(Autovalores e Autovetores) Para a matriz A, apresentada abaixo, determine os autovalores, autovetores, e a dimensão de cada subespaço gerado pelos...

Para determinar os autovalores e autovetores da matriz A, precisamos resolver a equação característica. A equação característica é dada por |A - λI| = 0, onde A é a matriz, λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Dada a matriz A = [0 -2 -4; 2 0 -2; 4 2 0], podemos escrever a equação característica como: |0-λ -2 -4; 2 0-λ -2; 4 2 0-λ| = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 0, λ2 = 2 e λ3 = -2. Agora, para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, substituímos os autovalores na matriz A - λI e resolvemos o sistema de equações resultante. Para λ1 = 0, temos: A - 0I = [0 -2 -4; 2 0 -2; 4 2 0] Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v1 = [1; -2; 1]. Para λ2 = 2, temos: A - 2I = [-2 -2 -4; 2 -2 -2; 4 2 -2] Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v2 = [1; 1; 2]. Para λ3 = -2, temos: A - (-2)I = [2 -2 -4; 2 2 -2; 4 2 2] Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor v3 = [1; -1; 2]. A dimensão de cada subespaço gerado pelos autovetores é 1, pois cada autovetor é linearmente independente.