Vetores na Geometria

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VETORES 
Noções preliminares 
• Sistemas de coordenadas tridimensional. 
• Distâncias e esferas no espaço. 
• Sistemas de coordenadas bidimensional. 
Sistemas de coordenadas bidimensional 
 
 
Para localizar um ponto no plano, utilizamos dois 
eixos coordenados perpendiculares entre si. 
Estes eixos coordenados definem o chamado plano 
cartesiano. 
Um ponto P é localizado no plano através de uma 
dupla (x0, y0) chamada de coordenadas cartesianas 
ou coordenadas retangulares. 
Pode-se determinar retas perpendiculares aos dois 
eixos coordenados fixando o ponto em um dos eixos 
coordenados. 
• A reta x=2 é perpendicular ao eixo x em 
x=2. 
• A reta y=3 é perpendicular ao eixo y em 
y=3. 
P (2,3) 
Distâncias e círculos no plano 
A fórmula para distâncias entre dois pontos no plano é dada pelo teorema de 
Pitágoras, i.e. 
Podemos usar a fórmula da distância para escrever equações para círculos no plano. 
Um ponto P(x,y) está sobre uma círculo de raio a centrado em P0(x0,y0) precisamente 
quando 
.0 aPP 
Interpretando equações e desigualdades geometricamente 
O semi-plano formado pelos pontos sobre e a 
direita do eixo y. 
A reta perpendicular ao eixo x em x=-3. 
O semi-eixo x formado pelos pontos não 
positivos. 
O primeiro quadrante. 
A fatia entre as retas y=-1 e y=1 (inclusive). 
A região interior ao círculo de raio 2. 
Sistemas de coordenadas tridimensional 
 
 
Localizar um ponto no espaço, utilizamos 
três eixos coordenados perpendiculares 
entre si. 
Sistema de coordenadas positivo -> regra 
da mão direita. 
Ponto P é localizado no espaço -> 
coordenadas cartesianas. 
Os pontos no eixo x, y e z possuem 
coordenadas no 
formato (x,0,0) , (0, y, 0) e (0, 0, z) 
respectivamente. 
Os eixos das coordenadas definem três planos: 
• Plano xy cuja equação padrão é 
z=0. 
• Plano xz cuja equação padrão é 
y=0. 
• Plano yz cuja equação padrão é 
x=0. 
Os três planos coordenados x=0, y=0 e z=0 dividem o espaço em oito células 
chamadas octantes. 
Estes três planos se encontram na 
origem cuja a coordenada é (0,0,0). 
Para determinar planos perpendiculares aos três 
eixos coordenados -> fixando o ponto na qual o eixo 
corta o plano. 
• O plano x=2 é perpendicular ao eixo x 
em x=2. 
• O plano y=3 é perpendicular ao eixo y 
em y=3. 
• O plano z=5 é perpendicular ao eixo z 
em z=5. 
Intersecção de dois planos perpendiculares -> 
determinam retas paralelas aos eixos coordenados. 
• O par de equações x=2 e y=3 definem uma reta paralela ao eixo z. 
• Analogamente, os pares de equações x=2; z=5 e y=3; z=5 definem retas paralelas 
aos eixos y e x respectivamente. 
Interpretando equações e desigualdades geometricamente 
Interpretando equações e desigualdades geometricamente 
Exemplo 1: Esboço gráfico de equações: 
Distâncias e esferas no espaço 
A fórmula para distâncias entre dois pontos no espaço é análoga ao caso do plano, 
i.e. 
Exemplo 2: Encontrando a distância entre dois pontos 
Podemos usar a fórmula da distância para escrever equações para esferas no espaço. 
Um ponto P(x,y,z) está sobre uma esfera de raio a centrada em P0(x0,y0,z0) 
precisamente quando 
.0 aPP 
Obs: No jargão matemático a esfera é um objeto bidimensional definida pela equação 
acima. Para explicitar o seu caráter bidimensional muitas vezes é conveniente chamar a 
esfera de casca esférica ou superfície esférica. 
Exemplo 3: Encontrando o centro e raio de uma esfera 
Interpretando equações e desigualdades esféricas