Aula 4 - Movimento 2D

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MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Figura 1
 t≡t−t0
Deslocamento:
 r≡r−r0
Velocidade média:
vmed≡
 r
 t
Velocidade instantânea:
v≡ lim
 t 0
 r
 t
=
d r
dt
Figura 2
Figura 3
Aceleração média:
amed≡
 v
 t
Aceleração instantânea:
a≡ lim
 t 0
 v
 t
= d v
dt
Movimento de Projéteis
Figura 4
v0 x=v0 cosθ0
v0 y=v0sinθ0
Sem resistência do ar.
Horizontal
ax=0
v x=v0 x
x=v0 x t
Vertical
a y=−g
v y=v0 y−g t
y= y0v0 y t−
1
2
g t 2
v y
2=v0 y
2 −2 g y
Exemplo: um projétil é lançado com uma velocidade de 50 m/s formando um ângulo de 37º com a
horizontal. (a) Quanto tempo o projétil permanece no ar (tvoo)? (b) Qual é o deslocamento horizontal
máximo (alcance horizontal R) do projétil? (c) Qual é a altura máxima (h) atingida pelo projétil?
Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2.
(a)
(b) R=v0 x t voo=406=240m
(c)
Equação da trajetória
y= y x 
y= y0v0 y t−
1
2 g t
2 1
x=v0 x t⇒ t=
x
v0 x
2
Substituindo (2) em (1):
y= y0v0 y 
x
v0x
−1
2
g  x
v0x

2
= y0
v0 y
v0 x
 x− g
2 v0 x
2 x
2= y0tan0x−
g
2v0
2 cos20
 x2
y=a x2bxc , com a≡y0 , b≡tan0 e a≡
−g
2v0
2 cos20
v0 x=v 0cos 0=50cos37
°=40m/s
v0 y=v0sin 0=50sin 37
°=30m/s
y= y0v0 y t−
1
2
g t 2
y= y0⇒ v0 y t−
1
2
g t 2=0⇒ t v0 y−
1
2
g t =0⇒ t=0 s ou t voo=
2 v0 y
g
t voo=
2×30
10
=6,0 s
v y
2=v0 y
2 −2 g y⇒02=v0 y
2 −2 g h⇒h=
v0 y
2
2 g
=
302
210
=45m
Figura 5
Alcance horizontal
Observações:
• A fórmula acima não vale quando y0≠0 !
• Ângulos de lançamentos complementares resultam no mesmo alcance:
• O maior alcance horizontal corresponde a 0=45
°⇒20=90
° .
Figura 6
Exemplo: o anterior. R=
v0
2sin 20
g
=
502sin 2 37°
10
=240 m
R=v0 x t voo=v0 cos0
2 v0sin0
g
=
2 v0
2sin0 cos0
g
sin 20=2sin0 cos0
Logo: R=
v0
2sin 20
g
0=30
°⇒ sin 30°cos30°= 1
2
 3
2
=3
4
0=60
°⇒ sin 60°cos60°= 3
2
 1
2
=3
4
Movimento Circular Uniforme (MCU)
Trajetória circular com velocidade constante em módulo.
Figura 1
No MCU, a aceleração instantânea é dirigida para o centro da trajetória, isto é, ela é
perpendicular à velocidade. Se ela tivesse uma componente tangente à trajetória, o módulo da
velocidade não seria constante.
amed=
v−v0
t−t 0
= v
 t
∣ v∣
v
=
∣ r∣
r
∣amed∣=
v
r
∣ r∣
 t
Aceleração instantânea:
a= lim
 t∞
v
r
∣ r∣
 t
= v
2
r
v= 2 r
T
Velocidade angular média:
≡
 
 t
Velocidade angular instantânea:
≡ lim
 t0
 
 t
Período ≡T≡ tempo necessário para completar uma volta
Frequência ≡ f ≡ número de voltas completas em uma unidade de tempo
Logo: f = 1
T
Exemplo: Qual é a aceleração centrípeta da Terra no seu movimento de translação em torno do Sol?
ac=
2 r
=
2
T
T=1 ano=1 ano×365,25 dias
1 ano
× 24 h
1 dia
×3600 s
1 h
=3,156×107 s
=
2
3,156×107
=1,991×10−7 rad/s
Logo: a=1,991×10−7 rad/s21,496×1011 m=5,93×10−3 m/s2≃ g
1650
No MCU,
=cte.
Então: =2
T
=2 f
Portanto, v= r
e ac=
v2
r
=
r 2
r
=2 r