CCB Objetiva matematica

Prévia do material em texto

2007/8
Concurso Público
Técnico do Seguro Social - INSS
INTRODUÇÃO
 Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais,
reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros.
 
O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e
positivos. 
O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. 
O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já
os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. 
Os reais vão englobar todos os anteriores.
PERTINÊNCIA
 
Página: 1 de 204
De elemento para conjunto: 
Pertence (Î)
Não pertence (Ï)
De conjunto para conjunto:
Está contido (Ì),
Não está contido (Ë)
Contém (É)
Não contém (Ž) (um conjunto contido em outro é dito subconjunto daquele que o contém)
Representação 
o Enumeração ou extensão:
A = {2,4,6,8,10}
B = {a, e ,i ,o, u} 
o Propriedade ou Lei da formação:
A = {x E n / 1< x < 11 e x é par} (x pertence aos números naturais tal que 1 é menor
que x que é menor que 11 e x é par};
B = {é toda letra vogal} 
o Diagrama ou figura:
Coloca os elementos do conjunto dentro de um diagrama que pode ter o formato
de qualquer figura fechada. 
o O conjunto vazio pode ser representado por A = { } ou por A = f (mas nunca por A
= {f}). 
 Operações 
o União (È) 
o Intersecção (Ç) 
o Subtração ( - ) 
o Complementar (CBA, complementar de A em relação a B e A tem que estar
contido em B) 
Exemplos:
A = { 1,2} B = {1,2,3,4}
A È B = { 1,2,3,4 }
A Ç B = {1,2}
B - A = {3,4}
CBA = B-A = {3,4}
Página: 2 de 204
NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos
números naturais, representados pela letra IN:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um
sucessor e a partir do zero um sucessor.
Exemplos:
v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.
v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.
v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.
Exercícios Resolvidos 
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de
números consecutivos entre esses números:
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255
Resolução:
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256
2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de
Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor
do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem?
Resolução:
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se
Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de
46, então esta idade será 48 anos.
3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.
Resolução:
Seja o conjunto: A = {x Î IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do
exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:
A = {4, 5, 6}
ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por
Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a
285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta
é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405
km.
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois,
ou mais, números dados.
O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam,
parcelas ou termos.
Página: 3 de 204
Propriedades 
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o
próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16
Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas
parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados:
 ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Exemplos:
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27
 
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c 
Nota:
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para
entendermos o significado das sentenças.
Exemplo: 
1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da
vírgula ter sido deslocada.
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e
chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência:
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves
Exemplo: 
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a
importância da associação.
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a
ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.
Exemplo: 
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4).
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.
Página: 4 de 204
Exemplo: 
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3
SUBTRAÇÃO
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato,
observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do
depósito?
Para saber, efetuamos uma subtração:
 
 2 137 
 1 200 
 
 R$ 937,00 
 minuendo 
 
 subtraendo 
 
 resto ou 
diferença
Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um
terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação
inversa da adição.
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são
chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto.
Propriedades
 
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não
existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 ¹ 0 - 9 
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 
15 - 5 = 10
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença
não se altera.
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 
4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15
Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de
vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto. 
Então:
Página: 5 de 204
 
 5 
 ´ 3 
 
 15 
multiplicando 
multiplicador 
 
produto 
Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado
multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes
quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de
fatores.
Propriedades 
1) Fechamento- O produto de dois números naturais é sempre um número natural. 
Ex: 5 x 2 = 10
2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação
porque não afeta o produto. 
Ex: 10 x 1 = 10
3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. 
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma
diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por
esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. 
Exemplo: 
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27
 
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15
Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os
termos.
Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas
parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. 
Exemplo:
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63
DIVISÃO
 Divisão Exata 
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem,
determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação
dessa operação é feita com os sinais: ou ¸ que se lê: dividido por. O primeiro número
chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. 
Exemplo:
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. 
Página: 6 de 204
 Divisão Aproximada 
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra
um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9
´ 6 = 54 é maior que 53.
O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo
53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que
se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos,
assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o
dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita
assim:
 
DIVIDENDO = DIVISOR ´ QUOCIENTE + RESTO
Exemplo:
 Þ 53 = 6 ´ 8 + 5
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.
A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões
aritméticas, envolvendo adições e subtrações.
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se
que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas
entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.
Exemplos:
1) Calcular o valor da expressão aritmética
35 - [4 + (5 - 3)]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos
35 - [4 + 2]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos
35 - 6 = 29
2) Calcular o valor da expressão aritmética
Página: 7 de 204
86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos
86 - {26 - [8 - 7]}
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos
86 - {26 - 1}
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que
86 - 25 = 61
3) Calcular o valor da expressão aritmética
53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}
53 - {52 - 0}
53 - 52 = 1
O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração,
multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:
Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações,
respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e
finalmente as chaves.
Exemplo:
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses
temos:
54 - 3 x [ 10 - 7 ]
efetuando-se os colchetes vem que
54 - 3 ´ [ 3 ] 
54 - 9 = 45
Exercício Resolvido 
1) Resolva a seguinte expressão aritmética
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12
Resolução:
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12 
{ 46 - 2 } x 2 + 12 
44 x 2 + 12 
88 + 12 
100
DIVISIBILIDADE
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível
por outro. 
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será
que 762 é divisível por 2? E por 3?
DIVISIBILIDADE POR 2
Todo número que é par é divisível por 2.
Página: 8 de 204
Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.
DIVISIBILIDADE POR 3
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3,
então o número inicial o será também.
Exemplos: 
v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24
DIVISIBILIDADE POR 4
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4
o número será divisível por 4.
Exemplos:
v 764, pois 64 é divisível por 4.
v 1 572, pois 72 é divisível por 4.
v 3 300, pois o número termina em dois zeros.
DIVISIBILIDADE POR 5
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.
Exemplos: 
760, 1 575, 3 320.
DIVISIBILIDADE POR 6
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.
Exemplos: 
762, 1 572, 33 291.
DIVISIBILIDADE POR 7
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:
1o. Separe a casa das unidades do número;
2o. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;
3o. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o
número original também o será.
Exemplos:
v 378 é divisível por 7, pois
Passo1: 37 ........ 8
Passo 2: 8 ´ 2 = 16
Passo 3: 37 - 16 = 21
Página: 9 de 204
Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.
v 4 809 é divisível por 7, pois
Passo1: 480 ........ 9
Passo 2: 9 ´ 2 = 18
Passo 3: 480 - 18 = 462
Repetindo os passos para o número encontrado:
Passo1: 46 ........ 2
Passo 2: 2 ´ 2 = 4
Passo 3: 46 - 4 = 42
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.
DIVISIBILIDADE POR 8
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o
número original também será.
Exemplos: 
1 416, 33 296, 57 800, 43 000.
DIVISIBILIDADE POR 9 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9,
então o número inicial o será também.
Exemplos: 
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27
v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36
DIVISIBILIDADE POR 10 
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.
Exemplos: 
760, 3 320, 13 240.
DIVISIBILIDADE POR 11 
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11.
Exemplos: 
v 2 937, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16
Página: 10 de 204
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11
v 28 017, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Þ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural. 
Exemplos: 
v 24 é múltiplode 3, pois 3 x 8 = 24.
v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0
Þ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.
Exemplos: 
v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.
v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.
NÚMEROS PRIMOS
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a
unidade; ele será considerado um número primo, são eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:
Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos
números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma
dessas divisões seja exata, então o número é primo.
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.
Exemplo: 
Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,
podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.
Então, dividindo:
 
 193 11 193 13 193 17 
 83 17 63 14 23 11 
 6 11 6 
Página: 11 de 204
Quociente menor que o divisor Þ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é
primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
primos.
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um
número natural.
Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a
seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até
encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores
encontrados que serão números primos.
Exemplo: 
 
 
a) a = 27, b = -8, c = 
9
1
, d = - 
8
1
 
 
b) b < d < c < a 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo
todos os divisores.
Þ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos
expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.
Exemplo: 
Vamos determinar o total de divisores de 80. 
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 ´ 51 
Página: 12 de 204
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 
v 4 + 1 = 5
v 1 + 1 = 2 
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados
 5 ´ 2 = 10
Portanto, o número de divisores de 80 é 10.
Nota: 
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os
divisores positivos desse número.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos,
ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo
tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos
comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exemplo: 
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280
 
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os
menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus
menores expoentes são : 
 22 ´ 5 = 4 ´ 5 = 20 
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
 MDC (60, 280) = 20 
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
Página: 13 de 204
 
O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o
menor expoente, então temos 22 = 4
mdc (480, 188) = 4
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
(MÉTODO DE EUCLIDES)
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.
1o. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio)
e o menor na segunda lacuna (do meio):
 
2o. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na
lacuna abaixo do 280:
 
3o. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os
passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.
Página: 14 de 204
 
4o. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.
mdc (60, 280) = 20
Nota: 
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor
Comum entre esses números for igual a 1.
Exemplo:
 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1
Exercícios Resolvidos 
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de
obtermos quocientes iguais.
Resolução:
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160
 
 mdc (144, 160) = 24 = 16 
Então:
144 ¸ 16 = 9
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo
os números procurados são 9 e 10 
pois 144 ¸ 9 = 16 e 160 ¸ 10 = 16.
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56
metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente
as duas dimensões?
Resolução:
Página: 15 de 204
 
 
Então: 
 mdc ( 56, 24) = 8 
Resposta: 
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno
deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos
múltiplos, não nulo, comum a esses números."
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos
múltiplos de 9.
vM(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
vM(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem
números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números
18 e 36, isto é:
M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...} 
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são
divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:
mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo
simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não
comuns escolhidos com seus maiores expoentes.
Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.
Fatorando os números:
Página: 16 de 204
 
 
 
 70 2 140 2 180 2 
 35 5 70 2 90 2 
 7 7 35 5 45 3 
 1 7 7 15 3 
 1 5 5 
 1 
Então temos: 
70 = 2 x 5 x 7
140 = 22 x 5 x 7 
180 = 22 x 32 x 5 
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O número 7
não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3
também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:
v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.
v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.
 mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
 
 
Então: 
mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
Página: 17 de 204
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440. 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
 
 
 
80, 18 2 
40, 9 2 
20, 9 2 
10, 9 2 
 5, 9 3 
 5, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 
 
 
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo: 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá
o novo encontro?" 
Þ Múltiplo
v"Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v"Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
Página: 18 de 204
 
 
15, 20, 25 2 
15, 10, 25 2 
15, 5, 25 3 
 5, 5, 25 5 
 1, 1, 5 5 
 1, 1 1 
 
 300 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440. 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
 
 
 
80, 18 2 
40, 9 2 
20, 9 2 
10, 9 2 
 5, 9 3 
 5, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 
 
 
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
Página: 19 de 204
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo: 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o
novo encontro?" 
Þ Múltiplo
v"Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v"Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
 
 
15, 20, 25 2 
15, 10, 25 2 
15, 5, 25 3 
 5, 5, 25 5 
 1, 1, 5 5 
 1, 1 1 
 
 300 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
NÚMEROS INTEIROS
 
 Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um
novo tipo de número que pudesse ser solução de equações tão simples como,
 x + 2 = 0, 2 x + 10 = 0, 4y + y = 0
e as ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0ºC.
 Mas a tarefa não ficava só por criar um novo número, era necessário encontrar um símbolo
que permitisse operar com esse número criado de um modo prático e eficiente.
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
 
 Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números
naturais, o conjunto dos números opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é
denotado pela letra ℤ e pode ser escrito por
ℤ = {.,.. ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,1- ,2- ,3- ,4- ...}
 
Exemplos de subconjuntos do conjunto ℤ:
 Conjunto dos números inteiros não negativos:
Página: 20 de 204
ℤ+={ ... ,4 ,3 ,2 ,1 ,0}
 Conjunto dos números inteiros não positivos:
ℤ-={.,.. ,1- ,2- ,3- ,4- 0}
 
 Os números inteiros podem ser representados numa reta numerada, pelo que possuem
uma determinada ordem. Visto aqui serem apresentados os números negativos, poderemos
também discutir o módulo de um número assim como as operações que podemos realizar
com eles. As operações que iremos abordar, juntamente com as suas propriedades, são a
adição e a multiplicação.
 Por fim falaremos também da potenciação dos números inteiros e a radiciação dos mesmos.
RETA NUMERADA
 
Geometricamente, o conjunto ℤ, pode ser representado pela construção de uma reta
numerada, considerando o número zero como a origem e o número um em algum lugar, tomar
a unidade de medida como a distância entre o 0 e o 1 e por os números inteiros da seguinte
forma:
 
 
 
 Observando a reta numerada, notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é
crescente da esquerda para a direita, e é por esta razão que indicamos com uma seta para a
direita. Esta consideração é adaptada por convenção.
 Tendo em conta, ainda, a reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros
têm um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
 
ORDEM E SIMETRIA NO CONJUNTO ℤ
 
 O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta
(em ℤ) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua
esquerda na reta (em ℤ).
 
 Exemplo:
 3 é sucessor de 2 e 2 é antecessor de 3
 -5 é antecessor de -4 e -4 é sucessor de -5
 
 Todo o número inteiro exceto o zero possui um elemento denominado de simétrico, cuja
caracteristíca é encontrar-se à mesma distância da origem que o número considerado. 
Módulo de um número inteiro
 
 O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é definido como sendo o maior valor
(máximo) entre um número e o seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas
barras verticais. Assim:
 
{ }x,xmaxx -=
 
 Exemplo:
 
00 =
 
88 =
Página: 21 de 204
 
66 =-
Adição de números inteiros
 
 Para entendermos melhor esta operação, associaremos aos números positivos a idéia de
ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
 Exemplo:
 perder 3 + perder 4 = perder 7
 (-3) + (-4) = -7
 ganhar 8 +perder 5 = ganhar 3
 (+8) + (-5) = (+3)
 
 Tem de se ter em atenção que, o sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado,
mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
 
Multiplicação de números inteiros
 
 A multiplicação funciona, explicando de uma forma muito simplificada, como o adicionar de
números iguais. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos a ganhar
repetidamente alguma quantidade. 
 
Exemplo:
 Ganhar um objeto 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e podemos
representar esta repetição por um x, isto é
1 + 1 + ... + 1 = 30 x 1 = 30
 Se trocarmos o número 1, por (-2), ficamos com
(-2) + (-2) + ... + (-2) + (-2) = 30 x (-2) = - 60
 
 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são
repetidos.
 A multiplicação tem, no entanto, algumas regras que têm deser seguidas. Elas são:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
 Assim podemos concluir que:
 
Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
Exemplos:
(+2) + (+3) = +5
(-2) + (-3) = - 5
vSinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em
módulo. 
Exemplos:
 (-2) + (+3) = +1
 (+2) + (- 3) = -1
Propriedades da multiplicação de números inteiros
 
 Ø Associativa
 Para todos a, b, c ∈ ℤ: a x (b x c) = (a x b) x c
 Exemplo:
 3 x (7 x 2) = (3 x 7) x 2
Página: 22 de 204
 
 Ø Comutativa
 Para todos a, b ∈ ℤ: a x b = b x a
 Exemplo:
 3 x 7 = 7 x 3 = 21
 
 Ø Existência de elemento neutro
 Existe um elemento em ℤ que multiplicado por qualquer outro número em ℤ o
resultado é o próprio número. Este elemento é o 1 e vamos ter
z x 1 = z
 Exemplo:
 7 x 1 = 7
 
 Ø Existência de elemento inverso
 Para todo o inteiro z, diferente de zero, existe um inverso 
 z
1
z 1 =-
tal que
 
1
z
1
zzz 1 =´=´ -
 Exemplo:
 
1
9
1
999 1 =´=´ -
 Ø Propriedade distributiva
 Para todos a, b, c em ℤ: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
 
 Exemplo:
 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Exercícios Resolvidos 
1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300
Resolução:
-150 - 200 + 100 + 300
-350 + 100 + 300
-250 + 300
50
2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas,
jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson
ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?
Resolução:
Representando em soma algébrica:
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0
Resposta: Nenhuma.
Página: 23 de 204
3) Calcule o valor da expressão abaixo:
{(16 - 4) + [ 3x (-2) - 7x1]} x [-12 - (- 4) x 2 x 2] + (-7) x2 - 3 x (-1)
Resolução:
{(16 - 4) + [3 x(-2) - 7x1]} x[-12 - (- 4) x2 x2] + (-7) x2 - 3 x (-1)
{12 + [-6 - 7]} x [-12 - (-16)] + (-14) - (-3)
{12 + [-13]} x [-12 + 16] - 14 + 3
{12 - 13} x 4 - 14 + 3
{-1} x4 - 14 + 3
- 4 - 14 + 3
-18 + 3
-15
 
Curiosidade! 
A matemática como todas as ciênçias têm os seus períodos em que são influenciados pelas línguas em que 
se fazem as maiores descobertas e existem maiores comunidades de praticantes (com consequente maior 
número de publicações e comunicações). 
 
O Z para os números inteiros é um exemplo disso. 
Z vêm de "Zahl" em alemão que significa "inteiro", ou seja se tivesse sido um matemático português ou se a 
matemática nessa altura tivesse sido predominantemente praticada por portugueses hoje provavelmente 
chamaría-mos o conjunto dos números inteiros de I. 
 
A utilização de Z foi iniciada pelo Sr. Edmund Landau em 1930 no livro "Grundlagen der Analysis", que se 
tornou um livro popular na época. Como é uma tendência natural do ser humano e da linguagem em 
particular, de se utilizar os símbolos mais utilizados, foi este o símbolo que ficou... 
Os Números Racionais
(Q) - FRAÇÕES
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele
fosse. 
 
 0 13 35 98
 1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza,
eles são chamados de números naturais. 
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. 
Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de
dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. 
O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. 
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números
fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são
chamados de números racionais. 
A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da
Matemática.
Portanto, os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de
fração (com o numerador e denominador, com b ¹ 0 e é representado pela letra Q.). Oub
a
Página: 24 de 204
seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
 
Exemplos:
Assim, podemos escrever:
 
Atenção: 
I) Todo número natural é um racional.
 
 
II) Todo número inteiro relativo é racional.
 
 
FRAÇÕES
Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da
unidade que foi dividida em partes iguais.
Exemplos: 
v 1 hora = 60 minutos
v ¼ hora = 15 minutos
v hora = 30 minutos4
2
v hora = 45 minutos4
3
Þ Representação
Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa
ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e
denominador, e que constituem os termos da fração.
 
Página: 25 de 204
O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador,
quantas partes foram tomadas.
As frações podem ser decimais e ordinárias.
FRAÇÕES DECIMAIS
Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000,
etc.
Exemplo:
 
 
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
São todas as outras frações: 
 
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor
que a unidade.
Exemplo:
 
 
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a
fração é maior que a unidade. 
Exemplo:
 
c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo
denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números
internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. 
Exemplo:
 
 
Página: 26 de 204
d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem
mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão
não têm mais nenhum divisor comum. 
Exemplo:
 
Simplificando-se 
36
24
, temos 
3
2
 (fração irredutível) 
REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
1) Reduzem-se as frações à forma irredutível
2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão.
Exemplo:
 
 
1-) 
 
 
6
3 = 
2
1 
2-)
 mmc (2, 5, 7) = 70
3-) 
 
 
5
2 ,
2
1 , 
7
4 Þ 
70
, 
70
, 
70
 Þ 
70
28 , 
70
35 , 
70
40 
 
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente
de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número.
Exemplo: 
Seja a fração . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração , que é duas10
3
10
6
vezes maior que , pois se em tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em tomamos10
3
10
6
10
3
apenas três.
Ilustração:
Página: 27 de 204
 
 
Observando a ilustração, verificamos que é duas vezes menor que .10
3
10
6
2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de
zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número.
Exemplo: 
Seja a fração. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração , que é duas vezes5
2
10
2
menor que , pois em dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas,5
2
5
2
enquanto que em , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas10
2
duas em dez.
Ilustrações:
 
 
Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que é duas vezes maior que .5
2
10
2
3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor
da fração não se altera.
Exemplo: 
 
 
5
2 Þ 
2
2
×
×
5
2 Þ 
10
4 
Página: 28 de 204
 
 
Logo: 
5
2 = 
10
4 
Ilustrações:
 
 
 
NÚMEROS MISTOS
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.
Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o
denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o
numerador.
Exemplo:
 
 
7
4
6 = 
7
442 + = 
7
46 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor.
Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.
Exemplo: 
 
 
10
4 > 
10
3 > 
10
1 
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. 
Exemplo:
 
 
5
4 > 
7
4 > 
10
4 
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita
reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador.
Exemplo:
Página: 29 de 204
 
 
5
2 <
2
1 < 
7
4 Þ 
70
28 < 
70
35 < 
70
40 
Exercício Resolvido 
1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
 
 
5
4 , 
10
7 , 
5
2 , 
2
1 , 
3
6 
Resolução:
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc 
(2, 3, 5, 10) = 30:
 
 
5
4 , 
10
7 , 
5
2 , 
2
1 , 
3
6 Þ 
30
, 
30
, 
30
, 
30
, 
30
Þ 
Þ 
30
24 , 
30
21 , 
30
12 , 
30
15 , 
30
60 
L o g o : 
30
12 <
30
15 <
30
21 <
30
24 <
30
60 Þ 
5
2 <
2
1 <
10
7 <
5
4 <
3
6 
FRAÇÕES EQUIVALENTES
São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo
valor.
 
Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.
2
1 =
6
3 =
4
2 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são
números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
 
 
1 O . M o d o :
48
36
 Þ 
4
4
48
36
¸
¸
Þ
12
9 Þ
3
3
12
9
¸
¸
Þ 
4
3
 
 está na sua forma irredutível.4
3
2O. Modo:
Página: 30 de 204
Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o
mdc (48,36) = 12
 
 
12
12
48
36
¸
¸ Þ 
4
3 
Exercício Resolvido 
1) Obter 3 frações equivalentes a .5
3
Resolução:
Basta tomar os termos da fração multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:5
3
 
 
3
3
5
3
´
´
=
15
9
 
7
7
5
3
´
´
=
35
21
 
12
12
5
3
´
´
=
60
36
 
ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Temos dois casos à considerar:
vCaso 1: 
Denominadores Iguais
"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".
Exemplo:
 
 
5
11 + 
5
9 + 
5
2 = 
5
2911 ++ = 
5
22 
vCaso 2: 
Denominadores Diferentes
"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ".
Exemplo:
 
 
5
4
+ 
10
7
+ 
5
2
 + 
2
1
+ 
3
6
 Þ 
30
24
+
30
21
+ 
30
12
+ 
30
15
+
30
60
Þ 
Þ 
30
6015122124 ++++ =
30
132 
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
 
 
6
6
30
132
¸
¸ = 
5
22 
Nota: 
Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos
em frações impróprias.
Página: 31 de 204
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição. 
(Caso 1 e Caso 2).
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e
denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:
Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.
Exemplos:
 
 
 
Þ 
5
3 ´ 
7
6
 = 
75
63
´
´
= 
35
18
 
Þ 
5
4 ´
10
7 ´
5
2 = 
5105
274
´´
´´ =
250
56 = 
2
2
250
56
¸
¸
=
125
28 
Nota: 
Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:
 
 
5
4 ´
10
7 ´
5
2 = 
5
2 ´
5
7 ´
5
2 = 
125
28 
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de duas frações, vamos sempre:
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.
Exemplo:
 
 
Þ 
5
3 ¸ 
7
6 = 
5
3 ´ 
6
7 = 
5
1 ´ 
2
7 =
25
71
´
´ = 
10
7 
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS
O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas
por sinais de operações é feito na segunda ordem:
1º) As multiplicações e divisões
2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves.
Exemplo: 
Vamos resolver a seguinte expressão:
Página: 32 de 204
 
 
úû
ù
êë
é ¸×+¸¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
6
5
2
1
3
4
7
11
3
11
5
2
2
4
1
2
9 = 
= úû
ù
êë
é ¸+´¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
6
5
6
4
11
7
3
11
5
210
4
1
2
9 = 
= úû
ù
êë
é ´+¸úû
ù
êë
é ´-
5
6
6
4
3
7
5
12
4
1
2
9 = úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
5
4
3
7
5
3
2
9 = 
= úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
15
1235
10
645 = 
15
47
10
39
¸ = 
47
15
10
39
´ = 
=
47
3
2
39
´ = 
47
3
2
39
´ = 
94
117 
NÚMEROS REAIS (IR)
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais,
representado pela letra IR.
Observe o diagrama:
 
vObservação Þ "Números Irracionais"
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos
números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de
fração:
Exemplos:
 , , p etc.2 3
NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto,
estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além
de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos.
ADIÇÃO
Página: 33 de 204
Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se
correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na
soma, em correspondência com as parcelas.
Exemplo:
 
13,8 + 0,052 + 2,9 = 
 
13,8 13,800 
 0,052 ou 0,052 
 2,9 2,900 
 
16,752 16,752 
SUBTRAÇÃO
Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam.
Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em
correspondência com os dois termos.
Exemplo:
 
5,08 - 3,4852= 
 
 5,0800 
 -3,4852 
 
 1,5948 
MULTIPLICAÇÃO
Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente,
como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada
um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto.
Exemplo: 
 
1,23 ´ 0,4 = 0,492; 12,345 ´ 5,75 = 70,98375 
 
DIVISÃO
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,
desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido o
quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do
resto, a fim de continuar a divisão. 
Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se um zero a
direita de cada resto.
Exemplo: 
 
72,2379 ¸ 5,873 
 
Página: 34 de 204
Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:
 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS RACIONAIS
A representação decimal de um número racional (fracionário) p/q é obtida recorrendo ao
algoritmo da divisão. Em certos casos a divisão termina com resto 0 ao fim de um número
finito de passos, fornecendo uma representação finita e exata para o número p/q. Por exemplo
19/16 = 1.1875.
 
A sequência de algarismos da parte decimal de um número diz-se a sua dízima.
O número 19/16 tem dízima finita 1875.
Na generalidade dos casos, porém, a divisão de dois inteiros p e q arrasta-se indefinidamente
sem nunca se obter um resto igual a 0. Nestes casos uma representação decimal exata para o
número p/q só é possível se considerarmos dízimas infinitas (periódicas) como o resultado
limite de uma divisão continuada indefinidamente. É este o caso quando dividimos 349 por 11.
 
Repare que a cada passo da divisão o resto é sempre menor que o divisor. Assim o número de
restos que podem ocorrer durante o processo de divisão é finito. Esse número nunca pode
exceder o próprio divisor. Significa isto que se uma divisão de dois inteiros se prolonga
indefinidamente haverá necessariamente uma repetição de restos, que forçará o processo de
divisão a assumir um padrão repetitivo e periódico de cálculo. Assim os dígitos da dízima
obtida repetir-se-ão periodicamente de certa casa decimal em diante. No exemplo anterior a
sequência de dois dígitos '72' repete-se periodicamente a partir da segunda casa decimal. Não
é difícil obter a seguinte caracterização.
Todo o número racional p/q admite uma dízima finita, ou então infinita e periódica de certa
ordem (casa decimal) em diante. Reciprocamente, toda a dízima nestas condições pode ser
Página: 35 de 204
realizada como um quociente p/q de dois inteiros.
Por exemplo, para representar x = 0.(125) = 0.125125 como um número fracionário basta
observar que
999 x = 1000 x − x = 125.125125 − 0.125125 = 125 .
Logo x = 125/999.
EXERCÍCIOS 
1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ?
2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número divisível por 3
?
3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número divisível por
5 ?
4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra
nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas?
5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar que o
conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos 
c) 7 elementos d) 8 elementos
6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível
por 252?
7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível
por 1050?
8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor
9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.
10) Para se saber se um número natural é primo não:
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.
11) Determinar o número de divisores de 270.
12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
Página: 36 de 204
c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13
13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os
quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16
14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros,
em partes iguais e do máximo tamanho possível. 
Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma.
9, 8, 6 partes de 18 metros
8, 6, 5 partes de 18 metros
9, 7, 6 partes de 18 metros
10, 8, 4 partes de 18 metros
15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma
quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e
1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores
16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos
e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser
realizadas novamente eleições para esses cargos?
17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente
esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de
quantas voltas repete-se novamente o encontro?
18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36
segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se;
depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas
darão cada um?
19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo
que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada
roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente?
20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: 
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares
21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para
Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram
três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá
partidas simultâneas?
22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o
Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um
embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques
Página: 37 de 204
coincidem até as 18 horas.
23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais
serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?
24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior.Quais são os números?
25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho
de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou.
Quantos metros restaram por vender?
26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou
ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ?
27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da
peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou
os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ?
28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7.
Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno
?
29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00.
Quanto possuía?
30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? 
31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto
falta para atingir o cume?
32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades?
33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto
tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?
34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas
comeu mais e quanto sobrou?
35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número?
36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas
couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do
que possuía ao terceiro?
37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?
38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse
tanque?
39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que
recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre?
40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que
Página: 38 de 204
restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?
41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores
diversas. Quantas árvores há no pomar?
42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e
assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do
percurso, em quilômetros?
43) Efetuar as adições:
 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 
 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39
44) Efetuar as subtrações:
 1º) 6,03 - 2,9456
 2º) 1 - 0,34781
45) Efetuar as multiplicações
 1º) 4,31 x 0,012
 2º) 1,2 x 0,021 x 4
46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
 1º) 56 por 17 a menos de 0,01
 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1
 3º) 5 por 7 a menos de 0,001
47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 +
( 0,05 ¸ 0,005).
49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que representa o
número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu ; Ele acertou ou errou a10
81
resposta.
50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor ?
51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado
que multiplicar 804 por 0,75?
52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .
53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma
indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas
vende o suco mais barato?
54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco,
tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. 
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
Página: 39 de 204
b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão
atendidas todas as pessoas que estão na fila?
GABARITO
1) 1,2,3,4 28) R$420.000,00
2) 2 29) R$300,00 
3) 2 30) 155/4
4) 45 31) 2/7 
5) B 32) 24 
6) 7 33) 9 h
7) 10 34) Cada comeu 1/2 e não sobrou nada
8) B 35) 35 
9) D 36) 6,6,15 
10) B 37) R$35.000,00 
11) 16 38) 3horas
12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682 39) 1º- R$60,00, 2º- R$12,00, 3º 4º e 5º R$16,00
13) A 40) 45.000 
14) B 41) 105 
15) C 42) 14 quilômetros e 21 quilômetros
16) 1941 43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791
17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor 44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;
18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos 45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;
19) Após 4 voltas 46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;
20) C 47) a) 0,85 b) 85/100 c) 85%
21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h 48) 10,5 
22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h 49) Errou, a resposta é 81/1000
23) 24.339 50) 2,03; 2,030 e 2,0300
24) 72 e 48 51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603
25) 12 metros 52) 13,6256 
26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 53) a indústria A
27) 90 metros 54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
 
 
* Medidas de Comprimento
* Medidas de Superfície
* Medidas Agrárias
* Medidas de Capacidade
* Medidas de Massa e de Tempo
Página: 40 de 204
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.
O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um
terreno, a altura de uma sala.
Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que
ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.
Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos
comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.
Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.
Nome Símbolo Relação
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m
hectômetro hm 100 m
quilômetro km 1000 m
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m
centímetro cm 0,01 m
milímetro mm 0,001 m
Nota: 
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas
multiplicações ou divisões por 10.
MUDANÇA DE UNIDADE
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades
abaixo representada:
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos
multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus. 
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro
por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade
de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.
Exemplo1: 
Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.
vhm ® m Þ ´ 100 (Desce 2 degrau)
 424,286 ´ 100 = 42428,6 m
Página: 41 de 204
 
Exemplo2: 
Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. 
vdm ® km Þ ¸ 10.000 (Sobe 4 degraus)
 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO
v Polegada = 2,54 cmv Pé = 30,48 cm 
v Milha = 1609 metros
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
1) Reduzir 28,569 hm a metros
2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.
3) Quantos metros existem em 8 dm?
4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em
média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).
5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média,
por hora?
6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para
percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto?
7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda
foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?
2º) Quanto pagou a mais?
8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15
andares?
9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.
Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16
polegadas?
10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de
largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca
de Noé.
11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de
São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm
no mapa?
12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e
as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A,
Página: 42 de 204
passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?
 
13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual
deverá ser o comprimento de cada pedaço?
14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de
comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo
comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo
que sai de A, passa por B e atinge C?
15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de
comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão
cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no
vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:
a) 16m 
b) 17m 
c) 18 m 
d) 19 m 
e) 20 m
GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
1) 2856,9 
2) 0,00456835
3) 0,80 
4) 382.200 km
5) 4,8 km/h 
6) 53.000 minutos
7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80
8) 40,50 m 
9) 40 cm
10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura
11) 16 cm 
12) Passando por C
13) 1,62 m 
14) 87,5 km 
15) E
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas
curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".
Página: 43 de 204
Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico
internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado
de 1 metro de lado.
 
 
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a
superfície de uma fazenda.
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado,
bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas
superfícies.
Múltiplos do Metro Quadrado 
Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado,
eqüivalendo a 100 m2.
Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado,
eqüivalendo a 10.000 m2. 
Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado,
eqüivalendo a 1.000.000 m2. 
Submúltiplos do Metro Quadrado 
Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado,
equivalendo a 0,01 m2. 
Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado,
equivalendo a 0,0001 m2.
Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado,
equivalendo a 0,000001 m2
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre
100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade
imediatamente superior.
MUDANÇA DE UNIDADE
Página: 44 de 204
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de
unidades abaixo representada:
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros
quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus.
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra
decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de
acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem.
MEDIDAS AGRÁRIAS
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.
As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja
100 m2.
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:
vO múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha.
vO submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e
equivale a 1m2.
Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2
are a Decâmetro quadrado 100 m2
Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2
Observação:
 
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.
vAlqueire Paulista = 24.200 m2
vAlqueire Mineiro = 48.400 m2
Página: 45 de 204
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS
1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?
2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha? 
3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?
4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para
pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?
5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?
6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de
pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda?
7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície
ocupada pela plantação?
GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS
1) 60.000 m2 
2) 12,28 ha 
3) 4,06 km2
4) 3750 m2 
5) 145.20 m2 
6) 2.420.000 m2 
7) 420.000 m2
MEDIDAS DE CAPACIDADE
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior". 
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro,
estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir
os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que
se abrevia por ℓ.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja,
corresponde ao volume de um decímetro cúbico.Página: 46 de 204
 
 1 dm 
1 dm 
1 dm 1 dm 3 = 1 litro 
Exemplo:
 
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m3 de
água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?
25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000ℓ
MUDANÇA DE UNIDADE
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as
mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se
a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi
dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE
1) Expressar 2ℓ em mℓ.
2) Sabendo-se que 1dm3 = 1ℓ, expressar 250 ℓ em cm3.
3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de
36m3, quantos litros de água foram consumidos?
4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em
ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina?
5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de
combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?
Página: 47 de 204
6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram
retirados 2.200 ℓ. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas
condições, quantos litros ainda restam no reservatório?
7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade
máxima em mℓ desta ampola?
8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3?
GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE
1) 2000mℓ 
2) 250000 cm3 
3) 36.000 litros
4) 40.000 ampolas 
5) 85.000ℓ de combustível 
6) 5200 litros
7) 12 mℓ
8) 240 litros
MEDIDAS DE MASSA
"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".
O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para
medir a massa de um corpo.
A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico
de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como
unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte
do quilograma ou seja, 
1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.
nome símbolo relação
Múltiplos do Grama decagrama
hectograma
dag
hg
10 g
100 g
quilograma kg 1000 g
Submúltiplos do Grama decigrama
centigrama
miligrama
dg
cg
mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
RELAÇÃO IMPORTANTE
Volume Capacidade Massa
 1 dm3 = 1 litro = 1 kg
Exemplo: 
Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o
peso (massa) da água contida neste recipiente?
· 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg
Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg
Página: 48 de 204
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA
· Tonelada (T) = 1.000 kg
· Megaton = 1.000 toneladas
· Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA 
1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo
número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados
para fazer esses blocos?
2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de
massa. Qual a massa da laje toda?
3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6
m3 dessa substância?
4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos
por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias?
5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o
volume interno desse recipiente?
6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?
7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula
colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou
aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de
água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?
a) 8 horas
b) 9 horas
c) 12 horas
d) 18 horas
e) 36 horas
GABARITO - MEDIDAS DE MASSA
1) 18.750 kg 
2) 50 T 
3) 15.000 kg
4) 315 mg 
5) 18 m3 
6) 10 dm3
7) B
MEDIDAS DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se
apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:
NOMES Símbolos Valores em segundos
Segundo s ou seg 1
Página: 49 de 204
Minuto min 60
Hora h 3.600
Dia d 86.400
Outras unidades, usadas na prática, são: 
· Semana (se) 7 dias
· Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias
· Ano (a) 360, 365 ou 366 dias
O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano
bissexto 366 dias.
Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os
meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos
anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.
Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:
1940, 1952, 1964 são bissextos
1910, 1953, 1965 não são bissextos
Nomenclaturas:
· 02 anos chama-se biênio
· 03 anos chama-se triênio
· 04 anos chama-se quadriênio
· 05 anos chama-se quinquênio ou lustro
· 10 anos chama-se decênio ou década
· 100 anos chama-se século
· 1000 anos chama-se milênio
· 02 meses chama-se bimestre
· 03 meses chama-se trimestre
· 06 meses chama-se semestre
A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita
escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas
unidades acompanhados dos respectivos símbolos.
Exemplo: 
· 9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg
MUDANÇA DE UNIDADES
Podem ocorrer dois casos:
Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de
medidas simples ou número incomplexo.
Exemplo: 
Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?
v Como 1 dia tem 24 horas ® 24 h x 3 = 72 h
v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.
v Como a hora vale 60 min. ® 80 h x 60 min = 4800 min.
v Somando-se ainda mais 13 min. ® 4813 min.
Caso 2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores
ou em números incomplexos.
Exemplo:
Página: 50 de 204
Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos
dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do
problema anterior.
· 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min
· 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h
Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO
1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?
 b) Quantas horas há em duas semanas?
2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.
 b) 4 a 8 me 12 d em dias. 
3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.
4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é
a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?
6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na
verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?
GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO
1) a) 10.080 min b) 336 h
2) a) 3.615 min b) 1.712 dias
3) 242 d 18 h 21 min 
4) 7 me e 20 d
5) 1 a 10me 14d 
6) 4 h 58 min
RAZÃO