Autovetores e Autovalores

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CENTRO UNIVERSITÁRIO Instituto de Educação Superior de Brasília – IESB 
Curso: ENGENHARIA CIVIL 
Disciplina: Álgebra Linear
Assunto: AUTOVETORES e AUTOVALORES
Definição
Autovetor (ou vetor próprio ou vetor característico): é o vetor não nulo cuja imagem, pelo operador linear f: V , é o seu próprio múltiplo escalar, isto é: f(v) =lv. 
Autovalor (ou valor próprio ou valor característico): é o número real l tal que, f(v) =lv. y f(v)= lv
 v
 v
 f(v)= lv
 Se l > 1, o operador f dilata v, na mesma direção.						 v
 Se l < 1, o operador f inverte o sentido de v.
 Se 0 < l < 1, o operador contrai v.							f(v)= lv
Exemplo: Se f:R2R2, f(x,y) = (4x+5y, 2x+y) , v(5,2),		l > 1		0 < l < 1 		 l < 1
tem-se que: 1) v(5,2) é autovetor, associado ao autovalor l= 6, pois f(5,2)=(30,12)=6.(5,2); 2) v(2,1) não é autovetor, pois f(2,1)=(13,5) l(2,1), para todo lreal; 3) lv =Av, onde A é a matriz canônica de f, pois Av==(30,12)=6v; 4) f( av)= a f(v)= a(l v) = l (a v), pois se a=2, temos: 2(5,2)=(10,4) e f(10,4)=(60,24)=6(10,4)=l(2.(5,2)=l(av);
5) para calcular o vetor unitário , associado a l, = v /I v I; 6) se l= –1, qualquer vetor não nulo será autovetor associado ao valor próprio l= –1.
B. Determinação dos Autovalore e Autovetores.
Para se calcular os autovalores l, usa-se a fórmula: I A – l I I = 0, onde A é a matriz canônica do operador f e I a matriz identidade, conforme a ordem de A. 
Para se calcular os autovetores, usa-se a equação: (A – l I).v = 0, utilizando-se os valores obtidos dos autovalores l.
Exemplo: Determinar o autovalor e autovetores, quando: 1) o operador f: R2R2, f(x,y) = (4x+5y, 2x+y); 2) a matriz de transformação A é igual a 3) A = 
C. Propriedades dos Autovalores e dos Autovetores.
I) Se l é um valor próprio de um operador linear f: V , o conjunto Sl de todos os vetores v v V, inclusive o vetor v = 0, tais que que f(v) =l v , é um subespaço vetorial de V (Sl= { v v V, tal que f(v)=lv }), onde Sl é denominado subespaço associado ao autovalor l e representa uma reta que passa pelo origem do sistema xOy. 
II) Matrizes semelhantes (matrizes que representam o operador em bases diferentes) têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos valores próprios (autovalores), isto é det(TB – l I) = det(TA - l I).
D. Diagonalização de Operadores: é processo de obtenção de uma base B do espaço vetorial V, cuja matriz de transformação de f será a matriz diagonal, com autovalores na diagonal principal.
Propriedades: I) Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear f: V V são linearmente independentes, isto é, a1 l1v1 + a2 l2v2 = 0 ; II) Se f: V é um operador linear de dim V = n e f possui autovalores distintos, o conjunto {v1, v2, ..., vn}, formado pelos correspondentes autovetores, é uma base de V. Ilustrando: se definimos um operador linear f: R2 R3, e f(x,y)=(-3x – 5y, 2y), os autovalores de f são l1=2 e l2 = -3; e os autovetores são, respectivamente, v1 = x(1,-1), x 0; e v2 =x. ((1,0)), x 0. Logo, como l1 l2, o conjunto {(1, -1), (1,0)} é uma base do R2. III) Se um operador linear f: R2 R3 admite autovalores li distintos, associados vi , respectivos, a propriedade II assegura que o conjunto P = {v1, v2, v3} é uma base do R3. 
E. Matriz Diagonalizável D: se A e D são semelhantes, então D = Q-1AQ, onde A é a matriz de transformação de f, e Q, a matriz de mudança de base P para a matriz canônica C (P é a matriz cujas colunas são os autovetores do operador f). Como Q = C-1P = I-1 P = P, conclui-se que D = P-1AP. Portanto, um operador linear f: V é diagonalizál se existe uma base de V, formada por vetores próprios (autovetores) de f. 
F. Diagonalização de Matrizes Simétricas (matrizes cujas transpostas são elas próprias.)
Propriedade I) A equação característica [det(A - – l I ) = 0 ] de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais. 
Propriedade II) Se f: V V é um operador linear simétrico com valores próprios distintos, os vetores próprios correspondentes são ortogonais, isto é, v1 . v2 = 0. 
Atividade em grupo:
Apresentar os cálculos de obtenção dos resultados indicados no exercício 1 a 3, páginas 174 a 176,
Idem para os exercícios 1 e 2 da página 179 a 181.
Resolver apenas os exercícios pares, ou ímpares, propostos às páginas 182 a 184, do livro-texto.