Lista3-Funções-2013-gabarito

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Universidade Federal de São Carlos – Departamento de Computação 
Estruturas Discretas – Lista de Exercícios – Funções 
Profa. Heloisa – 2º. Sem.2013 
 
1) Para cada uma das relações seguintes, responda: 
 É uma função? Se não for, explique por que. Se for, responda as questões seguintes; 
 Quais são seus domínios e imagem? 
 A função é um-a-um? Se não for, explique porque e pare. Se for, responda a questão: 
Qual é sua função inversa? 
a) {(1, 2), (3, 4)} 
É função. Domf={1,3} Imf = {2,4}, É um-a-um. Inversa = {(2,1), (4,3)} 
b) {(x, y) | x, y  Z, y = 2x} 
É função. Domf=Z. Imf = Inteiros pares. É um a um. Não é sobre: y=3 Z mas não existe 
x Z tal que 3=2x. 
c) {(x, y) | x, y  Z, x+y = 0} 
É função. Domf = Z Imf = Z . É um-a-um. É sobre. Inversa = {(x, y) | x, y  Z, y+x = 0} 
d) {(x, y) | x, y  Z, x|y} 
e) {(x, y) | x, y  N, x|y e y|x} 
 
2) Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. Seja a relação 
f = {(1, 5), (2, 5), (3, 6), (?, ?)} 
Determinar um par ordenado (?,?) pertencente a AB de modo que as proposições a seguir 
sejam verdadeiras: 
a) A relação f não é uma função. 
b) A relação f é uma função de A para B mas não sobre B. 
c) A relação f é uma função de A para B e é sobre B. 
 
3) Para cada caso a seguir, determine se a função é um-a-um, sobre ou ambos. Justifique suas 
afirmações. 
a) f: Z  Z definida por f(x) = 2x. 
É um-a-um: Sejam x, y  Z. Se xy então 2x  2y. 
Não é sobre: Para y = 3, não existe x inteiro tal que 3 = 2x 
 
b) f: Z  Z definida por f(x) = 10 + x. 
É um-a-um: Sejam x, y  Z. Se xy então 10+x  10+y. 
É sobre: Para todo y inteiro existe x inteiro tal que x = y-10. 
 
c) f: N  N definida por f(x) = 10 + x. 
É um-a-um: Sejam x, y  N. Se xy então 10+x  10+y. 
Não é sobre: Para y=5, não existe x  N tal que 10+x = 5. 
 
4) Sejam A e B conjuntos finitos e f:A  B. Prove que duas quaisquer das afirmações seguintes 
acarretam a terceira: 
a) f é um-a-um. 
b) f é sobre. 
c) |A| = |B|. 
 
5) Para cada um dos pares de funções a seguir, faça: 
 Determine qual das duas é definida: g  f ou f  g. 
 Se uma ou ambas forem definidas, ache as funções resultantes. 
 Se ambas forem definidas, determine se g  f = f  g ou não. 
 
a) f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} e g = {(2,1), (3, 1), (4,1)}. 
b) f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} e g = {(2,1), (3, 2), (4,3)}. 
c) f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} e g = {(1, 2), (2,0), (3, 5), (4,3)}. 
d) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 3), (4, 1)} e g = {(1, 1), (2,1), (3, 4), (4,4)}. 
 
6) (Valor = 20) Considere as funções f e g dadas a seguir. Determine as funções fg ou gf 
quando for possível. Diga quais das funções compostas são inversíveis, justificando. 
 
a) f: Z  Z com f(x) = x2 -1 e g: Z  Z com g(x) = 2x+1. 
 
Determinando a função fg : 
fg : Z  Z com fg(x) = f(g(x)) = f(2x+1) = (2x+1)2 – 1 
 
Não é inversível, pois não é injetora: 
fg(1) = (2.1+1)2 – 1= 8 e fg(-2) = (2.(-2)+1)2 – 1= 8. 
Logo, fg(1) = fg(-2), mas 12. 
 
(A justificativa também poderia ser: 
Não é inversível, pois não é sobrejetora: 
Nenhum dos inteiros menores que -1 está na imagem de fg.) 
 
Determinando a função gf : 
gf : Z  Z com gf(x) = g(f(x)) = g(x2-1) = 2(x2-1) + 1 = 2x2-1. 
 
Não é inversível, pois não é injetora: 
gf(1) = 2.(12)+3 = 5 e gf(-1) = 2.(-12)+3 = 5 
Logo, gf (1) = gf (-1), mas 1-1. 
 
(A justificativa também poderia ser: 
Não é inversível, pois não é sobrejetora: 
Nenhum dos inteiros negativos está na imagem de fg.) 
 
b) f: Z  Z com f(x) = x2 e g: Z  Z com g(x) = x -1 
 
Determinando a função fg : 
fg : Z  Z com fg(x) = f(g(x)) = f(x-1) = (x-1)2 
 
Não é inversível, pois não é injetora: 
fg(2) = (2 - 1)2 = 1 e fg(0) = (0 - 1)2 = 1. 
Logo, fg(2) = fg(0), mas 20. 
 
(A justificativa também poderia ser: 
Não é inversível, pois não é sobrejetora: 
Nenhum dos inteiros negativos está na imagem de fg.) 
 
Determinando a função gf : 
gf : Z  Z com gf(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2-1 
 
Não é inversível, pois não é injetora: 
gf(1) = (12) - 1 = 0 e gf(-1) = (-12)+1 = 0 
Logo, gf (1) = gf (-1), mas 1-1. 
 
(A justificativa também poderia ser: 
Não é inversível, pois não é sobrejetora: 
Nenhum dos inteiros negativos está na imagem de fg.) 
 
7) Seja V = {1, 2, 3, 4} e sejam f = { (1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 3)} e g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 
1)}. Ache : f  g; b) g  f ; c) f  f 
 
8) Sejam f: S T e g: T U funções. Prove que, se g  f é injetora, então f também o é. 
Encontre um exemplo com g  f injetora mas g não. 
 
9) Seja P o conjunto das partes de {a, b, c}. Defina uma função f : P Z da seguinte maneira: 
para todo A em P, f(A) = número de elementos em A. Prove ou refute as afirmações: 
a) f é injetora; 
Falsa. f({a}) = f({b}), mas {a} {b}. 
b) f é sobrejetora. 
Falsa. Seja y = 4, não existe A em P que tenha 4 elementos. 
 
10) Quais das definições a seguir são de funções do domínio no contradomínio indicado? Quais 
são funções injetoras? Quais são funções sobrejetoras? Descreva a função inversa das funções 
bijetoras. 
a) f : Z  N onde f é dada por f(x) = x2 + 1. 
É função de Z  N , pois f(x) = x2 + 1 está definida para todo x no domínio Z e a saída da 
função é sempre um número natural. 
Não é injetora: Seja x1=2 e x2=-2. f(x1) = x
2 + 1=(2)2 +1=5 e f(x2) = x
2 + 1=(-2)2 +1=5. 
Entretanto 2-2. 
Não é sobrejetora: Seja y=4. Não existe x Z tal que 4= x2 + 1. 
 
b) f: {1, 2, 3}  {p, q, r} onde f = {(1, q), (2, r), (3, p). 
É função de {1, 2, 3}  {p, q, r}, pois todos os elementos do domínio {1, 2, 3} aparecem 
como primeiros elementos de apenas um par na função e a saída da função está em {p, q, 
r}. 
É injetora: Se x1  x2 f(x1)  f(x2). 
É sobrejetora: Todos os elementos de {p, q, r} aparecem como segundo elemento de 
algum par na função. 
 
c) f : N  N onde f é definida por f(x) = x/2 se x for par e f(x) = x+1 se x for ímpar. 
 
d) f : N  N onde f é definida por f(x) = x+1 se x for par e f(x) = x-1 se x for ímpar. 
É função de N  N , pois está definida para todo x no domínio N e a saída da função é 
sempre um número natural. 
É injetora: 
Sejam x1, x2  N, x1  x2, ambos pares. 
Então x1 = 2a e x2 = 2b, para a e b inteiros. 
Se x1  x2, 2a  2b e 2a + 1  2b + 1  f(x1)  f(x2). 
(Entrada distintas levam a saídas distintas.) 
 
Sejam x1, x2  N, x1  x2, ambos ímpares. 
Então x1 = 2a-1 e x2 = 2b-1, para a e b inteiros. 
Se x1  x2, 2a-1  2b-1 e 2a - 2  2b - 2  f(x1)  f(x2). 
(Entrada distintas levam a saídas distintas.) 
 
Sejam x1, x2  N, x1 par e x2 ímpar. 
Se x1 é par, f(x1) = x1+1 é ímpar. 
Se x2 é ímpar, f(x2) = x2-1 é par. 
Logom x1 (par)  x2 (ímpar)  f(x1) (ímpar)  f(x2) (par). 
(Entrada distintas levam a saídas distintas.) 
 
É sobrejetora: 
Seja y  N, y par. Então, y = 2a. 
Existe x = 2a+1, x  N, ímpar, tal que f(x) = f(2a+1) = 2a+1-1= 2a = y. 
 
Seja y  N, y ímpar. Então, y = 2a+1. 
Existe x = 2a, x  N, par, tal que f(x) = f(2a) = 2a+1 = y. 
 
É bijetora. Função inversa: 
 
f : N  N onde f é definida por f(x) = x+1 se x for par e f(x) = x-1 se x for ímpar. 
 
 
11) Para os casos a e b dados a seguir, prove os refute as afirmações i e ii. 
a) A função f : R Z definida tal que f(x) = x + 1. 
i) f é injetora. 
f não é injetora: f(2,5) = 2,5 + 1 = 3+1 = 4 
 f(2,6) = 2,6 + 1 = 3+1 = 4 
Assim, 2,5  2,6 mas f(2,5) = f(2,6) 
ii) f é sobrejetora: 
Seja yZ. Existe x = y-1, xR e f(x) =x + 1 = x+1 = y. 
(Todo yZ é imagem de algum xR) 
 
b) f: Z  Z definida por f(x) = 10 + x. 
 
i) f é injetora; 
f é injetora: 
Seja x,yZ e xy. Então x+10  y+10. 
 
ii) f é sobrejetora. 
f é sobrejetora: 
Seja yZ. Existe x = y-10, xZ e y = f(x) = 10 + x. 
 
12) O que se pode dizer sobre x se x = x ? 
x é inteiro 
 
13) Avalie: a) 13,2 , –0,17, 34; b) 13,2 , –0,17, 34 
 13,2 = 13 
–0,17 = -1 
 34 = 34 
13,2 = 14 
–0,17 = o 
34 = 34