Apostila de Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Sólidos Avançada

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Mecânica dos Sólidos - Notas de aula - página 
 
 Faculdade de Engenharia de Barretos 1997 
 
1
1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1.1. Definição de Tensão Mecânica 
 Haste em equilíbrio estático quando sujeita a um sistema de forças axiais e 
centradas de intensidade F. 
 
 
 
imaginando a separação da haste em 2 partes: 
 
 
o equilíbrio é garantido pelas Forças Internas. 
 
Definição: Tensao Força interna no Corpo
Area em que atua
= 
 
O valor da tensão depende do ângulo do plano de corte (a área varia com o 
ângulo). 
 
⇒ Tensão é um tensor e não um vetor. 
∴não valem as leis da álgebra vetorial para as tensões, mas somente para 
as suas resultantes. 
 
Considerando o equilíbrio de apenas uma parte do corpo deformável: 
Fx F t dA= ⇒ − + =∫∑
→⊕
0 0. 
e admitindo tensão distribuída uniformemente na superfície de corte (t 
=cte): 
t
F
A
= 
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2
unidades de tensão : Kgf
cm
tf
m
psi N
m
Pa2 2 2; ; ; = 
Obs.: usualmente aproxima-se como: 
 
1 10
1 0 12
kgf N
kgf
cm
MPa
≅
≅ ,
 
 
É conveniente substituir a tensão total t por suas 2 componentes ortogonais: 
 
 
 
Perspectiva 
 
 
 
Vista Lateral 
tensão normal (σ) → ⊥ ao plano de corte 
tensão tangencial ou de cisalhamento (τ) → // ao plano de corte 
 
1.2. Teorema de Cauchy 
 Considerando o mesmo corpo anterior, pode-se passar outros planos de 
corte imaginários. 
 
 
elemento de volume de espessura e 
 
 
 
 
 
em planos //s, tensões t são iguais e 
opostas → idem para σσσσ e ττττ 
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3
M ae b be aA = ⇒ − =
∴ = ′
⊕
∑ 0 0 
 Teorema de Cauchy)
τ τ
τ τ
( ) ( )
(
'
 
tensões de cisalhamento em planos perpendiculares são iguais, convergindo ou 
divergindo de uma mesma aresta. 
 
1.3. Tensão no Ponto 
 Corpo em equilíbrio estático sob a ação de um sistema de forças espacial: 
 
∆F → resultante da força interna que atua na área ∆S 
 
S
Ftlim=
S
Fnlim
S
F
 lim=t
0S
0S
0S
∆
∆
∆
∆
=
∆
∆
→∆
→∆
→∆
τ
σ 
 
1.4. Estado Triplo de Tensão 
 Referindo as tensões a um sistema de coordenadas cartesianas tri-ortogonal, 
as tensões em torno de um ponto ficam: 
 
 
Analisando um elemento de volume em torno do ponto A, têm-se o seguinte 
Estado de Tensão: 
 
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Apenas 6 tensões independentes 
 
Do Teorema de Cauchy: τxy = τ yx 
 τxz = τzx 
 τyz = τzy 
 
 
1.5. Estado Duplo ou Plano de Tensões 
 
 No caso mais comum, na prática, de considerar que as ações sobre os corpos 
atuam em um único plano, têm-se um caso particular do Estado Triplo de Tensões 
onde 2 faces paralelas estão isentas de tensões 
 
 
 
 Caso todas as ações estejam contidas no plano xy, vem: 
 
σz = 0 = τzx = τzy 
 ″ ″ 
 τxz = τyz 
 
 O estado duplo de tensão fica determinado conhecendo-se apenas 3 tensões 
independentes em cada ponto: σx, σy e τxy = τyx = τ 
 
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5
 
 
 
 
 
vista pelo plano sem tensões 
 
2. ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
2.1. Introdução 
 Considere um corpo em equilíbrio estático, no espaço, e as tensões num 
ponto de coordenadas qualquer (y,z) numa seção de corte imaginário. 
 
 
Define-se como Esforço Geral Solicitante a resultante das tensões σx, τxy e 
τxz que atuam em todos os pontos do plano de corte imaginário, podendo ser 
decomposto em: 
 x)de tornoem Torsor; T(Momento = .z)dS.y(
y) de tornoem Fletor; (MomentoM = .z.dS
z) de tornoem Fletor; (MomentoM = .y.dS
z) a // Cortante; (forçaV = .dS
 y) a // Cortante; (forçaV = .dS
 x)a // Normal; (força N = .dS
xyxz
y
S
x
z
S
x
S
zxz
S
yxy
S
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
S
x
ττ
σ
σ
τ
τ
σ
 
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6
 
No caso particular de Estrutura Plana, onde todas forças são aplicadas em 
um único plano, por exemplo, plano xy, são nulas as tensões paralelas a z, e 
restam: 
 
σ σ
τ τ
x
xy
 
 = 
 apenas 2 tensoes no plano de corte.
= 


 
 
e apenas 3 componentes do Esforço Geral Solicitante, pois as distâncias paralelas a 
z também são nulas: 
N = .dS ; V = .dS; M = - .y.dS
SSS
σ τ σ∫∫∫ 
 
Objetivo: Determinar σσσσ e ττττ a partir do conhecimento de N, V e M e das leis de 
variação das tensões. 
 
2.2. Vinculação das Estruturas Planas 
 
2.2.1. Definições 
 
a) Estrutura plana: conjunto de elementos lineares cujas dimensões transversais 
são menores do que o seu comprimento de modo significativo. 
 
b) Barra simples (barra): elemento linear com função estática de transmitir apenas 
N. 
 
 
c) Barra geral (chapa) :elemento linear com função estática de transmitir N,V e 
M. 
 
 
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7
d) Vínculos (apoios): elementos de ligação entre chapas, barras e a “chapa-terra”. 
e) Nó: encontro de apenas barras simples (2 ou mais). 
 
Uma chapa possui 3 graus de liberdade no plano ≡ 3 deslocamentos 
independentes. 
 
Um nó possui 2 graus de liberdade no plano. 
 
Os vínculos são utilizados para impedir esses movimentos. 
 
2.2.2. Vínculos Planos Básicos 
 
VÍNCULOS MOV. IMPEDIDOS 
 
Apoio Móvel 
 
1 
 
Apoio Fixo 
 
2 
 
Engaste Fixo 
 
3 
 
Engaste Móvel 
 
2 
 
Rótulas (artic.) 
 
2 
 
Nó 
 
0 
 
 
Ressalvas: 
 
 
Barra ⇒ impede 0 movimentos 
 
 
 
 
Chapa ⇒ impede 2 movimentos 
 
 
 
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 Chapas ⇒ 2(c-1) 
 
 
 
Para cada movimento impedido, há uma reação de apoio correspondente. 
 
2.3. Determinação Estática 
 
Uma estrutura composta por c chapas, n nós e b barras ( reais ou vinculares) 
fica em equilíbrio estático segundo o n.º de movimentos impedidos no plano, onde: 
bnec = 2n + 3c 
qdo: b
 b Estrutura Hipostatica
= b Estrutura Isostatica
> b Estrutura Hiperestatica
ex
nec
nec
nec
< →
→
→





 
 
 
2.3.1. Exemplos 
1) 
 
 





=
=×=
=
3
313
1
exist
nec
b
b
c
Isostático ou Determ. 
2) 
 
 
 





=
=×=
=
4
313
1
exist
nec
b
b
c
1x Hiperestático 
3) 
 
 
 
 
 





=
=×=
=
6
623
2
exist
nec
b
b
c
 Isostático ou Determ. 
 
 
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2.3.2. Problemas Propostos: Determinar estaticamente as estruturas 
abaixo 
1) 
 
2) 
 
 
3) 
 
 
 
2.4. Convenção de Sinais para os Esforços Planos 
 
 
Estrutura plana em equilíbrio estático 
 
 
 
 
Separando a estrutura em 2 partes através de um corte normal ao seu eixo, 
podemos determinar os esforços solicitantes pela imposição do equilíbrio estático 
de cada parte separada. 
 
 
 
N
> 0 tracao
 compressao
→
< →


 0
 V
> 0 rotacao horaria 
 rotacao anti - horaria
→
< →


 0
 
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10
 
 
M
> 0 traciona em baixo
 traciona em cima
→
< →


 0
 
 
 
 
Os esforços solicitantes são iguais e opostos em cada parte separada 
⇒⇒⇒⇒basta determinar apenas em uma parte. 
Conhecidas as ações e reações, os esforços solicitantes podem ser 
determinados através das Equações de Equilíbrio Estático. 
 
2.5. Tipos de Ações 
 
a) Cargas Concentradas 
 
 
b) Cargas Distribuídas 
 
 
 
 
 
uniforme 
 
 
 
 
linear 
 
 
 
 
qualquer 
 
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c) Cargas Momento 
 
 
 
 
2.5.1. Cálculo de Reações de Apoio 
 
 Equaçoes de Equilibrio
F
F
M
h
v
=
=
=





∑
∑
∑
0
0
00
 
 
 
 
Exemplo 1) Determinar as reações de apoio da viga abaixo. 
 
 
Determinação Estática: 
 
c
b
b
nec
exist
=
= × =
=





1
3 1 3
3
Isostatico ou Determinado 
 
 
 
 
Aplicação das Equações de Equilíbrio: 
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12
F
H
H
A
= → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
F
V V
V V
V
V kN
V
A B
A B
A
A
= ↑ ⊕
+ =
∴ = −
= −
= •
∑ 0
110
110
110 60
50
 
 
 
 
 
M horario
V
V
V kN
A
B
B
B
= ⊕
× + × − × =
+ =
= •
∑ 0
40 2 70 4 6 0
80 280 6
60
 ( )
 
 
Exemplo 2) Determinar as reações de apoio da viga abaixo. 
 
 
 
Determinação Estática: 
 
c
b
b
nec
exist
=
= × =
=





1
3 1 3
3
Isostatico ou Determinado 
 
 
Aplicação das Equações de Equilíbrio: 
 
F
H
H kN
H
A
A
= → ⊕
− =
= •
∑ 0
30 0
30
 
 
 
F
V V
V V
V V
V
V kN
V
A B
A B
B A
B
B
= ↑ ⊕
+ − − =
+ =
∴ = −
= −
= •
∑ 0
40 100 0
140
140
140 66 67
73 33
 
 
 
 
,
,
 
 
M horario
V
V
V kN
B
A
A
A
= ⊕
× − × − × =
− − =
= = •
∑ 0
6 40 5 100 2 0
6 200 200 0
400
6
66 67
 ( )
,
 
 
 
 
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Problemas Propostos : Determinar as reações de apoio. 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5.2. Cálculo Analítico dos Esforços Solicitantes 
 
Cálculo dos Esforços M, N e V em função de uma abscissa x, que 
corre ao longo do eixo da chapa. 
 
 
Exemplo 1) 
 
 
 
 
F
H
H
A
= → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
F
V V
V kN
V
A B
A
= ↑ ⊕
+ =
∴ = •
∑ 0
60
16
 
 
 
M horario
V
V
V kN
A
B
B
B
= ⊕
× + × − × + × =
=
= •
∑ 0
20 1 20 3 5 20 7 0
220
5
44
 ( )
 
 
 
Trecho I (0 ≤ x ≤ 1) 
 
 
Condições de Equilíbrio: 
 
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
 
F
V
V kN
V = ↑ ⊕
− =
= •
∑ 0
16 0
16
 
 
 
M horario
x M
M x kN m
S = ⊕
− =
= •
∑ 0
16 0
16
 (
 
)
.
 
 
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Trecho II (1 ≤ x ≤ 3) 
 
 
Condições de Equilíbrio: 
 
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
 
F
V
V kN
V = ↑ ⊕
− − =
= − •
∑ 0
16 20 0
4
 
 
 
M horario
x x M
M x x
M x kN m
S = ⊕
− − − =
= − +
= − •
∑ 0
16 20 1 0
16 20 20
20 4
 (
 
)
( )
.
 
 
Trecho III (3 ≤ x ≤ 5) 
 
Chapa à esquerda da Seção S 
 
 
 
Condições de Equilíbrio: 
 
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
 
F
V
V kN
V = ↑ ⊕
− − =
= − •
∑ 0
16 40 0
24
 
 
 
M horario
x x x M
M x x x
M x kN m
S = ⊕
− − − − − =
= − + − +
= − •
∑ 0
16 20 1 20 3 0
16 20 20 20 60
80 24
 (
 
)
( ) ( )
.
 
 
 
Chapa à direita da Seção S (2 ≤ x’ ≤ 4) 
 
 
Condições de Equilíbrio: 
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16
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
F
V
V kN
V = ↑ ⊕
+ − =
= − •
∑ 0
44 20 0
24
 
 
M horario
x x M
x x M
M x kN m
S = ⊕
− − + =
− + + =
= − + •
∑ 0
20 44 2 0
20 44 88 0
88 24
 (
 
)
' ( ' )
' '
' .
 
 
Trecho IV (0 ≤ x’ ≤ 2) 
 
 
Condições de Equilíbrio: 
 
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
 
F
V
V kN
V = ↑ ⊕
− =
= •
∑ 0
20 0
20
 
 
 
M horario
x M
M x kN m
S = ⊕
+ =
= − •
∑ 0
20 0
20
 (
 
)
'
' .
 
 
 
 
Representação gráfica dos Esforços 
 
 
 
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Exemplo 2) 
 
F
H
H
A
= → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
F
V V
V kN
V
A B
A
= ↑ ⊕
+ =
∴ = •
∑ 0
120
60
 
 
M horario
V
V kN
A
B
B
= ⊕
× − × =
= •
∑ 0
120 3 6 0
60
 ( )
.
 
 
Trecho I (0 ≤ x ≤ 6) 
Condições de Equilíbrio: 
F
N
H = → ⊕
= •
∑ 0
0
 
 
F
V x
V x
V = ↑ ⊕
− − =
= − •
∑ 0
60 20 0
60 20
 
 
M horario
x x
x M
M x x kN m
S = ⊕
− × − =
= − •
∑ 0
60 20
2
0
60 10 2
 (
 
)
.
 
Representação gráfica dos Esforços 
 
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Problema Proposto 1) 
 
2.6. Relações Diferenciais entre os Esforços 
 
 
 
 
 
viga sob carga distribuída qualquer p=p(x) 
 
Analisando o trecho entre duas seções distantes de um infinitésimo dx: 
 
Fy = 0 V - p.dx - (V + dV) = 0
dV
dx
p (I)
M M - (M + dM) + p.dx. dx
2
(V + dV).dx = 0
despresando diferenciais de 2ª ordem:
V = dM
dx
 (II)
Substituindo (II) em (I):
d
dx
dM
dx
p d M
dx
p (III)
esq
2
2
⇒
= −
= ⇒ +





 = − ⇒ = −
↑⊕
→
⊕
∑
∑ 0
 
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Conclusões: 
1
2
 - Onde p 0 
V = tem variaçao linear
M = tem variaçao parabolica 2º grau
- Onde p = 0 
V constante
M linear
3- A funcao V e um grau acima da funçao p(carga)
4 - A funçao M e um grau acima da funçao V
5- A funçao M e dois graus acima da funcao p(carga) 
≠ ⇒



⇒



 
 
 
 
 
 
 
CORRESPONDÊNCIA ENTRE AÇÕES E ESFORÇOS 
P V M 
 
 
 
p=0 x0 x1 
 
 
 
x
0
 x
1
 x
2
 
 
 
 
x
1
 x
2
 x
3
 
x
n
 x
n+1
 x
n+2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.7. Chapa Bi-apoiada Submetida a um Carregamento Uniformemente 
Distribuído 
 
O momento é máximo quando sua derivada for zero, 
 
 0V 0
dx
dM
== 
 
ou seja, no ponto onde a cortante for zero. 
 
 
 
 
 
 
ι
p
A B
RA = pl/2 RB = pl/2
pl
pl/2 pl/2
pl
8
2
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21
2.8. Construção Gráfica da Parábola 
2.9. Superposição de Efeitos 
 
 
.
ι
p
pl
8
2
0
1
2
3
4 0
1
2
3
4
.
A
p
ι
B
pl
8
2
MA MB
MA MB
MA MB
=
+
=
+
MA MB
pl
8
2
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22
3. FORÇA NORMAL 
 
3.1. Introdução 
 O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao 
engenheiro os meios que o habilitem para a análise e projeto de várias estruturas de 
máquinas sujeitas a diferentes carregamentos. Isto implica na determinação das 
tensões e deformações. 
 
3.2. Ensaio de Tração Simples 
 
 
 
• Corpos de prova de mesmo material 
• P é aplicada no CG da seção transversal 
• P varia lentamente desde zero até a carga de ruptura PR 
 
Sendo: S1 ≠ S2 ≠ S3 → PR2 ≠ PR2 ≠ PR3 
 
Mas : Rσ===
3
R3
2
R2
1
R1
S
P
S
P
S
P
 
 
 
PR não depende de l e nem da geometria da seção transversal. 
 
 
Hipóteses: 
• material homogêneo e isótropo 
• σ é uniformemente distribuída na seção transversal 
tensões de ruptura 
do material 
l
l
l
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23
σ
⇒ ⇒
 S
N
σ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (aplicado no 
CG) 
 
 
 
Exemplo 1: Considerando a estrutura abaixo que consiste em barras AB e 
BC, verificar se a mesma suporta com segurança a carga de 30 kN aplicada no 
ponto B, sendo a tensão admissível do material (σadm ) igual a 165 Mpa. A área da 
barra AB é de 2 x 10-4 m2 e da barra BC de 3,14 x 10-4 m2. 
 
2
1,5
tgα =
 ⇒ α = 36,86º 
 
∴ senα = 0,6 
α
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24
∆
l
∆l
 cosα = 0,8 
2,5m=BCl 
 
Fazendo-se a somatória das forças atuantes no nó B, temos: 
∑ = 0Fy ⇒ NBC.senα = 30 ⇒ NBC = 50kN 
∑ = 0Fx ⇒ NBC.cosα = NAB ⇒ NAB = 40kN 
 
Unidades: 1kPa = 103 Pa = 103 N/m2 
 1MPa = 106 Pa = 106 N/m2 
 1GPa = 109 Pa = 109 N/m2 
 
MPa 15910 x 159
m10 x 3,14
N10 x 50
S
N
σ
6
24
3
====
−
 
 
Conclusão: A estrutura suporta o carregamento pois a tensão não ultrapassou a 
admissível. 
 
3.3. Lei de Hooke 
 
 
l∆ →alongamento total 
 
d∆ →variação de dimensão transversal 
 
 
l
l∆
=ε → deformação longitudinal 
específica 
 
 
d
∆d
=tε → deformação transversal 
específica 
 
υεε t = , onde υ→ coeficiente de Poisson 
 
 
como exemplo:υ ≈ 0,33 → aço comum 
 0,20 → concreto 
 
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25
N 
S
N
=σ 
 
 
 
 
 
 l∆ 
l
l∆
=ε 
 
 
 DÚCTIL FRÁGIL 
 
 
Mat. Frágil → ruptura após pequena deformação 
Mat. Dúctil → ruptura após grande deformação 
 
OA → Fase elástica → ao retirar a carga o material recupera a deformação 
AC → Fase plástica → ao retirar a carga o material apresenta deformação 
residual εR 
 
σe→ tensão de escoamento (material deforma sem aumentar a tensão) 
σp→ tensão limite de proporcionalidade (σp ≈ σe) 
σR→ máxima tensão normal ou tensão de ruptura 
 
σ = E.ε Lei de Hooke (vale p/ σ ≤ σp) 
 
E → módulo de Young ou de deformação longitudinal 
Curva não carac-
terística, pois 
depende de S e l 
Curva característica 
de cada material 
σ
ε
ε
σ
α
ε
α
σ
σ
σ
α
ε
σ
σ
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26
∆
Enquanto σ < σR, o material não rompe. Por segurança faz-se: 
 






=≤
(DÚCTIL) 
s
σ
(FRÁGIL) 
s
σ
σσ
e
R
 tensão admissível 
 
s ≥ 1 → coeficiente de segurança 
 
s é fixado por Normas Técnicas (ABNT) 
σe, σR, E, ν → são propriedades mecânicas características de cada material. 
 
 
3.4. Alongamento Elástico l∆ 
 
 
 
∑∫ == i
x
0
PdPN
 
 
 
 
Analisando um elemento de comprimento dx: 
 
 
dx
E
σ
∆dx
E.εσ
dx
∆dx
ε
=




=
=
 
 
como: 
S
N
σ = ⇒ dx
ES
N
∆dx = 
 
Considerando ∫=
l
l
0
∆dx∆ e ES = cte, temos: 
 
∫=
l
l
0
Ndx
ES
1
∆ ⇒ 
ES
N
∆
l
l = Lei de Hooke na forma generalizada 
 
l
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27
l
l∆
3.5. Energia de Deformação 
 
 
 
 
 Ao aplicar a carga lentamente desde zero até o valor final, o alongamento 
varia linearmente com a carga até atingir o valor final l∆ . 
 No instante intermediário i, o trabalho realizado pela carga Ni ao aumentar 
para Ni + dN é: 
 
).d(∆NdU i l= 
 
 O trabalho total realizado entre o início e o fim da aplicação da carga é: 
 
∫ ∫ =∆== )(.U ldNdU i área sob o gráfico 
 
ES
NNU ll
2
2
1
.
2
1
=∆=∴ (p/ ES = cte) 
 
 
 
3.6. Deformações 
 
a) Deformação causada pela força axial 
 
l∆l
∆l
∆
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28
ES
Nl
l =∆ 
 
b) Deformação causada pela ação do peso próprio 
 
E2
.
2
l
l
γ
=∆ 
 
c) Deformação causada pela variação de temperatura 
 
t∆=∆ ..αll 
 
α.∆tε = 
 
Obs: geralmente a parcela da deformação causada pela variação de temp. é somada 
à deformação axial 
 
 
4. FLEXÃO DE PEÇAS COM SEÇÃO TRANSVERSAL SIMÉTRICA 
 
4.1. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS PLANAS 
a) Centro Geométrico 
 
 
 
 
Por definição, ponto 0 é CG se: 
y dS 0 e z dS = 0
S
× = ×∫ ∫
S
 
 
 
 
Coordenadas do CG: 
y
y' dS
dS
y' S
S
z
z' dS
dS
z' S
S
i i
i
Figuras Simples
i i
i
Compostas
=
×
=
×
=
×
=
×
∫
∫
∑
∑
∫
∫
∑
∑
1234 1 24 34
 
Obs.: Eixo de simetria é lugar geométrico do CG. 
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29
 
b) Momento de Inércia ≡≡≡≡ Momento Estático de 2ª ordem 
 
 
 
 
Por definição: 
I y dS
I z dS
Momentos Baricentricos
z
2
S
y
2
S
= ×
= ×





∫
∫
 
Obs.: Teorema de Steiner → Translação de eixos 
 
 
 
 
 
Iz' Iz Dy S
Iy' Iy Dz S
i
2
i i
i
Mom. Baricentricos
2
i i
= + ×
= + ×
∑∑
∑ ∑123
 
 
c) Momento Estático de 1ª Ordem 
 
 
 
 
Por definição: 
M y dS y SS
A
i i
yA
y1
= × = ×∑∫ 
1 → ponto + inferior 
2 → ponto + superior 
 
M y dS y dS MS,inferiorA
y
0;definiçao de CG
S,superior
A
y
y1
A
2
= × − × = −∫ ∫
=
y2124 34
 
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30
 
4.2. CLASSIFICAÇÃO POR FLEXÃO 
 
 Entende-se por flexão quando o elemento em estudo está submetido ao esforço do 
momento fletor acompanhado ou não do esforço cortante e esforço normal. 
 Existem dois tipos de flexão: Flexão Normal e Flexão Oblíqua 
 
 Normal Oblíqua 
 
4.2.1. FLEXÃO PURA (M≠≠≠≠0, V=0, N=0) 
 
 
 
 
 
 
Restrições: 
Viga de seção transversal simétrica com 
carregamento no plano de simetria ( l ≥ 3h ) 
 
 
Material elástico: cada fibra comporta-se como “mola elástica” 
Para M > 0 as fibras inferiores são distendidas e as fibras superiores são encurtadas. 
As deformações nas “molas” são efeitos das forças nas fibras ⇒ tensões normais σ. 
 
Hipótese: M é o momento resultante de tensões normais σ linearmente distribuídas ao longo da altura da 
peça (Lei de Navier). 
 
Conseqüência: como σ é proporcional a ε ⇒ ε também varia linearmente ⇒ seção plana permanece plana 
(Hipótese de Bernouilli) 
 
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31
 
 
a) Resultante de força das tensões é N=0 
 
N dS k y dS 0
Como k 0 y dS = 0
SS
S
= × = × =
≠ ⇒ ×
∫∫
∫
σ
 
Conclusão: a origem do sistema de coordenadas é no CG da seção. 
 
b) Resultante de momento das tensões é M 
( ) {M dS y k y dS k Iz
dFS braço
2
S
= × × = × = ×∫ ∫σ124 34 
Conclusão: k M
Iz
cte= = depende apenas da solicitação M e da geometria da seção transversal.σ = ×
M
Iz
y
 
σ > 0 p/ y > 0 e M > 0 
(pois Iz > 0 sempre!) 
 
Posição dos Eixos 
eixo x ≡ eixo longitudinal, ⊥ à seção transversal. 
eixo y ≡ eixo na seção; y > 0 p/ baixo. 
eixo z ≡ eixo na seção; z > 0 p/ esquerda. 
 
Plano xy → plano de simetria da seção e plano de carregamento. 
Plano yz → plano da seção transversal. 
 
Obs.: Eixo z divide a seção transversal em duas regiões: uma tracionada e outra comprimida. É chamado de 
Linha Neutra. 
 Na LN → σ = 0 
 
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32
 
 
 
 
 
 
 
 
BLOCO TRIDIMENSIONAL DE TENSÕES σ 
 
 
σ → traço do bloco de tensões no plano xy 
 
4.2.2. FLEXÃO SIMPLES (M≠≠≠≠0, V≠≠≠≠0, N=0) 
 
 Mesmas restrições geométricas anteriores. 
Hipóteses: Na Flexão Simples, o momento fletor é a resultante de momento das tensões σ como na flexão 
pura e a força cortante é a resultante de tensões de cisalhamento τ. 
 
Analisando um trecho de Flexão Simples da viga: 
Analisando uma porção de viga entre as coordenadas y e y1: 
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33
 
 
 
 
 
Hipótese: τh uniformemente distribuído na largura b. 
T dS M
Iz
y dS M
Iz
y dS M
Iz
Ms
y
y
y
y
y
y1 11
= × = × × = × = ×∫ ∫∫σ 
onde Ms é o momento estático de 1ª ordem entre as coordenadas y e y1 em relação à Linha Neutra. 
( )T dT + d dS = M + dM
Iz
Ms
y
y1
+ = × ×∫ σ σ 
Condição de Equilíbrio: ∑Fx = 0 
( )T + dT T b dx = 0
b dx = dT = dM
Iz
Ms
 = 
dM
dx
Ms
b Iz
 
V Ms
b Iz
h
h
h
− − × ×
× × ×
×
×
=
×
×
τ
τ
τ
 
 
Mas, do Teorema de Cauchy: τh = τv = τ 
 
τ =
×
×
V Ms
b Iz validade: h ≥ 2b 
 
p/ h = 2b → erro de 3% 
p/ h = b → erro de 12% 
 
4.2.3. FLEXÃO COMPOSTA (M≠≠≠≠0, N≠≠≠≠0) 
 
 Material no Regime Elástico ⇒ vale o Princípio da Superposição de Efeitos 
 
z 
I
M
y
Iz
M
 
S
N
 
y
yz ×±×±±=σ 
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34
 
5. TORÇÃO DE BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR 
 
5.1. Introdução 
 
 
 
 
• barra de seção transversal 
circular engastada 
• T = momento torsor ou torque 
• efeito de T é no plano yz da seção 
• carregamento está fora do plano 
xy da peça 
 
 
 
 
Convenção de sinal 
T > 0 → quando o vetor momento entra 
na seção 
 
Hipóteses: 
1. - Seção plana permanece plana 
→ na deformação elástica, o diâmetro permanece como linha reta 
( só vale para seção circular) 
 
2. - T é o momento resultante de tensões de cisalhamento perpendiculares 
ao diâmetro. 
 
 
 
 
(Torção de Saint-Venaut) 
 
 
 
 
 
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35
 
)
AA'= D
2
ϕ γ× = ×tg ld , onde 
 
ϕ → rotação da seção transversal 
γd → distorção longitudinal do eixo de diâmetro D. 
 
 Mas, para pequenas distorções (pequenas deformações): 
 γd ≅ tg γd ⇒ ϕ γ× = ×
D
2 d
l (1) 
 )
BB'= ϕ ρ γ× ≅ × l (2) 
 
Dividindo (2) por (1): ρ γ
γ
γ γ ρ
D / 2 D / 2D
= ⇒ = ×
D
 (3) 
 
As distorções γ são proporcionais ao raio ρ e o valor máximo ocorre na 
superfície da peça (γmáx = γD). 
 
 
 
 
 
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36
5.2. Tensões no Regime Elástico 
 
Seção Circular Cheia 
 
 Analisando um trecho entre 2 seções distantes de dx: 
 
 Da lei de Hooke: τ = G.γ, onde : 
( )G =
E
2 1+× ν
→ módulo de deformação transversal 
Para o aço comum: G ≅ 80 GPa 
Aplicando a Lei de Hooke à Equação (3): 
τ
ρ
τ= ×
D / 2 max
 
τ varia linearmente com o raio ρ e é máxima na periferia da seção transversal 
 
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37
 
 
 
dS = ρ.dρ.dθ 
Na posição ρ atua a tensão τ na área dS. 
 
 
( ) {T = dT d d D / 2 d
T = D T
D
S
max
3
3
∫ ∫∫ ∫= × × × =
× ⇒ =
×
τ ρ ρ θ ρ pi τ ρ ρ
τ
pi
τ
pi
pi
Força
D
braço
max
D
max
1 244 3440
2
0
2
3
0
2
2
16
16
/ /
 
 
 
5.3. Rotação Elástica ϕϕϕϕ 
 
Seção Circular Cheia 
 
 
γ ϕ
ϕ γ
γ τ
ϕ ϕ
max
max
max
l
× ≅ ×
×
∫
dx d D
2
d = dx
D / 2
Mas: = 
G
 e, como:
= d
max
0
 
⇒ =
×
×∫
ϕ
pi
32
0
T dx
G D4
l
 
( para seção circular cheia) 
 
para barras prismáticas de mesmo material (GxD = cte) 
⇒ =
× ×
×∫ϕ pi
32
0G D
T dx4
l
 
caso T=cte e G x D= cte ⇒ = × ×
× ×
ϕ
pi
32 T
G D4
l
 
 
 
 
 
 
 
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38
Tubo de Parede Grossa 
 
 
 
( )
( )
τ
pi
ϕ
pi
max
l
=
× ×
−
=
× ×
× × −
16
32
T D
D d
T
G D d
4 4
4 4
 
 
Tubo de Parede Fina 
 
p / t D
10
T
D t
T
G D t
m
m
2
m
3
≤
=
×
× ×
=
× ×
× × ×
τ
pi
ϕ
pi
2
4 l
 
 
 
5.4. - Eixos de Transmissão 
 
 
P = ω x T = 2pif.T 
P → Potência (W=N.m/s) 
ω →Velocidade angular 
f →freqüência (Hz = s-1) 
 
1 1
60
1
60
 rpm rot Hz
1 HP 746W
= =
≅
s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39
τ
τ
6. TORÇÃO EM BARRAS DE SEÇÃO QUALQUER 
 
6.1. Introdução 
 
 
 
 
A força elementar no ponto é τ.t.dsdF = 
 
onde n é perpendicular à força. 
 
 
 
 
 
 
 
O momento da força dF vale dF.ndM t = 
.nτ.t.ddM st = 
 
 
 
 
2
ds.ndA = 
2dAds.n = 
 
τ.t.2dAdM t = , integrando em 
toda a seção.t.A2.M t τ= 
 
2.t.A
M
τ
t
= onde A é a área compreendida entre a linha esqueleto. 
 
A tensão tangencial máxima será: 
min
t
máx 2.A.t
M
τ =
 
 
 
 
 
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40
 
6.2. Cálculo da Rotação ϕϕϕϕ 
 
A rotação é calculada através da energia de deformação, resultando na 
equação: 
t
t
IG
M
.
.l
=ϕ
 
onde: 
tM = momento torçor 
l= comprimento do trecho 
G = modulo de deformação ransversal 
tI = momento de inércia à torção 
 
A inercia à torção é calculada através da expressão: 
 
∫
=
t
ds
AI t
2
.4
 
 
onde: 
∫ = integral de linha 
ds = comprimento da linha esqueleto 
t = espessura da parede onde está a linha esqueleto 
 
 
7. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA POR FLEXÃO 
 
 
( )d = dx
r
 ϕ 1
 
C → Centro de curvatura 
r → Raio de curvatura 
1/r→ Curvatura 
 
 
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41
Isolando 2 seções distantes de dx e dando os seus deslocamentos e deformações: 
 
( )d tgd = dx
y
2ϕ ϕ≅ ∆
 
De (1) e (2): 
d dx
r
 = 
dx
y
 
r
 
dx
dx y
ϕ = ⇒ = ×∆ ∆1 1
 
Mas: dx
dx E
 (Lei de Hooke)
=
M
Iz
y (tensoes na flexao)
1
r Ey
M
E Iz
∆
= =
×
∴ = =
×
ε
σ
σ
σ
~ ~
 
 
Da Geometria diferencial; 
1
2
3
2r
d v
dx
1+ dv
dx
 
2
2
= −












 
 
 
Solução matematicamente exata 
 
Na prática, v é pequeno, 
dv
dx é menor ainda e 
dv
dx






2
pode ser desprezado em 
presença da unidade. 
 
d v
dx
M
E Iz
2
2 = − ×
 Equação Diferencial da Linha Elástica 
(vale para σ ≤ σp) 
 
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42
Obs.: A solução aproximada apresenta erro de 1% em relação à solução exata para 
v
l
max
≅
20
.
 
Na prática, 
l
v
l
max500 100
≤ ≤ ⇒ erro despresivel.
 
 
Condições de Contorno 
 
 
 
 
 
v(0) = 0
v( ) = 0 nao ha translaçao no apoiol



~ ~
 
 
 
 
v(l)=0⇒apoio não translada 
dv
dx
apoio nao gira
x l=
= ⇒0 ~
 
 
 
Bibliografia 
 
SCHIEL, F. (1978). Introdução à Resistência dos Materiais LTC, São 
Paulo. 
 
TIMOSHENKO, S.P. (1978). Resistência dos Materiais, vol I e II, LTC, 
São Paulo. 
 
FONSECA, A. (1976). Curso de Mecânica, vol I e II, LTC, São Paulo. 
 
ROCHA, A.M. (1969). Resistência dos Materiais, vol I, Editora Científica, 
São Paulo. 
 
SUSSEKIND, J.C. Curso de Análise Estrutural, vol I, Rio de Janeiro. 
 
BEER, F.P. e JOHNSTON JR, E.R. (1995). Resistência dos Materiais. 
Makron Books, 3ª edição, São Paulo. 
 
APOSTILAS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – USP. 
Mecânica dos Sólidos - Notas de aula - página 
 
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