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Oscilações Amortecidas e Forçadas RLN -2009 Oscilações amortecidas Sistema massa-mola Serão somente analisadas situações onde a força de resistência viscosa Fa é proporcioci nal, á velocidade, Fa=-ρρρρx, e a força de atri to com o solo é desprezível. . Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso 000 Fa m x F- kxk Fa m x F-k m x F=-k RLN -2009 O coeficiente de resistência viscosa ρρρρ é sempre posi tivo. No caso de objetos esféricos tem-se que ρρρρ=6pipipipirηηηη, onde r é o raio da esfera e ηηηη é a viscosidade do meio. Valores típicos de viscosidade Fluido ηηηη (N.s/m2) Ar 1,8x10-5 Acetona 4,0x10-4 Água 1,0x10-3 Glicerina 1,2x101 Piche 6x1010 RLN -2009 A equação de movimento será escrita como )1- 0 2 0 s]([decaimentodetante -conschamadaaéeoscilaçãode freqüênciaaém konde0,xxx daí0kxxxm sejaoukxxFaFxm =γ ==++ =++ −−=+= γγγγ ωωωωωωωωγγγγ ρρρρ ρρρρ &&& &&& &&& x+γx+ω0x=0 ... 2 Equação do oscilador harmônico amortecido Equação diferencial linear de segunda ordem homogênea RLN -2009 x+γx+ω0x=0 ... 2 Solução da equação diferencial A solução será a função complexa z(t)=ept, onde p é complexo e z(t)=x(t)+iy(t) . Derivando obtemos z=pept e z=p2ept .. 0)p(pe0epeep 202 ptpt2 0 ptpt2 =++⇒=++ ωωωωγγγγωωωωγγγγ Para que a equação seja satisfeita para qualquer instante de tempo t devemos ter 0pp 202 =++ ωωωωγγγγ Equação característica da equação do oscilador harmônico amortecido RLN -2009 Solução da equação característica 2 0 220 2 422 4 p ωωωωγγγγγγγγωωωωγγγγγγγγ −±−=−±−=± A equação característica tem sempre 2 raízes dupla.realraiz1temequaçãoa0 4 Se 3) reais.soluções2temequaçãoa0 4 Se 2) complexas.soluções2temequaçãoa0 4 Se 1) 2 0 2 2 0 2 2 0 2 =− >− <− ωωωωγγγγ ωωωωγγγγ ωωωωγγγγ A solução geral da equação será , onde a e b podem ser complexos A solução do problema físico será x(t)=Re(z(t)) tptp beaez(t) −+ += RLN -2009 Discussão das possíveis soluções γγγγ 2 <ωωωω0 =>1) ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)ωωωω γγγγ += − tcos(Aex(t) t2 O sistema é oscilatório, mas não periódico. O sistema após um tempo longo estará na posição de equilíbrio Amortecimento sub-crítico 4 22 0 γγγγωωωωωωωω −= RLN -2009 γγγγ 2 2) >ωωωω0 t 2 (-t 2 (- beaex(t) β)β)β)β)γγγγβ)β)β)β)γγγγ +− += A solução x(t) é a soma de duas exponenciais decrescentes. O sistema não será mais oscilatório Amortecimento super-crítico 2 0 2 4 ωωωωγγγγββββ −= RLN -2009 γγγγ 2 3) =ωωωω0 Pode-se mostrar que a solução geral neste caso será bt)(aex(t) t 2 - += γγγγ ) 2 ( 0x 4 xx de Solução 0 2 ωωωωγγγγγγγγγγγγ ==++ &&& Amortecimento crítico RLN -2009 Pode-se mostrar que, para as mesmas condições iniciais, o amortecimento crítico é aquele onde o movimento retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio. Valores numéricos: m=1,0 kg e ωωωω0 =1,25 s -1 1) Subcrítico => A=0,41 m ;ϕϕϕϕ=-0,20 rad ; e γ=0,50 s-1 2) Crítico => a=0,40 m ; b=0,50 m/s e γ=2,5 s-1 3) Supercrítico => a=0,56 m ; b=-0,16 m/s e γ=3,0 s-1 RLN -2009 Balanço energético Caso subcrítico - Amortecimento fraco (γ << )0ω A energia mecânica do oscilador é dada por: dt dxv(t)eφ)t cos( ω t 2Aex(t)onde(t),2kx 2 1(t)2mv 2 1E(t) =+ γ − =+= . Podemos calcular o valor médio E(t) em um ciclo ) ω 2πT( = : ∫= +τt t dt')E(t'Τ 1E(t) . Se γ << 0ω pode-se mostrar que t0eEE(t) γ −= , onde E0 é a energia mecânica inicial do oscilador. Os gráficos de E(t) eE(t) , calculados para m=1,0 kg, A=1,0 m, =0ω 0,50 s -1 e γ=0,10 s-1, são mostrados na figura 4. ϕ+γ +ϕ++ϕ+γ+ = γ− )]t ωsen[2( 2 ω )t (ωsenω)t (ω)cos 4 (ω emA 2 1 E(t) 222 2 2 0t2 t 0eEE(t) γ − = RLN -2009 Oscilações forçadas e amortecidas RLN -2009 Oscilações forçadas e amortecidas A força de resistência viscosa Fa é proporcioci nal à velocidade, Fa=-ρρρρx, e a força externa periódica é dada por Fext=F0cos(ΩΩΩΩt) . Considere um sistema massa-mola imerso em um fluido viscoso e sujeito à uma força exter na periódica. - ρρρρx m 0 x -kxk Fext - ρρρρx m 0 x -kxk m 0 x -kxk Fext . RLN -2009 A equação de movimento será escrita como externa.freqüênciaéedecaimento deconstanteaéoscilação,denaturalde freqüênciaaém kondet),cos( m F xxx daít)cos(Fkxxxm sejaout)cos(FkxxFFaFxm 0 02 0 0 0ext ΩΩΩΩ γγγγ ωωωωΩΩΩΩωωωωγγγγ ΩΩΩΩρρρρ ΩΩΩΩρρρρ ==++ =++ +−−=++= &&& &&& &&& Equação do oscilador forçado e amortecido x+γx+ω0x= cos(Ωt) ... 2 F0 m Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea RLN -2009 x+γx+ω0x= cos(Ωt) ... 2 F0 m Solução Geral x(t)=xh(t)+xp(t) Solução da homegênea Solução particular A solução da homegênea já foi discutida. Por exemplo se γγγγ 2 <ωωωω0 (caso sub-crítico): ))))ωωωω γγγγ φ+= − tcos(Bex(t) t2 iniciaiscondiçõesdas partiradefinidasconstanteseB 4 22 0 φφφφγγγγωωωωωωωω ;−= RLN -2009 22 02 1 22222 0 0 arctane1 m F A( ΩΩΩΩωωωω γΩγΩγΩγΩ ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω Ω)Ω)Ω)Ω) ))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ( − −= +− = Ω xp(t)=A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)] Equação de um oscilador harmônico de freqüência ΩΩΩΩ amplitude A(ΩΩΩΩ) e fase inicial ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ) Solução Particular RLN -2009 Ressonância de Amplitude A amplitude A(ΩΩΩΩ) da solução estacionária é máxima 2 02 222e0 d d mínimofor quando máxima éA( 22 0 A R 222 0 222 0 22222 0 22222 0 γγγγωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω 0000ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω ΩΩΩΩ ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω Ω)Ω)Ω)Ω) −=⇒=+− =+×−⇒=+− +− Efeito da ressonância −≈−+=− <<− <<→ ΩΩΩΩωωωωωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωω ωωωω ωωωωΩΩΩΩ ωωωωγγγγ 0000 22 0 00 0 2 aressonânci da Próximo fraco ntoAmortecime RLN -2009 − −≅ − − +− ≅ +− ≅ ≅Ω ΩΩΩΩωωωω2222 γγγγ ΩΩΩΩωωωω2ω2ω2ω2ω γωγωγωγω γγγγΩΩΩΩωωωωωωωωωωωωγγγγΩΩΩΩωωωωωωωω Ω)Ω)Ω)Ω) ))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ( 000 0 22 0 0 0 2 0 22 0 2 0 0 arctanarctan 4 1 2m F 4 1 m F A( RLN -2009 γγγγ 2 <ωωωω0Exemplo: solução da homogênea para Solução Geral x(t)=xh(t)+xp(t) Be cos(ωωωω0t+φφφφ)+A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]2 γγγγ - t x(t)= transiente estacionária m =1,0 kg, = 0 00 0 ω ωω ω 5,0 s-1, γ γ γ γ = 0,50 s-1, B =2,0 m , φ = -0.05 rad, F0 = 10 N Ω Ω Ω Ω = 5,0 s-1. Simulação RLN -2009 kx)x(mx dt dE(t)kx 2 1(t)xm 2 1E(t) 22 +=⇒+= &&&& F(t)xmkxxm +γ−=+ &&& (t)Pxm(t)xF(t)xm dt dE 22 +−=×+−=&&& γγγγγγγγ Balanço Energético O segundo membro desta equação representa o balanço entre a potência dissipada pela força de resistência vis cosa e a potência fornecida pela força externa. Regime estacionário x(t)= A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)] x(t)=-ΩΩΩΩA(ΩΩΩΩ)sen[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)] . x(t)=-ΩΩΩΩ2A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]=>x=-ΩΩΩΩ2x .. .. RLN -2009 2 0 2 mk e x-x Mas F(t).xmkxxm ωωωω=Ω=+γ−=+ &&&&& tsen(AtAcos(t)Acos(-m dt dE 22 0 ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)(ω(ω(ω(ω +ΩΩ−+Ω+ΩΩ−= tsen[2(A 2 1)Am dt dE 2 0 22 ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω(((( +ΩΩΩΩ= − x)x-m dt dE 22 0 &Ω−= (ω(ω(ω(ω Tomando a média sobre um período 0tsen[2(A 2 1)Am dt dE 2 0 22 =+ΩΩΩΩ= − ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω(((( No regime estacionário, em média, a energia se conserva xm(t)P0(t)Pxm dt dE 22 && γγγγγγγγ =⇒=+−= No regime estacionário a potência média fornecida pela força externa é igual a potência média dissipada pela pela força de atrito. RLN -2009 t(senAm xm(t)P 2222 ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)γγγγγγγγ +ΩΩ== & ])2m[( F Am 2 1P 22222 0 22 022 ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω ΩΩΩΩγγγγγΩγΩγΩγΩ +− == 1 2 ])1 1 2m F P Definindo 2 0 222 0 2 0 0 ωωωω γγγγ αααα (α(α(α(αωωωω γγγγ ωωωω ΩΩΩΩαααα +− =⇒= 010) 1 rdenominado do mínimoP de máximoValor ωωωωαααα αααα (α(α(α(α =Ω⇒=⇒=− ⇒ 0 P R Potência de aRessonânci ωωωωΩΩΩΩ =⇒ 2 Amplitude de aRessonânci 22 0 A R γγγγωωωωΩΩΩΩ −=⇒ P R A R )0( fraco ntoamortecime o Para ΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωγγγγ ≅⇒<< Oscilações acopladas M m d k Se M>>m => oscilações forçadas. O pêndulo menor oscila com a fre qüência do pêndulo pesado. Pêndulos idênticos m m k ll d ) ) θθθθ1 θθθθ2 1 2 x1 x2 As equações que descrevem o sistema são as seguintes: m kxxxx l gxxxx 2 112 2 12 2 02 2 012 2 11 2 01 = = −−= −= + + ωωωωωωωωωωωω ωωωωωωωωωωωω )( )( && && } Sistema de equações diferenciais acopladas RLN -2009 Solução do sistema de equações 2 1 2 022 e 1 ,2 ,1 2221012 2221011 2esarbitráriaconstantessãoAA )tcos(A)tcos(A(t)x )tcos(A)tcos(A(t)x ωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕϕϕϕϕ ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω += +−+= +++= Modos Normais x1 x2 Modo simétrico x1 x2 Modo assimétrico x1=x2 mola relaxada l g 0 =ωωωω x1=-x2 mola distendida m k2 l g 0 +=ωωωω RLN -2009 Caso Particular Pêndulos partindo do repouso com um deles partindo da posição de equilíbrio x1(0)=A ;x2(0)=0 e x1(0)=x2(0)=0 .. 2 1 2 02202 201 2 ; t)]cos(t)[cos( 2 A(t)x t)]cos(t)[cos( 2 A(t)x ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω ωωωωωωωω +=−= += t)]t)sen( 2 Asen((t) x t)]t)cos( 2 Acos((t) x )(e)( 2 1 Definindo 2 1 0202 ωωωωωωωω ωωωωωωωω ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω ∆ = ∆ = =∆= −+ Simulação t t x1 x2 A -A Batimento (∆ω∆ω∆ω∆ω<<ωωωω) RLN -2009 Outro exemplo de oscilador acoplado Modo simétrico x1=x2 m k 0 =ωωωω Modo assimétrico x1=-x2 m k30 =ωωωω Oscilações longitudinais Modos normais Molas relaxadas RLN -2009 Oscilações transversais – 3 molas igualmente esticadas T0 magnitude da força restauradora => T0=k(a-d) Modos normais Modo simétrico ma T 0 0 =ωωωω Modo assimétrico ma 3T 0 0 =ωωωω RLN -2009 Modos transversais de 4 partículas RLN -2009
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