Paridade Inversa Crescimento

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EP 06 – 2016-1 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções – GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito EP 06 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 1: 
Dê o ponto simétrico dos pontos: I) 
)4,1(P
, II) 
)3,2(Q
em relação à: 
a) eixo 𝑥 b) eixo 𝑦 c) origem d) reta 
xy 
. 
Solução: 
I) 
)4,1(P
 
a) O ponto simétrico do ponto 
)4,1(P
 em 
relação ao eixo 𝑥 é o ponto 
)4,1( 
. 
b) O ponto simétrico do ponto 
)4,1(P
 em 
relação ao eixo 𝑦 é o ponto 
)4,1(
. 
c) O ponto simétrico do ponto 
)4,1(P
 em 
relação à origem é o ponto 
)4,1( 
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) O ponto simétrico do ponto 
)4,1(P
 em relação 
à reta 
xy 
 é o ponto 
)1,4(
. 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
II) 
)3,2(Q
 
a) O ponto simétrico do ponto 
)3,2(Q
 em relação 
ao eixo 𝑥 , é o ponto 
)3,2( 
. 
b) O ponto simétrico do ponto 
)3,2(Q
 em relação 
ao eixo 𝑦 é o ponto 
)3,2(
. 
c) O ponto simétrico do ponto 
)3,2(Q
 em relação 
à origem é o ponto 
)3,2( 
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
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d) O ponto simétrico do ponto 
)3,2(Q
 em 
relação à reta 
xy 
 é o ponto 
)2,3( 
. 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 2: 
a) Se o ponto 
)3,
7
1
( 
estiver no gráfico de uma função par,
f
, que outro ponto também 
deverá estar no gráfico? 
b) E se este ponto estiver no gráfico de uma função ímpar,
g
, que outro ponto também deverá estar 
no gráfico? 
Solução: 
a) Se a função 
f
é par então 
)()( xfxf 
. Logo, 
)
7
1
()
7
1
(  ff
. Como 
)3,
7
1
( 
está 
no gráfico da função 
f
, então 
3)
7
1
( f
. Concluímos então, que o par ordenado
)3,
7
1
( 
também está no gráfico da função par, 
f
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Se a função 
g
é ímpar então 
)()( xgxg 
. Logo, 
3)3()
7
1
()
7
1
(  gg
, 
donde concluímos, que o par ordenado (
𝟏
𝟕
, √𝟑) também está no gráfico da função ímpar, 
g
. 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Uma função 
f
tem domínio 
],[ 66 xx
e a parte do seu gráfico para 
],0[ 6xx
está mostrada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Complete o gráfico de 
f
supondo que ela é uma função par e 𝑓(0) = 𝑦1. 
b) Complete o gráfico de 
f
supondo que ela é uma função ímpar e 0 ∉ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓). 
Solução: 
a) Sabendo que 
f
 é uma função par, para completar o gráfico de 
f
, basta refletir a parte dada, 
com relação ao eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sabendo que 
f
 é uma função ímpar para completar o gráfico de 
f
, basta refletir a parte dada 
com relação à origem. 
Observe que esta função ímpar apresenta um "salto" em 
0x
. Note que os pontos (0, 𝑦1) e (0, −𝑦1) 
NÃO pertencem ao seu gráfico, já que 0 ∉ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓). 
Observe que: 
A reflexão em relação à origem corresponde a uma reflexão no eixo 𝑦 seguida de uma reflexão no eixo 
𝑥 , pois: 
),(),(),( yxyxyx
xeixonorefeteyeixonorefete
  
" 
____________________________________________________________________________ 
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Exercício 4: Nas funções a seguir, dê a sua paridade, ou seja, determine as que são pares, as que são 
ímpares e, nos casos em que a função não for nem par nem ímpar, escreva-a como uma soma de uma 
função par com uma função ímpar. 
a) 
67
4
1
35)( 347  xxxxxf
 b) 
42)( xxxg 
 
c) 
2
3
1
2
)(
x
x
xh


 d) 
1
1
)( 26
2


 xx
x
x
xj
 
e) 
43 15)( xxxk  f) 4)(  xxl 
g) 5 353)( xxxm  h) 5 454)( xxxn  
i) 4 343)( xxxo  . 
 
Solução: 
a) 
IR)( fDom
. 
IR
 é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
A função 
67
4
1
35)( 347  xxxxxf
é um polinômio e como apresenta monômios de grau par e 
monômios de grau ímpar não é uma função par nem ímpar. 
𝑓(−1) = 5(−1)7 − 3(−1)4 +
1
4
(−1)3 + 7(−1) − 6 = −5 − 3 −
1
4
− 7 − 6 = −21 −
1
4
= −
85
4
 
𝑓(1) = 5(1)7 − 3(1)4 +
1
4
(1)3 + 7(1) − 6 = 5 − 3 +
1
4
+ 7 − 6 = 3 +
1
4
= 
13
4
 
Logo, como 𝑓(−1) ≠ 𝑓(1), 𝑓 não é par, e como 𝑓(−1) ≠ −𝑓(1), 𝑓 não é ímpar 
Portanto vamos escrevê-la como a soma de uma função par com uma função ímpar. 
Defina, 
 
xxxxf i 7
4
1
5)( 37 
 e 
63)( 4  xxf p
 
Como 
)()7
4
1
(7
4
1
)(7)(
4
1
)(5)( 373737 xfxxxxxxxxxxf ii 
, então 
if
é uma função ímpar. 
Como 
)(636)(3)( 44 xfxxxf pp 
, então 
pf
é uma função par 
 
Portanto, 
 
 67
4
1
35)( 347 xxxxxf )()()63()7
4
1
5( 437 xfxfxxxx pi 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Seja 
42)( xxxg 
. 
IR)( gDom
, pois 
IR,02  xx
. 
IR
 é um conjunto 
simétrico em relação à origem da reta numérica. 
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Como 
xx 
 e 
44 )()( xx 
, temos que, 
 
)()(2)(2)( 44 xgxxxxxg 
. 
Donde, a função 
g
é uma função par. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Seja 
2
3
1
2
)(
x
x
xh


. Como o denominador deve ser diferente de zero, então,
01 2  x
 donde, 
1x
, portanto 
}1,1{IR)( hDom
, que é um subconjunto simétrico em relação à origem da 
reta numérica. 
Sendo 
22 )()( xx 
 e 
33 )()( xx 
, então, 
 
)(
1
2
)(1
)(2
)(1
)(2
)(
2
3
2
3
2
3
xh
x
x
x
x
x
x
xh 








. 
Donde, a função 
h
é uma função ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) Seja
1
1
)( 26
2


 xx
x
x
xj
. Para que a raiz quadrada 
12 x
 possa ser calculada, é 
preciso que, 
012 x
, logo 
11  xoux
. Portanto 
],1[]1,()( jDom
, que é 
um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
1
1
1
1
1)()(
)(1
)( 26
2
26
2
26
2








 xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xj
. 
Esta equação mostra que a função 
j
não é par nem ímpar. Portanto vamos escrevê-la como a soma de 
uma função par com uma função ímpar. 
Defina: 
 
21)(
x
x
xji


 e 
1)( 26  xxxj p
. 
Vemos que, 
)(
11)(1
)(
222
xj
x
x
x
x
x
x
xj ii 








, donde concluímos que a função 
ij
é uma 
função ímpar e 
)(11)()()( 2626 xjxxxxxj pp 
, donde concluímos que a função 
pj
é uma 
função par. 
 
Portanto, 




 )1()
1
(1
1
)( 26
2
26
2
xx
x
x
xx
x
x
xj )()( xjxj pi 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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e) Seja 
43 15)( xxxk 
.
IR)( kDom
, pois 
IR,01 4  xx
. 
IR
 é um conjunto 
simétrico em relação à origem da reta numérica. 
4343 15)(1)(5)( xxxxxk 
 
Esta equação mostra que a função 
k
não é par nem ímpar. Portanto vamos escrevê-la como a soma de 
uma função par com uma função ímpar. Lembre-se que essa decomposição é única. 
Embora, depois dos exemplos feitos acima, não seja difícil descobrir a decomposição da função 
k
 como 
a soma de uma função par com uma função ímpar, vamos nesse exemplo, usar o fato lembrado no início 
desse EP que diz, 
)()(
2
)()(
2
)()(
)( xkxk
xkxkxkxk
xk ip 




 
Assim, 
5
2
10
2
)15()15(
2
)()(
)(
4343





xxxxxkxk
xk p
. 
43
4343
1
2
)15()15(
2
)()(
)( xx
xxxxxkxk
xki 




. 
Portanto, 
)()()1(515)( 4343 xkxkxxxxxk ip 
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 
4)(  xxl
 
Para que a raiz quadrada 
4x
 possa ser calculada, é preciso que, 
04 x
, logo 
4x
. 
Portanto 
],4[)( lDom
, que não é um subconjunto simétrico em relação à origem da reta 
numérica. Portanto 
4)(  xxl
 não pode ser analisada para função par, nem para função ímpar, 
nem ser escrita como soma de uma função par com uma função ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) 5 353)( xxxm  
A raiz 
5 3x
 pode ser calculada para 
IR x
, pois é uma raiz de índice ímpar. Logo 
IR))(( xmDom
. 
IR
 é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
)()()()( 5 35 35 35
3
xmxxxxxm 
. Portanto, 5 353)( xxxm  é uma função 
ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
h) 5 454)( xxxn  
A raiz 
5 4x
 pode ser calculada para 
IR x
, pois é uma raiz de índice ímpar. Logo 
IR))(( xnDom
. 
IR
 é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
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)()()()( 5 45 45
4
xnxxxxn 
. Portanto, 5 454)( xxxn  é uma função par. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
i) 4 343)( xxxo  . 
Para que a raiz 
4 3x
 possa ser calculada, é preciso que 
003  xx
, pois é uma raiz de índice par. 
Logo 
),0[))(( xoDom
, que não é um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
Portanto 4 343)( xxxo  não pode ser analisada para função par, nem para função ímpar, nem ser 
escrita como soma de uma função par com uma função ímpar.. 
____________________________________________________________________________ 
 
Exercício 5: As figuras a seguir representam gráficos de funções. Identifique entre elas aquelas que 
representam gráficos de funções invertíveis e, nestes casos, esboce sobre a própria figura o gráfico da 
função inversa 
 Gráfico de 
f
 Gráfico de 
g
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de 
h
 Gráfico de 
j
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: a única função que não é invertível é a função 
j
, pois ela não é uma função um a um. Basta 
observar que ela não satisfaz o Teste da Reta Horizontal. 
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As funções 
hgf ,,
satisfazem o Teste da Reta Horizontal e são portanto funções um a um e 
consequentemente, invertíveis. 
Vamos esboçar os gráficos dessas funções e das suas inversas no mesmo sistema de coordenadas. 
 Gráfico de 
f
e 
1f
 Gráfico de 
g
e 
1g
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico de 
h
e 
1h
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: As funções a seguir são invertíveis. Em cada caso, determine a função inversa, dando o 
domínio, a imagem e a lei de formação. Em cada caso, esboce os gráficos da função, da sua inversa, da 
reta
xy 
 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
a) 
1
1
}1{}1{:



x
x
x
g

lRlR
 b) 
34
),3[),4[:


xx
r

 c) 
1
:
3 

xx
h

lRR 
Solucão: 
a) Seja 
1
1
)(



x
x
xg
. 
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Escrevemos a equação 
1
1



x
x
y
 e resolvemos essa equação para 
x
: 



 yxxyxyxyxxy
x
x
y 111)1(
1
1
 
1
1
1)1(



y
y
xyyx
 
Trocando 
x
 por 
y
temos
1
1



x
x
y
. 
Logo, 
)(
1
1
)(1 xg
x
x
xg 



 e 
}1{}1{:1  lRlRg
 
Vamos esboçar os gráficos de 
)()( 1 xgyexgy 
no mesmo sistema de coordenadas: 
Para construir o gráfico de 
1
1



x
x
y
 precisamos simplificar a expressão, fazendo uma divisão de 
polinômios ou somando e subtraindo 1 no numerador, com a intenção de simplificar até chegar a uma 
expressão que possamos reconhecer como uma transformação sobre uma função elementar cujo gráfico 
conhecemos. Façamos isso, 
1
2
1
1
2
1
1
1
21
1
111
1
1
















xxx
x
x
x
x
x
x
x
y
 
O gráfico dessa função pode ser obtido pela seguinte sequência de transformações em gráficos: 
1
2
1
1
221 )3()2()1(




x
y
x
y
x
y
x
y
 
(1) Esticamento do gráfico da função elementar 
x
y
1

 por um fator multiplicativo 2. 
(2) Translação horizontal de 1 unidade para a direita do gráfico de 
x
y
2

. 
(3) Translação vertical de 1 unidade para cima do gráfico de 
1
2


x
y
. 
 
 
OBSERVE: Já vimos anteriormente que 
)(
1
1
)(1 xg
x
x
xg 



. Se tivéssemos 
iniciado o exercício esboçando o gráfico de g, 
poderíamos tirar essa conclusão do próprio 
gráfico, já que o gráfico de g é simétrico em 
relação à reta 
xy 
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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b) Seja 
34)(  xxr
. 
Escrevemos a equação 
34  xy
 e resolvemos essa equação para 
x
: 
4)3(4)3(4334 22 yxxyxyxy
 
Trocando 
x
 por 
y
temos 
4)3( 2  xy
. 
Logo, 
4)3()( 21  xxr
 e 
),4[),3[:1 r
 
Esboçando os gráficos de 
4)3()(34)( 21   xxryexxry
 no mesmo 
sistema de coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Seja 
1)( 3  xxh
. 
Escrevemos a equação 
13  xy
 e resolvemos essa equação para 
x
: 
333 111  yxxyxy
. 
Trocando 
x
 por 
y
temos 
3 1 xy
. 
Logo, 
31 1)(  xxh
 e 
lRlR  :1h
 
Esboçando os gráficos de 
313 1)(1)(   xxhyexxhy
 no mesmo 
sistema de coordenadas: 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 7: Seja 
1
),1[]0,(:
2 

xx
f

 
 
a) Determine a inversa 
1f
 e verifique que 
)()()()( 11 xffxff   
. 
b) Esboce os gráficos de 
f
, 
1f
, 
xy 
 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
Solução : Sabemos que 
)()(Im)(Im)( 11 fDomfeffDom  
, portanto: 
]0,()(Im),1[)( 11   fefDom
. 
Escrevemos 
12  xy
 e resolvemos essa equação para 
x
: 
1111 222  yxyxyxxy
 
11  yxouyx
 
Trocando 
x
 por 
y
temos
11  xyouxy
. 
Como 
]0,()(Im 1 f
 então 
0y
e assim a função inversa de 
f
 
será 
1)(1   xxfy
, que é um número negativo ou nulo. 
Vamos fazer as composições: 
xxxxfxffxff   1)1(1)1()1())(()()( 211
 
xxxxxxfxffxff   )(1)1()1())(()()( 222111
, pois 
como 
x ]0,()( fDom
, então 
0x
e, portanto, 
xx 
. 
Esboçando os gráficos de 
)()( 1 xfyexfy 
no mesmo sistema de coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 8: Seja 
xxxf 3)( 3 
, para 
22  x
. 
a) Explique por que a função 
f
, cujo gráfico está na figura abaixo, não tem inversa em seu domínio. 
b) Subdivida o domínio em três intervalos adjacentes 
sobre cada um dos quais a função 
f
 tem uma inversa. 
 
 
 
 
Solução: 
a) A função 
f
, do gráfico dado, não tem inversa em 
seu domínio, pois não satisfaz o Teste da Reta 
Horizontal, não é um a um. 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Podemos subdividir o domínio em três intervalos adjacentes sobre cada um dos quais a função 
f
 
tem uma inversa. Esses intervalos são: 
]2,1[,]1,1[,]1,2[ 
. 
Esses intervalos foram escolhidos, pois em cada um deles a função é um a um, satisfaz 
Teste da Reta Horizontal. 
 
]2,2[]1,2[: f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EP 06 – 2016-1 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções – GABARITO Pré-Cálculo 
13 de 23 
]2,2[]1,1[: f
 
]2,2[]2,1[: f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9: Dê o domínio das funções a seguir e esboce os seus respectivos gráficos. Essas funções 
definem parte de uma curva já estudada . Elas são inversíveis? 
 
a) 
216)( xxf 
 b) 
14)(  xxg
 
Solução: 
a) Seja 
216)( xxf 
 
Para que a raiz quadrada 
216 x
 possa ser calculada é preciso que 
016 2  x
. Mas, 
4441616016 222  xxxxx
. 
Portanto, 
]4,4[)( fDom
. 
Para saber qual a curva que deu origem a esta função, vamos fazer alguns cálculos. 
Considere a equação 
216 xy 
. Então, 
16161616 2222
2
222 



  yxxyxyxy
 
Esta é a equação de um círculo de centro 
)0,0(C
 e raio 
4r
. 
Como em 
216)( xxf 
, 
0y
, então o gráfico 
desta função é o semicírculo, que está nos 3º. e 
4º.quadrantes e mais os pontos 
)0,4(A
 e 
)0,4(B
sobre 
o eixo 
xO
: 
Esta função não é inversível, pois não é “um-a-um”. 
É fácil ver graficamente que retas horizontais, como por 
EP 06 – 2016-1 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções – GABARITO Pré-Cálculo 
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exemplo, 
1y
, 
3y
, cortam a curva em dois pontos. 
b) Seja 14)(  xxg 
Para que a raiz quadrada 
x4
 possa ser calculada é preciso que 
404  xx
. 
Consideremos 
14  xy
 e vamos fazer algumas contas: 
 xyxyxy 4)1()4()1(14 222
2)1(4  yx
. 
Esta é a equação canônica de uma 
parábola de vértice no ponto 
 1,4 V
, 
concavidade voltada para esquerda e 
tem como eixo de simetria a reta 
1y
. 
 
 
Observação: a equação na forma 
2)( kyahx 
 mostra que o coeficiente 
01 a
, por isso a 
parábola possui concavidade voltada para a esquerda. 
 
Observe que, 
10104114  yyxyxy
 
Portanto a função 
14)(  xxg
 é tal que, 
4x
 e 
1y
. 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo do eixo de simetria. 
Veja ao lado. 
O ponto 
)3,0( 
é um ponto do gráfico dessa 
função, 
como podemos verificar: 
31214104)0( g
 
Esta função ,e inversível, pois é “um-a-um”. 
É fácil ver graficamente que retas horizontais, 
cortam a curva em no máximo um ponto. 
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_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Seja 
4
)(
2
3


x
x
xf
uma função invertível. 
a) Encontre 
x
se 
3)(1  xf
 
b) Ache o valor de 
)1(1f
. 
 
Solução: 
 
a) Sabemos que 
xfxf  )3(3)(1
. 
Assim, 
13
27
49
27
43
3
)3(
2
3




 fx
. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Suponha 
xf  )1(1
. 
Sabemos que 
1)()1(1  xfxf
. 
Mas, 
0441
4
1)( 2323
2
3


 xxxx
x
x
xf
. 
Como 
f
é uma função invertível então 
f
é uma função um-a-um e, portanto, existe um único valor 
de
x
, tal que 
1)( xf
. 
Pelo que afirmamos acima, existirá uma única raiz real para o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 4 . 
Começamos buscando as possíveis raízes inteiras desse polinômio, que estão entre os divisores do termo 
independente 
4
, e são: 
4,4,2,2,1,1 
 
Testando esses valores, verificamos que 𝑝(2) = 23 − 22 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 . Assim, 𝑥 = 2 é raiz do 
polinômio 𝑝(𝑥) e será, portanto, o único valor de 
x
, tal que 
1)( xf
. 
Logo, 
2)1(1 f
. 
Ainda não aprendemos em Pré-Cálculo como construir o 
gráfico dessa função, mas em Cálculo I será possível 
construí-lo, ele está desenhado ao lado. 
 
 
 
 
 
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Exercício 11: 
A figura ao lado apresenta o gráfico do 
polinômio 
51243)( 234  xxxxp
, 
restrito a um intervalo 
IRI
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Digaqual é o domínio dessa função. Responda na forma de intervalo. 
b) Esta função é monótona? Justifique sua resposta! 
c) Marque no eixo 𝑂𝑥 , os intervalos onde essa função é decrescente. Diga quais são esses intervalos. 
d) A função é monótona no intervalo 
]2,1[
? Justifique sua resposta. 
e) Marque no eixo 𝑂𝑥 , os intervalos onde essa função é crescente. Diga quais são esses intervalos. 
f) Diga qual é a imagem dessa função. Responda na forma 
de intervalo. 
Solução: 
(a) Observando o gráfico vemos que 
]3,2[)( fDom
. 
 
 
(b) Essa função não é monótona, pois, por exemplo, ela é 
decrescente no intervalo 
]1,2[ 
e é crescente no intervalo 
.]0,1[ 
 
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(c) Essa função é decrescente nos intervalos: 
]1,2[ 
, 
]2,0[
 
 
 
 
 
 
 
(d) Essa função não é monótona no intervalo 
]2,1[
, pois, ela é crescente no intervalo 
]0,1[
e é 
decrescente no intervalo 
.]2,0[
 
 
 
(e) Essa função é crescente nos intervalos: 
]0,1[
, 
]3,2[
 
 
 
 
(f) Observando o gráfico vemos que 
]37,27[])2(,)2([)(Im  fff
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________ 
Exercício 12: 
Desenhe, caso exista, o gráfico de uma função 
g
 que satisfaz (simultaneamente) as seguintes condições: 
a) O domínio de 
g
é 
]3,1[]1,3[ D
 
b) A função 
g
 é decrescente em 
]1,3[ 
. 
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c) A função 
g
 é decrescente em 
]3,1[
. 
d) A função 
g
 é não é decrescente em 
]3,1[]1,3[ D
. 
Solução: 
 
b) Essa função é decrescente no intervalo 
]1,3[  . 
c) A função 
g
 é decrescente em 
]3,1[
. 
d) A função 
g
 é não é decrescente em 
]3,1[]1,3[ D
. De fato, temos por 
exemplo, que; 
)2(62)2(22 ffe 
 
 
 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 13: 
a) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no 
intervalo 
),0( 
. 
b) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no 
intervalo 
)0,( 
. 
c) A função 
x
xh
1
)( 
é decrescente no seu domínio, que é 
),0()0,( 
? Justifique sua 
resposta! 
Solução: 
a) De fato: 
Sejam 
),0(, 21  Axx
, com 
21 xx 
. 
Assim, 
)()(
11
00 12
12
21 xfxf
xx
xx 
, 
Mostramos então que, 
)()(,, 122121 xfxfxxAxx 
. 
Ou, escrita de outra forma, 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
. 
Portanto, concluímos que a função 
x
xf
1
)( 
 é decrescente no intervalo 
),0( A
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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b) Sejam 
)0,(, 21  Bxx
, com 
21 xx 
. 
Assim, 
).()(
11
0100 12
12
1
2
1
221 xfxf
xx
xe
x
x
xexx 
 
Mostramos então que, 
)()(,, 122121 xfxfxxBxx 
. 
Ou, escrita de outra forma, 
)()(,, 212121 xfxfxxBxx 
. 
Portanto, concluímos que a função 
x
xf
1
)( 
 é decrescente no intervalo 
)0,(B
. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Observe que 
2
1
0
2
1
202 


 
Portanto, a função 
x
xh
1
)( 
não é 
decrescente no seu domínio, que é 
).,0()0,(  
Para ilustrar, apresentamos ao lado o 
gráfico da função citada. 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 14: 
Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 
2)( xxf 
 é decrescente no intervalo 
]0,(A
. 
Solução: 
De fato: 
Sejam 
]0,(, 21  Bxx
, com 
21 xx 
. 
Assim, 
021  xx
, donde 
01x
 e 
021  xx
. Como 
01x
 e 
02 x
 então 
012  xx
. 
Sendo o produto de dois números reais negativos, um número real positivo, segue que: 
        )()(00)()( 21
2
2
2
1
2
2
2
11221 xfxfxxxxxxxx  
Mostramos então que, 
)()(,, 212121 xfxfxxAxx 
. 
Portanto, concluímos que a função 
2)( xxf 
 é decrescente no intervalo 
]0,(B
. 
 
 
 
EP 06 – 2016-1 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções – GABARITO Pré-Cálculo 
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Para ilustrar, apresentamos ao lado o gráfico da função citada. 
 
 
___________________________________________________________________________ 
Exercício 15: 
Mostre que se 
)(xfy 
é uma função crescente em um intervalo 
],[ ba
então 
)()( xfxgy 
é uma 
função decrescente neste mesmo intervalo. 
Solução: 
Se 
)(xfy 
é uma função crescente em um intervalo 
],[ ba
 então 
 )()()()(,],[, 21212121 xfxfxfxfxxbaxx
 
)()( 21 xgxg 
. Provamos assim que, 
)()(,],[, 212121 xgxgxxbaxx  . 
Logo, 
)()( xfxgy 
é uma função decrescente no intervalo 
],[ ba
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 16: 
Esboce o gráfico da função: 
 










2,23
22,3
2,23
)( 2
xsex
xsex
xsex
xfy
 
a) Determine os intervalos onde 
f
 é crescente, onde 
f
 é decrescente. 
b) Determine os intervalos onde 
2)( xf
. Mostre no gráfico, a parte do gráfico que satisfaz essa 
condição. 
c) A função 
f
 é invertível? Justifique sua resposta! 
d) Se a sua resposta para o item c) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível inverter a 
função 
f
. Justifique sua escolha. 
Solução: 
 
 
EP 06 – 2016-1 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções – GABARITO Pré-Cálculo 
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O gráfico da função 
 










2,23
22,3
2,23
)( 2
xsex
xsex
xsex
xfy
 
 
O gráfico de 
23  xy
pode ser construído a partir das seguintes transformações em gráficos de 
funções: 
233
23
    xyxyxyxy
unidades
cima
verticaltranslação
unidades
esquerda
horizontaltranslação
xexixo
dotorno
emreflexão
 
Este gráfico será considerado no intervalo 
)2,( 
. 
 
O gráfico de 
23  xy
pode ser construído a partir das seguintes transformações em gráficos de 
funções: 
233
23
    xyxyxyxy
unidades
cima
verticaltranslação
unidades
direita
horizontaltranslação
xexixo
dotorno
emreflexão
. 
Este gráfico será considerado no intervalo 
),2( 
. 
O gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 3 pode ser construído a partir das seguintes transformações em gráficos de 
funções: 
32
3
2   xyxy
unidades
baixo
verticaltranslação
 
Este gráfico será considerado no intervalo 
]2,2[
. 
a) Determine os intervalos onde 
f
 é crescente, onde 
f
 é 
decrescente. 
f
 é crescente nos intervalos: 
]3,( 
, 
]3,0[
(parte 
em vermelho no gráfico ao lado). 
 
 
f
 é decrescente nos intervalos: 
]0,3[
, 
),3[ 
 
(parte em vermelho no gráfico ao lado). 
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b) Determine os intervalos onde 
2)( xf
. Mostre no gráfico, a parte do gráfico que satisfaz essa 
condição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, observamos que temos que considerar as três expressões que fazem parte da definição da 
função 
)(xf
. 
1) 
223  xy
 para 
2x
. 
1743434343223  xouxxouxxxx
. 
Como 
2x
, então 
223  xy
, para 
7x
. 
2) 
232  xy
 para 
22  x
. 
110123 22  xxx
. 
Como 
22  x
, então 
232  xy
 para 
11  x
. 
3) 
223  xy
 para 
2x
. 
7143434343223  xouxxouxxxx
. 
Como 
2x
, então 
223  xy
, para 
7x
. 
Concluímos que 
2)( xf
 em: 
),7[]1,1[]7,( 
 (parte em verde no gráfico acima) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) A função 
f
 é invertível? Justifique sua 
resposta! 
Não, a função não é inversível. Essa função não é 
um-a-um, não é “aprovada” no Teste da Reta 
Horizontal. 
Do gráfico observamos que; 
)3(2)3( ff  , .)5(0)5( ff  
 
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d) Se a sua resposta para o item c) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível inverter a 
função 
f
. Justifique sua escolha. 
Podemos escolher, por exemplo, os seguintes intervalos: 
1) 
]3,( 
, onde a função 
f
 é um-a-um. Observe que nesse intervalo 
f
é crescente (parte em verde 
no gráfico abaixo). 
2) 
]0,3[
, onde a função 
f
 é um-a-um. Observe que nesse intervalo 
f
é decrescente (parte em 
vermelho no gráfico abaixo). 
3) 
]3,0[
, onde a função 
f
 é um-a-um. Observe que nesse intervalo 
f
é crescente (parte em azul no 
gráfico abaixo). 
4) 
),3[ 
, onde a função 
f
 é um-a-um. Observe que nesse intervalo 
f
é decrescente (parte em preto 
no gráfico abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________