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Primeira Lista de Exerc´ıcios de SMA300 - Geometria Anal´ıtica (Revisa˜o) - 25.02.2014
Professora: Maria do Carmo Carbinatto
1. Quais das seguintes matrizes A =
 2 1 00 3 −1
1 1 4
 , B =
 1 1 00 2 2
1 0 2
 e C = ( 3 5
7 10
)
sa˜o in-
vers´ıveis? Quando sua resposta for afirmativa, calcule a matriz inversa.
2. Mostre que:
a) Se A e´ uma matriz n× n invers´ıvel, enta˜o a matriz x = O (matrix coluna n× 1, identicamente nula) e´
a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o matricial A · x = O.
b) Se A e´ uma matriz n× n invers´ıvel, enta˜o a equac¸a˜o matricial A · x = b possui uma u´nica soluc¸a˜o.
3. Considere o seguinte sistema linear:
 ax + by = kcx + dy = l
ex + fy = m
. Discuta a posic¸a˜o relativa das retas ax + by = k,
cx + dy = l, ex + fy = m, quando:
a) O sistema acima na˜o admite soluc¸a˜o.
b) O sistema admite uma u´nica soluc¸a˜o.
c) O sistema admite inifinitas soluc¸o˜es.
4. Determine o conjunto soluc¸a˜o dos seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
(a)
 x1 + x2 − x3 = 12x1 + x2 + 3x3 = 2
x2 − 5x3 = 1
(b)
{
2x1 + x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 − 3x3 = 0
(c)
{
x1 + x2 − x3 = 1
−2x1 − 2x2 + 2x3 = 2 (d)
 2x1 − x2 + x3 = 1x1 + 2x2 − 3x3 = 0
x1 − x2 − 2x3 = −3.
(e)
 2x1 + 8x2 + 12x3 = 12x1 + x2 + 4x3 = −3
3x2 + 2x3 = 9.
5. Em cada um dos sistemas abaixo encontre condic¸o˜es sobre os nu´meros reais a, b e c, de modo que o mesmo
correspondente tenha respectivamente uma u´nica soluc¸a˜o, infinitas soluc¸o˜es, e nenhuma soluc¸a˜o:
a)
{
x− b y = −1
x + a y = 3
b)
{
x + b y = −1
a x + 2 y = 5
c)
 2x + y − z = a2 y + 3 z = b
x− z = c
d)
 x + a y = 0y + b z = 0
c x + z = 0
e)
 x + 2 y − 4 z = 43x− y + 13 z = 2
4x + y + a2 z = a + 3
f)
 x + a y − z = 1−x + (a− 2) y + z = −1
2x + 2 y + (a− 2) z = 1
6. Considere A =
 3 −1 12 2 1
1 −3 0
.
(a) Para que matrizes Y =
 y1y2
y3
 o sistema AX = Y admite soluc¸a˜o? Justifique sua resposta.
(b) Para as matrizes Y encontradas no item (a), determine o conjunto soluc¸a˜o do sistema AX = Y .
7. A diferenc¸a entre dois nu´meros reais e´ 14 e o triplo do menor deles e´ o qua´druplo do maior. Determine os
dois nu´meros reais.
8. Ha´ um ano atra´s, um homem era 5 vezes mais velho do que seu filho e´ hoje. Daqui a 7 anos, ele sera´ 6
vezes mais velho do que seu filho e´ hoje. Determine as idades do homem e do seu filho.
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9. Um tratador de animais de um zoolo´gico precisa dar 42 mg de vitamina A e 65 mg de vitamina D, por
dia, a um determinado animal. Ele possui dois suplementos alimentares dispon´ıveis: o primeiro conte´m
10% de vitamina A e 25% de vitamina D, enquanto que o outro conte´m 20% de vitamina A e 25% de
vitamina D. Quanto de cada suplemento deve ser dado ao animal diariamente.
10. As entradas para um parque de diverso˜es custam R$ 7, 00 para adultos, R$ 2, 00 para jovens e R$ 0, 50 para
crianc¸as. Se 150 pessoas entrarem no parque e a arrecadac¸a˜o final for R$ 100, 00, determinar o nu´mero de
adultos, de jovens e de crianc¸as que entraram (Sugesta˜o: os nu´meros procurados devera˜o ser inteiros na˜o
negativos).
11. Considere a seguinte matriz-co´digo:
M =
 3 2 03 3 1
1 0 1

A partir da correspondeˆncia:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
uma palavra Γ de treˆs letras e´ transformada em uma matriz coluna v. Em seguida o co´digo da palavra Γ
e´ obtido pela operac¸a˜o Mv.
(a) Encontre a matriz coluna correpondente a palavra MAR.
(b) Encontre a codificac¸a˜o da palavra MAR.
(c) Decodifique w =
 6480
29
.
12. A empresa K produz caminho˜es e avio˜es. Para produzir um caminha˜o, a empresa K necessita de uma
tonelada de ac¸o, 40 quilos de borracha e 2 meses de trabalho. Para produzir um avia˜o, necessita de 50 tone-
ladas de ac¸o, 1000 quilos de borracha e 50 meses de trabalho. Considere as matrizes A =
 1 5040 1000
2 50

e X =
(
x1
x2
)
, onde x1 e´ o nu´mero de caminho˜es produzidos e x2 e´ o nu´mero de avio˜es produzidos.
Interprete o produto AX. Se y1 e´ o custo de cada tonelada de ac¸o, y2 e´ o custo de cada quilo de borracha
e y3 e´ o custo de cada meˆs de trabalho, qual e´ o custo de um caminha˜o e de um avia˜o? Como representar
o custo matricialmente por meio de um produto da forma BY onde Y =
 y1y2
y3
?
13. Suponha que um estudo demogra´fico mostre que a cada ano cerca de 5% da populac¸a˜o do centro de uma
cidade muda-se para a periferia (e 95% permanece no centro), enquanto que 3% da populac¸a˜o da perifeira
muda-se para o centro (e 97% permanece na periferia).
(a) Que fatos devemos ignorar para que a seguinte equac¸a˜o matricial x1 =
(
0, 95 0, 03
0, 05 0, 97
)
x0. descreva
a mudanc¸a na populac¸a˜o de um ano para outro? Supondo esses fatos, interprete a equac¸a˜o acima. A
matrix A =
(
0, 95 0, 03
0, 05 0, 97
)
e´ chamada matriz de migrac¸a˜o.
(b) Se x0 =
(
r0
s0
)
, onde r0 e´ o nu´mero de pessoas que vivem no centro e s0 e´ o nu´mero de pessoas que
vivem na periferia num determinado ano, o que representa a fo´rmula xk+1 = A
kx0, onde k e´ um nu´mero
natural?