Funcao Parte de Circulo ou Parabola Funcao Composta

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EP 05 – 2016-1 – Função Parte de Círculo ou Parábola – Função Composta – Gabarito Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito do EP 05 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1: Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada e encontre o vértice e o 
eixo de simetria das parábolas definidas por essas equações. Esboce os gráficos dessas parábolas. 
Dê e expressão de cada uma das seis funções, cujos gráficos são os ramos superior e inferior dessas 
três parábolas a seguir. 
a) 
0322  yyx
 b) 
0542  xyy
 c)
042  xy
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) 
 3)2(32032 222 yyxyyxyyx
 
 3)112( 2 yyx  31)1( 2yx
 
 4)1( 2yx 2)1(4  yx
. 
O vértice dessa parábola é 
)1,4(
e o eixo de simetria é a reta vertical
1y
. 
Além disso, a equação na forma 
2)( kyahx 
 mostra que o coeficiente 
01a
, logo a 
parábola possui concavidade voltada para a esquerda e o seu gráfico é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)1(4  yx
 Da equação
segue que: 
xyxyxyyx  414)1(4)1()1(4 222
. 
Se 
01 y
então 
1y
 e 
11  yy
. 
Portanto, 
Se 
01 y
temos que: 
xyxyxy  414141
. 
 
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A função 
xxf  41)(
 tem como gráfico o ramo da parábola que está acima do eixo de simetria. O 
ponto 
)4,5(
 é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 
3191)5(414 
. 
 
 
 
 
Se 
01y
então 
1y
 e 
)1(1  yy
. 
Portanto, 
Se 
01y
temos que: 
xyxyxy  414)1(41
. 
A função 
xxg  41)(
 tem como gráfico o ramo da parábola que está 
abaixo do eixo de simetria. O ponto 
)2,5( 
 é um ponto do gráfico dessa 
função. 
De fato, 
3191)5(412 
. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) 
 544454054 222 yyxyyxxyy
 
22 )2(11)2(  yxyx
. 
O vértice dessa parábola é 
)2,1(
e o eixo de simetria é a 
reta horizontal
2y
. 
Além disso, a equação na forma 
2)( kyahx 
 mostra 
que o coeficiente 
01a
, logo a parábola possui 
concavidade voltada para a direita e o seu gráfico é: 
 
 
Da equação 
2)2(1  yx
 segue que: 
121)2(1)2()2(1 222  xyxyxyyx
. 
 
 
 
 
 
 
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Se 
02 y
então 
2y
 e 
22  yy
. 
Portanto, 
Se 
02 y
temos que: 
121212  xyxyxy
. 
A função 
12)(  xxf
 tem como gráfico o ramo da 
parábola que está acima do eixo de simetria. O ponto 
)5,10(
 é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 
329211025 
. 
 
 
 
 
Se 
02 y
então 
2y
 e 
)2(2  yy
. 
Portanto, 
Se 
02 y
temos que: 
121)2(12  xyxyxy
. 
A função 
12)(  xxg
 tem como gráfico o ramo da parábola que está abaixo do eixo de simetria. 
O ponto 
)1,10( 
 é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 
329211021 
. 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
c) 
22 404 yxxy 
 
Essa é uma parábola voltada para a direita, com vértice no ponto 
)0,4(
e eixo de simetria 
0y
(o 
eixo 
xO
). 
Da equação 
24 yx 
 segue que: 
4444 222  xyxyxyyx
. 
 
 
 
 
 
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Se 
yyy  ,0
 e assim, temos que: 
44  xyxy
. 
A função 
4)(  xxf
tem como gráfico o ramo da parábola que está acima do eixo de simetria. O 
ponto 
)2,0(
 é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 
402 
. 
Portanto a função é 
4)(  xxf
, com 
4x
, 
pois para que essa raiz quadrada possa ser calculada é 
preciso que 
04 x
, ou seja, 
4x
 
Se 
yyy  ,0
 e assim, temos que: 
444  xyxyxy
. 
A função 
4)(  xxg
tem como gráfico o ramo da parábola que está abaixo do eixo de simetria. O 
ponto 
)2,0( 
 é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 
402 
. 
Portanto a função é 
4)(  xxg
, 
 com 
4x
, pois para que essa raiz quadrada 
possa ser calculada é preciso que 
04 x
, ou seja, 
4x
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Encontre a equação reduzida das seguintes circunferências. Identifique o seu centro e o seu 
raio. 
a) 
04422 22  yxyx
 b) 
0422  xyx
 
Dê e expressão de cada uma das quatro funções, cujos gráficos são os semicírculos superior e inferior 
dessas três circunferências acima. 
 
RESOLUÇÃO: 
a) 
04422 22  yxyx
. 
Completando os quadrados nas variáveis 
x
 e 
y
: 
0)2(2)2(2 22  yyxx
 
0)112(2)112(2 22  yyxx
 
02)1(22)1(2 22  yx
 
4)1(2)1(2 22  yx
 
2)1()1( 22  yx
. 
Círculo: centro 
)1,1(C
 e raio 
2r
. 
Observe do gráfico que 
2121  x
 e 
2121  y
. 
 
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Como encontrar a expressão que define a função cujo gráfico é o semicírculo superior ao lado? 
Vamos explicitar a variável 
y
em função da variável 
x
 na equação 
2)1()1( 22  yx
: 
 2222 )1(2)1(2)1()1( xyyx
 
222 )1(21)1(2)1(  xyxy
 
Observe que, 
212)1(2)1(0)1(2 222  xxxx
 
2121212  xx
. 
Se 
01y
, então 
1y
 e 
11  yy
 . 
Logo,
 22 )1(21)1(21 xyxy
. 
2)1(21  xy
. Esta é a expressão que define o 
semicírculo superior. 
 
 
 
 
Portanto, a função 
2)1(21)(  xxf
, 
2121  x
 e 
,211  y
tem como gráfico o semicírculo superior de centro 
)1,1(C
 e 
raio 
.2r
 
 
 
Se 
01y
, então 
1y e )1(1  yy . 
Logo, 
222 )1(21)1(2)1()1(21  xyxyxy
. 
 
Portanto, a função 
2)1(21)(  xxg
, 
2121  x
 e 
,121  y
 
tem como gráfico o semicírculo inferior de centro 
)1,1(C
 e 
raio 
.2r
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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b) Completando o quadrado na variável 
:x
 
 0404 2222 xxyxyx 
4)2(0444 2222  xyxxy 
Portanto, essa equação define um círculo. 
Centro 
)0,2(C
, e raio 
2r
. 
Observe do gráfico que 
40  x
 e 
22  y
. 
Vamos encontrar a expressão que define a função cujo 
gráfico é o semicírculo superior ao lado 
Temos que, 
 xxyxxyxyx 4404 222222
. 
24 xxy 
. 
Se 
0y
 então,
yy 
. Assim, 
 22 44 xxyxxy
 
24 xxy 
, para
40  x
. 
 
Portanto, a função 
24)( xxxf 
, para
40  x
, 
20  y , tem como gráfico o semicírculo superior de centro 
)0,2(C
, e raio 
2r
.Se 
0y
 então,
yy 
. Assim, 
222 444 xxyxxyxxy 
, para
40  x
 
 
Portanto, a função 
24)( xxxg 
, 
para
40  x
, 
02  y
 
tem como gráfico o semicírculo inferior de centro 
)0,2(C
, e 
raio 
2r
. 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Sabendo que o gráfico de cada uma dessas funções é parte de uma curva conhecida, esboce 
o gráfico de cada uma delas. Explique a construção desses gráficos identificando as curvas que dão 
origem aos mesmos. Desenhe essas curvas. 
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a) 
2)2(9)(  xxf
 b) 
2)1(4)( 2  xxg
 
c) 
11)(  xxh
 d) 
312)(  xxj
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Vamos partir da função 
.)2(9)( 2 xxf
 
Consideremos 
2)2(9  xy
 e vamos fazer algumas 
contas: 




  2222 )2(9)2(9 xyxy
. 
9)2()2(9 2222  yxxy
. Esta é a equação reduzida 
de um círculo de 
 0,2C
 e raio 
3r
. 
Observe do gráfico que 
15  x
 e 
33  y
 
Observe que, 
323329)2(9)2(0)2(9 222  xxxxx
. 
152323  xx
. Isto para que a raiz quadrada 
2)2(9  x
 possa ser 
calculada. 
 
Observe também que como, 
2)2(9  xy
 então 
.0y
 
Portanto a função 
2)2(9)(  xxf
 é tal que, 
15  x
 e 
03  y
 
O seu gráfico é o semicírculo inferior de centro de 
 0,2C
 e 
raio 
3r
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
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b) Vamos partir da função 
2)1(4)( 2  xxg
 
Consideremos 
2)1(4 2  xy
 e vamos fazer algumas contas: 




  2222 )1(4)2(2)1(4 xyxy
4)2()1( 22  yx
. 
Esta é a equação reduzida de um 
círculo de 
 2,1 C
 e raio 
2r
. 
Observe do gráfico que 
2121  x
 e 
2222  y
, ou seja 
31  x
 e 
04  y
. 
 
 
Observe que, 
212214)1(4)1(0)1(4 222  xxxxx
. 
312121  xx
. Isto para que a raiz quadrada 
2)1(4  x
 possa ser calculada. 
Observe também que, 
2020)1(422)1(4 22  yyxyxy
 
 
 
 
Portanto a função 
2)1(4)( 2  xxg
 é tal 
que, 
31  x
 e 
02  y 
O seu gráfico é o semicírculo superior de centro 
 2,1 C
 e raio 
2r
. 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Vamos partir da função 
11)(  xxh
 
Consideremos 
11  xy
 e vamos fazer algumas contas: 
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 22 )1()1(11 xyxy
 
 1)1( 2 xy 2)1(1  yx
. Esta 
é a equação canônica de uma parábola de vértice no ponto 
 1,1 V
, concavidade voltada para direita e tem como 
eixo de simetria a reta 
y
1. 
Observação: a equação na forma 
2)( kyahx 
 mostra 
que o coeficiente 
01a
, por isso a parábola possui 
concavidade voltada para a direita. 
 
Observe que, 
101  xx
. Isto para que a raiz quadrada 
1x
 possa ser calculada. 
Observe também que, 
10101111  yyxyxy
 
 
Portanto a função 
11)(  xxh
 é tal que, 
 x1
 e 
1 y
 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo do 
eixo de simetria. Veja abaixo. 
O ponto 
)2,0( 
é um ponto do gráfico dessa função, 
como podemos verificar: 
110)0(2  h . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Vamos partir da função 
312)(  xxj
 
Consideremos 
312  xy
 e vamos fazer algumas 
contas: 
 )1(4)3()12()3(312 222 xyxyxy
2)3(
4
1
1  yx
. 
Esta é a equação canônica de uma parábola de vértice no ponto 
 3,1V
, 
concavidade voltada para esquerda e 
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tem como eixo de simetria a reta 
3y
. 
Observação: a equação na forma 
2)( kyahx 
 mostra que o coeficiente 
0
4
1
a
, por isso a 
parábola possui concavidade voltada para a esquerda. 
 
Observe que, 
101  xx
. Isto para que a raiz quadrada 
x1
 possa ser calculada. 
Observe também que, 
3030123312  yyxyxy
 
 
Portanto a função 
312)(  xxj
 é tal 
que, 
1x
 e 
3y
. 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo 
do eixo de simetria. 
Veja ao lado. 
O ponto 
)1,0(
é um ponto do gráfico dessa função, 
como podemos verificar: 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝒈(𝒙) = 𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 b) 𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐 
c) 𝒈(𝒙) = √𝟏 − (𝟐𝒙)𝟐 d) 𝒈(𝒙) = √𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
 e) 𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 
a) Considerando 𝒇(𝒙) = √𝟏 − 𝒙𝟐, 
𝒈(𝒙) = 𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 = 𝟐𝒇(𝒙) = 𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 
O gráfico da função 𝒇 é esticado verticalmente, com fator 
multiplicativo 2, para produzir o gráfico da função 
𝒈(𝒙) = 𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Considerando 𝒇(𝒙) = √𝟏 − 𝒙𝟐, 
O gráfico da função 𝒇 é comprimido verticalmente, com fator 
multiplicativo 
2
1
, para produzir o gráfico da função 
𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Considerando 𝒇(𝒙) = √𝟏 − 𝒙𝟐, 
𝒈(𝒙) = √𝟏 − (𝟐𝒙)𝟐 = 𝒇(𝟐𝒙) = √𝟏 − (𝟐𝒙)𝟐 
O gráfico da função 𝒇 é reduzido horizontalmente, com 
fator multiplicativo 
2
1
, para produzir o gráfico da função 
 𝒈(𝒙) = √𝟏 − (𝟐𝒙)𝟐. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
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d) Considerando 𝒇(𝒙) = √𝟏 − 𝒙𝟐, 
𝒈(𝒙) = √𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
= 𝒇 (
𝟏
𝟐
𝒙) = √𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
 
O gráfico da função 𝒇 é esticado horizontalmente, com 
fator multiplicativo 
2
1
2
1

 , para produzir o gráfico da 
função 
𝒈(𝒙) = √𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) Considerando 𝒇(𝒙) = √𝟏 − 𝒙𝟐, 
𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐=
𝟏
𝟐
𝒇 (
𝟏
𝟐
𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
 
O gráfico da função 𝒇 é comprimido verticalmente, com fator 
multiplicativo 
2
1
 e esticado horizontalmente, com fator 
multiplicativo 
2
1
2
1

, para produzir o gráfico da função 
𝒈(𝒙) =
𝟏
𝟐
√𝟏 − (
𝟏
𝟐
𝒙)
𝟐
. 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
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Exercício 5: Complete a tabela a seguir e dê os domínios das respectivas 
)()( xgf 
. 
 
)( xg
 
)( xf )()( xgf  
a) 
7x
 
x
 ? 
b) 
1x
x
 
1x
x
 ? 
c) 
x
1
 ? x 
d) ? 
12 x 142 2  xx 
e) 
xx 42 
 ? 
RESOLUÇÃO: 
a) 
7)7())(()()(  xxfxgfxgf 
. 
),()()(  gDomgfDom 
. Para que 
7x
 possa ser calculada é preciso que 
07 x
, 
donde
7x
. Logo, 
),(),7[)( gfDom 
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
fxgfxgf 









1
1
1
1
1
1
1
)
1
())(()()(  . 
}1{-IR)( gDom
, pois o denominador 
1x
 da função 
g
dever ser diferente de zero. 
}1{-IR)()(  gDomgfDom 
. Como a expressão de 
)( gf 
, não exige restrições, então 
}1{-IR)()(  gDomgfDom 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Temos que 
xxgf )()( 
 e 
x
xg
1
)( 
. 
Assim, 
)
1
())(()()(
x
fxgfxgfx  
. 
Portanto 
x
x
f )
1
(
. Fazendo 
z
x

1
, temos que 
z
x
1

. Assim 
z
zf
1
)( 
. 
Como a variável usada na lei de formação não importa, podemos trocar 
z
por
x
e assim, 
x
xf
1
)( 
. 
}0{-IR)( gDom
, pois o denominador 
x
da função 
g
dever ser diferente de zero. 
}0{-IR)()(  gDomgfDom 
. Como a expressão de 
gf 
, não exige restrições, então 
}0{-IR)()(  gDomgfDom 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
2x
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d) Temos que 
142)()( 2  xxxgf 
 e 
12)(  xxf
. 
Assim, 
1)(2))(()()(  xgxgfxgf   1)(2))(()()(142
2  xgxgfxgfxx 
 )(242
2 xgxx   xxxg 2)(
2 
. 
De fato, conferindo: 
1421)2(2)2())(()()( 222  xxxxxxfxgfxgf 
. 
IR)( gDom
, pois 
g
é um polinômio. 
IR)()(  gDomgfDom 
. 
Como a expressão de 
gf 
, não exige restrições, pois 
gf 
 é um polinômio, então 
IR)()(  gDomgfDom 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) Temos que 
2)()(  xxgf 
 e 
xxxg 4)( 2 
. 
Assim, 
)4())(()()(2 2 xxfxgfxgfx  
. 
Portanto, 
44)2(2)4( 222  xxxxxxf
. 
Fazendo 
xxz 42 
, temos 
4)(  zzf
. 
Uma solução alternativa: 
Temos que 
2)()(  xxgf 
 e 
xxxg 4)( 2 
. 
Assim, 
)4())(()()(2 2 xxfxgfxgfx  
. 
Fazendo 
zxx 42
, temos que 
2)(  xzf
. Da equação 
zxx 42
, segue que: 
4|2|4)2(4)2(4444 2222  zxzxzxzxxzxx
. 
Logo, como 
2)(  xzf
conclui-se que 
4)(  zzf
. 
Como a variável usada na lei de formação não importa, podemos trocar 
z
por
x
e assim, 
4)(  xxf
. 
IR)( gDom
, pois 
g
é um polinômio. 
IR)()(  gDomgfDom 
. 
Como a expressão de 
gf 
, não exige restrições, então 
IR)()(  gDomgfDom 
. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
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Exercício 6: Para cada uma das funções abaixo, escreva 
)()()( xgfxj 
, com 
f
 e 
g
 diferentes da 
identidade. 
a) 324 )1()( xxj  b) 
5 3
1
)(
xx
xj


 
c) 
14)(  xxj
 
 d) 
6||)( 2  xxxj
 
RESOLUÇÃO: 
a) Se 324 )1()( xxj  então 41)( xxg  e 3
2
)( xxf 
. De fato: 
3
2
44 )1()1())(()()()( xxfxgfxgfxj  
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Se 
5 3
1
)(
xx
xj


 então 
3)( xxxg 
 e 
5
1
)(
x
xf 
. De fato: 
5 3
3 1)())(()()()(
xx
xxfxgfxgfxj

 
. 
Outra possível escolha de 𝑓 e 𝑔 é: 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 𝑥3
5
 e 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
. De fato: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥 − 𝑥3
5
) =
1
√𝑥−𝑥3
5 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Se 
14)(  xxj
 então 
4)(  xxg
 e 
1)(  xxf
. De fato: 
14)4())(()()()(  xxfxgfxgfxh 
. 
Outra possível escolha de 𝑓 𝑒 𝑔 é: 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| e 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1. De fato: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥 − 4|) = |𝑥 − 4| − 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Se 
6||)( 2  xxxj
 então 
xxg )(
 e 
6)( 2  xxxf
. De fato: 
66)())(()()()( 2
2
 xxxxxfxgfxgfxj 
. 
Lembre que 
222 xxxxx 
, pois 
02 x
. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
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Exercício 7: 
I) Sejam 
1
12
)(



x
x
xf
 e 
1
1
)(


x
xg
 
a) Encontre 
)()( xgf 
 e 
)()( xfg 
 
b) O domínio natural da função 
x
x
xh


3
)(
 é o mesmo da função 
)()( xgf 
? Explique. 
 
II) Sejam 
1)(  xxf
 e 
)()(5)( xfgxg 
. Se 
2)1( g
, obtenha os valores de: 
a) 
)2(g
 b) 
)3(g
 c) 
)0(g
 d) 
)1(g
. 
e) Conhecendo os valores de 
)1(,)0(,)1(,)2(,)3( ggggg
, você é capaz de intuir uma fórmula 
para 
 nng ,)(
? 
Nesse momento do curso, você ainda não pode provar uma lei para 
 nng ,)(
, mas é 
importante tentar fazer uma conjectura, uma proposta, já é um primeiro passo. 
 
RESOLUÇÃO: 
I) 
a) 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
fxgfxgf























3
1
1
3
1
)1(1
1
)1(2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1)
1
1
(2
)
1
1
())(()()(  . 
 
}1{IR)( gDom
, pois o denominador 
1x
da função 
g
deve ser diferente de zero. 
}1{IR)()(  gDomgfDom 
. 
A lei de formação da função 
gf 
exige que 
0x
. 
Portanto, 
)( gfDom  }1,0{IR 
. 
2
1
1
2
1
1
)1(12
1
1
1
12
1
)
1
12
())(()()(
















x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
gxfgxfg 
. 
}1{IR)( fDom
, pois o denominador 
1x
 da função 
f
deve ser diferente de zero. 
}1{IR)()(  fDomfgDom
. 
A lei de formação da função 
fg 
exige que 
2x
. 
Portanto, 
)( fgDom  }2,1{IR 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
 
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b) Temos que 
)(hDom }0{IR 
, pois a variável 
x
do denominador da função 
h
não pode ser 
zero Portanto, o domínio natural da função 
x
x
xh


3
)(
 não é o mesmo da função 
gf 
, que é 
}1,0{IR 
, como justificamos no item a) acima. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
II) Sejam 
1)(  xxf
 e 
)()(5)( xfgxg 
 
Logo, 
)1(5)())((5)()()(5)(  xgxgxfgxgxfgxg 
. 
a) Fazendo 
2x
 na igualdade 
)1(5)(  xgxg
, temos que: 
)1(5)2()12(5)2( gggg 
.Como 
2)1( g
, então 
5225)1(5)2(  gg
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Fazendo 
3x
 na igualdade 
)1(5)(  xgxg
, temos que: 
)2(5)3()13(5)3( gggg 
. Como pelo item a), 
10)2( g
, então 
252552105)2(5)3(  gg
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Para calcular 
)0(g
, vamos fazer 
1x
 na igualdade 
)1(5)(  xgxg
. 
Assim, 
)1(
5
1
)0()0(5)1()11(5)1( gggggg 
. Como por hipótese, 
2)1( g
, então 
152
5
2
2
5
1
)1(
5
1
)0(  gg
. 
OBSERVE que: 
Se para calcular 
)0(g tivéssemos feito 0x na igualdade )1(5)(  xgxg teríamos encontrado 
)1(5)0(  gg
 e não teria resolvido o problema porque ainda não temos o valor 
)1(g
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Para calcular 
)1(g
, vamos fazer 
0x
 na igualdade 
)1(5)(  xgxg
. 
Assim, 
)0(
5
1
)1()1(5)0()10(5)0( gggggg 
. Como pelo item c), 
5
2
)0( g
, 
então 
2
2
52
5
2
5
2
5
1
)0(
5
1
)1(  gg
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
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e) Observemos os seguintes valores da função 
g
: 
252)3( g
 
52)2( g
 
0522)1( g
 
152)0( g
 
252)1( g
. 
Assim, a nossa conjectura, a nossa suposição é que 
  nng n ,52)( 1
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8 Considere as funções: 






1,)1(
1,1
)(
2 xsex
xsex
xf
 







0,2
0,
)(
xsex
xsex
xg
 
a) Encontre as expressões das funções 
)()()( xgfxh 
 e 
)()()( xfgxj 
. 
b) Esboce os gráficos de 
f
, 
g
, 
gf 
, 
fg 
. 
RESOLUÇÃO: 
a) Vamos encontrar a expressão de 
)()()( xgfxh 
. 
Para iniciar a composição, temos que começar a observar os valores de 
x
 na partição do domínio da 
função 
g
, a função que inicia a composição: 
 Se 
0x
: 
  11)())(()()()(
10


xxxfxgfxgfxh


, pois se 
0x
 então 
0 x
, podemos calcular 
x
e também
0 x
. Logo 
10  x
. 
 Se 
0x
: 
   22
12
11)2()2())(()()()( 

xxxfxgfxgfxh


, pois 
0x então 
122 x
 
 Se 
0x
: 
  112)2()20())0(()()()( 2  ffgfxgfxh 
. Logo, 
 






0,1
0,1
))(()(
2
xsex
xsex
xgfxh 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Para iniciar a composição, temos que começar a observar os valores de 
x
 na partição do domínio da 
função 
f
, a função que inicia a composição Se 
1x
: 
32)1()1())(()()()(
0


xxxgxfgxfgxj


, pois se 
1x
 então 
1 x
 donde, 
01  x
e temos que usar a lei de formação da função 
g
 para valores 
positivos. 
 Se 
1x
: 
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  1)1()1())1(())(()()()( 22
0
2 

xxxxgxfgxfgxj


, pois 
como 
0)1( 2 x
, então 
0)1( 2  x
 e temos que usar a lei de formação da função 
g
 para 
valores negativos. 
 Se 
1x
: 
220)0())1(()1()()(  gfgfgxj 
. Logo, 
 















1,1
1,3
))((
1,1
1,2
1,3
))(()(
xsex
xsex
xfg
xsex
xse
xsex
xfgxj  
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Vamos esboçar os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 9: 
Use os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e determine o valor de cada uma das expressões 
apresentadas nos itens abaixo. Justifique sempre que não for possível determinar algum desses valores. 
 
a) 
)2()( gf 
 b) 
)0()( gf 
 
c) 
))3(( fg
 d) 
)5()( fg 
 
e) 
))2(( gg
 f) 
))5(( ff
 
 
RESOLUÇÃO: 
As informações para resolver os itens acima serão 
encontradas nos gráficos das funções 
f
 e 
g
 ao lado. 
Dado um valor para a abscissa 
x
 é só procurar a 
ordenada 
)( xf
ou 
)( xg
correspondente, 
conforme seja o caso e se existir, é claro! 
a) 
3)0())2(()2()(  fgfgf 
 
b) 
4)2())0(()0()(  fgfgf 
 
c) 
1)3())3((  gfg
 
d) 
)5())5(()5()(  gfgfg 
. Como 
)(5 gDomx 
, então a composição 
)5()( fg 
 
não pode ser calculada. 
e) 
2)4())2((  ggg
 
f) 
)5())5((  fff
. Como 
)(5 fDomx 
, então a composição 
)5()( ff 
 não pode 
ser calculada. 
_____________________________________________________________________________________