arrastamento dos 
elétrons é 10-4 m/s pode ser obtida utilizando-se o valor da 
mobilidade dado na tabela anterior:
mmV3,83
102,1
10
3
4
=→
×
=
===→−=
−
−
EE
EEvvEv eedded µµµ
rrrr
237 mMA18,3103,831082,3 =→×××=
=
− JJ
EJ Alσ
Quadro 38
Exemplo 3 (cont.)
(c) o módulo da densidade de corrente no interior de uma 
amostra de alumínio quando se tem uma amostra que tem a 
forma de um cubo de 1 mm de lado e onde flui uma corrente 
total de 2,5 A é obtida, para esta figura geométrica simples, 
por meio de:
( )
2
23
mMA5,2
101
5,2
=
×
=
=
⋅=
−
∫
J
J
JAI
SdJI
S
rr
Quadro 39
Exemplo 3 (cont.)
(d) o módulo da densidade de corrente no interior de uma 
amostra de alumínio quando se tem uma amostra que tem a 
forma de um cubo de 1 mm de lado, com uma diferença de 
potencial de 75 µV entre faces opostas, pode ser obtida 
utilizando-se a forma macroscópica da lei de Ohm:
2
3
67
mMA86,2
101
10751082,3
=
×
×××
=
=






=
====
−
−
JJ
L
VJ
A
A
L
VJ
RA
V
A
IJ
R
VIRIV
Al
Al
σ
σ
Quadro 40
Exemplo 4
Encontre a tensão entre os terminais de um condutor de cobre 
se ele: (a) tem uma seção reta circular com um diâmetro igual 
a 1,778 x 10-4 m, seu comprimento é igual a 30,48 m e 
transporta uma corrente de 8 mA; (b) é um cilindro vazado de 
raio interno de 2 mm, raio externo de 3 mm, cujo comprimento 
é 200 m e conduz uma corrente de 20 A.
( ) V169,0108210788,1108,5
48,30 3
247
2
=→×
××
=
=→=→=
−
−
VV
I
r
LVI
A
LVRIV
CuCu
pi
piσσ
(a) Para uma seção reta circular, de diâmetro igual a 1,778 x 
10-4 m e comprimento é igual a 30,48 m, e utilizando-se o valor 
de condutividade para o cobre de 5,80 × 107 S/m, pode-se 
utilizar a forma macroscópica da lei de Ohm: 
Quadro 41
Exemplo 4 (cont.)
(b) Para um cilindro vazado de raio interno de 2 mm, raio 
externo de 3 mm e comprimento é 200 m, e assumindo uma 
corrente de 20 A, repete-se o procedimento do item (a)
( )
( ) ( )[ ]
V39,4
20
102103108,5
200
23237
22
=
×−××
=
−
=→=→=
−−
V
V
I
rr
LVI
A
LVRIV
inoutCuCu
pi
pipiσσ
Quadro 42
Campo conservativo e a integral de linhaCampo conservativo e a integral de linha
� Anteriormente, foi demonstrado que o campo elétrico 
estático é conservativo e que integral de linha de E
em torno de qualquer superfície fechada é zero.
� Para um material ôhmico, pode-se escrever que:
� A equação acima afirma que uma corrente estática 
não pode ser mantida na mesma direção em um 
circuito fechado por um campo eletrostático.
� Uma corrente estacionária num circuito é resultado do 
movimento de portadores de cargas, os quais, em 
seus caminhos, colidem com átomos e dissipam 
energia no circuito.
010 =⋅⇒=⋅ ∫∫ LdJLdE
rrrr
σ
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Quadro 43
Energia para o circuitoEnergia para o circuito
� Esta energia deve vir de um campo não conservativo, 
uma vez que um portador de carga completando um 
circuito fechado num campo conservativo não ganha 
nem perde energia.
� A fonte para o campo não conservativo pode ser 
baterias elétricas, geradores elétricos, células 
fotovoltáicasou outros dispositivos.
� Estas fontes elétricas de energia, quando conectadas 
a um circuito elétrico, são consideradas como fontes 
da força que atuam nos portadores de carga.
� Esta força se manifesta como um vetor intensidade de 
campo elétrico equivalente que é sobreposto ao 
circuito. 
Quadro 44
Energia para o circuitoEnergia para o circuito
� Considere uma bateria elétrica com dois eletrodos 1 e 2, como 
no diagrama mostrado abaixo.
� Uma reação química cria um acúmulo de cargas positivas e 
negativas respectivamente nos eletrodos 1 e 2.
� Estas cargas geram uma intensidade de campo elétrico E
dentro e fora da bateria.
+ +
++
+ + –
–
–
––
–
–
–
–
–
+
+
+
+ E
Ei
21
Quadro 45
Força eletromotrizForça eletromotriz
� Dentro da bateria, E deve ser de magnitude igual, porém, de 
sentido oposto a um Ei não conservativo, produzido pela 
reação química, pois não há fluxo de corrente numa bateria 
aberta e a força líquida agindo nos portadores de carga deve 
ser nula.
� A integral de linha de Ei do eletrodo negativo para o positivo 
no interior da bateria é definida como força eletromotriz (fem) 
da bateria. + +++
+ + –
–
–
––
–
–
–
–
–
+
+
+
+ E
Ei
21
Quadro 46
Calculando a Calculando a femfem
� A unidade de medida da fem é volt (V), apesar do 
nome desta grandeza ser “força” e dar a idéia de que 
a medida seria em newton (N).
� A fem é uma medida da potência (strength) de uma 
fonte não conservativa.
� Para E, vale que:
∫∫ ⋅−=⋅=
1
2
1
2
fonte
interior
fem LdELdEi
rrrr
0
1
2
2
1
fonte
interior
fonte
exterior
=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ LdELdELdEC
rrrrrr
Quadro 47
A A femfem como diferença de potencialcomo diferença de potencial
� Combinando as últimas duas equações:
� Pela equação acima, a fem da fonte pode ser escrita 
como a integral de linha do campo conservativo E e 
interpretada como um aumento de tensão. 
� Apesar da natureza não conservativa de Ei, a fem
pode ser expressa como uma diferença de potencial 
entre os terminais positivo e negativo.
2112
2
1
femfem
fonte
exterior
VVVLdE −==⇒⋅= ∫
rr
Quadro 48
A A femfem e a lei de Ohme a lei de Ohm
� Quando um resistor semelhante ao estudado 
anteriormente é conectado aos terminais 1 e 2 da 
bateria, completando o circuito, a intensidade de 
campo elétrico total deve ser utilizada juntamente 
com a forma pontual da lei de Ohm, de maneira que:
� Deve-se esclarecer que Ei existe apenas no interior da 
bateria enquanto que E existe no interior e exterior 
da fonte.
( )iEEJ rrr += σ
© Aldário Bordonalli 9
Quadro 49
A lei de tensão de A lei de tensão de KirchhoffKirchhoff
� Rescrevendo-se a equação anterior e aplicando a integral de 
linha ao redor de um circuito fechado (neste caso, um circuito 
composto por bateria e resistor), tem-se que:
� Se o resistor tem uma dada condutividade, comprimento e 
área de seção transversal, a integral de linha da densidade de 
corrente pode ser rescrita como RI. 
� Se mais de uma fonte de força eletromotiva e mais de um 
resistor são considerados num caminho fechado, pode-se 
generalizar o resultado para: 
( ) fem1 =⋅=⋅+⇒=+ ∫∫
CC
ii LdJLdEE
JEE
rrrrr
r
rr
σσ
∑ ∑=
j k
kk IRjfem
Quadro 50
ComentáriosComentários
� A expressão anterior é uma representação da lei de 
tensão de Kirchhoff.
� Ela define que, em torno de um caminho fechado em 
um circuito elétrico, a soma algébrica das fem’s 
(aumento de tensão) é igual à soma algébrica das 
quedas de tensão nos resistores. 
� Ela se aplica a qualquer caminho fechado de uma 
rede.
� A direção do caminho seguido pode ser arbitrário, e 
as correntes nos diferentes resistores não são 
necessariamente as mesmas. 
� A lei de tensão de Kirchhoff é a base para a análise 
de malhas na teoria de circuitos. 
Quadro 51
A lei de corrente de A lei de corrente de KirchhoffKirchhoff
� O princípio da conservação da carga é um dos postulados 
fundamentais da física e estabelece que cargas não podem ser 
criadas ou destruídas e que todas as cargas, estejam elas em 
movimento ou em repouso, dever sempre ser contabilizadas.
� A consequência deste princípio foi a equação da continuidade 
vista anteriormente:
� No caso de correntes estacionárias, a densidade volumétrica 
de carga não varia com o tempo e, então: 
t
J v
∂
∂
−=⋅∇ ρ
rr
0=⋅∇ J
rr
Quadro 52
A lei de corrente de A lei de corrente de KirchhoffKirchhoff IIII
� A relação anterior é pontual e vale também quando a 
densidade de cargas é nula (fonte de fluxo nula). 
� Além disto, ela significa que as linhas de fluxo de correntes 
estacionárias se fecham sobre si (divergente do vetor nulo), ao 
contrário do que acontece para ao intensidade de campo 
elétrico, onde as linhas originam-se e/ou terminam em cargas.
� Assim, para qualquer superfície fechada:
� A equação acima pode ser, então, rescrita como: 
( ) 0=⋅∇=⋅ ∫∫
volume
S
dvJSdJ
rrrr
0=∑
j
jI
Quadro 53
Dissipação de potênciaDissipação de potência
� Anteriormente, quando da introdução dos 
condutores, foi mencionado que elétrons de 
condução num condutor sofrem um movimento 
macroscópico de arrasto quando sujeitos à 
influência de um campo elétrico.
� Do ponto de vista microscópico, estes elétrons 
colidem com átomos da estrutura cristalina. 
� Portanto, energia é transmitida do campo 
elétrico aos átomos em agitação térmica. 
Quadro 54
Trabalho e potênciaTrabalho e potência
� O trabalho ∆w feito por um campo elétrico E para mover uma carga q a 
uma distância ∆l é:
� A potência associada a este trabalho é dada por:
� Lembrando que, acima, vd é a velocidade de arrastamento, a potência total 
entregue aos portadores de carga num volume dv é: 
� Na expressão acima, N é o número de portadores de carga por unidade de 
volume.
lEqw
rr
∆⋅=∆
d
t
vEq
t
wp r
r
⋅=
∆
∆
=
→∆ 0
lim
dvvqNEpdP
i
idii
i
i 





⋅== ∑∑
rr
© Aldário Bordonalli 10
Quadro 55
Lei de JouleLei de Joule
� O termo entre parênteses da última equação é uma maneira alternativa de 
escrever:
� O produto escalar acima define uma densidade de potência sob condição de 
corrente estacionária, de forma que, para um dado volume V, a potência 
total convertida em calor é dada por:
� A equação acima define a lei de Joule → por exemplo, para um condutor 
com seção transversal constante tal que dv = ds.dl, onde dl é na direção de 
J, pode-se escrever que:
JE
dv
dP rr
⋅=
∫ ⋅= V dvJEP
rr
2RIPRIV
VIdsJdlEP
SL
=∴=
== ∫∫
Quadro 56
Propriedades dos condutoresPropriedades dos condutores
� Para se poder concluir sobre propriedades dos materiais, mais uma vez, por 
alguns instantes, as condições estabelecidas pelo regime estático devem ser 
deixadas de lado e permite-se ao tempo variar por uma fração de 
microssegundo → com isto, é possível ver o que acontece quando uma 
distribuição de cargas é subitamente desbalanceada dentro de um material 
condutor.
� Suponha que, para argumentar, de repente, apareça um certo número de 
elétrons dentro de um material condutor. 
� Campos elétricos são estabelecidos por estes elétrons que não são contra-
balanceados por quaisquer cargas positivas → os elétrons começam a 
acelerar-se um para longe do outro. 
� Isto continua até que os elétrons atinjam a superfície do condutor, ou até 
que um número igual de elétrons seja injetado na superfície. 
� Ali, o fluxo de elétrons é interrompido, pois o material que envolve o 
condutor é um isolante que não possui uma conveniente banda de 
condução → nenhuma carga pode permanecer dentro do condutor em 
equilíbrio → se isto acontecer o campo elétrico resultante forçará a carga 
para a superfície. 
Quadro 57Propriedades dos condutores IIPropriedades dos condutores II
� Por isso, o resultado final dentro do condutor é uma densidade 
de carga zero e uma densidade de carga superficial na 
superfície externa. 
� Esta é uma das duas características de um bom condutor.
� A outra característica, estabelecida para condições estáticas na 
qual a corrente não pode fluir, resulta diretamente da Lei de 
Ohm: o campo elétrico dentro de um condutor homogêneo é 
zero. 
� Fisicamente, observa-se que, se um campo elétrico estiver 
presente, os elétrons de condução mover-se-ão produzindo 
uma corrente, levando, assim, a uma condição não-estática.
� Resumindo, para a eletrostática, nenhuma carga e nenhum 
campo elétrico pode existir dentro de um material condutor. 
� Entretanto, pode aparecer carga na superfície como densidade 
superficial de carga, e a próxima investigação diz respeito ao 
campo elétrico externo ao condutor. 
Quadro 58
Propriedades dos condutores IIIPropriedades dos condutores III
� Assim, devem-se relacionar os campos externos à carga na superfície do 
condutor. 
� Se o campo elétrico externo for decomposto em dois componentes, um 
tangencial e um normal à superfície do condutor, o tangencial é zero → se 
não fosse zero, uma força tangencial seria aplicada aos elementos de carga 
da superfície, resultando em sua movimentação e, portanto, em condição 
não estática. 
� Desde que condições estáticas sejam consideradas, o campo elétrico 
tangencial e a densidade de fluxo elétrico tangencial são nulos. 
� A Lei de Gauss responde às perguntas para o componente normal. 
� O fluxo elétrico que deixa um pequeno incremento de superfície deve ser 
igual à carga existente nesta superfície incremental.
� O fluxo não pode deixar a carga na direção tangencial, pois este
componente é zero, e não pode penetrar no condutor, pois lá o campo total 
também é zero → ele deve, portanto, deixar a superfície normalmente. 
� Quantitativamente, a densidade do fluxo elétrico, em coulombs por metro 
quadrado, deixando normalmente a superfície é igual à densidade de carga 
superficial, em coulombs por metro quadrado, ou Dn = ρS.
Quadro 59
Fronteira condutorFronteira condutor--vácuo (CV)vácuo (CV)
� Se resultados anteriores são usados e fazendo-se uma análise 
mais cuidadosa, assume-se uma fronteira entre o condutor e o 
vácuo, conforme a figura abaixo.
� Observar as componentes normal e tangencial de D e E no 
vácuo. 
� Ambos os campos são zero no condutor. 
Quadro 60
Campo tangencialCampo tangencial
� O campo tangencial pode ser determinado aplicando-se em 
torno de um pequeno percurso fechado abcda:
� A integral pode ser desdobrada em quatro partes.
� Lembrando-se que E = 0 V/m dentro do condutor, faz-se o 
comprimento de a até b ou de c até d ser igual a ∆w e de b
até c ou de d até a ser ∆h, obtendo-se:
0=⋅∫ LdE
rr
0=⋅+⋅+⋅+⋅ ∫∫∫∫
a
d
d
c
c
b
b
a
LdELdELdELdE
rrrrrrrr
0
2
0
2
=
∆
++
∆
−∆ hEhEwE nnt
© Aldário Bordonalli 11
Quadro 61
Campo normalCampo normal
� Se ∆h é feito tender a zero, mantendo-se ∆w pequeno, mas 
finito, não faz diferença que os campos normais sejam iguais 
em a ou b, pois ∆h força essas diferenças a se tornarem muito 
pequenas, desprezíveis e, então:
� A condição para campo normal é encontrada mais 
prontamente considerando-se Dn em vez de En e escolhendo-se 
um pequeno cilindro como superfície gaussiana. 
� Seja a altura deste cilindro ∆h e a área do topo circular e da 
base serem ∆S → mais uma vez, faz-se ∆h tender a zero e 
usa-se a Lei de Gauss:
snsn
ladobasetopo
S
DSQSD
QSdDSdDSdDQSdD
ρρ =⇒∆==∆
=⋅+⋅+⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫
rrrrrrrr
00 =⇒=∆ tt EwE
Quadro 62
Condições de contorno CVCondições de contorno CV
� Estas são as condições de contorno desejadas para a fronteira condutor-
vácuo na eletrostática:
� O fluxo elétrico deixa o condutor numa direção normal à sua superfície e o 
valor da densidade de fluxo elétrico é numericamente igual à densidade 
superficial de carga. 
� A consequência imediata e importante do módulo do campo elétrico 
tangencial ser igual a zero é o fato de que a superfície condutora é uma 
superfície equipotencial. 
� O cálculo da diferença de potencial entre dois pontos na superfície pela 
integral de linha leva a um resultado zero, porque o caminho pode ser 
escolhido sobre a superfície onde E.dL = 0.
snn ED ρε == 0
0== tt DE
Quadro 63
ResumindoResumindo
� Para resumir os princípios que se aplicam a 
condutores em campos eletrostáticos, podem-
se estabelecer os três itens que se seguem:
– A intensidade de campo elétrico dentro de um 
condutor é zero.
– A intensidade de campo eletrostático na superfície 
de um condutor é, em qualquer ponto, normal à
superfície.
– A superfície condutora é equipotencial.
Quadro 64
Exemplo 5
O ponto P(-2, 4, 1) está na superfície de um condutor onde 
vale que E = 400 ax – 290 ay + 310 az V/m. Sabendo-se que o 
condutor está situado no vácuo, determinar: (a) En no ponto P; 
(b) Et no ponto P; (c) ρs no ponto P.
V/m583
310290400 222
=
++==
n
n
E
EE
r
(a) Como a intensidade do campo elétrico na superfície de um 
condutor é, em qualquer ponto, normal à superfície, então: 
V/m0=tE
(b) Como a afirmação acima é a única opção válida para o 
campo, então:
Quadro 65
Exemplo 5 (cont.)
(c) Para se determinar ρs no ponto P, basta utilizar o fato de 
que, fora do condutor, vale:
2
9
0
nC/m15,5
58310
36
1
=
×=
=
=
−
s
s
ns
sn
E
D
ρ
pi
ρ
ερ
ρ
Quadro 66
SemicondutoresSemicondutores
� É hora agora de apresentar um outro tipo de material, o 
material semicondutor intrínseco, como o germânio puro ou 
silício.
� Neste material, dois tipos de portadores de carga estarão 
presentes: elétrons e lacunas (ou buracos). 
� Os elétrons são os do topo da banda de valência preenchida 
que receberam quantidades suficientes de energia 
(normalmente térmica) para atravessar a banda proibida 
relativamente estreita e atingir a banda de condução. 
� Em semicondutores típicos, a energia necessária para 
atravessar a banda proibida é da ordem de 1 elétron-volt. 
� As posições vagas deixadas pelos elétrons representam 
estados de energia não preenchidos na banda de valência 
podendo também “mover-se” de átomo para átomo no cristal. 
© Aldário Bordonalli 12
Quadro 67
Semicondutor intrínsecoSemicondutor intrínseco
ElElElElééééctronsctronsctronsctrons
ElElElElééééctronctronctronctron
ElElElElééééctronctronctronctron
ElElElElééééctronctronctronctron
Quadro 68
Condutividade em semicondutoresCondutividade em semicondutores
� A vaga é chamada lacuna (ou buraco), e muitas 
propriedades dos semicondutores podem ser descritas 
tratando-se a lacuna como se ela tivesse uma carga 
positiva igual a +e, uma mobilidade µh e uma massa 
efetiva comparável, porém menor que a do elétron. 
� Ambos os portadores movem-se em um campo 
elétrico e em direções opostas; por isso, cada um 
contribui com uma parcela da corrente total que é na 
mesma direção que a provida pelo outro.
� A condutividade no semicondutor é, portanto, função 
de ambas as concentrações e mobilidades, a do 
elétron e a da lacuna:
hhee µρµρσ +−=
Quadro 69
ComentáriosComentários
� Para uma amostra de germânio puro, ou intrínseco, as mobilidades do 
elétron e do buraco a 300 K são 0,36 e 0,17 m2/V.s, respectivamente, 
enquanto que para outro semicondutor, o silício, as mobilidades são 
respectivamente 0,12 e 0,025 m2/V.s, ou seja, de 10 a 100 vezes as do 
alumínio, cobre, prata e outros condutores metálicos.
� As concentrações de elétrons e buracos dependem fortemente da 
temperatura → a 300 K, as densidades volumétricas de carga de elétrons e 
de buracos são de 4,0 C/m3 em magnitude no germâniointrínseco e 0,011 
C/m3 no silício intrínseco → estes valores levam à condutividade de 2,1 S/m
no germânio e 0,0016 S/m no silício. 
� Quando a temperatura aumenta, a mobilidade decresce mas a densidade 
de carga cresce muito rapidamente. 
� Como resultado, a condutividade do germânio cresce por um fator de 10 
quando a temperatura passa de 300 para 360 K e decresce por um fator de 
10 quando a temperatura cai de 300 para cerca de 255 K.
� Note que a condutividade em um semicondutor intrínseco cresce com a 
temperatura, enquanto que a do condutor metálico decresce com a 
temperatura → esta é uma das características que diferencia os 
condutores metálicos dos semicondutores intrínsecos.
Quadro 70
ComentáriosComentários
� Os semicondutores intrínsecos também satisfazem à forma pontual (ou 
local) da Lei de Ohm; isto é, a condutividade é razoavelmente constante 
com o aumento da corrente e com a direção da densidade de corrente. 
� O número de portadores de carga e a condutividade podem ser 
grandemente aumentados se acrescentam-se pequenas quantidades de 
impurezas. 
� Materiais "doadores" fornecem elétrons adicionais e formam 
semicondutores do tipo "n", enquanto os "receptores (ou aceitadores)" 
fornecem lacunas extras e formam semicondutores do tipo "p". 
� O processo é conhecido como "dopagem", e uma concentração de doadores 
no silício, menor que uma parte de 107, causa um aumento na 
condutividade por um fator igual a 105. 
� A faixa de condutividade (S/m) é muito extensa quando se parte dos 
materiais isolantes passando pelos semicondutores até aos melhores 
condutores → varia de 10-17 para o quartzo, até 10-7 para os plásticos 
isolantes pobres, sendo aproximadamente unitário para os semicondutores 
e quase 108 para condutores metálicos na temperatura ambiente. 
� Estes valores cobrem uma larga variação de cerca de 25 ordens de
grandeza.
Quadro 71
DopagemDopagem
Tipo n Tipo p
Quadro 72
Finalmente, o dielétrico ...Finalmente, o dielétrico ...
� Embora os isolantes e materiais dielétricos tenham sido 
mencionados anteriormente, ainda não foram fornecidas 
relações quantitativas em que eles estejam envolvidos. 
� Na sequência, será visto que o dielétrico em um campo elétrico 
pode ser considerado como um arranjo microscópico de 
dipolos elétricos no vácuo, os quais são constituídos por cargas
positiva e negativa e cujos centros não coincidem.
� Estas cargas não são livres e não contribuem para o processo 
de condução. 
� Muito ao contrário, elas são ligadas em um ponto por forças 
atômicas e moleculares e podem apenas sofrer pequenos 
deslocamentos em resposta às forças externas. 
� Elas são chamadas "cargas ligadas" ou "cargas de 
polarização", em oposição às cargas livres que determinam a 
condução. 
© Aldário Bordonalli 13
Quadro 73
Cargas de polarizaçãoCargas de polarização
� Estas cargas podem ser tratadas como quaisquer outras fontes 
de campo eletrostático. 
� Diante deste novo quadro, será necessário introduzir novos 
parâmetros ao sistema, a constante dielétrica, ou 
permissividade relativa, e a permissividade. 
� Numa primeira análise, se a introdução da constante dielétrica 
(e, paralelamente, da permissividade) fosse deixada de lado, 
isto implicaria em considerar cada carga dentro de um pedaço 
de material dielétrico. 
� Isto complicaria e muito o uso das equações apresentadas até 
o momento em forma não modificada para o dielétrico.
� Deve-se, portanto, dedicar algum tempo ao estudo dos 
dielétricos de maneira qualitativa, introduzindo a polarização P, 
a permissividade ε, e a permissividade relativa εR, 
desenvolvendo, então, algumas relações quantitativas que 
envolvem essas novas grandezas.
Quadro 74
Armazenamento de energia elétricaArmazenamento de energia elétrica
� A característica que todos os dielétricos têm em comum, sejam 
eles sólidos, líquidos ou gasosos, e sejam ou não de natureza 
cristalina, é a capacidade de armazenar energia elétrica. 
� Este armazenamento faz-se por um deslocamento nas posições 
relativas das cargas negativas e positivas contra as forças 
molecular e atômica normais do átomo.
� Este deslocamento contra as forças de restauração é análogo 
ao levantamento de um peso ou compressão de uma mola e 
representa energia potencial. 
� A fonte de energia é o campo externo → a movimentação das 
cargas deslocadas resulta, talvez, de uma corrente transitória 
através da bateria que produz o campo.
Quadro 75
Mecanismo de deslocamentoMecanismo de deslocamento
� O mecanismo real do deslocamento de carga difere nos vários 
materiais dielétricos existentes. 
� Algumas moléculas, chamadas moléculas polares, têm um 
deslocamento permanente existente entre os centros de 
gravidade da carga positiva e da carga negativa e cada par de 
cargas age como um dipolo. 
� Normalmente, os dipolos estão orientados em maneira 
aleatória no interior do material, e a ação do campo externo é 
alinhar estas moléculas até certo ponto numa dada direção. 
� Um campo suficientemente forte pode mesmo produzir um 
deslocamento adicional entre as cargas positivas e negativas.
� Uma molécula não polar não tem este arranjo em dipolo antes 
de o campo ser aplicado. 
� As cargas positivas e negativas deslocam-se em direções 
opostas contrariamente à sua mútua atração, produzindo um 
dipolo que é alinhado com o campo elétrico externo.
Quadro 76
AlinhamentoAlinhamento dos dos dipolosdipolos
Quadro 77
Dipolos novamenteDipolos novamente????
� Qualquer tipo de dipolo pode ser descrito por seu momento de 
dipolo p, como foi introduzido anteriormente:
� Se existem n dipolos idênticos por unidade de volume num 
volume ∆v, então, o momento de dipolo total é obtido por uma 
soma vetorial:
� Define-se, agora, a polarização P como o momento de dipolo 
por unidade de volume:
dQp
rr
=
∑∑
∆
=
∆
=
==
vn
i
ii
vn
i
itot dQpp
11
rrr
∑
∆
=
→∆ ∆
=
vn
i
i
v
p
v
P
10
1lim r
r
Quadro 78
Vetor polarizaçãoVetor polarização
� O vetor polarização é um campo vetorial contínuo, 
mesmo sendo óbvio que ele é essencialmente 
indefinido em pontos no interior do átomo ou da 
molécula.
� Deve-se pensar, então, que o seu valor em um dado 
ponto é o valor médio tomado em uma amostra ∆v
suficientemente grande para conter muitas moléculas, 
mas ainda suficientemente pequena para ser 
considerada incremental.
� A intenção agora é a de mostrar que a densidade 
volumétrica de carga de polarização age como uma 
densidade volumétrica de carga livre ao produzir um 
campo externo, obtendo-se um resultado similar ao 
da lei de Gauss.
© Aldário Bordonalli 14
Quadro 79
Dielétrico de moléculas não polaresDielétrico de moléculas não polares
� Para ser específico, suponha que um dielétrico contenha 
moléculas não polares → nenhuma molécula tem um momento 
de dipolo e, portanto, P = 0 C.m em todo o volume do 
material. 
� Em algum lugar do interior do dielétrico, seleciona-se um 
elemento incremental de superfície ∆S, como mostra a figura, 
e examina-se o movimento das cargas de polarização através 
de ∆S quando um campo elétrico é aplicado.
Quadro 80
AplicandoAplicando--se se EE ......
� O campo elétrico produz um momento p = Qd em cada 
molécula, de modo que p e d formam um ângulo θ com ∆S. 
� Cada molécula inicialmente localizada no elemento de volume 
½.d.cos(θ).∆S abaixo da superfície contribui, então, para o 
movimento da carga +Q através de ∆S para cima da superfície. 
� De modo similar, cada molécula no volume ½.d.cos(θ).∆S
acima da superfície provê uma passagem de -Q através de ∆S
para baixo da superfície. 
Quadro 81
Carga de polarização totalCarga de polarização total
� Como há n moléculas/m3, a carga líquida ∆Qp (lembrando-se 
que se tratam cargas de polarização e nãode cargas livres) 
que atravessa a superfície incremental é n.Q.d.cos(θ).∆S, 
orientada no sentido ascendente, ou seja:
� Em termos de polarização, tem-se que:
� Se ∆S é interpretado como um elemento de uma superfície 
fechada orientado para fora da superfície S, a integração da 
equação acima representa a carga total que sai deste volume 
e, portanto, a carga líquida ainda dentro do volume é o 
negativo desta integral (orientação contrária a de dS), ou:
SdnQQp
rr
∆⋅=∆
SPQp
rr
∆⋅=∆
∫ ⋅−= Sp SdPQ
rr
Quadro 82
Densidade de fluxo no dielétricoDensidade de fluxo no dielétrico
� Esta última equação tem grande semelhança com a Lei de Gauss → assim, 
pode-se partir para uma generalização da definição de densidade de fluxo 
elétrico para um outro meio qualquer que não seja o vácuo. 
� Inicialmente, escreve-se a lei de Gauss em função de ε0E e QT, sendo que 
esta última é uma modificação para o que foi visto anteriormente e leva em 
consideração a carga de polarização Qp e a carga livre Q que são 
envolvidas por uma superfície S:
� Rearranjando, tem-se que:
� Assim, define-se D de forma mais geral:
PED
rrr
+= 0ε
∫ ⋅=+= SpT SdEQQQ
rr
0ε
( ) ∫∫ ⋅=⋅+=−= SSpT SdDSdPEQQQ rrrrr0ε
Quadro 83
Relações de divergênciaRelações de divergência
� Observar que o “universo” de densidades de carga 
aumentou, pois valem as relações:
� Com o auxílio do auxilio do teorema da divergência, 
podem-se transformar das relações anteriores para a 
forma de relações de divergência:
∫∫∫ === VV TTV pp dvQdvQdvQ ρρρ
( )
( )
( ) ρ
ρεεε
ρ
=⋅∇→⋅∇=⋅=
=⋅∇→⋅∇=⋅=
−=⋅∇→⋅∇−=⋅−=
∫∫
∫∫
∫∫
DdvDSdDQ
EdvESdEQ
PdvPSdPQ
VS
TVST
pVSp
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
000
Quadro 84
IsotropiaIsotropia
� Apenas as duas expressões que relacionam a carga 
livre serão enfatizadas daqui por diante.
� Para se fazer o uso real desses novos conceitos, é 
necessário conhecer-se a relação entre a intensidade 
de campo elétrico E e a polarização P resultante. 
� Este relacionamento será, claro, uma função do tipo 
de material, e deve-se limitar a discussão somente ao 
caso dos materiais isotrópicos, para os quais E e P
estão linearmente relacionados. 
� Em um material isotrópico, os vetores E e P são 
sempre paralelos. 
© Aldário Bordonalli 15
Quadro 85
AnisotropiaAnisotropia
� Embora na sua maioria os dielétricos usados na Engenharia 
sejam lineares para campos de força moderados a fortes e 
sejam também isotrópicos, cristais simples podem ser 
anisotrópicos. 
� A natureza periódica dos materiais cristalinos obriga os 
momentos dos dipolos a serem formados com mais facilidade 
ao longo dos eixos cristalinos, e não necessariamente na 
direção do campo aplicado. 
� Por exemplo, em materiais ferrelétricos, o relacionamento 
entre P e E é não somente não-linear mas também mostra o 
efeito de histerese, isto é, a polarização produzida por um 
dado campo elétrico depende do passado da amostra. 
� Exemplos importantes desse tipo de dielétricos são o titanato
de bário e o sal de Rochelle.
Quadro 86
PermissividadePermissividade
� Rescrevendo-se D para um meio isotrópico, e 
utilizando-se a relação entre P e E, tem-se:
� Nas equações acima, definiram-se a susceptibilidade 
χe, a permissividade ε e a permissividade relativa (ou 
constante dielétrica) εr.
( )
rer
r
e
e ED
ED
ED
EP
PED
εεεχε
ε
εε
χε
εχ
ε
0
0
0
0
0
1
1
=+=






=
=
+=
→




=
+=
rr
rr
rr
rr
rrr
Quadro 87
Anisotropia novamenteAnisotropia novamente
� Materiais dielétricos anisotrópicos não podem ser descritos em 
termos de simples suscetibilidade ou permissividade. 
� Em vez disso, deve-se assumir que cada componente de D pode ser 
função de cada componente de E, sendo a relação simples D = εE
substituída por três equações:
� Os nove valores εij são coletivamente chamados de tensor. 
� Neste caso, D e E (e P) não são mais paralelos e, embora D = ε0E + 
P permanece uma equação válida para materiais anisotrópicos e ser
possível usar D = εE quando ε é interpretado como um tensor, a 
atenção será concentrada em materiais isotrópicos lineares, ficando 
o caso geral para um curso mais avançado.
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
EEED
EEED
EEED
εεε
εεε
εεε
++=
++=
++=
Quadro 88
Resumo dielétricosResumo dielétricos
� Em suma, tem-se uma relação entre D e E que, agora, 
depende da natureza do material dielétrico presente:
� O vetor D ainda relaciona-se às cargas livres, seja pela forma 
pontual, ou seja pela forma integral da lei de Gauss:
� O uso da permissividade relativa torna desnecessárias as 
considerações acerca de polarização, momento de dipolos e 
cargas de polarização. 
� Contudo, quando um material anisotrópico ou não-linear tiver 
que ser considerado, a permissividade relativa na forma 
escalar simples apresentada não é mais aplicável.
EED
r
rrr
εεε 0==
QSdDD
S
=⋅=⋅∇ ∫
rrrr
ρ
Quadro 89
Exemplo 6
Encontre a polarização no interior de um material que: (a) 
tenha uma densidade de fluxo elétrico igual a 1,5 µC/m2 em 
um campo elétrico de 15 kV/m; (b) tenha D = 2,8 µC/m2 e χe
= 1,7; (c) tenha 1020 moléculas/m3, cada uma com um 
momento de dipolo igual a 1,5 x 10-26 C.m quando E = 105
V/m; (d) tenha E = 50 kV/m e εr = 4,4.
2
396
00
µC/m367,1
101510
36
1105,1
=
××−×=
−=→+=
−−
P
P
EDPPED
pi
εε
rrr
(a) Para este item, utiliza-se a definição de D, levando em 
consideração que E e P têm a mesma direção: 
Quadro 90
Exemplo 6 (cont.)
(b) A polarização no interior de um material que tenha D = 2,8 
µC/m2 e χe = 1,7 pode ser obtida manipulando-se as relações 
entre os diferentes vetores:
( )
2
59
0
5
11
6
11
00
µC/m763,1
10173,110
36
17,1
V/m10173,1
10387,2
108,2
F/m10387,21
=
×××=
=
×=→
×
×
=→=
×=→+==
−
−
−
−
P
P
EP
EEDE
e
er
pi
εχ
ε
εχεεεε
© Aldário Bordonalli 16
Quadro 91
Exemplo 6 (cont.)
(c) A polarização no interior de um material que tenha 1020
moléculas/m3, cada uma com um momento de dipolo igual a 
1,5 x 10-26 C.m quando E = 105 V/m pode ser obtida 
manipulando-se as relações:
2
2620
µC/m5,1
105,110
=
××=→= −
P
PnpP
(d) A polarização no interior de um material que tenha E = 50 
kV/m e εr = 4,4 pode ser obtida manipulando-se as relações:
( ) ( )
2
39
0
µC/m503,1
105010
36
114,41
=
×××−=→−= −
P
PEP r
pi
εε
Quadro 92
Condições de contorno: dielétricosCondições de contorno: dielétricos
� Como resolver um problema em que haja dois 
materiais dielétricos diferentes, ou um dielétrico e um 
condutor? 
� Este é outro exemplo de condição de contorno, como 
aquele onde descobriu-se que, na superfície de um 
condutor, os campos tangenciais são nulos e a 
densidade do fluxo elétrico normal é igual à 
densidade de carga superficial no condutor. 
� Agora, serão dados passos na direção de se 
resolverem problemas de fronteira entre dois 
dielétricos ou problemas de fronteira dielétrico-
condutor, pela determinação do comportamento dos 
campos na interface dielétrica.
Quadro 93
Diagrama de referênciaDiagrama de referência
� O diagrama abaixo servirá de referência para a determinação 
do comportamento de E e D na fronteira entre os meios 
dielétricos:
Quadro 94
Componentes tangenciaisComponentes tangenciais
� Considere uma superfície entre os dois dielétricos que têm 
permissividades ε1 e ε2 e ocupam as regiões 1 e 2. 
� Similarmente ao caso do condutor, primeiramente, as 
componentes tangenciais serão analisadas e, para isto, faz-se 
uso do fato de que:
� Desmembrando-se a integral em quatro partes, fazendo-se∆h
tender a zero de maneira ao caminho tender à superfície, e 
mantendo-se ∆w pequeno, mas finito, fica-se com:
0=⋅∫ LdE
rr
21 tt EE =
021 =∆−∆ wEwE tt
Quadro 95
Componentes tangenciais IIComponentes tangenciais II
� A continuidade das componentes tangenciais de E nos dois 
meios sugere que a lei de Kirchhoff das tensões é ainda 
aplicável a este caso, uma vez que a diferença de potencial 
entre dois pontos na superfície separados por uma distância 
∆w é a mesma imediatamente acima e abaixo da fronteira:
� Se o campo elétrico tangencial é contínuo através da fronteira 
o mesmo não pode ser dito de D uma vez que:
2
2
21
1
1
εε
t
tt
t DEED ===
2
1
2
1
ε
ε
=
t
t
D
D
Quadro 96
Componentes normaisComponentes normais
� A condição para campo normal é encontrada mais 
prontamente considerando-se Dn em vez de En e escolhendo-se 
um pequeno cilindro como superfície gaussiana. 
� Sejam a altura deste cilindro ∆h e a área do topo circular e da 
base ∆S → mais uma vez, faz-se ∆h tender a zero e usa-se a 
Lei de Gauss na superfícies superior e inferior:
� Mas qual é a densidade superficial de carga?
SQSDSDQSdD snnS ∆==∆−∆⇒=⋅∫ ρ21
rr
snn DD ρ=− 21
© Aldário Bordonalli 17
Quadro 97
Componentes normais IIComponentes normais II
� Ela não pode ser uma densidade superficial de cargas de 
polarização pois se leva em conta a polarização do dielétrico 
pelo uso de uma constante dielétrica diferente da unidade →
isto é, em vez de considerar cargas de polarização no espaço 
livre, considera-se um acréscimo na permissividade. 
� Por outro lado, é extremamente estranho que qualquer carga 
livre esteja na interface, pois nenhuma carga livre é disponível 
no dielétrico perfeito que é considerado. 
� Esta carga deve, então, ter sido colocada lá deliberadamente, 
desbalanceado assim a quantidade total de cargas no 
dielétrico. 
� Excetuando-se este caso especial, pode-se, então, considerar 
ρs = 0 na superfície, chegando-se a:
21 nn DD =
Quadro 98
Componentes normais IIIComponentes normais III
� Portanto, tem-se continuidade para as componentes 
normais de D na superfície de separação entre dois 
dielétricos.
� Por outro lado:
� Assim, a componente normal do campo elétrico é
descontínua.
� Como ficaria, então, a combinação destes resultados 
tangenciais e normais na superfície de separação 
entre os dois dielétricos?
222111 nnnn EDDE εε ===
2211 nn EE εε =
Quadro 99
Na fronteira entre dielétricosNa fronteira entre dielétricos
� As considerações anteriores 
podem ser combinadas para 
mostrar a variação dos 
vetores D e E na superfície 
de separação entre os 
dielétricos.
� A interpretação dos 
resultados pode levar a uma 
situação para D como, por 
exemplo, a que está 
mostrada ao lado.
� Assumir que D1 (e E1) faça 
um ângulo α1 com a 
tangente à superfície. 
Quadro 100
Na fronteira entre dielétricos IINa fronteira entre dielétricos II
� Como os componentes normais de D são 
contínuos, pode-se escrever que: 
� A razão entre os componentes tangenciais, 
como concluído anteriormente, é dada por:
� Dividindo ambos os resultados:
( ) ( ) 222111 sinsin nn DDDD === αα
( )
( ) 2
1
22
11
2
1
cos
cos
ε
ε
α
α
==
D
D
D
D
t
t
( ) ( )1
2
1
2 tantan αε
ε
α =
Quadro 101
Na fronteira entre dielétricos IIINa fronteira entre dielétricos III
� Para que a situação da figura ao lado seja 
satisfeita, ou seja, ter α2 > α1, conclui-se 
que seria necessário que ε1 > ε2.
� A direção de E em cada lado da fronteira é 
idêntica à direção de D, pois D = εE. 
� O módulo de D na região 2 pode ser 
encontrado trabalhando-se as últimas 
equações:
� E o módulo de E na região 2 fica:
( ) ( )12
2
1
2
1
2
12 cossin αε
ε
α 





+= DD
( ) ( )12
2
2
1
1
2
12 sincos αε
ε
α 





+= EE
Quadro 102
ComentáriosComentários
� Olhando-se as duas últimas equações, conclui-se que 
D é maior na região de maior permissividade (a 
menos que α2 = α1 = 90o, quando a magnitude não 
varia) e E é maior na região de menor permissividade 
(a não ser quando α2 = α1 = 0°, quando sua 
magnitude é invariável).
� As condições de contorno ou as relações de módulo e 
direção derivadas delas permitem encontrar o campo 
rapidamente em cada lado da fronteira se o campo do 
outro lado é conhecido.
© Aldário Bordonalli 18
Quadro 103
Condições de contorno: Condições de contorno: dielétrico/condutordielétrico/condutor
� As condições de contorno existentes na interface entre um 
condutor e um dielétrico são mais simples de obter que as 
condições acima. 
� Primeiro, já se sabe que D e E são zero dentro do condutor. 
� Segundo, os campos tangenciais E e D precisam ser zero para 
satisfazer ambos:
� Finalmente, a aplicação da Lei de Gauss mostra, uma vez mais, 
que D e E são normais ao condutor e que Dn = ρs e En = ρs/ε.
� Com isto, conclui-se, que as condições de contorno 
desenvolvidas anteriormente para condutores no espaço livre 
são válidas para fronteira dielétrico-semicondutor se εo é 
substituído por ε:
EDeLdE
rrrr
ε==⋅∫ 0
snntt EDeED ρε ==== 0
Quadro 104
Exemplo 7
A região z < 0 contém um material dielétrico para o qual εr1 = 
2,5, enquanto que z > 0 caracteriza-se por εr2 = 4. Sabendo-se 
que E1 = -30 ax + 50 ay + 70 az V/m, determine: (a) En1; (b) 
Et1; (c) Et1; (d) E1; (e) θ1. 
V/mˆ50ˆ30
V/mˆ70
ˆ70ˆ50ˆ30
1
1
1
yxt
zn
zyx
aaE
aE
aaaE
+−=
=
++−=
r
r
r
(a e b) Trata-se de uma superfície de separação que 
corresponde ao plano xy em z = 0. Da definição de E1, podem-
se determinar as componentes normais e tangenciais à 
superfície como:
Quadro 105
Exemplo 7 (cont.)
(c) O módulo da componente tangencial do campo na região 1 
é:
V/m1,91
705030
ˆ70ˆ50ˆ30
1
222
11
1
=
++==
++−=
E
EE
aaaE zyx
r
r
V/m3,58
5030
1
22
11
=
+==
t
tt
E
EE
r
(d) O módulo do campo na região 1 é:
Quadro 106
Exemplo 7 (cont.)
(e) O ângulo θ1 é definido como o ângulo o vetor intensidade 
de campo elétrico na região 1 e sua componente normal (eixo 
z). Assim:
( ) ( )
°=
=
=→=
8,39
rad6945,0
1,91
70
coscos
1
1
1
1
1
1
θ
θ
θθ
E
En
E1
En1
Et1
θ1
Quadro 107
Exemplo 8
A região z < 0 contém um material dielétrico para o qual εr1 = 
2,5, enquanto que z > 0 caracteriza-se por εr2 = 4. Sabendo-se 
que E1 = -30 ax + 50 ay + 70 az V/m, determine: (a) Dn2; (b) 
Dt2; (c) D2; (d) P2; (e) θ2. 
2
2
9
2
1101112
nC/m547,1
705,210
36
1
=
×××=
===
−
n
n
nrnnn
D
D
EEDD
pi
εεε
(a) Para a resolução deste exercício, serão utilizados resultados 
obtidos no exemplo anterior. Pelas condições de contorno na 
superfície entre dielétricos, pode-se escrever que:
Quadro 108
Exemplo 8 (cont.)
(b) Pelas condições de contorno na superfície entre dielétricos,
pode-se escrever que:
2
2
9
2
1202
12012222
12
nC/m06,2
3,58410
36
1
=
×××=
=
∴
===
=
−
t
t
trt
trttt
tt
D
D
ED
EEED
EE
pi
εε
εεεε
© Aldário Bordonalli 19
Quadro 109
Exemplo 8 (cont.)
(c) Pelas condições de contorno na superfície entre dielétricos,
pode-se escrever que:
( )
2
2
9
2
220222
12
nC/mˆ768,1ˆ061,1
ˆ50ˆ30410
36
1
ˆ50ˆ30
yxt
yxt
trtt
yxtt
aaD
aaD
EED
aaEE
+−=
+−×××=
==
+−==
−
r
r
rrr
rr
pi
εεε
2
2
9
2
1101112
nC/mˆ547,1
ˆ705,210
36
1
zn
zn
nrnnn
aD
aD
EEDD
=
×××=
===
−
pi
εεε
rrrr
2
2 nC/mˆ547,1ˆ768,1ˆ061,1 zyx aaaD ++−=∴
r
Quadro 110
Exemplo 8 (cont.)
(c) Pelas condições de contorno na superfície entre dielétricos,
pode-se escrever que:
( ) ( )
2
2
2202022022
2
9
2
20
2
2222
nC/mˆ161,1ˆ326,1ˆ796,0
1
V/mˆ75,43ˆ50ˆ30
410
36
1
ˆ547,1ˆ768,1ˆ061,1
zyx
r
zyx
zyx
r
aaaP
EEEDP
aaaE
aaa
E
DEED
++−=
−=−=−=
∴
++−=
××
++−
=
=→=
−
r
rrrrr
r
r
r
rrr
εεεεε
pi
εε
ε
Quadro 111
Exemplo 8 (cont.)
(e) O ângulo θ2 é definido como o ângulo o vetor intensidade 
de campo elétrico na região 2 e sua componente normal (eixo 
z). Assim:
( ) ( )
°=
=
=→=
1,53
rad9267,0
547,1
06,2
tantan
2
2
2
2
2
2
θ
θ
θθ
n
t
D
D
D2
Dn2
Dt2
θ2
Quadro 112
Cargas e Cargas e EE dentro do condutordentro do condutor
� Anteriormente, foi postulado que as cargas introduzidas no 
interior de um condutor movem-se para a superfície do 
condutor e se redistribuem de tal maneira que a intensidade 
do campo elétrico e a densidade volumétrica de cargas são 
nulas após o equilíbrio.
� Para provar esta afirmação e calcular o tempo médio que se 
leva para que o equilíbrio seja alcançado, combina-se a lei de 
Ohm pontual e a equação da continuidade, para condutividade 
constante, de forma que:
t
E
EJ
t
J
v
v
∂
∂
−=⋅∇⇒





=
∂
∂
−=⋅∇ ρ
σ
σ
ρ
rr
rr
rr
Quadro 113
Cargas e Cargas e EE dentro do condutor IIdentro do condutor II
� Para um meio simples, onde D = εE, a equação 
anterior se torna:
� Cuja a solução é:
� Acima, ρv0 é a densidade de carga inicial para t = 0 s. 
0=+
∂
∂
⇒






=⋅∇
∂
∂
−=⋅∇
v
v
v
v
tE
t
E
ρ
ε
σρ
ε
ρ
ρ
σ
rr
rr
( )t
vv e
εσρρ −= 0
Quadro 114
Tempo de relaxaçãoTempo de relaxação
� Ambos ρv e ρv0 podem ser funções do espaço e 
a equação anterior diz que a densidade de 
carga num determinado lugar irá decrescer 
exponencialmente com o tempo.
� O tempo de relaxação é definido como o 
tempo para o qual a carga diminui 1/e (ou 
aproximadamente 36,8%):
� Para o cobre, τr = 1,52 × 10-19 s.
ε
σ
τ =r
© Aldário Bordonalli 20
Quadro 115
Condutores em dielétricoCondutores em dielétrico
� Considere dois condutores 
mergulhados num dielétrico 
homogêneo, como na figura 
ao lado. 
� O condutor M2 tem uma 
carga total positiva +Q, 
enquanto M1 tem uma carga 
igual e negativa. 
� Não existem outras cargas 
presentes, e a carga total 
do sistema é zero.
Quadro 116
CapacitânciaCapacitância
� Sabe-se, agora, que a carga é levada para a superfície do 
condutor, passando a ser tratada como uma densidade 
superficial de cargas, e, também, que o campo elétrico é 
normal às superfícies condutoras. 
� Cada condutor é uma superfície eqüipotencial.
� Como M2 tem uma carga positiva, o fluxo elétrico está dirigido 
de M2 para M1 e M2 está no potencial mais positivo. 
� Em outras palavras, precisa-se realizar-se trabalho para levar 
uma carga positiva de M1 para M2.
� Designa-se a diferença de potencial entre M2 e M1 por Vo. 
� Define-se a capacitância deste sistema de dois condutores 
como a razão entre o módulo da carga total em cada condutor 
e a diferença potencial entre os condutores:
oV
QC =
Quadro 117
Generalizando a definição ...Generalizando a definição ...
� Em termos gerais, determina-se Q por meio de uma integral de superfície 
sobre o condutor mais positivo e encontra-se Vo deslocando-se uma carga 
unitária positiva da placa negativa para a positiva:
� A capacitância é independente do potencial e da carga total, pois sua razão 
é constante. 
� Se a densidade de carga é aumentada por um fator N, a Lei de Gauss 
indica que a densidade de fluxo elétrico ou a intensidade de campo elétrico 
também aumenta desse fator N e, com ele, a diferença de potencial. 
� A capacitância é uma função somente de dimensões físicas do sistema de 
condutores e da permissividade do dielétrico homogêneo.
� A capacitância é medida em farads (F), onde um farad é definido como 1 
C/V, porém, valores comuns de capacitância são frações muito pequenas de 
um farad.
∫
∫
+
−
⋅−
⋅
=
LdE
SdE
C S rr
rr
ε
Quadro 118
Capacitor de placas paralelasCapacitor de placas paralelas
� Pode-se aplicar a definição de 
capacitância a um sistema 
simples de dois condutores em 
que os condutores são 
idênticos, infinitos, planos e 
paralelos com separação d, 
como ao lado.
� Escolhendo para o condutor 
inferior a posição z = 0 e para 
o superior z = d, uma 
superfície uniforme de cargas 
±ρs em cada condutor leva a 
um campo uniforme, como já 
esperado:
z
s aE ˆ
ε
ρ
=
r
Quadro 119
ObtendoObtendo--se se QQ e e VVoo
� Observar que o resultado anterior é o mesmo que calculado 
anteriormente se εo é substituído por ε, e vale que:
� A carga no condutor inferior deve ser positiva pois D é dirigido 
para cima e o valor normal de D é igual à densidade superficial 
de cargas na superfície (Dn = Dz). 
� No condutor superior, Dn = -Dz e lá a superfície de cargas é o 
negativo daquela do condutor inferior.
� A diferença de potencial entre esses condutores é, portanto:
zszz aaDD ˆˆ ρ==
r
ddzLdEV s
d
s
o ε
ρ
ε
ρ
=−=⋅−= ∫∫
0.inf
.sup
rr
Quadro 120
Capacitância: placas paralelasCapacitância: placas paralelas
� Desde que a carga total em cada condutor é infinita, a 
capacitância é infinita → a resposta em uma situação prática é
obtida considerando-se planos, cada um com área S, cujas 
dimensões lineares são muito maiores que a separação d. 
� O campo elétrico e a distribuição de cargas são, então, quase 
uniformes em todos os pontos não adjacentes ao perímetro. 
� Como a região de perímetro pouco contribui para a 
capacitância total, pode-se aproximar o resultado e escrever 
uma expressão que se tornará útil no futuro:
d
S
V
QC
dV
SQ
o
s
o
s ε
ε
ρ
ρ
==⇒




=
=
© Aldário Bordonalli 21
Quadro 121
Energia armazenadaEnergia armazenada
� Finalmente, a energia total armazenada no capacitor 
é:
� A equação acima indica que a energia armazenada 
em um capacitor, para uma diferença de potencial 
fixa, cresce com a constante dielétrica do meio.
SddzdSdvEW s
S d
s
volume
E ε
ρ
ε
ρ
εε
2
0 0
2
2
2
1
2
1
2
1
=





== ∫ ∫∫
C
QQVCVd
d
SW oosE
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
2
1
====
ε
ρε
Quadro 122
Capacitor coaxialCapacitor coaxial
� Como primeiro exemplo, seja um capacitor coaxial ou 
cabo coaxial com raio interno a, raio externo b e 
comprimento L.
� De estudos anteriores, tem-se que:
� Então:
LQ
a
bLdEVaE ll
a
b
o
l ρ
piε
ρ
piερ
ρ
ρ =





=⋅−== ∫ ln2
ˆ
2
rrr
( )
a
b
L
V
QC
o ln
2piε
==
Quadro 123
Capacitor esféricoCapacitor esférico
� Seja um capacitor esférico constituído de duas calotas 
esféricas concêntricas de raios a e b, b > a, onde a região 
entre as esferas é preenchida por um dielétrico com a 
permissividade ε.
� De estudos anteriores, tem-se que:
� Então:
� Se a esfera de fora se tornar infinitamente grande, obtêm-se a 
capacitância de um condutor esférico isolado,






−=⋅−== ∫ ba
QLdEVa
r
QE
a
b
or
11
4
ˆ
4 2 piεpiε
rrr
baV
QC
o 11
4
−
==
piε
aC piε4=
Quadro 124
Capacitor esférico e dois meiosCapacitor esférico e dois meios
� Para o condutor esférico isolado, assumir que o meio 1 de ε = 
ε1 se estende de a até r1, e que, após r1, o meio 2 é o vácuo. 
� Da continuidade da componente normal de D entre os meios 
vale para r > a:
� Para a a < r < r1:
� Para a r1 <r < ∞, utilizando a condição de descontinuidade de 
E:
ra
r
QD ˆ
4 2pi
=
r
r
a
r
QEED ˆ
4 21
111 piε
ε =→=
rrr
r
a
r
QEEE ˆ
4 20
21120 piε
εε =→=
rrr
Quadro 125
Capacitor esférico e dois meios IICapacitor esférico e dois meios II
� A diferença de potencial fica:
� Portanto:






+





−=
−−−=−= ∫∫
∞
∞
1011
2
0
2
1
1111
4
44
1
1
rra
QV
dr
r
Qdr
r
QVVV
o
ra
r
ao
εεpi
piεpiε
1
1011
11114
−






+





−==
rraV
QC
o εε
pi
Quadro 126
Múltiplos dielétricosMúltiplos dielétricos
� A fim de estudar o problema de múltiplos dielétricos com um 
pouco mais de detalhe, considere um capacitor de placas 
paralelas com área S e espaçamento d, pressupondo-se que d
seja pequeno quando comparado às dimensões lineares das 
placas. 
� A capacitância é ε1S/d quando utiliza-se um dielétrico de 
permissividade ε1. 
� Agora, substitui-se parte deste dielétrico por um outro de 
permissividade ε2, de maneira que a fronteira entre os dois 
dielétricos seja paralela às placas do capacitor e d = d1 + d2, 
onde d1 é a espessura do meio 1 e d2 a do meio 2.
� Como a definição de capacitância C = Q/V envolve uma carga 
e uma tensão, pode-se considerar uma e depois encontrar a 
outra em função da primeira. 
© Aldário Bordonalli 22
Quadro 127
Múltiplos dielétricos: placas paralelasMúltiplos dielétricos: placas paralelas
� A capacitância não é função 
de nenhuma delas, mas dos 
dielétricos e da geometria. 
� Suponha que se estabeleça 
uma diferença de potencial 
Vo entre as placas.
� As intensidades do campo 
elétrico nas duas regiões, E1
e E2, são ambas uniformes e 
Vo = E1d1 + E2d2.
� Na interface dos dielétricos, 
E é normal e Dn1 = Dn2 ou 
ε1E1 = ε2E2.
� Assim: ( ) 22111
2211
2211
dd
VE
EE
dEdEV
o
o
εε
εε
+
=
→



=
+=
Quadro 128
Múltiplos dielétricos: placas paralelas IIMúltiplos dielétricos: placas paralelas II
� A densidade superficial de cargas vale, portanto: 
� Como D1 = D2, o módulo da densidade superficial de cargas é
o mesmo em cada placa e a capacitância é, então:
2211
1111 εε
ερ
dd
VED os +
===
( ) ( ) 212211 11
11
CCSdSdV
S
V
QC
o
s
o +
=
+
===
εε
ρ
Quadro 129
ComentáriosComentários
� De quanto mudará o método de solução ou a resposta se um 
terceiro plano condutor for colocado na interface dos dois meios
dielétricos? 
� Espera-se encontrar, agora, cargas superficiais em cada lado do 
condutor e as grandezas destas cargas deveriam ser iguais. 
� Em outras palavras, não se espera que linhas de campo elétrico 
passem diretamente de um lado para outro da placa condutora mas 
que terminem em um lado deste condutor e continuem do outro 
lado. 
� A capacitância não se modifica desde que, claro, o condutor tenha 
espessura desprezível. 
� A adição de um condutor espesso faria crescer a capacitância se a 
separação entre as placas externas do capacitor fosse mantida 
constante. 
� Este exemplo faz parte do teorema mais geral que estabelece que a 
substituição de qualquer porção de um dielétrico por um corpo 
condutor causaria um acréscimo da capacitância.
Quadro 130
Fronteira normalFronteira normal
� Se a fronteira dielétrica for colocada normalmente às 
placas do capacitor e se os dielétricos ocuparem áreas 
S1 e S2, então uma diferença de potencial Vo
produziria os campos E1 = E2 = Vo/d. 
� Estes são campos tangenciais na interface e devem 
ser iguais. 
� Então, podem-se encontrar, em sucessão, D1, D2, ρs1ρs2 e Q, obtendo uma capacitância: 
21
2211 CC
d
SSC +=+= εε
Quadro 131
Exemplo 9
Na figura ao lado, considere 
εr1 = 4, εr2 = 6, d1 = 3 mm, 
d2 = 2 mm, S= 12 cm2 e ρs = 
240 nC/m2. Determine E em 
cada região, bem como a 
tensão entre as placas.
kV/m786,6
410
36
1
10240
nC/m240
1
9
9
10
1
1
1
1
2
1
=
××
×
===
==
−
−
n
r
nn
n
sn
E
DDE
D
pi
εεε
ρ
Para o meio 1, na fronteira entre o dielétrico e o condutor, 
pode-se escrever que:
Quadro 132
Exemplo 9 (cont.)
Para o meio 2, na fronteira 
entre os dielétricos, utiliza-se 
a condição de contorno que 
trata da descontinuidade da 
componente normal do campo 
elétrico:
kV/m524,4
10786,6
6
4
2
3
2
1
2
1
1
2
1
2
=
××=
==
n
n
n
r
r
nn
E
E
EEE
ε
ε
ε
ε
© Aldário Bordonalli 23
Quadro 133
Exemplo 9 (cont.)
Finalmente, como o campo é uniforme em cada região, pode-
se escrever diretamente que:
V4,29
10310786,610210524,4 3333
1122
=
×××+×××=
+=
−−
o
o
nno
V
V
dEdEV
A capacitância total é de:
pF8,9
4,29
101210240 49
=
×××
=
==
−−
C
C
V
S
V
QC
o
s
o
ρ