CCB Objetiva matematica

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2007/8
Concurso Público
Técnico do Seguro Social - INSS
INTRODUÇÃO
 Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais,
reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros.
 
O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e
positivos. 
O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. 
O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já
os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. 
Os reais vão englobar todos os anteriores.
PERTINÊNCIA
 
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De elemento para conjunto: 
Pertence (Î)
Não pertence (Ï)
De conjunto para conjunto:
Está contido (Ì),
Não está contido (Ë)
Contém (É)
Não contém (Ž) (um conjunto contido em outro é dito subconjunto daquele que o contém)
Representação 
o Enumeração ou extensão:
A = {2,4,6,8,10}
B = {a, e ,i ,o, u} 
o Propriedade ou Lei da formação:
A = {x E n / 1< x < 11 e x é par} (x pertence aos números naturais tal que 1 é menor
que x que é menor que 11 e x é par};
B = {é toda letra vogal} 
o Diagrama ou figura:
Coloca os elementos do conjunto dentro de um diagrama que pode ter o formato
de qualquer figura fechada. 
o O conjunto vazio pode ser representado por A = { } ou por A = f (mas nunca por A
= {f}). 
 Operações 
o União (È) 
o Intersecção (Ç) 
o Subtração ( - ) 
o Complementar (CBA, complementar de A em relação a B e A tem que estar
contido em B) 
Exemplos:
A = { 1,2} B = {1,2,3,4}
A È B = { 1,2,3,4 }
A Ç B = {1,2}
B - A = {3,4}
CBA = B-A = {3,4}
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NÚMEROS NATURAIS
Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos
números naturais, representados pela letra IN:
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um
sucessor e a partir do zero um sucessor.
Exemplos:
v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.
v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.
v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.
Exercícios Resolvidos 
1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de
números consecutivos entre esses números:
2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255
Resolução:
0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256
2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de
Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor
do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem?
Resolução:
Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se
Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de
46, então esta idade será 48 anos.
3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.
Resolução:
Seja o conjunto: A = {x Î IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do
exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:
A = {4, 5, 6}
ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por
Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a
285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta
é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405
km.
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois,
ou mais, números dados.
O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam,
parcelas ou termos.
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Propriedades 
Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14
Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o
próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0 = 3
Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.
Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16
Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas
parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados:
 ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Exemplos:
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27
 
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c 
Nota:
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para
entendermos o significado das sentenças.
Exemplo: 
1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 
2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da
vírgula ter sido deslocada.
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e
chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência:
( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves
Exemplo: 
A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a
importância da associação.
Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a
ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.
Exemplo: 
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4).
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.
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Exemplo: 
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3
SUBTRAÇÃO
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato,
observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do
depósito?
Para saber, efetuamos uma subtração:
 
 2 137 
 1 200 
 
 R$ 937,00 
 minuendo 
 
 subtraendo 
 
 resto ou 
diferença
Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um
terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação
inversa da adição.
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são
chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto.
Propriedades
 
Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não
existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5
Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 ¹ 0 - 9 
Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 
15 - 5 = 10
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença
não se altera.
Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 
4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15
Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de
vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto. 
Então:
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 5 
 ´ 3 
 
 15 
multiplicando 
multiplicador 
 
produto 
Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado
multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes
quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de
fatores.
Propriedades 
1) Fechamento- O produto de dois números naturais é sempre um número natural. 
Ex: 5 x 2 = 10
2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação
porque não afeta o produto. 
Ex: 10 x 1 = 10
3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. 
Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma
diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por
esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. 
Exemplo: 
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27
 
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15
Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os
termos.
Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas
parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. 
Exemplo:
(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63
DIVISÃO
 Divisão Exata 
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem,
determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação
dessa operação é feita com os sinais: ou ¸ que se lê: dividido por. O primeiro número
chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. 
Exemplo:
15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. 
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 Divisão Aproximada 
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra
um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9
´ 6 = 54 é maior que 53.
O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo
53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que
se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos,
assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o
dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita
assim:
 
DIVIDENDO = DIVISOR ´ QUOCIENTE + RESTO
Exemplo:
 Þ 53 = 6 ´ 8 + 5
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.
A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões
aritméticas, envolvendo adições e subtrações.
O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se
que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas
entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.
Exemplos:
1) Calcular o valor da expressão aritmética
35 - [4 + (5 - 3)]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos
35 - [4 + 2]
efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos
35 - 6 = 29
2) Calcular o valor da expressão aritmética
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86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}
efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos
86 - {26 - [8 - 7]}
efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos
86 - {26 - 1}
efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que
86 - 25 = 61
3) Calcular o valor da expressão aritmética
53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}
53 - {52 - 0}
53 - 52 = 1
O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração,
multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:
Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações,
respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e
finalmente as chaves.
Exemplo:
54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]
efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses
temos:
54 - 3 x [ 10 - 7 ]
efetuando-se os colchetes vem que
54 - 3 ´ [ 3 ] 
54 - 9 = 45
Exercício Resolvido 
1) Resolva a seguinte expressão aritmética
{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12
Resolução:
{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 
{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 
{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12 
{ 46 - 2 } x 2 + 12 
44 x 2 + 12 
88 + 12 
100
DIVISIBILIDADE
Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível
por outro. 
Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será
que 762 é divisível por 2? E por 3?
DIVISIBILIDADE POR 2
Todo número que é par é divisível por 2.
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Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.
DIVISIBILIDADE POR 3
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3,
então o número inicial o será também.
Exemplos: 
v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24
DIVISIBILIDADE POR 4
Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4
o número será divisível por 4.
Exemplos:
v 764, pois 64 é divisível por 4.
v 1 572, pois 72 é divisível por 4.
v 3 300, pois o número termina em dois zeros.
DIVISIBILIDADE POR 5
Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.
Exemplos: 
760, 1 575, 3 320.
DIVISIBILIDADE POR 6
Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.
Exemplos: 
762, 1 572, 33 291.
DIVISIBILIDADE POR 7
Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:
1o. Separe a casa das unidades do número;
2o. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;
3o. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o
número original também o será.
Exemplos:
v 378 é divisível por 7, pois
Passo1: 37 ........ 8
Passo 2: 8 ´ 2 = 16
Passo 3: 37 - 16 = 21
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Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.
v 4 809 é divisível por 7, pois
Passo1: 480 ........ 9
Passo 2: 9 ´ 2 = 18
Passo 3: 480 - 18 = 462
Repetindo os passos para o número encontrado:
Passo1: 46 ........ 2
Passo 2: 2 ´ 2 = 4
Passo 3: 46 - 4 = 42
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.
DIVISIBILIDADE POR 8
Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o
número original também será.
Exemplos: 
1 416, 33 296, 57 800, 43 000.
DIVISIBILIDADE POR 9 
Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9,
então o número inicial o será também.
Exemplos: 
v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 
v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27
v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36
DIVISIBILIDADE POR 10 
Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.
Exemplos: 
760, 3 320, 13 240.
DIVISIBILIDADE POR 11 
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11.
Exemplos: 
v 2 937, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16
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soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5
fazendo a diferença: 16 - 5 = 11
v 28 017, pois:
soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9
soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9
fazendo a diferença: 9 - 9 = 0
MÚLTIPLOS E DIVISORES
Þ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural. 
Exemplos: 
v 24 é múltiplode 3, pois 3 x 8 = 24.
v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0
Þ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.
Exemplos: 
v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.
v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.
NÚMEROS PRIMOS
Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a
unidade; ele será considerado um número primo, são eles:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...
RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:
Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos
números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma
dessas divisões seja exata, então o número é primo.
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.
Exemplo: 
Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,
podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.
Então, dividindo:
 
 193 11 193 13 193 17 
 83 17 63 14 23 11 
 6 11 6 
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Quociente menor que o divisor Þ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é
primo.
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
primos.
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um
número natural.
Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a
seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até
encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores
encontrados que serão números primos.
Exemplo: 
 
 
a) a = 27, b = -8, c = 
9
1
, d = - 
8
1
 
 
b) b < d < c < a 
QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO 
Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo
todos os divisores.
Þ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos
expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.
Exemplo: 
Vamos determinar o total de divisores de 80. 
Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 ´ 51 
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Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: 
v 4 + 1 = 5
v 1 + 1 = 2 
Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados
 5 ´ 2 = 10
Portanto, o número de divisores de 80 é 10.
Nota: 
Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os
divisores positivos desse número.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos,
ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.
Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo
tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados.
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos
comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.
Exemplo: 
1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280
 
Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os
menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus
menores expoentes são : 
 22 ´ 5 = 4 ´ 5 = 20 
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
 MDC (60, 280) = 20 
2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188
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O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o
menor expoente, então temos 22 = 4
mdc (480, 188) = 4
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
(MÉTODO DE EUCLIDES)
Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.
1o. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio)
e o menor na segunda lacuna (do meio):
 
2o. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na
lacuna abaixo do 280:
 
3o. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os
passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.
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4o. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.
mdc (60, 280) = 20
Nota: 
"Números Primos entre Si"
Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor
Comum entre esses números for igual a 1.
Exemplo:
 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1
Exercícios Resolvidos 
1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de
obtermos quocientes iguais.
Resolução:
Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160
 
 mdc (144, 160) = 24 = 16 
Então:
144 ¸ 16 = 9
O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
Vem que 160 ¸ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo
os números procurados são 9 e 10 
pois 144 ¸ 9 = 16 e 160 ¸ 10 = 16.
2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56
metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente
as duas dimensões?
Resolução:
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Então: 
 mdc ( 56, 24) = 8 
Resposta: 
O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno
deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos
múltiplos, não nulo, comum a esses números."
Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos
múltiplos de 9.
vM(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
vM(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}
Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem
números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números
18 e 36, isto é:
M(6) Ç M(9) = {0, 18, 36, ...} 
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são
divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.
Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:
mmc (6, 9) = 18
MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo
simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não
comuns escolhidos com seus maiores expoentes.
Exemplo:
Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.
Fatorando os números:
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 70 2 140 2 180 2 
 35 5 70 2 90 2 
 7 7 35 5 45 3 
 1 7 7 15 3 
 1 5 5 
 1 
Então temos: 
70 = 2 x 5 x 7
140 = 22 x 5 x 7 
180 = 22 x 32 x 5 
Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2 e 5. O número 7
não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3
também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:
v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.
v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.
 mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260
MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
 
 
Então: 
mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
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Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440. 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
 
 
 
80, 18 2 
40, 9 2 
20, 9 2 
10, 9 2 
 5, 9 3 
 5, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 
 
 
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo: 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá
o novo encontro?" 
Þ Múltiplo
v"Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v"Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
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15, 20, 25 2 
15, 10, 25 2 
15, 5, 25 3 
 5, 5, 25 5 
 1, 1, 5 5 
 1, 1 1 
 
 300 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.
mmc (a, b) ´ mdc (a, b) = a x b
Exemplo:
Sejam os números 18 e 80
Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) ´ mdc (18, 80)
O produto é 18 ´ 80 = 1440. 
Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.
 
 
 
80, 18 2 
40, 9 2 
20, 9 2 
10, 9 2 
 5, 9 3 
 5, 3 3 
 5, 1 5 
 1, 1 
 
 
mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720
Logo: 
mdc(80, 18) = 1440 ¸ mmc(18, 80) = 1440 ¸ 720 = 2
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
algumas indicações importantes.
I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
múltiplos;
II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
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III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.
Exemplo: 
Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?
Resolução:
vExiste a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o
novo encontro?" 
Þ Múltiplo
v"Encontrar-se-ão num determinado dia"
Þ Comum
v"Quando acontecerá o novo encontro"
Þ Mínimo
Portanto
 
 
15, 20, 25 2 
15, 10, 25 2 
15, 5, 25 3 
 5, 5, 25 5 
 1, 1, 5 5 
 1, 1 1 
 
 300 
Resposta: 
O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.
NÚMEROS INTEIROS
 
 Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um
novo tipo de número que pudesse ser solução de equações tão simples como,
 x + 2 = 0, 2 x + 10 = 0, 4y + y = 0
e as ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0ºC.
 Mas a tarefa não ficava só por criar um novo número, era necessário encontrar um símbolo
que permitisse operar com esse número criado de um modo prático e eficiente.
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
 
 Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números
naturais, o conjunto dos números opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é
denotado pela letra ℤ e pode ser escrito por
ℤ = {.,.. ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 ,1- ,2- ,3- ,4- ...}
 
Exemplos de subconjuntos do conjunto ℤ:
 Conjunto dos números inteiros não negativos:
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ℤ+={ ... ,4 ,3 ,2 ,1 ,0}
 Conjunto dos números inteiros não positivos:
ℤ-={.,.. ,1- ,2- ,3- ,4- 0}
 
 Os números inteiros podem ser representados numa reta numerada, pelo que possuem
uma determinada ordem. Visto aqui serem apresentados os números negativos, poderemos
também discutir o módulo de um número assim como as operações que podemos realizar
com eles. As operações que iremos abordar, juntamente com as suas propriedades, são a
adição e a multiplicação.
 Por fim falaremos também da potenciação dos números inteiros e a radiciação dos mesmos.
RETA NUMERADA
 
Geometricamente, o conjunto ℤ, pode ser representado pela construção de uma reta
numerada, considerando o número zero como a origem e o número um em algum lugar, tomar
a unidade de medida como a distância entre o 0 e o 1 e por os números inteiros da seguinte
forma:
 
 
 
 Observando a reta numerada, notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é
crescente da esquerda para a direita, e é por esta razão que indicamos com uma seta para a
direita. Esta consideração é adaptada por convenção.
 Tendo em conta, ainda, a reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros
têm um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
 
ORDEM E SIMETRIA NO CONJUNTO ℤ
 
 O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta
(em ℤ) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua
esquerda na reta (em ℤ).
 
 Exemplo:
 3 é sucessor de 2 e 2 é antecessor de 3
 -5 é antecessor de -4 e -4 é sucessor de -5
 
 Todo o número inteiro exceto o zero possui um elemento denominado de simétrico, cuja
caracteristíca é encontrar-se à mesma distância da origem que o número considerado. 
Módulo de um número inteiro
 
 O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é definido como sendo o maior valor
(máximo) entre um número e o seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas
barras verticais. Assim:
 
{ }x,xmaxx -=
 
 Exemplo:
 
00 =
 
88 =
Página: 21 de 204
 
66 =-
Adição de números inteiros
 
 Para entendermos melhor esta operação, associaremos aos números positivos a idéia de
ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
 Exemplo:
 perder 3 + perder 4 = perder 7
 (-3) + (-4) = -7
 ganhar 8 +perder 5 = ganhar 3
 (+8) + (-5) = (+3)
 
 Tem de se ter em atenção que, o sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado,
mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
 
Multiplicação de números inteiros
 
 A multiplicação funciona, explicando de uma forma muito simplificada, como o adicionar de
números iguais. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos a ganhar
repetidamente alguma quantidade. 
 
Exemplo:
 Ganhar um objeto 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e podemos
representar esta repetição por um x, isto é
1 + 1 + ... + 1 = 30 x 1 = 30
 Se trocarmos o número 1, por (-2), ficamos com
(-2) + (-2) + ... + (-2) + (-2) = 30 x (-2) = - 60
 
 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são
repetidos.
 A multiplicação tem, no entanto, algumas regras que têm deser seguidas. Elas são:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
 Assim podemos concluir que:
 
Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
Exemplos:
(+2) + (+3) = +5
(-2) + (-3) = - 5
vSinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em
módulo. 
Exemplos:
 (-2) + (+3) = +1
 (+2) + (- 3) = -1
Propriedades da multiplicação de números inteiros
 
 Ø Associativa
 Para todos a, b, c ∈ ℤ: a x (b x c) = (a x b) x c
 Exemplo:
 3 x (7 x 2) = (3 x 7) x 2
Página: 22 de 204
 
 Ø Comutativa
 Para todos a, b ∈ ℤ: a x b = b x a
 Exemplo:
 3 x 7 = 7 x 3 = 21
 
 Ø Existência de elemento neutro
 Existe um elemento em ℤ que multiplicado por qualquer outro número em ℤ o
resultado é o próprio número. Este elemento é o 1 e vamos ter
z x 1 = z
 Exemplo:
 7 x 1 = 7
 
 Ø Existência de elemento inverso
 Para todo o inteiro z, diferente de zero, existe um inverso 
 z
1
z 1 =-
tal que
 
1
z
1
zzz 1 =´=´ -
 Exemplo:
 
1
9
1
999 1 =´=´ -
 Ø Propriedade distributiva
 Para todos a, b, c em ℤ: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
 
 Exemplo:
 3 x (4 + 5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Exercícios Resolvidos 
1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300
Resolução:
-150 - 200 + 100 + 300
-350 + 100 + 300
-250 + 300
50
2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas,
jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson
ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?
Resolução:
Representando em soma algébrica:
20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0
Resposta: Nenhuma.
Página: 23 de 204
3) Calcule o valor da expressão abaixo:
{(16 - 4) + [ 3x (-2) - 7x1]} x [-12 - (- 4) x 2 x 2] + (-7) x2 - 3 x (-1)
Resolução:
{(16 - 4) + [3 x(-2) - 7x1]} x[-12 - (- 4) x2 x2] + (-7) x2 - 3 x (-1)
{12 + [-6 - 7]} x [-12 - (-16)] + (-14) - (-3)
{12 + [-13]} x [-12 + 16] - 14 + 3
{12 - 13} x 4 - 14 + 3
{-1} x4 - 14 + 3
- 4 - 14 + 3
-18 + 3
-15
 
Curiosidade! 
A matemática como todas as ciênçias têm os seus períodos em que são influenciados pelas línguas em que 
se fazem as maiores descobertas e existem maiores comunidades de praticantes (com consequente maior 
número de publicações e comunicações). 
 
O Z para os números inteiros é um exemplo disso. 
Z vêm de "Zahl" em alemão que significa "inteiro", ou seja se tivesse sido um matemático português ou se a 
matemática nessa altura tivesse sido predominantemente praticada por portugueses hoje provavelmente 
chamaría-mos o conjunto dos números inteiros de I. 
 
A utilização de Z foi iniciada pelo Sr. Edmund Landau em 1930 no livro "Grundlagen der Analysis", que se 
tornou um livro popular na época. Como é uma tendência natural do ser humano e da linguagem em 
particular, de se utilizar os símbolos mais utilizados, foi este o símbolo que ficou... 
Os Números Racionais
(Q) - FRAÇÕES
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele
fosse. 
 
 0 13 35 98
 1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza,
eles são chamados de números naturais. 
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. 
Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de
dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. 
O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. 
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números
fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são
chamados de números racionais. 
A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da
Matemática.
Portanto, os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de
fração (com o numerador e denominador, com b ¹ 0 e é representado pela letra Q.). Oub
a
Página: 24 de 204
seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as
frações positivas e negativas.
 
Exemplos:
Assim, podemos escrever:
 
Atenção: 
I) Todo número natural é um racional.
 
 
II) Todo número inteiro relativo é racional.
 
 
FRAÇÕES
Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da
unidade que foi dividida em partes iguais.
Exemplos: 
v 1 hora = 60 minutos
v ¼ hora = 15 minutos
v hora = 30 minutos4
2
v hora = 45 minutos4
3
Þ Representação
Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa
ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e
denominador, e que constituem os termos da fração.
 
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O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador,
quantas partes foram tomadas.
As frações podem ser decimais e ordinárias.
FRAÇÕES DECIMAIS
Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000,
etc.
Exemplo:
 
 
FRAÇÕES ORDINÁRIAS
São todas as outras frações: 
 
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor
que a unidade.
Exemplo:
 
 
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a
fração é maior que a unidade. 
Exemplo:
 
c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo
denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números
internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. 
Exemplo:
 
 
Página: 26 de 204
d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem
mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão
não têm mais nenhum divisor comum. 
Exemplo:
 
Simplificando-se 
36
24
, temos 
3
2
 (fração irredutível) 
REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
1) Reduzem-se as frações à forma irredutível
2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão.
Exemplo:
 
 
1-) 
 
 
6
3 = 
2
1 
2-)
 mmc (2, 5, 7) = 70
3-) 
 
 
5
2 ,
2
1 , 
7
4 Þ 
70
, 
70
, 
70
 Þ 
70
28 , 
70
35 , 
70
40 
 
PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES
1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente
de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número.
Exemplo: 
Seja a fração . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração , que é duas10
3
10
6
vezes maior que , pois se em tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em tomamos10
3
10
6
10
3
apenas três.
Ilustração:
Página: 27 de 204
 
 
Observando a ilustração, verificamos que é duas vezes menor que .10
3
10
6
2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de
zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número.
Exemplo: 
Seja a fração. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração , que é duas vezes5
2
10
2
menor que , pois em dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas,5
2
5
2
enquanto que em , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas10
2
duas em dez.
Ilustrações:
 
 
Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que é duas vezes maior que .5
2
10
2
3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor
da fração não se altera.
Exemplo: 
 
 
5
2 Þ 
2
2
×
×
5
2 Þ 
10
4 
Página: 28 de 204
 
 
Logo: 
5
2 = 
10
4 
Ilustrações:
 
 
 
NÚMEROS MISTOS
Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.
Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o
denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o
numerador.
Exemplo:
 
 
7
4
6 = 
7
442 + = 
7
46 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor.
Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador.
Exemplo: 
 
 
10
4 > 
10
3 > 
10
1 
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. 
Exemplo:
 
 
5
4 > 
7
4 > 
10
4 
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita
reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador.
Exemplo:
Página: 29 de 204
 
 
5
2 <
2
1 < 
7
4 Þ 
70
28 < 
70
35 < 
70
40 
Exercício Resolvido 
1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
 
 
5
4 , 
10
7 , 
5
2 , 
2
1 , 
3
6 
Resolução:
Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc 
(2, 3, 5, 10) = 30:
 
 
5
4 , 
10
7 , 
5
2 , 
2
1 , 
3
6 Þ 
30
, 
30
, 
30
, 
30
, 
30
Þ 
Þ 
30
24 , 
30
21 , 
30
12 , 
30
15 , 
30
60 
L o g o : 
30
12 <
30
15 <
30
21 <
30
24 <
30
60 Þ 
5
2 <
2
1 <
10
7 <
5
4 <
3
6 
FRAÇÕES EQUIVALENTES
São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo
valor.
 
Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.
2
1 =
6
3 =
4
2 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são
números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
 
 
1 O . M o d o :
48
36
 Þ 
4
4
48
36
¸
¸
Þ
12
9 Þ
3
3
12
9
¸
¸
Þ 
4
3
 
 está na sua forma irredutível.4
3
2O. Modo:
Página: 30 de 204
Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o
mdc (48,36) = 12
 
 
12
12
48
36
¸
¸ Þ 
4
3 
Exercício Resolvido 
1) Obter 3 frações equivalentes a .5
3
Resolução:
Basta tomar os termos da fração multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:5
3
 
 
3
3
5
3
´
´
=
15
9
 
7
7
5
3
´
´
=
35
21
 
12
12
5
3
´
´
=
60
36
 
ADIÇÃO DE FRAÇÕES
Temos dois casos à considerar:
vCaso 1: 
Denominadores Iguais
"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".
Exemplo:
 
 
5
11 + 
5
9 + 
5
2 = 
5
2911 ++ = 
5
22 
vCaso 2: 
Denominadores Diferentes
"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ".
Exemplo:
 
 
5
4
+ 
10
7
+ 
5
2
 + 
2
1
+ 
3
6
 Þ 
30
24
+
30
21
+ 
30
12
+ 
30
15
+
30
60
Þ 
Þ 
30
6015122124 ++++ =
30
132 
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
 
 
6
6
30
132
¸
¸ = 
5
22 
Nota: 
Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos
em frações impróprias.
Página: 31 de 204
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição. 
(Caso 1 e Caso 2).
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e
denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:
Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.
Exemplos:
 
 
 
Þ 
5
3 ´ 
7
6
 = 
75
63
´
´
= 
35
18
 
Þ 
5
4 ´
10
7 ´
5
2 = 
5105
274
´´
´´ =
250
56 = 
2
2
250
56
¸
¸
=
125
28 
Nota: 
Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:
 
 
5
4 ´
10
7 ´
5
2 = 
5
2 ´
5
7 ´
5
2 = 
125
28 
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Na divisão de duas frações, vamos sempre:
Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.
Exemplo:
 
 
Þ 
5
3 ¸ 
7
6 = 
5
3 ´ 
6
7 = 
5
1 ´ 
2
7 =
25
71
´
´ = 
10
7 
EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS
O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas
por sinais de operações é feito na segunda ordem:
1º) As multiplicações e divisões
2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves.
Exemplo: 
Vamos resolver a seguinte expressão:
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úû
ù
êë
é ¸×+¸¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
6
5
2
1
3
4
7
11
3
11
5
2
2
4
1
2
9 = 
= úû
ù
êë
é ¸+´¸ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +-
6
5
6
4
11
7
3
11
5
210
4
1
2
9 = 
= úû
ù
êë
é ´+¸úû
ù
êë
é ´-
5
6
6
4
3
7
5
12
4
1
2
9 = úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
5
4
3
7
5
3
2
9 = 
= úû
ù
êë
é +¸úû
ù
êë
é -
15
1235
10
645 = 
15
47
10
39
¸ = 
47
15
10
39
´ = 
=
47
3
2
39
´ = 
47
3
2
39
´ = 
94
117 
NÚMEROS REAIS (IR)
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais,
representado pela letra IR.
Observe o diagrama:
 
vObservação Þ "Números Irracionais"
A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos
números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de
fração:
Exemplos:
 , , p etc.2 3
NÚMEROS DECIMAIS
Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto,
estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além
de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos.
ADIÇÃO
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Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se
correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na
soma, em correspondência com as parcelas.
Exemplo:
 
13,8 + 0,052 + 2,9 = 
 
13,8 13,800 
 0,052 ou 0,052 
 2,9 2,900 
 
16,752 16,752 
SUBTRAÇÃO
Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam.
Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em
correspondência com os dois termos.
Exemplo:
 
5,08 - 3,4852= 
 
 5,0800 
 -3,4852 
 
 1,5948 
MULTIPLICAÇÃO
Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente,
como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada
um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto.
Exemplo: 
 
1,23 ´ 0,4 = 0,492; 12,345 ´ 5,75 = 70,98375 
 
DIVISÃO
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,
desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido o
quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do
resto, a fim de continuar a divisão. 
Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se um zero a
direita de cada resto.
Exemplo: 
 
72,2379 ¸ 5,873 
 
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Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:
 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE NÚMEROS RACIONAIS
A representação decimal de um número racional (fracionário) p/q é obtida recorrendo ao
algoritmo da divisão. Em certos casos a divisão termina com resto 0 ao fim de um número
finito de passos, fornecendo uma representação finita e exata para o número p/q. Por exemplo
19/16 = 1.1875.
 
A sequência de algarismos da parte decimal de um número diz-se a sua dízima.
O número 19/16 tem dízima finita 1875.
Na generalidade dos casos, porém, a divisão de dois inteiros p e q arrasta-se indefinidamente
sem nunca se obter um resto igual a 0. Nestes casos uma representação decimal exata para o
número p/q só é possível se considerarmos dízimas infinitas (periódicas) como o resultado
limite de uma divisão continuada indefinidamente. É este o caso quando dividimos 349 por 11.
 
Repare que a cada passo da divisão o resto é sempre menor que o divisor. Assim o número de
restos que podem ocorrer durante o processo de divisão é finito. Esse número nunca pode
exceder o próprio divisor. Significa isto que se uma divisão de dois inteiros se prolonga
indefinidamente haverá necessariamente uma repetição de restos, que forçará o processo de
divisão a assumir um padrão repetitivo e periódico de cálculo. Assim os dígitos da dízima
obtida repetir-se-ão periodicamente de certa casa decimal em diante. No exemplo anterior a
sequência de dois dígitos '72' repete-se periodicamente a partir da segunda casa decimal. Não
é difícil obter a seguinte caracterização.
Todo o número racional p/q admite uma dízima finita, ou então infinita e periódica de certa
ordem (casa decimal) em diante. Reciprocamente, toda a dízima nestas condições pode ser
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realizada como um quociente p/q de dois inteiros.
Por exemplo, para representar x = 0.(125) = 0.125125 como um número fracionário basta
observar que
999 x = 1000 x − x = 125.125125 − 0.125125 = 125 .
Logo x = 125/999.
EXERCÍCIOS 
1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ?
2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número divisível por 3
?
3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número divisível por
5 ?
4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra
nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas?
5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar que o
conjunto A tem :
a) 5 elementos b) 6 elementos 
c) 7 elementos d) 8 elementos
6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível
por 252?
7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível
por 1050?
8) Assinalar a alternativa correta.
a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
b) Todo número primo é divisível por 1
c) Às vezes um número primo não tem divisor
d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor
9) Assinalar a alternativa falsa:
a) O zero tem infinitos divisores
b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.
10) Para se saber se um número natural é primo não:
a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.
11) Determinar o número de divisores de 270.
12) Calcule o valor das expressões abaixo:
a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
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c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13
13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os
quocientes sejam iguais.
a) 15 e 17 b) 16 e 18
c) 14 e 18 d) 12 e16
14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros,
em partes iguais e do máximo tamanho possível. 
Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma.
9, 8, 6 partes de 18 metros
8, 6, 5 partes de 18 metros
9, 7, 6 partes de 18 metros
10, 8, 4 partes de 18 metros
15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma
quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e
1890 metros?
a) 562 árvores b) 528 árvores
c) 474 árvores d) 436 árvores
16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos
e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser
realizadas novamente eleições para esses cargos?
17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente
esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de
quantas voltas repete-se novamente o encontro?
18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36
segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se;
depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas
darão cada um?
19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo
que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada
roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente?
20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: 
a) os números são primos
b) eles são divisíveis entre si
c) os números são primos entre si
d) os números são ímpares
21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para
Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram
três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá
partidas simultâneas?
22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o
Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um
embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques
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coincidem até as 18 horas.
23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais
serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?
24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior.Quais são os números?
25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho
de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou.
Quantos metros restaram por vender?
26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou
ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ?
27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da
peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou
os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ?
28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7.
Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno
?
29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00.
Quanto possuía?
30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? 
31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto
falta para atingir o cume?
32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades?
33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto
tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?
34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas
comeu mais e quanto sobrou?
35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número?
36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas
couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do
que possuía ao terceiro?
37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o
segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?
38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse
tanque?
39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que
recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre?
40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que
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restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?
41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores
diversas. Quantas árvores há no pomar?
42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e
assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do
percurso, em quilômetros?
43) Efetuar as adições:
 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 
 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39
44) Efetuar as subtrações:
 1º) 6,03 - 2,9456
 2º) 1 - 0,34781
45) Efetuar as multiplicações
 1º) 4,31 x 0,012
 2º) 1,2 x 0,021 x 4
46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
 1º) 56 por 17 a menos de 0,01
 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1
 3º) 5 por 7 a menos de 0,001
47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
Escreva a representação decimal do número de acertos;
Transformar numa fração decimal;
Escreva em % o número de acertos de Luciana.
48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 +
( 0,05 ¸ 0,005).
49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que representa o
número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu ; Ele acertou ou errou a10
81
resposta.
50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor ?
51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado
que multiplicar 804 por 0,75?
52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .
53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma
indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas
vende o suco mais barato?
54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco,
tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. 
Responder:
a) Quantas pessoas estão na fila?
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b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão
atendidas todas as pessoas que estão na fila?
GABARITO
1) 1,2,3,4 28) R$420.000,00
2) 2 29) R$300,00 
3) 2 30) 155/4
4) 45 31) 2/7 
5) B 32) 24 
6) 7 33) 9 h
7) 10 34) Cada comeu 1/2 e não sobrou nada
8) B 35) 35 
9) D 36) 6,6,15 
10) B 37) R$35.000,00 
11) 16 38) 3horas
12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682 39) 1º- R$60,00, 2º- R$12,00, 3º 4º e 5º R$16,00
13) A 40) 45.000 
14) B 41) 105 
15) C 42) 14 quilômetros e 21 quilômetros
16) 1941 43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791
17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor 44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;
18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos 45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;
19) Após 4 voltas 46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;
20) C 47) a) 0,85 b) 85/100 c) 85%
21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h 48) 10,5 
22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h 49) Errou, a resposta é 81/1000
23) 24.339 50) 2,03; 2,030 e 2,0300
24) 72 e 48 51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603
25) 12 metros 52) 13,6256 
26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 53) a indústria A
27) 90 metros 54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
 
 
* Medidas de Comprimento
* Medidas de Superfície
* Medidas Agrárias
* Medidas de Capacidade
* Medidas de Massa e de Tempo
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MEDIDAS DE COMPRIMENTO
A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.
O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um
terreno, a altura de uma sala.
Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que
ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.
Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos
comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.
Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.
Nome Símbolo Relação
Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m
hectômetro hm 100 m
quilômetro km 1000 m
Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m
centímetro cm 0,01 m
milímetro mm 0,001 m
Nota: 
Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas
multiplicações ou divisões por 10.
MUDANÇA DE UNIDADE
 
Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades
abaixo representada:
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos
multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus. 
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro
por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade
de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.
Exemplo1: 
Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.
vhm ® m Þ ´ 100 (Desce 2 degrau)
 424,286 ´ 100 = 42428,6 m
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Exemplo2: 
Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. 
vdm ® km Þ ¸ 10.000 (Sobe 4 degraus)
 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO
v Polegada = 2,54 cmv Pé = 30,48 cm 
v Milha = 1609 metros
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
1) Reduzir 28,569 hm a metros
2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.
3) Quantos metros existem em 8 dm?
4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em
média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).
5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média,
por hora?
6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para
percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto?
7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda
foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 
1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?
2º) Quanto pagou a mais?
8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15
andares?
9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.
Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16
polegadas?
10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de
largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca
de Noé.
11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de
São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm
no mapa?
12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e
as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A,
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passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?
 
13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual
deverá ser o comprimento de cada pedaço?
14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de
comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo
comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo
que sai de A, passa por B e atinge C?
15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de
comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão
cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no
vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:
a) 16m 
b) 17m 
c) 18 m 
d) 19 m 
e) 20 m
GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO
1) 2856,9 
2) 0,00456835
3) 0,80 
4) 382.200 km
5) 4,8 km/h 
6) 53.000 minutos
7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80
8) 40,50 m 
9) 40 cm
10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura
11) 16 cm 
12) Passando por C
13) 1,62 m 
14) 87,5 km 
15) E
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas
curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".
Página: 43 de 204
Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico
internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a um quadrado
de 1 metro de lado.
 
 
Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a
superfície de uma fazenda.
Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado,
bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas
superfícies.
Múltiplos do Metro Quadrado 
Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado,
eqüivalendo a 100 m2.
Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado,
eqüivalendo a 10.000 m2. 
Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado,
eqüivalendo a 1.000.000 m2. 
Submúltiplos do Metro Quadrado 
Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado,
equivalendo a 0,01 m2. 
Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado,
equivalendo a 0,0001 m2.
Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado,
equivalendo a 0,000001 m2
QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre
100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade
imediatamente superior.
MUDANÇA DE UNIDADE
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Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de
unidades abaixo representada:
 
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros
quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus.
Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra
decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de
acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem.
MEDIDAS AGRÁRIAS
São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.
As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.
A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja
100 m2.
O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:
vO múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha.
vO submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e
equivale a 1m2.
Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2
are a Decâmetro quadrado 100 m2
Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2
Observação:
 
Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.
vAlqueire Paulista = 24.200 m2
vAlqueire Mineiro = 48.400 m2
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EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS
1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?
2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha? 
3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?
4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para
pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?
5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?
6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de
pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda?
7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície
ocupada pela plantação?
GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS
1) 60.000 m2 
2) 12,28 ha 
3) 4,06 km2
4) 3750 m2 
5) 145.20 m2 
6) 2.420.000 m2 
7) 420.000 m2
MEDIDAS DE CAPACIDADE
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior". 
Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro,
estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.
Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir
os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que
se abrevia por ℓ.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja,
corresponde ao volume de um decímetro cúbico.Página: 46 de 204
 
 1 dm 
1 dm 
1 dm 1 dm 3 = 1 litro 
Exemplo:
 
O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m3 de
água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?
25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000ℓ
MUDANÇA DE UNIDADE
Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as
mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se
a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi
dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:
 
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE
1) Expressar 2ℓ em mℓ.
2) Sabendo-se que 1dm3 = 1ℓ, expressar 250 ℓ em cm3.
3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de
36m3, quantos litros de água foram consumidos?
4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em
ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina?
5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de
combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?
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6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram
retirados 2.200 ℓ. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas
condições, quantos litros ainda restam no reservatório?
7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade
máxima em mℓ desta ampola?
8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3?
GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE
1) 2000mℓ 
2) 250000 cm3 
3) 36.000 litros
4) 40.000 ampolas 
5) 85.000ℓ de combustível 
6) 5200 litros
7) 12 mℓ
8) 240 litros
MEDIDAS DE MASSA
"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".
O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para
medir a massa de um corpo.
A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico
de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como
unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte
do quilograma ou seja, 
1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.
nome símbolo relação
Múltiplos do Grama decagrama
hectograma
dag
hg
10 g
100 g
quilograma kg 1000 g
Submúltiplos do Grama decigrama
centigrama
miligrama
dg
cg
mg
0,1 g
0,01 g
0,001 g
RELAÇÃO IMPORTANTE
Volume Capacidade Massa
 1 dm3 = 1 litro = 1 kg
Exemplo: 
Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o
peso (massa) da água contida neste recipiente?
· 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg
Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg
Página: 48 de 204
OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA
· Tonelada (T) = 1.000 kg
· Megaton = 1.000 toneladas
· Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA 
1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo
número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados
para fazer esses blocos?
2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de
massa. Qual a massa da laje toda?
3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6
m3 dessa substância?
4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos
por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias?
5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o
volume interno desse recipiente?
6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?
7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula
colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou
aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de
água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?
a) 8 horas
b) 9 horas
c) 12 horas
d) 18 horas
e) 36 horas
GABARITO - MEDIDAS DE MASSA
1) 18.750 kg 
2) 50 T 
3) 15.000 kg
4) 315 mg 
5) 18 m3 
6) 10 dm3
7) B
MEDIDAS DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se
apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:
NOMES Símbolos Valores em segundos
Segundo s ou seg 1
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Minuto min 60
Hora h 3.600
Dia d 86.400
Outras unidades, usadas na prática, são: 
· Semana (se) 7 dias
· Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias
· Ano (a) 360, 365 ou 366 dias
O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano
bissexto 366 dias.
Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os
meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos
anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.
Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:
1940, 1952, 1964 são bissextos
1910, 1953, 1965 não são bissextos
Nomenclaturas:
· 02 anos chama-se biênio
· 03 anos chama-se triênio
· 04 anos chama-se quadriênio
· 05 anos chama-se quinquênio ou lustro
· 10 anos chama-se decênio ou década
· 100 anos chama-se século
· 1000 anos chama-se milênio
· 02 meses chama-se bimestre
· 03 meses chama-se trimestre
· 06 meses chama-se semestre
A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita
escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas
unidades acompanhados dos respectivos símbolos.
Exemplo: 
· 9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg
MUDANÇA DE UNIDADES
Podem ocorrer dois casos:
Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de
medidas simples ou número incomplexo.
Exemplo: 
Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?
v Como 1 dia tem 24 horas ® 24 h x 3 = 72 h
v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.
v Como a hora vale 60 min. ® 80 h x 60 min = 4800 min.
v Somando-se ainda mais 13 min. ® 4813 min.
Caso 2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores
ou em números incomplexos.
Exemplo:
Página: 50 de 204
Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos
dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do
problema anterior.
· 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min
· 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h
Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO
1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?
 b) Quantas horas há em duas semanas?
2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.
 b) 4 a 8 me 12 d em dias. 
3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.
4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é
a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?
6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na
verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?
GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO
1) a) 10.080 min b) 336 h
2) a) 3.615 min b) 1.712 dias
3) 242 d 18 h 21 min 
4) 7 me e 20 d
5) 1 a 10me 14d 
6) 4 h 58 min
RAZÃOPágina: 51 de 204
v Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido.
v Razão: é a relação entre duas grandezas.
DEFINIÇÃO
"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisão dos números
que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente é obtido, dividindo-se o
primeiro número pelo segundo".
Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas é necessário
que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade.
A razão é representada sob a forma ou a : b (que se lê "a está para b"), sendo a e b doisb
a
números racionais, com b ¹ 0.
Exemplo 1: 
Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos esses dois números
através de uma divisão, obtemos:
 
 
v 
400
1200
= 3 
Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número de candidatos e
o número de vagas é de 3 para 1.
 
 
v 
1200
400
= 
3
1
 
Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número de vagas e o
número de candidatos é de 1 para 3.
Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultado obtido
chama-se razão entre esses números.
Exemplo 2: 
Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000 habitantes.
Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com 50.000 habitantes?
De acordo com o problema, a razão entre o número de médicos e o número de habitantes é
 .5000
1
Número de habitantes Número de médicos
 5.000 1
 10.000 2
 15.000 3
 ...... ......
 50.000 10
A cidade deverá ter 10 médicos.
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Verificamos que as razões destacadas, e são iguais.5000
1
50000
10
 
Exercícios Resolvidos 
1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente. 
Resolução:
Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade, vamos reduzir as
duas medidas a cm, para obter a
razão. 
 
L ogo , 
cm
cm
25
10
 sim p lif ic ando -se Þ 
5
2
 ou 2 : 5 
Assim: 1 dm = 10cm
2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400 rapazes.
a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?
b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças? 
Resolução:
a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a razão: 
 
400
100
= 
4
1
 
 
 
b) 
100
400
 = 
1
4
 = 4 
3) Determinar a razão entre e 2
1
6
5
Resolução: 
 
 
6
5
2
1
= 
2
1 ´
5
6
 = 
10
6
= 
5
3
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES
"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número,
diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada".
 
 
Exemplo: 
3
3
5
3
´
´
= 
15
9
 
RAZÕES ESPECIAIS
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VELOCIDADE MÉDIA
"Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e o tempo
gasto para percorrê-la".
 
 
Velocidade Média = 
GastoTempo
PercorridaDistância
 
Exemplo:
Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de 453km em 6
horas:
 
 
 
Vm = 
t
d
 = 
6
453
= 75,5 km/h 
Resposta: 
A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h
ESCALA
"Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado no
desenho e o correspondente comprimento real, medido com a mesma unidade". 
 
 
Escala = 
RealoCompriment
DesenhooCompriment
 
As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis, automóveis, etc),
nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartas cartográficas.
Exemplo1: 
Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que a distância real entre
as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?
Resolução: 
v Comprimento do desenho: 3 cm
v Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm
 
 
Escala =
al
oDe
Re
senh
 = 
30000000
3
= 
10000000
1
 
Resposta: 
A escala utilizada foi de 1:10.000.000
Exemplo2: 
Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, que corresponde ao
comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foi de 1:60, qual o comprimento
real da sala?
Página: 54 de 204
 
 
Escala =
al
oDe
Re
senh
 Þ 
60
1
 =
x
12
 Þ x = 720 cm 
Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de 720 cm ou 7,2
m do real.
Resposta: 
O comprimento real desta sala é 7,2m.
EXERCÍCIOS - RAZÕES
1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.
2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.
3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos
corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.
4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de
45m2. Calcular a base e a altura.
5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa de cada
metal sabendo que estão na razão de 11 para 8.
6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine a
área, sabendo que:
1º) A altura do trapézio vale 12cm.
2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.
7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raio do
outro.
8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas. Qual
a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões da prova?
9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de peso líquido
e 250g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?
10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de um retângulo
B são 10cm e 20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área do retângulo B?
11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2.
Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?
12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A,
quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/s
13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfeto de
ferro é de 4,7. Calcular:
a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto de
ferro.
b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto de ferro.
14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão de 5
para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor irá utilizar?
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15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por um
comprimento de 5cm?
16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de
modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a
miniatura?
17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real
entre as cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?
18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala
de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?
19) Numa escalade 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.
20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da parte
fotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.
GABARITO - RAZÕES
1) 21 e 33 
2) 40 e 25 
3) 216 
4) 15m e 6 m 
5) 297g e 216g
6) 126 cm2 
7) 16
1
8) 5
3
9) 5
4
10) 4
3
11) 1,80 
12) 7,5 m/s
13) a) 56,00g b) 0,64g 
14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinza
15) 1:60 
16) 1:40 
17) 1:10.000.000 
18) 1:2.000.000 
19) 1:3000
20) 1:200
PROPORÇÃO
INTRODUÇÃO
Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litros completos de
gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, que desconto irá obter?
Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:
 Litros Descontos (em R$)
 10 1
Página: 56 de 204
 20 2
 30 3
 40 4
 50 5 
O desconto será de R$ 5,00
Nesta tabela podemos destacar:
* Razão entre desconto e litros: 10
1
 
* Razão entre desconto e litros: .50
5
 
V erificamos que as razões
10
1
e 
50
5
são iguais (ou equivalentes). 
DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO
"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razões apresentam o
mesmo quociente, sendo, portanto iguais".
Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção
quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto. 
 
 
b
a =
d
c
 
Ou, ainda, podemos escrever:
a : b = c : d
que se lê:
"a está para b assim como c está para d"
Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos da proporção. O primeiro
e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O segundo e o terceiro são chamados
meios.
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".
 
 
d
c
b
a
= Þ a.d = b.c 
Exemplo:
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v
15
5
18
6
= Þ 6 x 15 = 5 x 18 Þ 90 = 90 
RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatro números
formam uma proporção".
Observação: 
Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto do número
maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois. Assim, os quatro
números 4,10,16 e 40 formam uma proporção, pois os produtos 4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como
resultado 160.
QUARTA PROPORCIONAL
"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número que forma com os
mesmos uma proporção".
Exemplo:
 
Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48. 
Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite três
soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x é arbitrária.
 
 
I-)
1
16
48
12
x
= Þ x1 = 64 
 
 
II-) 
4816
12 2x= Þ x2 = 36 
 
 
III-) 
16
4812
3
=
x
Þ x3 = 4 
Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos números dados por x é
igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a solução obtida, conservando na
proporção a ordem dos números dados, e considerando como incógnita o último termo.
PROPORÇÃO CONTÍNUA
"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".
 
 
Exemplo: 
9
4 6
6
= (os meios são iguais) 
Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ou
geométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceira proporcional. No
exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 a terceira proporcional entre 4 e
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6.
Exercícios Resolvidos 
1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84. 
Resolução:
Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas soluções:
 
 
1O. Modo:
x
84,0
84,0
6,5
= Þ 5,6x = (0,84)2 Þ x = 0,126 
 
 
2O.Modo:
x
6,5
6,5
84,0
= Þ 0,84x = (5,6)2 Þ x = 37,33 
Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.
2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.
Resolução:
 
 
x
9
9
3
= Þ 3x = 81 Þ x = 27 
PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES
PROPRIEDADE 1
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim
como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
c
dc
a
ba +
=
+
 
PROPRIEDADE 2
"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim
como a soma dos dois últimos está para o quarto termo".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
d
dc
b
ba +
=
+
 
PROPRIEDADE 3
"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim
como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro termo".
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d
c
b
a
= Þ 
c
dc
a
ba -
=
-
 
PROPRIEDADE 4
"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim
como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
d
dc
b
ba -
=
-
 
PROPRIEDADE 5
"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como
cada antecedente está para seu conseqüente".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
=
+
+
=
+
+
 
PROPRIEDADE 6
"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes,
assim como cada antecedente está para seu conseqüente".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
=
-
-
=
-
-
 
PROPRIEDADE 7
"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes
assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo
conseqüente".
 
 
d
c
b
a
= Þ 
2
2
2
2
d
c
db
ca
e
b
a
db
ca
=
×
×
=
×
×
 
Exercícios Resolvidos 
1º Exercício
 A diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os conseqüentes 9 e 7. Achar os
antecedentes.
Resolução:
Representando por a e b os antecedentes, formamos a proporção: aplicando-se a7
b
9
a
=
propriedade relativa à diferença, vem que:
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979
aba
=
-
-
Þ 
92
10 a
= Þ 2a = 90 Þ a = 45 
logo, b = 35
Resposta: 
Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.
2º Exercício 
 
ïî
ï
í
ì
=
=+
7
y
3
x
20yx
 sistema o Resolver
Resolução: 
Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:
 
 
373
xyx
=
+
+
 Þ 
310
20 x
= Þ x = 6 
logo, y = 14
Resposta: 
Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.
PROPORÇÃO PROLONGADA
Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.
 
 
Exemplo: 
16
8
12
6
4
2
== 
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS
"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes,
assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente".
 
 
Exemplo: 
16124
862
16
8
12
6
4
2
++
++
=== 
Exercício Resolvido
 
1) Achar a, b, c na seguinte proporção sabendo-se que a soma é a + b + c = 26.6
c
4
b
3
a
==
Resolução:
Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:
 
Página: 61 de 204
 
2
13
26643
cba
6
c
4
b
3
a
==
++
++
===
Logo,
 
 
v 
3
a
 = 2 Þ a = 6 
v 
4
b
 = 2 Þ b = 8 
v 
6
c
 = 2 Þ c = 12 
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
"Duas seqüências A e B de números reais, não nulos, são diretamente proporcionais
se, e somente se, a razão dos termos correspondentes são todas iguais entre si".
Exemplo:
Sejam as seqüências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24, 36). Essas seqüências são diretamente
proporcionais porque:
 
 
36
9
24
6
20
5
8
2
=== = k 
 
 
O va lo r co m u m d as razõ es é k =
4
1
, u m a co nstan te não nu la . 
"K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade".
Exercício Resolvido 
1) Dada as seqüências proporcionais (3, 5, 7, y) e (6, 10, x, 8). Determine o coeficiente de
proporcionalidade e os valores de x e y.
Resolução:
 
 
Como: 
8
7
10
5
6
3 y
x
=== =
2
1
, logo o coeficiente de proporcionalidade é 
2
1
. 
Então:
 
 
v 
x
7
 = 
2
1
Þ x = 14 
 
 
v 
8
y
=
2
1
Þ 2y = 8 Þ y = 4 
Página: 62 de 204
Resposta: 
O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O coeficiente de proporcionalidade é .2
1
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
"Duas seqüências A e B de números reais são inversamente proporcionais, quando o
produto entre qualquer termo da primeira seqüência e seu correspondente na
segunda, é sempre uma constante k não nula".
Exemplo:
Sejam as seqüências: (20, 25, 40, 50) e (10, 8, 5, 4). Essas seqüências apresentam
números inversamente proporcionais porque o produto dos termos correspondentes é sempre
200. 
Observe: 20 ´ 10 = 200; 25 ´ 8 = 200; 40 ´ 5 = 200; 50 ´ 4 = 200.
O produto k = 200 denomina-se coeficiente de proporcionalidade. 
Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma:
 
 
 
4
1
50
5
1
40
8
1
25
10
1
20
=== = k 
Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente proporcionais aos números: 
 
10
1
, 
8
1
, 
5
1
, 
4
1
 
DIVISÃO PROPORCIONAL
DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aos números 3,
5, 8.
Resolução: 
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 32, e que sejam
proporcionais aos números 3, 5, 8. 
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
 
 
 
x + y + z = 32 e 
853
zyx
== 
Pela propriedade da proporção:
 
 
853853 ++
++
===
zyxzyx
=
16
32
= 2 
Página: 63 de 204
substituindo os valores:
 
 
v 
3
x
 = 2 Þ x = 6 
v 
5
y
 = 2 Þ y = 10 
v 
8
z
 = 2 Þ z = 16 
Exercício Resolvido 
1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos números e .3
2
4
3
Resolução:
Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:
 
 
17
12153
12
17
153
12
98
153
4
3
3
2
4
3
3
2
×
==
+
=
+
+
==
yxyx
 = 9 ´ 12 Þ k = 108 
Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:
 
 
108
3
2
=
x Þ x = 
3
2
.108 Þ x = 72 
v 108
4
3
=
y Þ y = 
4
3
108 Þ y = 81 
Resposta: 
Os números procurados são 72 e 81.
DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Vamos dividir o número 273 em partes inversamente proporcionais a 
 
3
1
, 
4
1
 e 
7
2
. 
O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que sejam
inversamente proporcionais aos números 
 
3
1
, 
4
1
, 
7
2
. 
Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:
 
 
x + y + z = 273 e 
2
743
zyx
== 
note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade da proporção:
Página: 64 de 204
 
26K =Þ
×
==
+
=
++
++
===
21
2273
2
21
273
2
714
273
2
7
43
2
743
zyxzyx
Substituindo os valores:
 
 
v 
3
x
 = 26 Þ x = 78 
v 
4
y
 = 26 Þ y = 104 
v 
2
7
z
 = 26 Þ z = 
2
7
. 26 Þ z = 
91 
EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES
P1) Calcular x e y, na proporção , sabendo que x + y = 45.5
y
4
x
=
P2) Calcular x e y, na proporção , sabendo que x - y = 14.3
y
5
x
=
P3) Calcular x, y e z na proporção sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.4
z
3
y
2
x
==
P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.
P5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de números
proporcionais: 7
1
,
56
8
,
35
5
,
14
2
P6) Verificar se as seguintes seqüências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.
P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).
P8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor 8, x tem o
valor 40. Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 10.
P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas de água há 5
de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entre as massas de água e
hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em caso afirmativo determinar os
coeficientes de proporcionalidade.
P10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.
P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que participaram da
sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um?
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P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de
futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador.
Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5?
P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o
primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$
20.000,00 durante 11 meses.
P14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros
fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 divididas em
partes inversamente proporcionais a e 1,2. Nessas condições, qual o prêmio de
 
4
1
2 , 
3
2
1 
menor valor a ser pago?
P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao
mesmo tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21.
Quantas balas cada criança receberá?
P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, em partes
diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamente proporcional a idade dos
filhos. Calcule o número de bombons recebidos de acordo com os dados:
Hudson: 10 anos e nota 7;
Larissa: 12 anos e nota 5;
Carol: 8 anos e nota 10.
GABARITO - PROPORÇÕES
P1) x = 20; y = 25 
P2) x = 35; y = 21
P3) x = 4; y = 6; z = 8 
P4) x = 8; y = 6; z = 4
 
 
P5) k = 
7
1
 
P6) Sim, k = 15 
P7) x = 6
P8) x = 50 
 
 
P9) Sim, k = 
5
2
 
P10) 45, 60, 75
P11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00
P12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00
Página: 66 de 204
P13) R$ 21.600,00; R$6.600,00
P14) R$ 120.000,00 
P15) 27 e 108 
P16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.
REGRA DE TRÊS
É uma técnica de cálculo por meio da qual são solucionados problemas sobre grandezas
proporcionais. 
Estes problemas são de dois tipos:
1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais.
2) Regra de Três Composta: quando se referema mais de duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Consideremos a seguinte situação:
Sobre uma mola são colocados corpos de massa diferentes. A seguir, medindo o
comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpo colocado sobre ela, pode-se
organizar a seguinte tabela:
Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm)
 10 50
 20 100
 30 150
Pela tabela pode-se notar que:
v Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica.
v Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.
Usando os números que expressam as grandezas, temos:
1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, dizemos que a massa varia na
 
razão 
20
10
 = 
2
1
. Enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50cm para 100cm, ou seja, o 
comprimento varia na razão de 
100
50
=
2
1
. 
2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, dizemos que a massa varia na
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razão 
30
10
 = 
3
1
. Enquanto isso o comprimento da mola passa de 50cm para 150cm, ou seja, o 
comprimento varia na razão de
150
50
 = 
3
1
 
Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre na mesma razão;
dizemos, então, que a massa do corpo é uma grandeza DIRETAMENTE PROPORCIONAL ao
comprimento da mola.
"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essas grandezas são
diretamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da primeira é igual a
razão da segunda".
Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:
v Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos é diretamente
proporcional à área a ser pintada duplicando-se a área, gasta-se o dobro de tinta;
triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.
v Quando compramos laranjas na feira, o preço que pagamos é diretamente proporcional à
quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se a quantidade de laranjas, o preço
também duplica; triplicando-se a quantidade de laranjas, o preço também triplica.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Consideremos a seguinte situação:
A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para distribuir entre seus melhores alunos.
Vamos observar que:
v Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada um receberá 24 livros.
v Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um receberá 12 livros.
v Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um receberá 8 livros.
Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:
 Número de alunos Número de livros 
 escolhidos distribuído a cada aluna
 2 24
 4 12
 6 8
Pela tabela podemos notar que:
v Se o número de alunos duplica, o número de livros cai pela metade.
v Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.
Usando os números que expressam as grandezas, temos:
1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o número de alunos varia na
razão: . Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12, variando na razão: .4
2
12
24
 
Note que essas razões não são iguais, elas são inversas, ou seja: 4
2
 = 
2
1
 e 
12
24
 = 
1
2
 
Página: 68 de 204
Nessas condições, o número de alunos escolhidos e o número de livros distribuídos
variam sempre na razão inversa; dizemos então que o número de alunos escolhidos é
INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao número de livros distribuídos.
"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra, dizemos que essas
grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os valores da
primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda".
Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:
v Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se gasta nessa construção é
inversamente proporcional ao número de operários que se contrata; duplicando-se o
número de operários o tempo cai pela metade.
v Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é inversamente proporcional à
velocidade do veículo usado: dobrando-se a velocidade do veículo, o tempo gasto na
viagem cai pela metade.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Consideremos as seguintes situações:
1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool este carro gastaria
para percorrer 210km?
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.
 Distância Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.
Distância Litros de álcool
 180 15
 210 x
Observe que aumentando a distância, aumenta também o consumo de álcool. Então, as
grandezas distância e litros de álcool, são diretamente proporcionais. No esquema que
estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha no mesmo sentido da anterior.
 Distância Litros de
álcool
 180 15
 210 x
Página: 69 de 204
 
 
x
15
210
180
= Þ 
x
15
7
6
= Þ 6x = 105 Þ x = 17,5 l 
Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.
2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai de São Paulo a Belo Horizonte em 42
minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo fará a mesma viagem?
As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de vôo. 
Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o tempo de vôo diminui, logo a
velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Chamando de x o tempo necessário para voar de São Paulo à Belo Horizonte a 600km
por hora, temos:
Tempo de vôo Velocidade
 42 800
 X 600
 
 
800
60042
=
x
Þ 
4
342
=
x
Þ 3x = 168 Þ x = 56 minutos 
Resposta: 
O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
A regra de três composta se refere a problemas que envolvem mais de duas grandezas.
A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ou inversamente proporcional a todas
as outras, ou até mesmo diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a
outras.
1O) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais
às primeiras produzirão 360 dessas peças?
Resolução: 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só
coluna, e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.
Na coluna "dias" coloquemos uma flexa apontada para x.
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 360 x
Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x.
As grandezas, peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso
será indicado colocando-se na coluna "peças" uma flecha no mesmo sentido da flecha da
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coluna "dias".
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 360 x
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (quanto maior o
número de máquinas, menos dias para se efetuar o trabalho). No nosso esquema isso será
indicado colocando-se na coluna "máquinas" uma flecha no sentido contrario na coluna
"dias"Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 360 x
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é , como ox
4
produto das outras razões, obtidas segundo orientação das flechas:
 
 
x
4
= 
6
8
360
160
× Þ 
x
4
 = 
4
3
9
4
× Þ 
x
4
= 
1
1
3
1
× Þ 
x
4
 = 
3
1
 Þ 
Þ x = 12
Resposta: 12 dias.
2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo
tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?
Resolução: 
Inicialmente vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o número de
peças pedido pela letra x.
Operários Dias Peças
 5 6 400
 7 9 x
 A B C
vFixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos o número de
dias, o número de peças também aumentará; logo, as grandezas B e C são diretamente
proporcionais.
vFixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos o número de
operários, o número de peças também aumentará, logo, as grandezas A e C são
diretamente proporcionais.
Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B; logo seus valores
são diretamente proporcionais aos produtos dos valores das grandezas A e B, ou seja: 
 
 
x
400
 = 
9
6
7
5
× Þ
x
400
 = 
3
2
7
5
× Þ 
x
400
 = 
21
10
 Þ 
 
 
Þ 
x
40
 = 
21
1
 Þ x = 40 . 21 Þ x = 840 
Resposta: 
Produzirão 840 peças.
Página: 71 de 204
EXERCÍCIOS 
1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros gastará num
percurso de 910km?
2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens nas mesmas
condições executam em 9 dias?
3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma hora e meia?
4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã. Quantos metros
serão tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?
5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor 18cm. Qual o
número de rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no mesmo tempo?
6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos há serão necessários
para manter 360 cabeças?
7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000 unidades. Quantas
horas deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidades em 30 dias?
8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distância em 6 horas.
Que tempo gastará para percorrer a mesma distância se reduzir a velocidade para 50km por
hora?
9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km por hora. Qual o
tempo que gastará para percorrer a mesma distância com a velocidade de 90km por hora?
10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em
quantos dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12 horas diárias?
11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas
máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?
12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construir uma praça de
forma retangular de 225m de comprimento por 150m de largura, quantos operários serão
necessários para construir em 18 dias, trabalhando 12 horas por dia, outra praça retangular de
195m de comprimento por 120m de largura?
13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura,
100 operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de 40 o
número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em quanto tempo
os operários construíram um segundo canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém
de profundidade e largura duplas da do primeiro?
14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias, qual é a
quantidade de água necessária para se regar outro campo de 200 há durante 30 dias?
15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm de comprimento por
3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por 7,5cm de largura são necessários
para um piso cuja superfície é dupla da anterior?
Página: 72 de 204
16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias uma parede de 22m de
comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16 operários, trabalhando também 8
horas por dia, levantam outra parede de 18m de comprimento, 0,30 de espessura e de altura
duas vezes maior que a primeira?
17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de altura pesa
4350kg. Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: comprimento 2,20
largura 0,75m e altura 1,20?
18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém um imprevisto deixou-o ancorado em
alto mar durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisado da previsão do atraso. Em
quanto se deve reduzir a ração diária da tripulação, para que não faltasse comida até o fim da
viagem?
19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente para passar 20 dias na
Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4 dias. A quanto teve de reduzir o
sue gasto diário médio?
20) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O
encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o serviço
na data fixada; quantas horas por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?
GABARITO - REGRA DE TRÊS
1) 140 litros 
2) 6 dias 
3) 684 litros
4) 38,75 metros 
5) 75 rotações
6) 162 há 
7) 8 horas por dia 
8) 9 horas e 36min 
9) 2 h e 45min
10) 30 dias 
11) 12 máquinas
12) 39 operários 
13) 5 meses
14) 666,666 litros 
15) 75 tacos
16) 3,15 dias 
17) 3190 kg
18) 1/3
19) 1/6
20) 15 horas
PORCENTAGEM (%)
"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é cem, a expressão x %, é
chamada de taxa percentual e representa a razão 
Página: 73 de 204
Exemplos:
 
OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM
Podemos, por exemplo, operar números na forma de porcentagem, observe:
Exemplo:
Efetue:
 
 
v %64 = 
5
4
10
8
100
64
== = 0,8 = 80% 
v (10%)2 = 
22
10
1
100
10
÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ = 
100
1
= 1% 
v 5% ´ 15% =
100
5
´
100
15
=
20
1
´
20
3
= 
400
3
= 0,75% 
TRANSFORMAÇÕES
Muitas vezes teremos que transformar números decimais, ou frações, para a forma de
porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrário, transformar porcentagens em
números decimais ou frações.
DECIMAIS ® PORCENTAGEM
"Para converter números decimais em porcentagem, basta multiplicar o número por 100".
Exemplos:
Vamos converter os números abaixo para a forma de porcentagem:
v 0,57 ´100 = 57%
v 0,007 ´100 = 0,7%
v 1,405 ´ 100 = 140,5%
FRAÇÕES ® PORCENTAGEM
"Para converter frações para porcentagens, em geral, vamos transformar as frações em
números decimais, em seguida multiplicá-los por 100".
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Exemplos:
 
 
v 
15
7
=0,466...=46,666% aproximadamente 46,7% 
v 
4
3
= 0,75 = 75% 
CÁLCULOS EM PORCENTAGEM
Existem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valor específico, ou
mesmo a porcentagem de um determinado número de elementos em um conjunto, ou
população:
Exemplo1:
Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 mulheres. Vamos determinar qual a
porcentagem de homens, existente nesta empresa.
Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres e45 são homens, logo, em sabemos que
 dos funcionários da empresa são homens.60
45
Simplificando a fração encontrada obtemos , então teremos 75% dos funcionários4
3
como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.
Exemplo2:
Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00. Paratanto, vamos calcular de duas
formas distintas, a primeira utilizando uma regra de três, e a outra, utilizando a relação "fração
® todo", utilizada na resolução de problemas que envolvem frações.
1o.Modo: "Regra de Três"
 % R$
 23 x
 100 500
Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:
 
 
v 
100
23
= 
500
x
Þ 100x = 23 . 500 Þ x = 23 . 5 Þ x = 115 
Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.
2o.Modo: "Fração ® Todo"
 
 
v 23% de 500 = 
100
23
. 500 = 23 . 5 = 115 
Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.
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Exercícios Resolvidos 
R1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor com um abatimento
de 7% sobre o total. Quanto recebeu?
Resolução:
Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede um abatimento de
7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$ 1.500,00).
 
 
v 93% de 1.500 = 
100
93
´ 1.500 = 93 . 15 = 1.395 
Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.
R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5% sobre o valor de
venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto de R$ 36,00. Qual era o preço da
geladeira?
Resolução:
1o.Modo: "Regra de Três"
 % R$
 5 36
 100 x
Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:
 
 
v
100
5
= 
x
36
Þ 5x = 36 . 100 Þ x = 36 . 20 = 720
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.
2o.Modo: "Fração ® Todo"
Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos que descobrir) é
igual a R$ 36,00, logo:
 
 
v 5% de x = 36 Þ 
100
5
. x = 36 Þ 5x = 36 . 100 Þ x = 720 
Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.
R3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00. Qual foi a
porcentagem do lucro?
Resolução:
"Fração ® Todo": 
 
 
x% de 150 = 12 Þ 
100
x
. 150 = 12 Þ x = 8% 
"Regra de Três"
Página: 76 de 204
 % R$
 X 12
 100 150
 
 
100
x
= 
150
12
Þ 150x = 1200 Þ x = 8% 
AUMENTOS E DESCONTOS
Uma determinada loja de roupas dá as seguintes opções de compra de uma calça jeans, cujo
preço é de R$ 40,00:
v 1a.Opção de Pagamento Þ pagamento à vista com um desconto de 5%.
v 2a.Opção de Pagamento Þ pagamento a prazo com um aumento de 5%.
Qual será o novo preço da calça, nos dois casos considerados?
 
Uma forma de encontrarmos estes dois valores é determinando quanto é 5% de R$
40,00. Na opção de pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça, e na segunda opção,
somaríamos os 5% no valor da calça, obtendo assim, nos dois casos, os seus respectivos
valores.
Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicação, para o caso de haver
um desconto ou um aumento.
DESCONTOS
"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: (0,a) ´ V, onde 
a = (100 - x)".
Exemplos (Tabela):
Descontos (%) Fator de Multiplicação
 25 0,75
 30 0,70
 70 0,30
 5 0,95
Observe que:
v 75 = (100 - 25)
v 70 = (100 - 30)
v 30 = (100 - 70)
v 95 = (100 - 5) 
Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento à vista será:
v 0,95 ´ 40 = R$ 38,00
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AUMENTOS
"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: (1,x) ´ V".
Exemplos (Tabela):
 Aumentos (%) Fator de Multiplicação
 25 1,25
 30 1,30
 70 1,70
 5 1,05
Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento a prazo será:
v 1,05 ´ 40 = R$ 42,00
Exercícios Resolvidos 
1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendo um lucro de
25% sobre o preço da compra. Determinar o preço da compra e o lucro obtido.
Resolução:
 Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Pelo enunciado R$
580,00 é o preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado em cima de um valor de
compra desconhecido, vamos escrever uma equação que nos relacione esses valores em
linguagem matemática:
Preço de Compra: C
Logo:
v 1,25 ´ C = 580 Þ C = 464
Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido é igual a 580 - 464 = R$ 116,00.
2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o número?
Resolução:
Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que houve um desconto, e este foi de
18%, logo o fator de multiplicação é 0,82. Escrevendo a equação matemática vem:
Número: x
v 0,82 . x = 656 Þx = 800
Portanto o número é 800.
EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM
1) Qual o número cujos 18% valem 108?
2) Qual o número cujos 43% valem 374,1?
Página: 78 de 204
3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro de R$ 3.500,00.
Qual a porcentagem do lucro?
4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?
5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem.
6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00, representa quantos por
cento de desconto?
7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de R$ 150.000,00, representa quantos por
cento desse preço?
8) Exprimir 51% na forma decimal.
9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%.
Quantos lances livres acertou?
10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63.
Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?
11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas.
Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?
12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56%
do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam ao todo nesse
colégio?
13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo
objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?
14) Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas que realiza. Em um mês
recebeu de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?
15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216. Quantos são no
total os operários dessa fábrica?
16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à R$ 450,00 a tonelada. Vende 1/5 com
lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15% e o resto com um lucro de 10%. Quanto recebe ao todo e
qual é o seu lucro?
17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e paga uma taxa
alfandegária de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%. Por quanto deve
vender para pagar 30% sobre o mesmo preço?
18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga de taxas,
comissões e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obter um lucro de 12%?
19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é o número?
20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia empregada. De quantos por cento foi
o lucro?
21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é desse mesmo valor?
Página: 79 de 204
22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de um edifício, sofre umadepreciação 
de 27% sobre seu valor e, é então avaliada em R$ 36.500,00. Qual o valor primitivo?
23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2
gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a porcentagem que corresponde
a parte que se gasta da segunda lata?
24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de magnésio contém 24g de magnésio.
Sendo assim, qual a porcentagem de magnésio existente em 40g de óxido de magnésio?
25) A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2. Nessas
condições a área do terreno A representa quantos por cento da área do terreno B?
GABARITO - PORCENTAGEM
1) 600 
2) 870 
3) 20%
4) 360 
5) 37,5 
6) 28%
7) 8% 
8) 0,51 
9) 13
10) 84% 
11) 25% 
12) 2.500
13) 9.000 
14) 14.500 
15) 300
16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00
17) R$ 29.250,00 
18) R$ 416.640,00 
19) 500 
20) 60% 
Página: 80 de 204
21) 
22) R$ 50.000,00 
23) 44% 
24) 60% 
25) 62%
JUROS
"Juro é a remuneração do capital empregado. É a compensação em dinheiro que se recebe
quando se emprega uma determinada quantia por um determinado tempo".
Quando aplicamos um capital durante um certo período de tempo, esperamos obter um
rendimento. Após esse período, o capital se transformará em um valor capitalizado, chamado
montante.
"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o período da
aplicação. É também chamado valor futuro, valor de resgate ou valor capitalizado".
Sejam: 
v C = Capital aplicado ou principal
v t = Tempo de aplicação
v i = Taxa porcentual
v J = Juro produzido ou rendimento
v M = Montante
Observação: 
O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto é, se um estiver expresso em anos
o outro deve estar também, e assim sucessivamente.
JUROS SIMPLES
"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor inicial".
Exemplo:
Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros simples, qual será o valor resgatado
após 3 meses?
Repare que:
v C = 5.000
v t = 3 meses
v i = 10%
v J = ?
v M = ?
O que se pede no problema é o montante (M), vamos então, estabelecer uma seqüência
de rendimentos durante os meses, sabendo que se a aplicação está relacionada com o juros
simples devemos empregar a taxa apenas ao valor inicial 
Página: 81 de 204
(Capital = 5.000):
 10% de 5000 = 500
Logo, a seqüência:
(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...)
(5000; 5500; 6000; 6500; ...)
Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um
montante de R$ 6.500,00, tendo rendido R$ 1.500,00 de juros.
Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido após 30 meses. Seria inviável utilizar
uma seqüência para a obtenção do montante, portanto utilizaremos para cálculo do Juros
Simples, a seguinte fórmula.
Nota: 
Para a obtenção do montante basta somar o juros obtido com o capital empregado.
 e M = J + C100
tiCJ ××=
Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de 10%
a.m. durante 3 meses:
 
 
v 
100
3105000 ××
=J = 
100
150000
= 1500 
 vM = 1500 + 5000 = 6500
Observações:
v Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d (minúsculo) para referirmo-nos
ao tempo em meses e a dias, respectivamente.
v Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial).
Exercício Resolvido 
R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de
120% a.a.. Calcule:
a) O juro obtido.
b) O montante.
Resolução:
a) Dados:
v C = 800.000
v t = 4 meses
v i = 120 % a.a.
Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, portanto devemos converter um deles,
é mais conveniente, em geral, transformar o tempo de acordo com a taxa e paratanto podemos
utilizar uma regra de três:
Página: 82 de 204
Ano Mese
s
 1 12
 x 4
Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo será imediato.
Repare que não haveria necessidade da regra de três, uma vez que quatro meses é uma parte
do ano e essa parte nada mais é que que é o mesmo que .12
4
3
1
Logo:
 
 
v t = 
3
1
 
Substituindo na fórmula:
 
 
100
tiC
J
××
= = 
100
3
1120800000 ××
 = 320.000 
 M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000
JUROS COMPOSTOS
"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em cima do valor inicial de cada
período, sendo incorporado ao montante de cada período".
Exemplo:
Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros compostos, qual será o valor
resgatado após 3 meses?
Repare que:
v C = 5.000
v t = 3 meses
v i = 10%
v J = ?
v M = ?
Analogamente aos juros simples vamos estabelecer uma seqüência de rendimentos
durante os meses, como o juros será calculado em cima do valor inicial de cada período,
vamos utilizar um fator de multiplicação para o rendimento de 10% Þ 1,10
A seqüência:
(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...)
(5000; 5500; 6050; 6655; ...)
Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação termos um
montante de R$ 6.655,00, tendo rendido R$ 1.655,00 de juros.
Página: 83 de 204
 Em geral, utilizaremos a fórmula: 
Mt = C . (1 + i)t 
Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a uma taxa de
10% a.m. durante 3 meses:
M3 = 5000 . (1 + 0,10)3 = 5000 . (1,10)3 = 6.655
EXERCÍCIOS - JUROS
1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?
2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.
3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao mês.
4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.
5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano em 1 ano e 8 meses á uma taxa de 1% ao
mês?
6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00
em 2 anos e 3 meses?
7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro. Durante
quanto tempo esteve empregado?
8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 18.000,00. O vendedor oferece um
abatimento de 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entanto, prefere pagar em duas
prestações iguais. A primeira 6 meses depois da compra e a outra um ano depois
submetendo-se ao pagamento de 7% de juro ao ano. Quanto gastou a mais, adotando o
pagamento em prestações?
9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de
juro. Qual o capital?
10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00 de juro.
Durante quanto tempo esteve empregado?
11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais o preço passa a
ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços é devida ao juros, qual a taxa de
juros cobrada ao mês por essa loja?
12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa de 10% ao mês vai receber a mesma
quantia que quem aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% ao mês pelo mesmo período de
tempo. Esta afirmação é VERDADEIRA ou FALSA?
13) Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobre de valor?
14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um montante de R$ 100.000,00 no fim de
15 anos?
Página: 84 de 204
15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5%?
16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60 dias produziu
o montante de R$ 24.997,50?
17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 13.000,00 num banco que paga 5%
ao ano. Qualo capital acumulado em 5 anos?
18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebe capital e juros
reunidos no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado?
19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?
20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 anos retira o capital e juros e coloca o
montante a 5%. Ao cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00. Qual o capital?
GABARITO - JUROS
1) R$ 2.100,00 
2) R$ 720,00 
3) R$ 127,20 
4) R$ 13,86 
5) R$ 2.000,00 
6) 7% ao ano
7) 1 ano e 6 meses 
8) R$ 1.845,00
9) R$ 2.700,00
10) 1 ano, 5 meses e 20 dias 
11) 8%
12) sim 
13) 20 anos 
14) R$ 52.631,58
15) R$ 155.000,00 
16) 1,67% a.d.
17) R$ 16.250,00 
18) 12.000 
19) 40 unidades de tempo 
20) R$ 5.000,00
Página: 85 de 204
EQUAÇÃO DO 1º. GRAU
Observe as sentenças abaixo:
1º) 2 ´ 3 + 5 = 11
2º) 2 ´ 4 + 5 = 11
3º) 2 ´ x + 5 = 11
A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdade, a 2 é uma sentença falsa pois 2 ´ 4 + 5
= 13. Com relação a sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não sabemos que valor que
o x poderá assumir; que inclusive essa sentença é um caso particular de equação do 1o. grau.
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1o. GRAU
Exemplo1:
Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3.
Resolução:
Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:
2x - 6 = x - 3 Þ 2x - x = 6 - 3 Þ x = 3
S = {3}
Observe que para a resolução de uma equação do 1o. grau devemos ter a incógnita isolada no
primeiro membro da igualdade.
Exemplo 2:
 
 
Resolva, em IR, a equação 1
4
3
2
.3
=
+
-
xx
. 
Resolução:
Pelo método do m.m.c. obtemos:
 
 
1
4
3
2
.3
=
+
-
xx
Þ 2. 3x - (x + 3) = 4 Þ 6x - x - 3 = 4 Þ 5x = 7 Þ x = 
5
7
 
 
 
\
þ
ý
ü
î
í
ì=
5
7
V 
Exercício Resolvido 
1) Determine o número real tal que sua metade menos a sua quinta parte é -6.
Resolução:
número: x
sua metade: 2
x
Página: 86 de 204
sua quinta parte: 5
x
Logo, chegamos na equação: 
 
2
x
- 
5
x
 = -6 
Resolvendo
 
 
2
x
- 
5
x
 = -6 Þ 
10
60
10
25 -
=
- xx
Þ 5x - 2x = -60 Þ 3x = -60 Þ x = -20
Resposta: 
O número real é o -20.
EXERCÍCIOS - EQUAÇÃO DO 1o.GRAU
P1) Se, num pomar, das árvores frutíferas são mangueiras, são laranjeiras, são12
5
4
1
8
1
goiabeiras e as 100 restantes são macieiras, qual o total de árvores existentes neste pomar?
P2) Resolva as seguintes equações de 1o. grau:
 a) 2(x - 1) + 3(x + 1) = 4(x + 2)
 b) x - 3(4 - x) = 7x - (1 - x)
 c) 13(2x - 3) - 5(2 - x) = 5(-3 + 6x)
 d) 3(x + 2) + 2 = 5 + 2(x - 1) + x
 e) 3(x + 2) = 2(x - 7) + x + 20
P3) Resolva as seguintes equações de 1o. grau:
 
 
a) 
5
1
2
3
=
x
 
b) x + 
3
x
 = 2 
c) 
2
x
 + 
3
1
 = 
3
3x
 - 
5
2
 
 
d) 
3
1
2
1 +
=
- xx
 
P4) Resolva as seguintes equações do 1o. grau:
Página: 87 de 204
 
 
a) 
2
3+x
 + 
3
2+x
 = 12 
b) 
5
32 -x
-
3
11 x-
=
30
29
 
 
c) 
2
1
(x - 2) + 
3
1
(x + 4) = 0 
 
d) 1 + 
4
365 -x
+ 
2
2 x-
 = 2 + 
2
12-x
 
 
e) 
13
13 +x
- 
2
2 x-
 = 
5
14 -x
- 
3
52 -x
 
 
P5) O perímetro de um triângulo mede 12 cm. Se as medidas dos lados são números
consecutivos, calcule a medida do lado maior.
P6) A diferença entre o triplo de um número e seus três quartos é 81. Qual é o número?
P7) Um número acrescido de sua quarta parte é igual a sua metade somada a 54. Qual é o
número?
P8) Um número somado à terça parte de seu sucessor é igual a 31. Qual é o número?
P9) Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Iza será o dobro da
idade de Márcia?
P10) Três irmãos têm juntos 72 anos. O mais velho tinha 2 anos quando o segundo irmão
nasceu, e este tinha 5 anos quando o mais novo nasceu. Qual a idade de cada um?
P11) Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe foram à praia, 25% para o interior e
14 não saíram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?
P12) Um aluno acertou do número de questões de uma prova e errou as 30 questões10
7
restantes. Quantas questões tinha a prova?
P13) Um comerciante, no final do ano, distribuiu parte de seu lucro entre seus três sócios. O
primeiro recebeu da parte do lucro mais R$5 000,00; o segundo recebeu da parte mais5
2
7
3
R$7 000,00; o terceiro recebeu R$9 000,00. Qual foi a parte do lucro distribuída?
P14) Na compra de um objeto gastei do dinheiro que tinha e ainda, me sobraram R$40,00.3
2
Quanto dinheiro eu tinha?
P15) Pensei em um número multipliquei-o por 4 e adicionei 18 ao resultado. A seguir, dividi a
soma encontrada por 2 e encontrei como resultado 18. Em que número pensei?
GABARITO - EQUAÇÃO DO 1o.GRAU
Página: 88 de 204
P1) 480 árvores
 
 P2) 
a) S = {7} 
 
b) S = {
4
11-
} 
c) S = {34} 
d) S = f 
e) S = IR 
 
 P3) 
a) S = {
15
2
} 
 
b) S = {
2
3
} 
 
c) S = {
3
22
} 
d) S = {5} 
 
 
 P4) 
a) S = {
5
59
} 
 
b) S = {
22
157
} 
 
c) S = {
5
2-
} 
 
 d) S = {12} 
 e) S = {4}
P5) 5 cm 
P6) 36 
P7) 72
P8) 90 
P9) 6 anos 
P10) 20 anos; 25 anos e 27 anos
P11) 40 alunos 
P12) 100 questões
 
Página: 89 de 204
P13) R$ 122 500,00 
P14) R$ 120,00
 
 
P15) 4,5 ou 
2
9
 
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o. GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
INTRODUÇÃO
"Uma herança de R$30 000,00 será dividida entre dois irmãos, ficou estabelecido no
testamento, que o menino mais novo receberia R$5 000,00 a mais que o outro irmão. Qual a
parte que cabe a cada um?"
 Um problema desse estilo possui duas incógnitas: a parte de cada um. Podemos escreve-lo
em linguagem matemática:
v Parte do irmão mais novo: x
vParte do irmão mais velho: y
Sabemos que se somarmos as duas partes, teremos a quantidade total da herança:
vx + y = 30 000
Como o irmão mais novo irá receber cinco mil reais a mais, teremos uma diferença nas partes
de cinco mil reais, ou seja:
vx - y = 5 000
Logo, teremos duas equações, uma relacionando a soma das partes e a outra relacionando a
diferença das partes que cabem a cada um dos irmãos.
Podemos transformar o problema num sistema, observe:
 î
í
ì
=-
=+
5000yx
30000yx
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS
Para chegarmos na solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, em geral,
temos dois métodos utilizados, o Método da Substituição e o Método da Adição.
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Considerando, ainda, o exemplo ilustrado anteriormente:
 
 
î
í
ì
®=-
®=+
25000
130000
yx
yx
, chamando a 1a. equação de 1 e a 2a. equação de 2. 
1o. Passo: 
Isolar uma das incógnitas em qualquer uma das duas equações.
Vamos isolar "x" na equação 2:
x - y = 5000 Þ x = 5000 + y 
Página: 90 de 204
2o.Passo: 
Substituir a incógnita isolada na outra equação (aquela que você não usou no 1O. passo).
Substituindo "x" da equação 2, na equação 1:
x + y = 30000 Þ 5000 + y + y = 30000 Þ 
Þ 5000 + 2y = 30000 Þ 2y = 30000 - 5000 Þ 
Þ 2y = 25000 Þ y = 12500
3o.Passo: 
Substituir o valor encontrado em quaisquer das duas equações, encontrando o valor da outra
incógnita.
Substituindo "y = 12500" na equação 2:
x - y = 5000 Þ x - 12500 = 5000 Þ x = 17500
Portanto:
vo irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.
v e o irmão mais velho R$ 12 500,00
MÉTODO DA ADIÇÃO
Outro método utilizado para a resolução de sistemas deste estilo, é o método da adição, e
como o próprio nome diz vamos somar uma equação com a outra de tal forma, que ao
efetuarmos essa operação, sumiremos com uma das incógnitas encontrando assim uma nova
equação do 1O. grau com uma incógnita.
1o.Passo: 
Observar os coeficientes das incógnitas, aqueles que apresentarem números opostos numa
mesma incógnita, é que será mais conveniente eliminarmos.
No sistema em questão temos para o coeficiente de "y" na primeira equação e o coeficiente de
"y" da segunda equação, números opostos 
(1 e -1).
 î
í
ì
=-
=+
5000yx
30000yx
2o.Passo: 
Caso os coeficientes não sejam números opostos, devemos multiplicar uma das equações por
um número que nos auxilie no aparecimento dos opostos.
Em nosso caso não será necessário utilizar esse 2O.Passo.
3o.Passo: 
Somar as duas equações, encontrando e resolvendo a equação com uma incógnita.
 î
í
ì
=-
=+
5000yx
30000yx
Página: 91 de 204
somando as duas equações obtemos: x + x + y - y = 30000 + 5000 Þ 2x = 35000 
Þ x = 17500
4o.Passo: 
Substituir o valor encontrado em uma das duas equações, encontrando assim, o valor da
outra incógnita.
Vamos substituir "x" em x + y = 30000:
x + y = 30000 Þ 17500 + y = 30000 Þ 
Þ y = 30000 - 17500 Þ y = 12500
Portanto:
v o irmão mais novo irá receber R$ 17 500,00.
v e o irmão mais velho R$ 12 500,00
Observação: 
No exemplo ilustrado, poderíamos ter ocultado uma das incógnitas, pois quando o enunciado
diz que o irmão mais novo irá receber 5000 a mais, podemos dizer que se o irmão mais velho
recebe y, então o irmão mais novo irá receber y + 5000, daí encontraríamos apenas uma
equação com uma incógnita: y + y + 5000 = 30000 (aquela que relaciona a soma das partes da
herança).
ORIENTAÇÃO GERAL PARA A RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DO 1o. GRAU
O primeiro passo é observar com atenção o enunciado do problema
Exemplos:
v" Paulo tem 38 anos..." Þ trinta e oito anos é um dado do problema. Porém se o problema
nos disser "a idade de Paulo, quando eu tinha 18 anos...", 18 anos é um dado, mas a idade de
Paulo, talvez não conheceremos, logo, é uma incógnita e, como tal, deve ser representada
por uma letra qualquer. Em geral utilizamos as letras "x", "y", "z", etc.
vPode ocorrer que o enunciado faça referência a dois elementos desconhecidos, por
exemplo: "a soma de dois números é...", neste caso devemos representar um dos números
por "x" e o outro por "y", e escrevemos o enunciado assim: "x + y =" 
vTransformamos o enunciado em linguagem matemática
Exemplos: 
 I) Um número qualquer : x
 
 
II) A terça parte de um número: 
3
x
 
 III) O triplo de um número: 3x
 
 IV) Um número somado ao seu dobro: x + 2x
 
 V) A diferença entre dois números: x - y
Página: 92 de 204
 
 
V I ) U m n ú m e r o é ig u a l a t e r ç a p a r t e d o o u t r o : y = 
3
x
 
V I I ) S o m a n d o u m c e r t o n ú m e r o à s u a m e t a d e : x +
2
x
 
EXERCÍCIOS - SISTEMAS DO 1o. GRAU
P1) A diferença de dois números é 9.Um terço da soma dos números é 17. Encontre os
números.
P2) Um número é formado de dois algarismos, cuja soma é 10. Somando-se 54 ao número ele
fica escrito em ordem inversa. Qual é o número?
P3) Uma escola tem 565 alunos. O número de meninos diminuído de 25 é igual ao número de
meninas aumentado de 60. Quantos são os alunos de cada sexo?
P4) Sobre uma pista circular de 1.200 metros correm 2 ciclistas. Correndo os dois no mesmo
sentido, o primeiro encontra o segundo em cada 200 segundos e correndo em sentido
contrário, o encontro passa a ser de 100 segundos. Qual a velocidade de cada um?
P5) Um fazendeiro dispõe de uma certa quantia para comprar um certo número de 
carneiros. Pagando R$ 20,00 por carneiro, faltam-lhe R$ 40,00 e pagando R$ 16,00, sobram-lhe
R$ 20,00. Quanto possui e quantos carneiros poderá comprar?
P6) Em uma cesta há laranjas e limões, sendo o número de limões os 3/4 do número de
laranjas, tirando-se 5 laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. Quantas laranjas e
quantos limões há na cesta?
P7) O perímetro de um retângulo mede 234 metros. Calcular sua área, sabendo-se que as
medidas (em metros) das duas dimensões (comprimento e largura) são dois números
consecutivos.
P8) Um automóvel parte de Brasília e corre com a velocidade média de 48 km/h. Depois de 3
horas par um outro que alcança o primeiro 8 horas após. Qual a velocidade média do segundo
automóvel?
P9) Dois automóveis distantes 600 quilômetros partem, ao mesmo tempo, um em direção ao
outro, com as velocidades de 56 km/h e 64 km/h. Depois de quanto tempo e a que distâncias
dos pontos de partida dar-se-á o encontro?
P10) Um homem e uma mulher bebem um barril de vinho em 12 dias. Quando o homem está
ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem para beber o barril
de vinho sozinho?
P11) Dois jogadores A e B, jogam a R$ 2,50 a partida. Antes de iniciarem o jogo, A possuía R$
66,00 e B R$ 29,00, depois do jogo, A possuía o quádruplo do que possuía B. Quantas partidas
A ganhou a mais que B?
P12) Em um concurso público, foi realizada uma prova com 41 questões. Esta prova foi
dividida em duas partes. Na primeira parte da prova havia x questões, valendo 2 pontos cada
uma. Na Segunda parte havia y questões, valendo 3 pontos cada. A prova valia 100 pontos.
Quantas questões havia em cada prova?
Página: 93 de 204
P13) Paulo participou de um concurso público que tinha 20 questões em cada questão que
acertava ganhava 5 pontos e em cada questão que errava perdia 2 pontos. Ao terminar a prova
havia conseguido 65 pontos. Quantas questões acertou?
P14) Uma classe tem meninos e meninas. Se um menino faltar, os meninos serão o dobro das
meninas. Se em vez disso, faltarem 6 meninos, haverá um mesmo número de meninos e
meninas na classe. Determinar quantos são os alunos (meninos e meninas) da classe.
P15) Um comerciante pesou três sacos de arroz. O primeiro e o segundo sacos, juntos, têm
110 quilogramas. O primeiro e o terceiro, juntos, têm 120 quilogramas e o segundo e o
terceiro, juntos, têm 112 quilogramas. Quantos quilogramas havia em cada saco?
P16) Em certa escola há 70 professores, contando-se aí homens e mulheres. Se a metade do
número de mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?
P17) Determine dois números cuja soma é 110 e cuja diferença é 30.
P18) No estacionamento de um supermercado há 27 veículos com 84 rodas, contando-se os
automóveis e bicicletas. Quantos veículos há de cada espécie?
P19) José Carlos e Luís Augusto ganham juntos R$ 1265,00 por mês. Se o primeiro recebe R$
325,00 mais que o segundo, qual é o salário de cada um?
P20) Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira
numerada custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu renda de R$ 2695,00.
Quantas pessoas usaram a arquibancada?
P21) Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 22 cabeças e 58 pés. Determine o
números de patos que existem nesta fazenda.
P22) Eu tenho um total de 25 moedas, entre moedas de R$ 0,25 e R$ 0,50 totalizando R$ 9,50.
Qual o número de moedas de R$ 0,50?
GABARITO - SISTEMAS DO 1o. GRAU
P1) 21 e 30 
P2) 28 
P3) 240 meninas e 325 meninos
P4) 9 e 3m/s 
P5) R$ 260,00 
P6) 20 e 15
P7) 3422m2 
P8) 66 km/h
P9) 5h, 280km e 320 km
P10) 20 dias 
P11) 4 partidas
Página: 94 de 204
P12) 23 na 1ª parte e 18 na 2ª parte 
P13) 15 
P14) 11 meninos e 5 meninasP15) O 1º saco tem 59 kg, o segundo saco tem 51 kg, o 3º saco tem 61 kg.
P16) 10 homens e 60 mulheres
P17) 70 e 40 
P18) 12 bicicletas e 15 automóveis
P19) José Carlos: R$ 795,00
Luíz Augusto: R$ 470,00
P20) 1 015 pessoas 
P21) 15 patos
P22) 13 moedas de R$ 0,25
INEQUAÇÃO DO 1º. GRAU
A resolução de inequações do 1º. grau é análoga a resoluções de equações do 1º. grau,
observe:
Inequação: 
 4(x + 1) - 5 £ 2x + 6 
 4(x + 1) - 5 £ 2x + 6
 4x + 4 - 5 £ 2x + 6
 4x - 2x £ 6 - 4 + 5
 2x £ 7
 
x £ 
2
7
 
 
S = {x Î IR / x £ 
2
7
} 
Exercício Resolvido 
1) Obtenha o conjunto domínio da função representada por: 
 
f(x) = 
x
x
21
1
-
+
. 
Resolução:
Para obter o domínio de uma função basta verificar quando ela vai existir, ou seja, neste caso,
Página: 95 de 204
temos uma raiz quadrada, então devemos impor que o radicando seja não negativo, isto é:
 x
x
21
1
-
+
 ³ 0 
Obtemos uma inequação do tipo quociente, para a resolução da mesma devemos estudar o
sinal do numerador e denominador:
· Estudo do sinal do numerador
x + 1 = 0 Þ x = -1
 
· Estudo do sinal do denominador
 
1 - 2x = 0 Þ 2x = 1 Þ x = 
2
1
 
 
O próximo passo é estudar o sinal do quociente entre as duas funções e para tanto faremos
uso do "quadro de sinais":
Quadro de Sinais
 
Assim o domínio da função é:
Página: 96 de 204
 
D = { x Î IR / -1 £ x < 
2
1
} 
EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 1o. GRAU
P1) Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresa
cobrará do grupo 2 000 dólares por cada passageiro embarcado, mais 400 dólares por cada
passageiro que não embarcar. Pergunta-se:
a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e número de
passageiros embarcados?
b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?
c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96 000 dólares?
P2) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando esse dado, pede-se:
a) a função que representa o número de pães fabricados (p) em função do tempo (t);
b) quantos pães são fabricados em 3 horas e 30 minutos?
P3) Um motorista de táxi, em uma determinada localidade, cobra uma quantia mínima fixa de
cada passageiro, independentemente da distância a ser percorrida, mais uma certa quantia,
também fixa, por quilômetro rodado. Um passageiro foi transportado por 30km e pagou
R$32,00. Um outro passageiro foi transportado por 25km e pagou R$27,00. Calcule o valor de
reais cobrado por quilômetro rodado.
P4) Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3).
P5) Resolva, em IR, as seguintes inequações:
a) 3x - 4 £ x + 5
b) 19 - 17x < - 4 + x
c) 5 - 3x > 7 - 11x
d) 3 - x £ -1 + x
P6) Resolva, em IR, as inequações:
 
a) 
2
12
+
+
x
x
> 0 b) 
x
x
23
23
-
-
 < 0 c) 
15
43
+
-
x
x
³ 0 
P7) O gráfico abaixo representa a de IR em IR dada por f(x) = ax + b (a, b Î IR). De acordo com o
gráfico, conclui-se que:
 
a) a < 0 e b > 0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
Página: 97 de 204
e) a > 0 e b = 0
P8) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1, 3) e (2, 7). 
O valor de m é:
 
a) 
3
4
 b) 
3
5
 c) 1 d) 2 e) 3 
P9) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por 1, a
nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicada por 3. Os
resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por este critério for maior
ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação.
Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quanto
precisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?
GABARITO - FUNÇÃO DO 1o.GRAU
 P1) 
 a) Sendo x a quantidade de passageiros embarcados e Q a quantidade de dinheiro
arrecadado, temos Q = 1600x + 40 000
 b) 120 000 dólares 
 c) 35 passageiros
 P2) 
 a) p = 300 t 
 b) 1050 pães
 P3) R$ 1,00 
 P4) -1
 
P5) a) S = {x Î IR | x £ 
2
9
 } 
 
b) S = {x Î IR | x > 
18
23
 } 
 
c) S = {x Î IR | x > 
4
1
 } 
 d) S = {x Î IR | x ³ 2}
 
 
P 6 ) a ) S = {x Î IR | x < - 2 o u x > 
2
1
- } 
 b ) S = {x Î IR | x < 
3
2
 o u x > 
2
3
} 
 c ) S = {x Î IR | 
5
1
- < x £ 
4
3
} 
P7) A 
P8) A 
P9) No mínimo 7,9
Página: 98 de 204
EQUAÇÃO DO 2o. GRAU
"É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo 
ax2 + bx + c = 0, com a Î IR*, b Î IR e c Î IR."
RESOLUÇÃO - EQUAÇÃO DO 2º. GRAU
1o. CASO Þ b = 0 e c ¹ 0
Exemplo1:
 2x2 - 8 = 0
Resolução análoga à resolução de uma equação do 1O. grau, observe:
2x2 - 8 = 0Þ 2x2 = 8 Þ x2 = 4 Þ x = ± Þ x = ± 24
S = {2; -2}
 
2o. CASO Þ b ¹ 0 e c = 0
Exemplo2:
 x2 - 4x = 0
Utilizando a fatoração:
 
 
x2 - 4x = 0 Þ x(x - 4) = 0
ï
î
ï
í
ì
=-
=
04
0
x
ou
x
Þ x = 0 ou x = 4 
S = {0; 4}
CASO GERALÞ "FÓRMULA DE BHASKARA"
 
Exemplo3: 
x2 - 5x + 6 = 0
Para a resolução desta equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara e paratanto vamos retirar
os coeficientes da equação:
 
 
x2 - 5x + 6 = 0
ï
î
ï
í
ì
=
-=
=
6
5
1
c
b
a
 
substituindo...
Página: 99 de 204
D= b2 - 4acÞ D= (-5)2 - 4.1.6Þ D = 25 - 24 Þ D = 1
 
 
x = 
a
b
×
D±-
2
Þ x = 
( )
12
15
×
±--
 
 
 
x = 
2
15 ±
ï
î
ï
í
ì
==
-
=
==
+
=
2
2
4
2
15
3
2
6
2
15
x
x
 Þ S = {2; 3} 
Observação: 
Sendo S o conjunto-solução de uma equação do 2O. grau do tipo 
ax2 + bx + c = 0, conclui-se que:
 
 
v D > 0 Þ S = 
þ
ý
ü
î
í
ì D--D+-
a
b
a
b
2
;
2
 
Þ Duas raízes reais e distintas
 
 
v D = 0 Þ S = 
þ
ý
ü
î
í
ì-
a
b
2
 
Þ Uma raiz real ou duas raízes idênticas
vD < 0 Þ S = Æ
Þ Não há solução real
Exercícios Resolvidos 
1) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O
resultado encontrado é 60. Qual é esse número?
Resolução:
quadrado do número: x2
quádruplo do número: 4x
Equação: x2 - 4x = 60
Normalizada: x2 - 4x - 60 = 0
Resolvendo com o auxílio da fórmula de Bhaskara, obteremos como solução 10 e -6, logo o
número real descrito poderá ser o 10 ou o -6.
2) Determine os valores de m para que a função quadrática 
[f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) tenha um zero real duplo.
Resolução:
Ter um zero real duplo significa que a equação tenha duas raízes reais e idênticas, ou seja, D =
0, logo:
Página: 100 de 204
b2 - 4ac = 0 Þ (3m + 2)2 - 4.1.(m2 + m +2) = 0
Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva
9m2 + 12m + 4 - 4m2 - 4m - 8 = 0
5m2 + 8m - 4 = 0
com o auxílio da fórmula de Bhaskara
 
PROBLEMAS DO 2º GRAU
É todo problema que pode ser resolvido por meio de uma equação ou por meio de um
sistema de equações do 2º grau.
Procedimentos: 
1º) Determinamos a equação ou o sistema de equações correspondentes.
2º) Resolvemos a equação ou o sistema.
3º) Interpretamos a solução encontrada.
Exemplo1: 
O quadrado de um certo número, mais uma unidade, é igual a 10. 
Determinar esse número. 
Seja x o número procurado. O quadrado desse número é x2. A equação resultante é 
x2 + 1 = 10
Resolvendo a equação, temos:x2 = 9 Û x = ± 3
Analisando a solução encontrada, verificamos que as duas raízes satisfazem ao problema.
Logo os números procurados são 3 e -3.
Exemplo2: 
O quadrado da idade de Roberto, menos o seu quíntuplo é igual a 84. Qual a idade de
Roberto?
Seja x a idade de Roberto. O quadrado da idade é x2. O quíntuplo da idade é 5x. A
equação resultante é:
x2 - 5x = 84 ou x2 - 5x - 84 = 0
Resolvendo a equação, obtemos: x1 = 12 e x2 = -7
Ao interpretarmos a solução encontrada verificamos que somente a raiz positiva
satisfaz ao problema. Portanto a idade de Roberto é 12 anos. 
EXERCÍCIOS - EQUAÇÕES DO 2o. GRAU
P1) A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais são
os dois números?
P2) A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?
P3) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O
resultado encontrado é 60. Qual é esse número?
Página: 101 de 204
 P4) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade de Junior
está para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 está para 4. Qual é a idade
de Junior e qual a idade de Hudson?
P5) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse número?
P6) O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é esse número?
P7) A medida da base de um triângulo é de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essas
medidas, sabendo que a área desse triângulo é igual a 12 cm2.
P8) A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a
formatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir ao
passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe de
Flávio Betiol?
P9) O quadrado de um número estritamente positivo adicionado com o seu dobro é igual ao
quadrado do seu triplo. Qual é esse número?
P10) A metade de um número positivo somado com o dobro do seu quadrado é igual ao
quádruplo do número. Qual é o número?
P11) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104. Qual é
a idade de Reinivaldo?
P12) Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com o
triplo desse mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é esse
número, se ele é um número natural?
GABARITO - EQUAÇÃO DO 2o. GRAU
P1) O número menor é 87, o maior é 120. 
P2) O número procurado é 5 ou - 6
P3) O número procurado é 10 ou - 6 
P4) - 2 não convém pois pede-se idades Þ Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos
P5) 4 ou -1 
P6) 4
P7) base = 4cm e altura = 6cm
P8) 36 alunos 
P9) 1 
 
 
P 10 ) 
4
7
 
P11) 13 anos 
P12) 5
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INEQUAÇÕES DO 2o. GRAU
Vamos aplicar o estudo do sinal de uma função quadrática na resolução de
inequações.
Utilizaremos como exemplo o item a do exercício R1:
y = x2 - 3x - 10
Uma inequação que podemos formar:
x2 - 3x - 10 > 0
Para a resolução desta inequação basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ou seja:
 
Geometricamente:
 
Observações: 
vSe tivéssemos uma inequação do tipo x2 - 3x - 10 ³ 0, a solução seria S = {x Î IR / x £ -2 ou 
x ³ 5} e o esboço ficaria da seguinte forma:
 
vAgora os valores -2 e 5 pertencem à solução da inequação e por isso representamos no eixo
com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequação anterior.
vNão há necessidade do eixo y na representação do esboço.
EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 2o. GRAU
P1) Considere a função y = -x2 + 2x + 3.
a) Determine o ponto onde a parábola que representa a função corta o eixo dos y.
b) Verifique se a parábola que representa a função corta o eixo dos x; em caso afirmativo,
determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.
c) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função.
d) Desenhe o gráfico da função.
P2) Resolva, em IR, as inequações:
a) x2 - 3x + 2 > 0
b) -x2 + x + 6 > 0
Página: 103 de 204
c) x2 - 4 = 0
d) -3x2 - 8x + 3 £ 0
e) -2x2 + 3x > 0
f) x2 + 10x > 0
GABARITO - FUNÇÃO DO 2o. GRAU
P1) a) y = 3
b) x1 = -1 ou x2 = 3
c) xv = 1 e yv = 4
a) Gráfico: a < 0 e D > 0
P2) a) S = {x Î IR / x < 1 ou x > 2}
 b) S = {x Î IR / -2 < x < 3}
 c) S = {x Î IR / x < -2 ou x > 2}
 d) S = {x Î IR / x £ -3 ou x ³ }3
1
 e) S = {x Î IR / 0 < x < }2
3
 f) S = {x Î IR / x < -10 ou x > 0}
FUNÇÕES
INTRODUÇÃO
Uma determinada gráfica imprime apostilas para concursos públicos. O custo de cada
apostila varia em função da quantidade de páginas a serem impressas. Vamos supor que cada
página tenha o custo de R$ 0,07 e para cada apostila confeccionada ainda há um custo fixo de
R$ 5,00 relacionado com a capa, plastificação etc. Observe a tabela abaixo que relaciona o
preço de cada apostila montada em função da quantidade de páginas impressas:
Páginas Preço
 50 R$ 8,50
 70 R$ 9,90
 100 R$ 12,00
 200 R$ 19,00
É impossível até estabelecermos uma fórmula que relacione a quantidade de páginas
impressas (x) e o preço (y) de cada apostila:
y = 0,07x + 5
 Este é um exemplo de função, observe que para cada valor de x encontramos um único
valor de y, podemos dizer então que y é função de x, isto é, y está em função de x, e outra
forma de escrevermos a mesma fórmula é:
Página: 104 de 204
f(x) = 0,07x + 5
Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta gráfica quisesse saber o quanto
deveria desembolsar para confeccionar uma apostila com 300 páginas, ela poderia
simplesmente substituir x = 300, na expressão acima:
 f(300) = 0,07 . 300 + 5 = 21 + 5 = 26
Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.
DEFINIÇÃO
Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B, diz-se que f é uma função de A em B e indica-se
por f: A ® B, se e somente se para cada elemento de x Î A exista um único elemento y Î B.
 
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contra-domínio e
os elementos de B que estão relacionados com os de A fazem parte do conjunto imagem da
função.
RECONHECENDO UMA FUNÇÃO
PELOS DIAGRAMAS
Exemplo1:
Observe as relações abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item se são ou não
função, em caso afirmativo, encontre o seu domínio (Df), contra-domínio (CDf) e conjunto
imagem (Imf) das funções identificadas.
a)
 
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com
apenas um de B.
v Df = {0, 1}
v CDf = {0, 5, 10, 20}
v Imf = {0, 5}
Página: 105 de 204
b)
 
Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A
que não se relaciona com nenhum de B.
c)
 
Esta relação é uma função, pois cada elemento de A está relacionado com
apenas um de B, e não existe nenhuma elemento de A sobrando.
v Df = {-1, -2, 2, 1}
vCDf = {1, 2, 3, 6, 7}
vImf = {1, 7}
d)
 
Esta relação não é uma função, pois existe um elemento de A
que se relaciona com dois de B.
Observação: 
Repare que podemos ter um elemento do contra-domínio relacionado com dois do domínio, e
ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domínio.
PELOS GRÁFICOS
Exemplo2:
Identifique quais dos gráficos abaixo representam funções, em caso afirmativo
determine o Domínio e a Imagem de cada uma das funções identificadas.
a)
Página: 106 de 204
 Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o
gráfico em apenas um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.
v Df = {x Î IR / -3 £ x £ 3} Þ Eixo x
v Imf = {y Î IR /-5 £ y £ 6} Þ Eixo y
b)
 Este gráfico não representa uma função, pois observe que as retas pontilhadas
"cortam" em mais de um ponto o gráfico.
c)
 
Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" o gráfico em apenas
um ponto.
Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.
vDf = {x Î IR / -2 < x £ 8} Þ Eixo x
v Imf = {y Î IR / -7 £ y £ 1} Þ Eixo y
Exercícios Resolvidos
 
1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:
f(0) - f(1) + f(2)
Resolução:
v f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1
v f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2
v f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2
Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5
Página: 107 de 204
2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m ´ 3m com ladrilhos quadrados, todos iguais entre
si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm, 15cm, 20cm, 25cm e 30cm,
qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso?
Resolução:
Para sabermos a quantidade de ladrilhos que serão utilizados, basta dividir a área total da sala
pela área de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguinte função que relaciona a
quantidade de ladrilhos (y) em função da dimensão (x) de cada ladrilho:
 
y = 
L
T
S
S
 = 
2x
33 ×
= 
2x
9
 Þ y = 
2x
9
 
É importante ressaltar que a área de cada ladrilho deve estar em m2, isto é, a dimensão x deve
ser dada em metros.
Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessária para cobrir a sala:
x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30
 Y 900 625 400 225 144 100
EXERCÍCIOS - FUNÇÕES
1) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de automóvel:
Peças custos
 1 1
 2 4
 3 9
 4 16
 5 25
 6 36
Observando a tabela responda:
a) Qual é o custo da produção de 3 peças?
b) Qual é o número de peças produzidas com R$ 25,00?
c) Qual a lei que representa o custo c da produção em função do número de peças n?
d) Com relação ao item anterior, qual o número máximo de peças produzidas com R$ 1
000,00?
2) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado de um jogo de
futebol, após x horas em sua realização, é dado por . Responda:x10y =
a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?
b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo em 1 dia?
c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento do resultado
do jogo?
3) A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90km/h. Responda:
a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em 1hora? E em 2 horas?
b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 km?
c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) em função do tempo
(t)? (d em quilômetros e t em horas)
Página: 108 de 204
4) Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício-desafio, comprometendo-se a
dividir um prêmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejam x o número de acertadores (x = 1,
2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cada acertador (em reais). Responda:
a) y é função de x? Por quê?
b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?
c) Qual é o valor máximo que y assume?
d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?
5) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções de IR em IR?
a) f associa cada número real ao seu dobro.
b) g associa cada número real ao seu quadrado.
c) h associa cada número real ao seu triplo menos 1.
6) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções?
a) f é a função de IR* em IR* que associa cada número real ao seu inverso.
b) g é a função de IN em IN que associa cada número natural ao quadrado de seu sucessor.
7) Sendo f uma função de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:
a) f(0) b) f(1) c) f(-2)
8) Seja f: IR ® IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:
a) f(1) b) f(2) c) f(-1)
9) Seja f: IR ® IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:
 
a) f ÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
 b) f( 3 ) c) f(1 - 2 ) d) f(2p) 
10) Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, para cada uma:
a) dizer se é ou não uma função;
b) em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem da
mesma.
I-)
 
II-)
 
III-)
Página: 109 de 204
 
IV-) 
 
V-) 
 
VI-)
 
11) Observe os gráficos abaixo:
 
Página: 110 de 204
Podemos afirmar que:
a) todos os gráficos representam funções;
b) os gráficos I, III e IV representam funções;
c) apenas o gráfico V não representa uma função;
d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;
e) apenas o gráfico II não representa função.
12) As funções f e g são dadas por:
 
v f(x) = 
5
3
x - 1 e g(x) = 
3
4
x + a 
 
Sabe-se que f(0)- g(0) = 
3
1
.O valor de f(3) - 3.g ÷
ø
ö
ç
è
æ
5
1
 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
13) A função y = f(x) é representada graficamente por:
 
Através da análise do gráfico, encontre:
a) Domínio da função (Df);
b) Imagem da função (Imf);
c) f(3);
d) o valor de x tal que a função seja nula.
14) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquer que seja o
valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) é igual a:
 
a) 
4
1
 b) 
2
1
 c) 
2
3
 d) 2 e) 
2
5
 
GABARITO - FUNÇÕES
1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2d) 31
2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas
3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t
Página: 111 de 204
4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um único valor de y.
b) x = 2 ® y = 60, x = 8 ® y = 15, x = 20 ® y = 6
 x = 20 ® y = 6 e x = 25 ® y = 4,8
 
c) 120 d) y = 
x
120
 
5) a) f: IR ® IR
 f(x) = 2x
b) g: IR ® IR
 g(x) = x2
a) h: IR ® IR
 h(x) = 3x - 1
6) a) f: IR* ® IR
 
 f(x) = 
x
1
 
b) g: IN ® IN
 g(x) = (x + 1)2
7) a) 3 b) 5 c) -1
8) a) 0 b) -2 c) 10
9) 
 
46p4p d) 2c) 3 - 7 b) 
4
11
a) 23 +-+ 4
10) I-) Não é função II-) Não é função
 III-) é função: Df = {1, 2, 3}
CDf = {1, 2, 3, 4, 5}
Imf = {1, 2, 3}
IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2}, 
Imf = {1, 2}
V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}
Imf = {0}
VI) Não é função.
11) B 
12) E
13) a) Df = {x Î IR / -2 < x £ 4}
 b) Imf = {y Î IR / 0 < x < 4}
 c) f(3) = 4
 d) x = 0
14) C
Página: 112 de 204
FUNÇÃO DO 1o. GRAU
INTRODUÇÃO
Larissa toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetro
rodado. Ela quer ir à casa do namorado que fica a 10 km de onde ela está. Quanto Larissa vai
gastar de táxi?
 Ela terá que pagar 10 ´ R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela bandeirada, ou
seja 6,50 + 2,60 = R$ 9,10.
Se a casa de seu namorado ficasse a 17 km dali, o preço da corrida (em reais) seria:
0,65 ´ 17 + 2,60 = 13,65
Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há um certo preço 
p(x) em função de x:
p(x) = 0,65x + 2,60
que é um caso particular de função polinomial do 1º. grau, ou função afim.
DEFINIÇÃO
"Toda função polinomial representada pela fórmula matemática 
f(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a Î IR, b Î IR e a ¹ 0, definida para todo real, é denominada
função do 1º grau."
Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam as variáveis, enquanto
a e b são denominadas coeficientes.
Assim são funções do 1º grau:
 f(x) = 2.x +3 (a = 2 e b = 3)
 y = -3.x (a = -3 e b = 0)
Observações: 
1º.) No caso de a ¹ 0 e b ¹ 0, a função polinomial do 1º grau recebeo nome de função afim.
 2º.) No caso de a ¹ 0 e b = 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de função linear.
Exercício Resolvido 
1) Dada a função f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?
Resolução:
f(1) = 3 Þ a.(1) + b = 3
f(2) = 9 Þ a.(2) + b = 9
Chegamos no sistema de duas equações e duas incógnitas:
 
Þ 
î
í
ì
=+
=+
92
3
ba
ba
, resolvendo o sistema obtemos 
a = 6 e b = - 3, logo:
f(x) = 6x - 3 Þ f(0) = 6.(0) - 3 Þ f(0) = - 3
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1o. GRAU
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Seja a função do 1O. grau f(x) = ax + b, o gráfico desta função é uma reta:
 
Nota: 
v"Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, isto é,
torna f(x) = 0."
vO ponto onde o gráfico "corta" o eixo y será sempre (0, b), onde b é o coeficiente da função.
ANÁLISE DOS GRÁFICOS:
vGráfico 1: Gráfico de uma função crescente onde teremos o coeficiente a > 0.
v Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente onde teremos o coeficiente a < 0.
Exemplo1: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 9: 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los com o auxílio de uma
régua. (Ou ainda, podemos observar que precisamos obter a raiz da função e o coeficiente b
Raiz:
 
3x - 9 = 0 Þ 3x = 9 Þ x = 
3
9
 Þ x = 3 
Logo, já sabemos que o ponto (3, 0) é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo x.
Coeficiente b:
Da lei de formação da função Þ b = -9
Logo, sabemos que o ponto (0, -9), nos dará a intersecção do gráfico com o eixo y.
Gráfico:
 
Página: 114 de 204
Exemplo2: 
Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 4:
Analogamente ao exemplo 1, obteremos a raiz da função e seu coeficiente b.
Raiz:
-2x + 4 = 0 Þ -2x = - 4 Þ x = 2
Coeficiente b:
Da lei de formação Þ b = 4
 
SINAL DA FUNÇÃO DO 1o GRAU
Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar para quais valores de x a função é
positiva, ou seja, y > 0; para quais valores de x a função é zero, ou seja, y = 0; e, para quais
valores de x a função é negativa, ou seja, y < 0.
Considere a função f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal da função. 
 
.considerar a casos dois há ,
a
b x paraanula se função a que Vimos -=
1O. Caso) a > 0 Þ Função Crescente
 
 
v y > 0 Þ x > 
a
b
- 
v y < 0 Þ x < 
a
b
- 
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2O. Caso) a < 0 Þ Função Decrescente
 
 
v y > 0 Þ x < 
a
b
- 
v y < 0 Þ x > 
a
b
- 
FUNÇÃO DO 2o. GRAU
INTRODUÇÃO
Uma empresa de táxis fez uma análise de custos operacionais e chegou à seguinte conclusão:
Para cada automóvel, ela tem:
a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.
b) um ganho calculado como o quadrado da distância percorrida (em km).
c) uma despesa de R$ 6,00 por quilômetro rodado, relativa a combustível, manutenção,
taxas e impostos, salários, etc.
1) Vamos escrever a função que relaciona o lucro dessa empresa com a distância percorrida,
para cada automóvel. Chamemos de x a distância percorrida e de y o lucro total da empresa
para cada automóvel:
y = 8 + x2 - 6x Þ y = x2 -6x + 8
2) Analisando essa função, descobriu-se que, dependendo da distância percorrida, o táxi
poderia dar lucro ou prejuízo, observe a tabela abaixo:
Tabela
 x y
 0 8
 1 3
 2 0
 3 -1
 4 0
 5 3
 6 8
Notas:
Observe que quando o táxi percorre 2km e 4km, não há prejuízo e nem lucro.
Se o táxi percorre 3km, há um prejuízo de R$1,00.
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Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, são obtidos se o táxi não andar (em
caso do passageiro só pagar a bandeirada), ou se o táxi percorrer 6km.
3) Para uma melhor visualização do lucro da empresa variando de acordo com a distância
percorrida foi feito o gráfico abaixo representando a distância percorrida no eixo x (em km) e
no eixo y o lucro obtido (em reais).
 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 X 
Notas: 
De acordo com o gráfico podemos observar que:
vPara distâncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o táxi dá realmente lucro:
x < 2 ou x > 4
vPara distâncias percorridas entre 2km e 4km o táxi dá prejuízo:
2 < x < 4
vSe o táxi percorrer 2km ou 4km o táxi não dará nem lucro nem prejuízo:
x = 2km ou x = 4km
vA função representada pelo gráfico é uma função do 2o. grau e o gráfico ilustrado é uma
parábola.
DEFINIÇÃO
 
denomina-se função do 2º grau ou função quadrática".
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2o. GRAU
Para toda função do 2o. grau temos o gráfico sendo uma parábola, assim como na função do
1O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes serão:
Þ intersecção com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o gráfico "corta" o eixo y.
Þ zeros (ou raízes) da função: (x1; 0) e (x2; 0) onde o gráfico se intercepta o eixo x; para a
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obtenção das raízes da função devemos resolver uma equação do 2o. grau obtida através da
própria função.
Þ vértice da parábola: (xv, yv) são os pontos de máximo ou de mínimo da função.
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA
Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola utilizaremos as fórmulas a
seguir:
V(xv , yv)
 2a
b
vx
-
=
4a
Δ
vy
-
=
Em geral, a parábola poderá estar em posições distintas no que se refere aos eixos
coordenados, observe a tabela a seguir:
 
 
Observações: 
De acordo com o coeficiente a e o discriminante D numa função do 2o. grau, podemos tirar
algumas conclusões a respeito da posição da parábola:
vA parábola poderá ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
vO gráfico poderá interceptar o eixo x em dois pontos ( D > 0 - duas raízes distintas), ou em
um único ponto (D = 0 - uma única raiz) ou ainda não interceptar o eixo x (D > 0 - a função
não possui raízes reais). 
Exemplo1: 
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Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2 - 5x + 2:
Características:
Þ concavidade voltada para cima: a = 2 > 0
Þ zeros (ou raízes): 2x2 - 5x + 2 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = ou x2 = 22
1
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -=÷
ø
ö
ç
è
æ --=Þ
8
9,
4
5
4a
Δ
,
2a
b Vparábola da vértice
Þ intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)
Gráfico:
 
Exemplo 2: 
Façamos agora, o esboço do gráfico da função y = x2 - 2x + 1:
Características:
Þ concavidade voltada para cima: a = 1 > 0
Þ zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = x2 = 1 (raiz dupla)
 (0,1)c)(0, : yeixo como ointersecçã
(1,0)
4a
Δ
,
2a
b
 V:parábola da vértice
=Þ
=÷
ø
ö
ç
è
æ-=Þ
Gráfico:
Página: 119 de 204
 
Exemplo3: 
Façamos por fim, o esboço do gráfico da função y = -x2 - x - 3:
Características:
Þ concavidade voltada para baixo: a = -1 < 0
Þ zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0
 não existe x Î IR, pois D < 0
 3) (0,-c)(0, : yeixo como ointersecçã
4
11
 - ,
2
1
-
4a
Δ
 - ,
2a
b
- V:parábola da vértice
=Þ
÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ=Þ
Gráfico:
 
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Considere a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinar para quais
valores de x temos a função positiva (y > 0), função negativa (y < 0) ou a função nula (y = 0).
Na tabela a seguir temos as posições relativas e os sinais de acordo com os eixos
coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.
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Exercícios ResolvidosR1) Estude o sinal das funções abaixo:
a) y = x2 - 3x - 10.
b) y = -x2 + 6x - 9
c) y = x2 + 7x + 13
Resolução:
a)
1o.) Raízes: x2 - 3x - 10 = 0 Þ x1 = -2 ou x2 = 5
2o.) Esboço:
 
3o.) Estudo do Sinal:
y > 0 Þ x < -2 ou x > 5
y = 0 Þ x = - 2 ou x = 5
y < 0 Þ -2 < x < 5
b)
1o.) Raízes: -x2 + 6x - 9 = 0 Þ x1 = x2 = 3
Página: 121 de 204
2o.) Esboço:
 
3o.) Estudo do Sinal:
y > 0 Þ não existe x Î IR 
y = 0 Þ x = 3
y < 0 Þ x < 3 ou x > 3
c)
1o.) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 Þ D < 0 (não existe x real)
2o.) Esboço:
 
3o.) Estudo do Sinal:
y > 0 Þ " x Î IR
y = 0 Þ não existe x real
y < 0 Þ não existe x Î IR
SEQÜÊNCIA NUMÉRICA
Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de
números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3,
5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é
5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. 
Uma seqüência pode ser finita ou infinita. 
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. 
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita. 
Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo,
Página: 122 de 204
... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. 
(Neste caso, k < n).
Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3
= 18, a5 = 162, etc.
São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de
formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. 
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do
segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os
termos da seqüência, é denominada termo geral.
Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n +
5, onde n é um número natural não nulo. 
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo
termo) correspondente. 
Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o
vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. 
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que
seria: 
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ). 
Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. 
Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. 
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: 
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). 
Por exemplo:
 a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numérica cujos
termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor
constante denominado razão.
Observe as seqüências numéricas abaixo:
I. (2, 4, 6, 8, ...)
II. (11, 31, 51, 71, ...)
III. (9, 6, 3, 0, ...)
IV. (3, 3, 3, 3, ...)
V. (4, , 5, , ...)2
9
2
11
Note que de um número para outro está sendo somada uma constante, podendo ser:
Página: 123 de 204
Um número positivo Þ Seqüências I e II
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
ou
11 + 20 = 31
31 + 20 = 51
Um número negativo Þ Seqüência III
9 + (-3) = 6
6 + (-3) = 3 
O número Zero (elemento neutro da adição) 
Þ Seqüência IV
3 + 0 = 3
3 + 0 = 3
Uma fração Þ Seqüência V
 
As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Aritméticas (P.A.) e a
constante que em cada caso foi adicionada a um termo, é chamada de razão (r) da progressão.
Definição: "Progressão Aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a
partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo, chamado razão da
progressão. "
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte forma:
a) se r > 0 (razão positiva) Þ P.A. crescente 
Casos: I, II e V
b) se r < 0 (razão negativa) Þ P.A. decrescente 
Caso: III
c) se r = 0 (razão nula) Þ P.A. constante 
Casos: IV 
TERMO GERAL
Seja a P.A. representada na forma matemática:
 
 
P.A.: (a1, a2, a3, a4, ..., an) 
 
Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A.
conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (r).
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Da P.A. acima de razão "r" temos:
 
a2 = a1 + r 
a3 = a2 + r Þ a3 = a1 + 2r 
a4 = a3 + r Þ a4 = a1 + 3r 
a5 = a4 + r Þa5 = a1 + 4r 
. . 
. . 
. . 
an = an-1 + r Þ an = a1 + (n - 1) ´ r
 
PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.A.:
 
TERMOS EQÜIDISTANTES
A soma dos termos eqüidistantes de uma P.A. é sempre constante:
 
TERMOS CONSECUTIVOS
Um termo é sempre obtido pela média aritmética dos "vizinhos", ou dos eqüidistantes.
 
Exercícios Resolvidos 
1) Encontre o 21º termo da P.A. (22, 27, 32, ...).
Resolução:
Sabemos que a1 = 22 e r = 27 - 22 = 5
Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
a21 = a1 + (21 - 1) r Þ a21 = 22 + 20 . 5
 a21 = 122
2) Numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97. Qual a ordem do termo que é igual a 141?
Resolução:
Página: 125 de 204
Sabemos que a5 = 97 e r = 4
a5= a1 + (5 - 1)r Þ 97 = a1 + 4 . 4 Û a1 = 81Þ 
an = a1 + (n - 1)r Þ 141 = 81 + (n - 1) . 4
 n = 16
3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é uma P.A. Encontre a sua razão e o primeiro
termo dessa progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:
 
y + 1 = 
2
53 +y
Þ 2(y+1) = 3y + 5 
 
Resolvendo a equação do primeiro grau obtemos
 y = -3
Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)
e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Imagine se quiséssemos somar os cem primeiros números naturais, ou seja, obteríamos a
seguinte soma:
 
Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:
 
e portanto se somarmos seus termos eqüidistantes obteremos somas constantes, fazendo
uso desta propriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeiros termos da seguinte
forma:
 
 
Observando que para somar todos esses termos foi necessário somar o primeiro termo
com o último, multiplicar pelo número de termos e dividir por dois. Chegamos, portanto na
relação da soma dos "n" primeiros termos de progressão aritmética:
 
Página: 126 de 204
Exercícios Resolvidos 
1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
Temos a1 = 2 e r = 3
precisamos obter o a20 Þ a20 = a1 + (20 - 1) . r
a20 = 2 + 19 . 3 Þ a20 = 59
Portanto
 
 
S20 = 
2
20).592( +
 Þ S20 = 61 . 10 
S20 = 610 
 
2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª semana, há dois jogos; na 2ª
semana, cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, ao todo, são disputados nesse
torneio?
Resolução:
Observando a seqüência de jogos disputados durante as nove semanas encontramos a
seguinte P.A. de nove termos:
(2, 5, 8, ..., a9)
e portanto para sabermos quantos jogos serão realizados, no total, devemos somar todos os
termos, ou seja, todos os jogos disputados em cada semana:
 
a9 = a1 + 8.r Þ a9 = 2 + 8 . 3 Þ a9 = 26 
S9 = 
( )
2
9.91 aa + Þ S9 = 
( )
2
9.262 +
 Þ S9 = 14 . 9 
 S9 = 126 
 
Contudo serão realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.
EXERCÍCIOS - P.A.
P1) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:
a) 63 
b) 65 
c) 92 
d) 95 
e) 102
P2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do primeiro termo é:a) -1 
b) 1 
c) 2 
d) 0 
e) 3
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P3) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão
aritmética cujo quinto termo vale:
a) 45 
b) 52 
c) 54 
d) 55 
e)57
P4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é a metade do
maior, então o maior mede:
a) 60º 
b) 80º 
c) 70º 
d) 50º 
e) 40º
P5) Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros ao mês e outra,
no mesmo tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Em janeiro de 1995 ambas as
montadoras farão um contrato de exportação. Mensalmente, a primeira e a segunda
montadoras deverão aumentar , respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses
necessários para que as montadoras produzam a mesma quantidade de carros é:
a) 44 
b) 45 
c) 48 
d) 50 
e) 54
P6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é uma P.A., então o décimo termo da P.A.
(5 - 3x, x + 7, ...) é:
a) 2 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 3
P7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:
a) 400 
b) 480 
c) 880 
d) 800 
e) 580
P8) O oitavo termo de uma P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determine a soma:
a) de seus oito primeiros termos;
b) de seus quinze primeiros termos.
P9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila, 28 na
terceira fila, 32 na quarta fila e as demais se compõem na mesma seqüência. Quantas filas são
necessárias para a casa ter 800 lugares?
P10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são
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colhidas dez dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele
colherá ao final dos doze dias?
P11) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento aumentava,
diariamente, segundo uma P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º dia compareceram 56 pessoas
e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas. Durante quantos dias o espetáculo
ficou em cartas? (Dado: = 307.)94249
P12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento: 
1ª hora: R$ 4,00
2ª hora: R$ 3,50
A partir daí, o preço das horas varia segundo uma P.A. de razão igual a -R$ 0,30
a) Qual o valor a ser cobrado na 8ª hora de permanência de um carro neste estacionamento?
b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?
P13) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:
a) 5000 
b) 3950 
c) 4000 
d) 4950 
e) 4500
GABARITO - P.A.
 
P1) C 
P2) E 
P3) C 
P4) B 
P5) A 
P6) D
P7) C 
P8) a) 404 b) 1335
P9) 16 filas 
P10) 6192 laranjas
P11) 7 dias 
P12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15
P13) D
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
(P.G.)
Observe as seqüências numéricas abaixo:
Página: 129 de 204
 
I. (2, 4, 8, 16, ...) 
II. (11, 33, 99, 297, ...) 
III. (9, 3, 1, 3
1
, ...) 
IV. (3, 3, 3, 3, ...) 
 V. (4, -8, 16, -32, ...) 
 
Note que de um número para outro está sendo multiplicada uma constante, podendo ser:
Um número positivo Þ Seqüências I e II
2 ´ 2 = 4
4 ´ 2 = 8
ou
11 ´ 3 = 33
33 ´ 3 = 99
Uma fração Þ Seqüência III
9 x = 33
1
3 x = 1 3
1
O número 1 (elemento neutro da multiplicação) Þ Seqüência IV
3 x 1 = 3
3 x 1 = 3
Um número negativo Þ Seqüência V
4 x (-2) = -8 
(-8) x (-2) = 16
As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Geométricas (P.G.) e a
constante que em cada caso foi multiplicada a um termo, é chamada de razão (q) da
progressão.
Definição: "Progressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a
partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo, chamado razão da
progressão. "
CLASSIFICAÇÕES
De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinte forma:
a) se a1 > 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) Þ P.G. crescente 
Casos: I e II 
b) se a1 > 0 e 0 < q < 1 (primeiro termo positivo e razão entre 0 e 1) Þ P.G. decrescente 
Caso: III
c) se q = 1 (razão igual a 1) Þ P.G. constante 
Casos: IV 
d) se a1 ¹ 0 e q < 0 Þ P.G. alternante
Caso: V
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TERMO GERAL
Seja a P.G. representada na forma matemática:
 
 
P.G.: (a1, a2, a3, a4, ..., an) 
 
Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G.
conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Da P.G. acima de razão "q" temos:
 
 
a2 = a1 ´ q 
a3 = a2 ´ q Þ a3 = a1 ´ q2 
a4 = a3 ´ q Þ a4 = a1 ´ q3 
a5 = a4 ´ q Þ a5 = a1 ´ q4 
. . 
. . 
. . 
an = an-1 ´ q Þ an = a1 ´ q(n - 1) 
 
 
PROPRIEDADES IMPORTANTES
Seja a P.G.:
 
(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729) 
 
TERMOS EQÜIDISTANTES
A produto dos termos eqüidistantes de uma P.G. é sempre constante:
 
1 ´ 729 = 3 ´ 243 = 9 ´ 81 = 27 ´ 27 = 272
 
TERMOS CONSECUTIVOS
Um termo é sempre obtido pela média geométrica dos "vizinhos", ou dos
eqüidistantes.
 
 
32 = 1 ´ 9 ; 272 = 9 ´ 81 ; 92 = 3 ´ 27 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).
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Resolução:
Sabemos que a1 = 2 e q = 6 ¸ 2 = 3
Utilizando a relação do termo geral escrevemos:
a5 = a1 ´ q(5 - 1) Þ a5 = 2 ´ 34
a5 = 162
2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão e o primeiro
termo dessa progressão.
Resolução:
Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinte relação:
(y + 2)2 = 3 . (5y - 2)
y2 + 4y + 4 = 15y - 6 
y2 - 11y + 10 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
 
 
 y = 10 
 P.G.: (3, 12, 48, ...) 
î
í
ì
=
=
4q
3a1 
ou 
 
 y = 1 
 P.G.: (3, 3, 3, ...) 
î
í
ì
=
=
1q
3a1 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
Para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, usa-se a
fórmula abaixo:
 
 
Sn = 
q1
)q(1a n1
-
-× ou Sn = 
1-q
1)-(qa n1 × 
 
Exercícios Resolvidos 
1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...).
Resolução:
Temos a1 = 1 e q = 3
Portanto
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S8 = )13(
)13(1 8
-
-× Þ S8 = 2
16561 - 
 S8 = 3 280 
 
2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)
Resolução:
Da P.G. acima temos: a1 = -1 e q = 2 ¸ (-1) = -2
Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem primeiros termos da P.G.:
 
S8 = ( ) )12(
]12[1 8
--
--×- Þ S8 = 3
255
-
- 
 S8 = 85 
 
EXERCÍCIOS - P.G.
P1) Qual é o quinto termo da P.G. ( , , 8, ...)?9
2
3
4
P2) O 4º. termo de uma P.G. é e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessa P.G.?
250
1
P3) O 9º. termo de uma P.G. é e a sua razão é . Determine:8
2
2
2
a) O primeiro termo;
b) o quarto termo.
P4) Qual é o décimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?
P5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia, 5 pessoas
ficam sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas pessoas ficam sabendo do
boato no 10º. dia?
P6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio
é R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo uma P.G., qual é o valor do
prêmio na última rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?
P7) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja uma P.G.
P8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).
P9) Numa P.G. de termos positivos, o 1º. termo é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule a soma dos dez
primeiros termos dessa P.G.
 
P10) Um indivíduocontraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestações assim
determinadas: 1º. R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante. Qual o valor total da
dívida?
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P11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar da cidade
convocou, para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por
diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para o exame após o 10º. dia de
convocações?
GABARITO - P.G.
P1) 288 
P2) q = 10
1
P3) a) b) 122
P4) 128
5
P5) 98 415 
P6) R$ 76 886,72
P7) 8 
P8) 2 188 
P9) 5 115
P10) R$ 2 956,00, aproximadamente
P11) 31
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
 
 
 Os gabaritos encontram-se no final 
dos exercícios 
Matemática
1. 10 homens se comprometeram a realizar em 24 dias certa obra. Trabalharam 6 dias, à razão de 8
horas diárias. A fim de acabar a obra 8 dias antes do prazo marcado, aumentou-se o número de
operários, que passaram a trabalhar todos 12 horas por dia. De quantos operários foi o acréscimo?
a) 5
b) 3
c) 4
d) 1
e) 2
2. 10 operários realizam certa tarefa em 20 dias. Responda: 5 operários realizarão a mesma tarefa em
........... dias
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a) 10 dias
b) 30 dias
c) 40 dias
d) 20 dias
e) 5 dias
3. 15 homens cavaram um poço em 10 dias, trabalhando 8 horas diárias. Em quantos dias, 40 homens
cavarão outro poço igual, trabalhando 12 horas por dia, sabendo que a dificuldade da segunda obra
aumentou em 3/5?
a) 6d
b) 9d
c) 10d
d) 4d
e) 12 d
4. 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas.
Quantas árvores há no pomar?
a) 105
b) 100
c) 98
d) 110
e) 112
5. 30 centenas x 5 dezenas + 30 milhares = 3.000 décimos x 3 unidades
a) 2 dezenas
b) 2 centésimos 
c) 2 milésimos
d) 2 unidades
e) 2 centenas
6. 50 homens têm provisões para 20 dias, à razão de 3 rações diárias. Se as rações diminuem 1/3 e se o
número de homens aumenta de mais 10, quantos dias durarão os mantimentos?
a) 26d
b) 21d
c) 25d
d) 23d
e) 27d
7. 6 amigos se reuniram para jogar na "Sena". Para comprar os cartões, João e Paulo deram, cada um,
R$ 10,00, Mário e Cezar contribuíram com R$ 20,00 cada, enquanto Carlos e Lúcio deram juntos R$
50,00. Se eles ganharam um prêmio de R$ 1.760.000,00 e o dividirem em partes diretamente
proporcionais aos valores pagos por cada um ao comprarem os cartões, a parte do prêmio que caberá a
Mário, em reais, será de:
a) 110.000,00
b) 160.000,00
c) 220.000,00
d) 320.000,00
e) 800.000,00
8. 64 jogadores de habilidades diferentes disputam um torneio de tênis. Na primeira rodada são feitos 32
jogos (os emparelhamentos são por sorteio) e os perdedores são eliminados. Na segunda rodada são
feitos 16 jogos, os perdedores são eliminados e assim por diante. Se os emparalhamentos são feitos
por sorteio e não há surpresas (se A é melhor que B, A vence B), qual o número máximo de jogos que o
décimo melhor jogador consegue jogar?
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6
9. 9 homens podem fazer uma obra em 4 dias. Quantos homens mais seriam necessários para fazer a
obra em 1 dia?
a) 19
b) 21
Página: 135 de 204
c) 25
d) 27
e) 23
10. A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2. Nessas condições a área
do terreno A representa quantos por cento da área do terreno B?
a) 55%
b) 65%
c) 70%
d) 62%
e) 82%
11. A carroceria de um caminhão tem as seguintes medidas internas: 4m de comprimento, 2,5m de
largura e 0,5m de altura. Essa carroceria está transportando uma quantidade de areia que corresponde a
3/5 do seu volume. Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão:?
a) 3 m3
b) 2 m3
c) 8 m3
d) 4 m3
e) 9 m3
12. A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar a formatura da
8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão ir ao passeio, a parte de cada
um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classe de Flávio Betiol?
a) 30 alunos
b) 36 alunos
c) 35 alunos
d) 39 alunos
13. A diferença de dois números é 9.Um terço da soma dos números é 17. Encontre os números.
a) 21 e 30
b) 25 e 30
c) 26 e 20
d) 27 e 40
14. A diferença de idade entre João e sua irmã Maria é de 14 anos. Ao somarmos três sétimos da idade
de João ao quádruplo da idade de Maria, teremos como resultado 149. Quantos anos tem Maria?
a) 21 
b) 27 
c) 38 
d) 45
e) 35
15. A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.
a) 39 e 29
b) 40 e 25
c) 30 e 26
d) 43 e 22
e) 44 e 21
16. A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é esse número?
a) 3 ou -1
b) 4 ou -1
c) 6 ou -2
d) 6 ou -4
17. A diferença entre o triplo de um número e seus três quartos é 81. Qual é o número?
a) 28
b) 33
c) 30
d) 36
18. A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é a escala de um
mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?
Página: 136 de 204
a) 1:4.000.000
b) 1:2.000.000
c) 1:5.000.000
d) 1:1.000.000
e) 1:7.000.000
19. A fração 13/40 é equivalente a:
a) 325%
b) 3,25%
c) 0,03255
d) 32,5%
e) 0,325%
f) nda
20. A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construída de modo que
essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada para construir a miniatura?
a) 1:20
b) 1:30
c) 1:40
d) 1:50
e) 1:70
21. A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após, a leitura do mesmo
hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumo nesse período?
a) 45 m3
b) 50 m3
c) 88 m3
d) 98 m3
e) 78 m3
22. A praça de uma cidade possui a forma de um quadrado. Calcule quantos metros de corda deverá ser
gasto para cercar a praça para uma festa sabendo que possui 45 m de lado, e deseja-se dar 4 voltas com
a corda.
a) 730 m
b) 720 m
c) 690 m
d) 733 m
e) 728 m
23. A proprietária de uma loja, desejando gratificar dois funcionários, um que trabalha há 5 anos e outro
há 3 anos , dividiu entre eles a quantia de R$ 1.200,00 em partes diretamente proporcionais aos anos de
serviço de cada um. O funcionário mais antigo recebeu:
a) R$ 550,00
b) R$ 600,00
c) R$ 650,00
d) R$ 700,00
e) R$ 750,00
24. A quantidade de números inteiros positivos menores que 400 que podemos formar, utilizando
somente os algarismos 1,2,3,4 e 5, de modo que não figurem algarismos repetidos, é:
a) 36 
b) 56
c) 61
d) 85 
e) 65
25. A que taxa deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzir R$ 2.520,00 em 2 anos e 3
meses ?
a) 6 % ao ano 
b) 5 % ao ano
c) 7 % ao ano
d) 9 % ao ano
e) 10 % ao ano
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26. A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3 para 2. Se a
sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?
a) 1,80 
b) 1,40 
c) 1,50 
d) 1,20 
e) 1,70 
27. A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvel A, quando a
velocidade do móvel B for igual a 20m/s
a) 4,5 m/s
b) 7,5 m/s
c) 5,5 m/s
d) 6,5 m/s
e) 7,0 m/s
28. A relação entre dois números é de 6 para 1. Se a soma dos dois números é igual a 56, qual é o
maior?
a) 280
b) 48
c) 125
d) 28
e) 316
29. A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3 anos a minha idade será o dobro da
idade da minha filha . A minha idade atual, em anos, é:
a) 47
b) 49
c) 51
d) 53
e) 55
30. A soma das idades de Leonardo e Rodrigo é de 30 anos. Sabendo-se que as idades de ambos estão
na razão de 2 para 3, calcule a idade de Rodrigo.
a) 12
b) 35
c) 48
d) 24
e) 18
31. A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quais são os dois
números?
a) O número menor é 80, o maior é 110.
b) O número menor é 90, o maior é 120.
c) O número menor é 86, o maior é 125.d) O número menor é 87, o maior é 120.
32. A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.
a) 26 e 30
b) 22 e 30
c) 27 e 33
d) 20 e 32
e) 21 e 33
33. A soma de dois números é igual a 18. Calcule o número maior, sendo o número maior igual ao
número menor somado a 2.
a) 8
b) 11
c) 10
d) 12
e) 7
34. A soma de todos os números ímpares de dois algarismos menos a soma de todos os números pares
de dois algarismos é
Página: 138 de 204
a) 50 
b) 46 
c) 45 
d) 49 
e) 48
35. A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?
a) O número procurado é 2 ou - 6
b) O número procurado é 3 ou - 5
c) O número procurado é 5 ou - 6
d) O número procurado é 7 ou - 6
36. A soma do minuendo com subtraendo e mais o resto de uma subtração é igual a 22. Calcule o
minuendo.
a) 30 
b) 40
c) 15
d) 75
e) 11
37. A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:
a) 5000 
b) 3950
c) 4000
d) 4950 
e) 4500
38. A soma dos múltiplos de 7 existentes entre 90 e 507 é divisível por:
a) 13
b) 11 
c) 9 
d) 8 
e) 5
39. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de:
a) 72,8%
b) 60,0%
c) 68,9%
d) 66,6%
e) 84,4%
40. Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2h 24
min. Dispondo-se de 5 dessas torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?
a) 1h 26 min 24 s 
b) 1h 15 min 24 s 
c) 1h 26 min 
d) 1h 
e) 1h 40min 20 s 
41. Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8 horas por dia. O
encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estava pronta. Para entregar o serviço na data
fixada; quantas horas por dia devem os operários trabalhar nos dias restantes?
a) 12 horas
b) 15 horas
c) 17 horas
d) 19 horas
42. Aline foi comprar uma blusa que custava R$ 32,90, e conseguiu um desconto de 12%. Quantos Aline
pagou pela blusa?
a) 28,50
b) 27,50
c) 28,95
d) 29,05
e) 28,75
Página: 139 de 204
43. Aline quer ler um romance de 352 páginas. Em 3 horas de leitura conseguiu ler 48 páginas. Quanto
temo levará para ler livro todo?
a) 22 horas
b) 20 horas
c) 18 horas
d) 24 horas
e) 26 horas
44. Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu
dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por
Antonio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía?
a) 11,1
b) 13,2
c) 15,2
d) 33,3
e) 35,5
45. Antônio, Bernardo, Cláudio e Daniel elaboraram juntos uma prova de 40 questões, tendo recebido
por ela um total de R$ 2.200,00. Os três primeiros fizeram o mesmo número de questões e Daniel fez o
dobro do que fez cada um dos outros. Se o dinheiro deve ser repartido proporcionalmente ao trabalho
de cada um, Daniel deverá receber uma quantia, em reais, igual a: 
a) 800,00
b) 820,00; 
c) 850,00; 
d) 880,00; 
e) 890,00. 
46. Ao receber moedas como parte de um pagamento, um caixa de uma agência bancária contou t
moedas de 1 real, y de 50 centavos, z de 10 centavos e w de 5 centavos. Ao conferir o total, percebeu
que havia cometido um engano: contara 3 das moedas de 5 centavos como sendo de 50 centavos e 3
das moedas de 1 real como sendo de 10 centavos. Nessas condições, a quantia correta é igual à inicial
a) acrescida de R$ 1,35
b) diminuída de R$ 1,35
c) acrescida de R$ 1,65
d) diminuída de R$ 1,75
e) acrescida de R$ 1,75
47. Ao se exprimir 3/4 em forma de percentagem teremos:
a) 0,75%
b) 0,25%
c) 66,67%
d) 33% 
e) 75% 
48. Após serem efetuados os débitos de R$ 48,30, R$ 27,00 e R$ 106,50 e os créditos de R$ 200,00 e R$
350,00, o saldo da conta bancária de uma pessoa passou para R$1.040,90. Logo, antes dessas
operações, o saldo dessa conta era de:
a) R$ 309,70; 
b) R$ 672,70; 
c) R$ 731,70; 
d) R$ 1.409,70; 
e) R$ 1.772,70. 
49. As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade,
quando o relógio marcar 5 h da tarde?
a) 2 h 50 min
b) 3 h 48 min
c) 2 h 59 min
d) 4 h 58 min
e) 3 h 30 min
50. As características dos números 142 e 0,065 são, respectivamente: 
a) 2 e - 2
Página: 140 de 204
b) 2 e 2
c) -2 e -2
d) -2 e 2
51. As dimensões de um terreno retangular são: 80 metros de comprimento por 12 m de largura. Em um
outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a
mesma área, a largura do segundo terreno é, em metros ?
a) 9 
b) 10
c) 12
d) 15
e) 18
52. As idades de Roberto e Socorro somam 9 anos; a de Socorro e José 13 anos, a de José e Roberto 12
anos. Calcule a idade de Socorro:
a) 4 anos
b) 8 anos 
c) 7 anos
d) 9 anos
e) 5 anos
53. As medidas, em metros, dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x² e estão em
progressão geométrica, nessa ordem. O perímetro do triângulo, em metros, mede: 
a) 9 
b) 9,5
c) 19 
d) 28
e) 30 
54. As três parcelas integrantes do salário de um funcionário são proporcionais a 100, 30 e 20 e a soma
delas totaliza um salário de R$ 4.200,00. A diferença entre a maior e a menor parcela é:
a) R$ 840,00
b) R$ 1.680,00
c) R$ 1.880,00
d) R$ 2.180,00
e) R$ 2.240,00 
55. As vacas de determina fazenda estão distribuídas por três pastos; no segundo há 4 vezes o número
do primeiro e no terceiro há 3 vezes tantas como no segundo ou 70 mais do que no primeiro e no
segundo juntos. Quantas vacas há na fazenda?
a) 80
b) 140
c) 70
d) 170
e) 90
56. Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano , em 3 anos e 4 meses.
a) 650,00 
b) 700,00
c) 720,00
d) 750,00
e) 800,00
57. Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.
a) R$ 700,00 
b) R$ 650,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 720,00 
58. Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 mëses a 7% ao ano.
a) 13,75 
b) 13,86
c) 14,02
d) 14,50
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e) 12,75
59. Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% ao mês.
a) 125,00 
b) 127,00
c) 130,00
d) 135,00
e) 123,00
60. Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸
0,005).
a) 0,04
b) 0,06
c) 0,01
d) 0,05
e) 0,03
61. Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade da base.
a) 568 cm2 
b) 570 cm2 
c) 578 cm2 
d) 575 cm2 
e) 580 cm2 
62. Certo ano as taxas de inflação nos meses de maio, junho e julho foram de 15%, 12% e 20%,
respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de,
aproximadamente: 
a) 15,7%
b) 45,2%
c) 47%
d) 47,8%
e) 54,6%
63. Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziu R$ 720,00 de juro.
Qual o capital ?
a) 2.500,00 
b) 2.600,00
c) 2.650,00
d) 2.700,00
e) 2.750,00
64. Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias de trabalho. Quantas máquinas
serão necessárias para confeccionarem 2160 uniformes em 24 dias?
a) 13 máquinas
b) 11 máquinas
c) 19 máquinas
d) 17 máquinas
e) 12 máquinas
65. Com 32,40 m de tecido, um comerciante quer formar 20 retalhos de mesmo comprimento. Qual o
comprimento de cada retalho em centímetros?
a) 155 
b) 157
c) 165
d) 170
e) 162
66. Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos há serão necessários para
manter 360 cabeças?
a) 162 há
b) 172 há
c) 180 há
d) 165 há
e) 187 há
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67. Com os 3/7 e os 2/5 de meu dinheiro comprei um livro por R$ 29,00. Quanto possuía?
a) R$90,00
b) R$75,00
c) R$300,00
d) R$55,00
e) R$35,00
68. Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de
páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses
blocos?
a) 19.000 kg 
b) 18.750 kg 
c) 15.800kg 
d) 16.750 kg 
e) 15.650 kg 
69. Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2 gastam-se
uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual a porcentagem que corresponde a parte que se gasta
da segunda lata?
a) 35%
b) 24%
c) 44%
d) 43%
e) 46%
70. Comprei 120 livros a R$ 8,00 cada; vendi 80, perdendo R$ 2,00 em cada um, 3 20 ao preço de custo.
Por quanto devo vender cada um dos restantes, para não ganhar nem perder.
a) R$ 8,00
b) R$ 10,00
c) R$ 26,00
d) R$ 16,00 
e) R$ 20,00
71. Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restantes eram repetidas. Qual foi a
porcentagem de figurinhas repetidas?
a) 15%
b) 19%
c) 22%
d) 24%
e) 25%
72. Comprei um terno e um sapato por R$ 600,00. O terno custou o quádruplo do sapato. Qual o preço
do sapato?
a) R$ 180,00
b) R$ 150,00
c) R$ 120,00
d) R$ 240,00
e) R$ 80,00
73. Considere os números inteiros maiores que 64000 que possuem 5 algarismos, todos distintos, e que
não contém os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é:
a) 2160 
b) 1320
c) 1440 
d) 2280 
e) 2400
74. Cruzeiro e Atlético marcaram 54 gols num campeonato. Se o Cruzeiro marcou 8 gols a mais que o
Atlético, quantos gols marcou o Cruzeiro?
a) 30
b) 32
c) 35
d) 33
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e) 31
75. Dado o número 143 ª Determine o valor do algarismo "A", para que o número seja divisível por 3 e
por 5 ao mesmo tempo:
a) 0
b) 1
c) 5
d) 6
e) impossível
76. Das afirmativas abaixo: 1 - o número 1 é primo 2 - o número zero é primo 3 - o número 1 é composto
4 - o número 2 é primo
a) apenas uma é verdadeira; 
b) apenas duas são verdadeiras; 
c) apenas três são verdadeiras; 
d) todas são verdadeiras; 
e) todas são falsas. 
77. De quantas vezes fica aumentado o produto de dois números, se multiplicarmos o primeiro por 6 e
dividirmos o segundo por 3?
a) trinta
b) nove
c) dezoito
d) três
e) duas
78. De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, também,, duas filiais, uma
em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro
Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela
realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a
percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso igual a:
a) 35%
b) 60%
c) 21%
d) 14%
e) 40%
79. Dentro de um conceituado colégio, foram entrevistados, ao acaso, 380 estudantes e, desses, 2666
estavam muito descontentes com o novo diretor. Nessas condições, é muito provável que, dos 4.000
estudantes desse colégio, os descontentes sejam:
a) 1.500
b) 1.900
c) 2.600
d) 2.800
e) 3.100
80. Desejando limpar uma prateleira, a arrumadeira retirou de lá uma coleção de livros numerados de 1 a
9. Depois, ela recolocou aleatoriamente os livros na prateleira. É claro que ela pode tê-los colocado na
ordem normal, ou seja, 1, 2, 3 etc. No entanto, a chance de isso ocorrer é apenas uma em:
a) 16 660
b) 40 320
c) 362 880
d) 368 040
e) 406 036
81. Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 12m de comprimento por 7 de largura. Com uma
mistura de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qual é em m3, o volume da mistura usada nesse
revestimento? 
a) 2,80 m3
b) 3,52 m3
c) 2,32 m3
d) 2,52 m3
e) 1,52 m3
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82. Determinar a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente 40% no fim de 4
meses.
a) 7 %
b) 8 %
c) 9 %
d) 10 %
e) 11 %
83. Determine a área de um triângulo, sabendo que sua base mede 5 cm e sua altura mede 2,2 cm.
a) 5,9 m2
b) 6,5 m2
c) 4,5 m2
d) 5,7 m2
e) 5,5 m2
84. Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 6,45 m.
a) 42,50 m2
b) 41,60 m2
c) 42,00 m2
d) 45,50 m2
e) 43,50 m2
85. Determine a porcentagem.. 11,5% de 250: 
a) 25,,40 
b) 26,00
c) 28,75
d) 29,00
e) 28,50
86. Determine a porcentagem.. 12% de 275: 
a) 30
b) 28
c) 32
d) 33
e) 36
87. Determine a porcentagem.. 124% de 450: 
a) 49
b) 55
c) 56
d) 60
e) 61
88. Determine a porcentagem.. 15% de 150: 
a) 21,50
b) 22,50
c) 23,00
d) 21,00
e) 20,50
89. Determine a porcentagem.. 25% de 200: 
a) 50
b) 45
c) 65
d) 55
e) 43
90. Determine a porcentagem.. 38% de 389: 
a) 145,30 
b) 143,70
c) 144,00
d) 148,35
e) 147,82
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91. Determine a porcentagem.. 50% de 1200: 
a) 500 
b) 550
c) 600
d) 700
e) 650
92. Determine a porcentagem.. 75% de 345: 
a) 258,75
b) 258,50
c) 257,50
d) 259,00
e) 255,76
93. Determine dois números cuja soma é 110 e cuja diferença é 30.
a) 70 e 40
b) 60 e 40
c) 76 e 45
d) 67 e 40
94. Dispõe-se de 6 jogadores de voleibol, entre os quais o jogador A. Quantas duplas diferentes
podemos formar nas quais não apareça o jogador A?
a) 8 
b) 5 
c) 10 
d) 6 
e) 16
95. Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$
80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.
a) R$ 22.500,00; R$7.600,00
b) R$ 29.600,00; R$5.600,00
c) R$ 19.600,00; R$4.600,00
d) R$ 21.600,00; R$6.600,00
96. Distribuiu-se certa quantidade de bolas, cabendo a cada garoto 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas
2 bolas a cada um, poderíamos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria 1 bola. Quantas
bolas foram distribuídas?
a) 42
b) 39
c) 155 
d) 184
e) 105
97. Divida 153 em partes proporcionais a 2/3 e 3/4:
a) 52 e 101 
b) 64 e 89
c) 54 e 99
d) 76 e 77 
e) 72 e 81
98. Dividiu-se 880 bolas entre 4 pessoas, cabendo à segunda 1/3 da primeira; a esta 3/5 da quarta e a
esta 1/7 da terceira. Quanta recebeu a quarta pessoa?
a) 50
b) 80
c) 220
d) 100
e) 110
99. Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado
encontrado é 60. Qual é esse número?
a) O número procurado é 11 ou - 6 
b) O número procurado é 9 ou - 7 
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c) O número procurado é 10 ou - 6 
d) O número procurado é 11 ou - 4 
100. Dois automóveis partem em sentidos opostos das cidades "A" e "B", distantes entre si 360 km, às 8
horas da manhã e às 12 horas se encontram e mum ponto que dista 240 km de "B". A velocidade do que
partiu da cidade "A" foi de:
a) 30 km/h
b) 50 km/h
c) 40 km/h
d) 60 km/h
e) 70 km/h
101. Dois nadadores situados do mesmo lado de uma piscina retangular estão a 5m um do outro. Um
deles atravessa a piscina perpendicularmente e o outro, sob um ângulo de 60º com a borda da piscina.
Ambos atingem o mesmo ponto. Somando a distância que os dois nadaram, encontramos
a) 15,3m
b) 5(2 + 3)m
c) 5 + 3m
d) 15m
102. Dois números estão entre si como 5 para 3. Se o maior é 225, qual será o menor?
a) 155
b) 450
c) 375
d) 153
e) 135
103. Dois números somados valem 42. Sendo o número maior igual ao número menor aumentado de 8
unidades, calcule o número maior
a) 25
b) 22
c) 36
d) 30
e) 23
104. Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de
R$28000,00. O sócio "A" empregou R$ 9000,00 durante um ano e três meses e o sócio "B"empregou
R$15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio "A" foi de:
a) R$16.000,00 
b) R$12.000,00 
c) R$10.000,00 
d) R$20.000,00 
e) R$8.000,00
105. Dona Zizi comprou 2 balas para cada aluno de uma 5a série. Mas como os meninos andavam meio
barulhentos, ela resolveu redistribuir essas balas, dando 5 para cada menina e apenas 1 para cada
menino. Podemos concluir que na 5a série:
a) 20% são meninos 
b) 30% são meninas 
c) 75% são meninos 
d) 50% são meninas 
e) 66,6...% são meninos
106. Dos 1600 candidatos a um concurso, 32% são nascidos no interior do estado de Pernambuco,7,5%
em outros estados e os restantes são naturais do litoral de Pernambuco. O número de candidatos
nascidos no litoral é:
a) 968
b) 986
c) 993
d) 999
e) 1.204
107. Duas garotas realizam um serviço de datilografia. A mais experiente consegue fazê-lo em 2 horas, a
outra em 3 horas. Se dividirmos esse serviço de modo que as duas juntas possam fazê-lo no menor
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tempo possível, esse tempo será:
a) 1,5h 
b) 2,5h
c) 72min
d) 1h
e) 9,5min
108. Duas irmãs possuem 4 saias e 3 blusas. O número de maneiras distintas que elas podem se vestir
é: 
a) 12 
b) 24 
c) 72 
d) 144 
e) 144732 
109. Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3 000 e 1100 pares de
sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares
por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da
fábrica B superará a produção de A a partir de:
a) março. 
b) maio.
c) julho.
d) setembro.
e) novembro.
110. Duas pessoas A e B constituíram uma sociedade comercial, nas seguintes condições: A contribuiu
com 5/8 do valor do capital e B com o restante. Se um lucro de 12,8 milhões de cruzeiros deve ser
dividido entre eles, a parte que caberá a B é :
a) 5,8 milhões de cruzeiros
b) 5,2 milhões de cruzeiros
c) 4,8 milhões de cruzeiros 
d) 4,2 milhões de cruzeiros 
e) 4 milhões de cruzeiros 
111. Duas pessoas têm juntas 63 anos. Quantos anos tem a mais velha, se 2/5 de sua idade é igual a 2/4
da idade da mais nova?
a) 43 anos
b) 35 anos
c) 38 anos 
d) 22 anos 
e) 41 anos 
112. Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dos quais venceu 63. Qual a
porcentagem correspondente aos jogos vencidos?
a) 80%
b) 84%
c) 88%
d) 94%
e) 98%
113. Durante os feriados, 40% dos alunos de uma classe foram à praia, 25% para o interior e 14 não
saíram da cidade. Quantos alunos tem essa classe?
a) 38 alunos 
b) 45 alunos 
c) 35 alunos 
d) 40 alunos 
114. Durante quanto tempo Paulo terá que aplicar um certo capital à taxa de 8% ao ano, para que este
capital produza juros iguais a três quartos do seu valor?
a) 9 anos, 4 meses e 15 dias 
b) 9 anos, 6 meses e 8 dias 
c) 8 anos, 3 meses e 22 dias 
d) 8 anos, 6 meses e 18 dias 
e) 10 anos e 3 meses 
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115. É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5
m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará
durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?
a) 15 caixas
b) 17 caixas
c) 16 caixas
d) 13 caixas
e) 20 caixas
116. Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min
a) 260 d 18 h 25 min
b) 232 d 17 h 20 min
c) 272 d 10 h 20 min
d) 242 d 18 h 21 min
e) 240 d 12 h 10 min
117. Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 
a) 1º) 09,0839; 2º) 782,791
b) 1º) 14,0839; 2º) 462,791
c) 1º) 17,0839; 2º) 462,656
d) 1º) 10,0839; 2º) 442,791
118. Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0,012 2º) 1,2 x 0,021 x 4 
a) 1º) 0,0572; 2º) 0,1008;
b) 1º) 1,0572; 2º) 0,2008;
c) 1º) 0,0580; 2º) 0,3008;
d) 1º) 3,0572; 2º) 0,1108;
119. Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2,9456 2º) 1 - 0,34781 
a) 1º) 2,0844; 2º) 1,65219;
b) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;
c) 1º) 3,0444; 2º) 3,65219;
d) 1º) 1,0744; 2º) 3,65679;
120. Eliane tinha um certo número de livros. Emprestou 1/3. Recebeu 120 exemplares e ficou com o
dobro do que possuía antes. Quantos livros possuía inicialmente?
a) 40
b) 100
c) 50
d) 80
e) 90
121. Em 1985, Pedro tinha o dobro da sua idade em 1953. Em que ano nasceu Pedro ?
a) 1921
b) 1927
c) 1931
d) 1933
e) 1934
122. Em 1985, Pedro tinha o dobro da sua idade em 1953. Em que ano nasceu Pedro ?
a) 1921
b) 1927 
c) 1931 
d) 1933 
e) 1934
123. Em 3 dias, 72 000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8
horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em
quantos dias serão embalados 108 000 bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
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e) 5
124. Em certa escola há 70 professores, contando-se aí homens e mulheres. Se a metade do número de
mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?
a) 10 homens e 50 mulheres
b) 13 homens e 65 mulheres
c) 12 homens e 60 mulheres
d) 10 homens e 60 mulheres
125. Em certo jogo de futebol uma entrada para arquibancada custava R$ 1,00 e para cadeira numerada
custava R$ 3,00. O jogo foi visto por 1575 pessoas e deu renda de R$ 2695,00. Quantas pessoas usaram
a arquibancada?
a) 1 015 pessoas
b) 1 030 pessoas
c) 1 035 pessoas
d) 1 040 pessoas
126. Em certo trimestre as cadernetas de poupança rederam 2,1% de correção monetária. Paulo deixou
R$ 1000,00 depositados durante três meses. Quanto tinha no fim do trimestre.
a) 1.021 reais
b) 1.025 reais
c) 1.020 reais
d) 1.019 reais 
e) 1.022 reais
127. Em dois mercados, as condições de equilíbrio de manteiga e margarina, onde P é o preço da
manteiga, e M é o preço da margarina, são dadas pelas equações abaixo: 8P - 3M=7 -P + 7M = 19 Os
preços da manteiga e da margarina que levarão o modelo ao equilíbrio são respectivamente:
a) 3 e 2 
b) 2 e3 
c) 4 e 3 
d) 3 e 4 
e) 4 e 2 
128. Em um colégio 38% dos alunos são meninos e as meninas são 155. Quantos alunos têm esse
colégio?
a) 220 alunos
b) 240 alunos
c) 210 alunos
d) 205 alunos
e) 190 alunos
129. Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse número representa 56% do
número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunos estudam ao todo nesse colégio?
a) 2.800
b) 2.500
c) 3.200
d) 2.900
e) 3.500
130. Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e
ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando?
a) 39.000
b) 40.000
c) 43.000
d) 45.000
e) 47.000
131. Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quais acertou 65%. Quantos
lances livres acertou?
a) 9
b) 10
c) 12
d) 13
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e) 17
132. Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um
coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n)= (3+12/n) minutos. Com
relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa
c) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa
d) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos
e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos
133. Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância real entre as
cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?
a) 1:9.000.000 
b) 1:14.000.000 
c) 1:11.000.000 
d) 1:15.000.000 
e) 1:10.000.000 
134. Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos
por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que
ele acertou foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
135. Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres, Se, do total de homens, 80% não
são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência
que são homens ou fumantes é:
a) 43
b) 42
c) 45
d) 49
e) 48
136. Em uma Assembléia de 25 petroleiros, em que quatro deles são mulheres, a quantidade de
comissões distintas, de três membros cada, que podem ser formadas com pelo menos uma mulher é
igual a:
a) 900
b) 970
c) 1.330
d) 1.500
e) 2.300
137. Em uma cesta há laranjase limões, sendo o número de limões os 3/4 do número de laranjas,
tirando-se 5 laranjas, ficam na cesta tantas laranjas quanto limões. Quantas laranjas e quantos limões
há na cesta?
a) 19 e 18
b) 21 e 15
c) 22 e 25
d) 20 e 15
138. Em uma classe existem menos de 35 alunos. Se o professor de Educação Física, resolve formar
grupos de 6 em 6 , ou de 10 em 10, ou ainda de 15 em 15 anos, sobre sempre um aluno. O número de
alunos da classe é:
a) 33
b) 31
c) 28
d) 26 
e) 24
139. Em uma escola, o aluno deve obter média 6,0 em cada disciplina para ser aprovado. Essa média é
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calculada dividindo-se o total de pontos que ele obteve nos quatro bimestres, por quatro. Portanto, o
aluno que não totalizar 24 pontos nos 4 bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele deverá
obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a sua média anual, para ser aprovado. As notas de Geografia
de um certo aluno foram: 1º bimestre: 5,0 2º bimestre: 6,0 3º bimestre: 2,0 4º bimestre: 5,0 Logo, a nota
mínima que esse aluno deverá obter na prova final de Geografia é: 
a) 4,5; 
b) 5,0; 
c) 5,5; 
d) 6,0; 
e) 6,5. 
140. Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216. Quantos são no total os
operários dessa fábrica?
a) 200
b) 450
c) 500
d) 800
e) 300
141. Em uma festa, formou-se uma enorme mesa retangular, justapondo-se, em fila, várias mesinhas
quadradas de 4 lugares, o que permitiu alojar 44 convidados. Com o dobro do número de mesinhas,
haveria lugar para até quantos convidados ?
a) 80
b) 82
c) 84
d) 86
e) 88
142. Em uma padaria compra-se 1 bisnaga e 1 litro de leite por R$ 1,50 e 2 bisnagas e 3 litros de leite por
R$ 3,90. Então, 2 bisnagas e 1 litro de leite custarão: 
a) R$ 2,10; 
b) R$ 2,20; 
c) R$ 2,30; 
d) R$ 2,40; 
e) R$ 2,50. 
143. Em uma turma que se submeteu a exames, 12 candidatos foram reprovados, ou seja, 15%. Quantos
fizeram os exames?
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
144. Em uma turma que se submeteu a exames, 12 candidatos foram reprovados, ou seja, 15%. Quantos
fizeram os exames?
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
145. Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem .
a) 37,5
b) 30,5
c) 47,5
d) 39,6
e) 27,4
146. Eu tenho 37 anos e minha irmão tem 7. Daqui a quantos anos minha idade será o triplo da de minha
irmã?
a) 15 anos
b) 5 anos
c) 11 anos
d) 8 anos
e) 21 anos
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147. Exprimir 51% na forma decimal.
a) 0,51
b) 0,051
c) 51
d) 0,0051
e) 0,510
148. Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
a) 7 me e 20 d
b) 6 me e 10 d
c) 10 me e 20 d
d) 8 me e 15 d
e) 9 me e 20 d
149. Gastei 2/7 do meu dinheiro em frutas, 1/5 em mantimentos, 3/7 e, roupas e voltei com R$90,00.
Quanto possuía?
a) R$1.050,00
b) R$1.090,00
c) R$1.100,00
d) R$1.000,00
e) R$1.150,00
150. Hoje, A e B estão de folga do trabalho. Sabendo-se que A tem folga de 6 em 6 dias e B, de 4 em 4
dias e que a folga dos dois coincide sempre a cada x dias, pode-se concluir que o valor de x é:
a) 4 
b) 6 
c) 10
d) 12
e) 24 
151. Iza tem hoje 14 anos e Márcia 4 anos. Daqui a quantos anos a idade de Iza será o dobro da idade de
Márcia?
a) 4 anos
b) 6 anos
c) 7 anos
d) 8 anos
152. João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000, incluindo o
Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI). Sabendo=-se que a alíquota do imposto é de 15% "ad
valorem", o valor do imposto foi de:
a) R$ 45.000
b) R$ 48.000
c) R$ 46.000
d) R$ 42.000
e) R$ 40.000
153. João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20 s
por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram uma
diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Em que dia e hora
eles se encontraram?
a) Em 12/03 à meia noite.
b) Em 13/03 ao meio dia.
c) Em 14/03 às 14 h.
d) Em 14/03 às 22 h.
e) Em 15/03 às 2 h.
154. João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em
alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: 
a) R$ 1.200,00
b) R$ 1.500,00
c) R$ 1.800,00
d) R$ 2.100,00
e) R$ 2.400,00
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155. João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ele tenha
comprado o produto por R$ 264.000, o preço de venda foi de:
a) R$ 242.000
b) R$ 245.000
c) R$ 238.000 
d) R$ 240.000
e) R$ 250.000
156. Joaquim emprestou para o seu amigo um capital de R$ 400,00, cobrando juro simples, à taxa de 5%
ao mês. O amigo de Joaquim, após 4 meses, pagou-lhe a dívida no valor de:
a) R$ 440,00
b) R$ 450,00
c) R$ 460,00
d) R$ 470,00
e) R$ 480,00 
157. José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo", mas não tem certeza se o mesmo está
sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não
em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então o filme
não está sendo exibido. Ora, ou filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou José, não irá ao
cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:
a) Luís e Júlio não estão enganados.
b) Júlio está enganado, mas não Luís
c) Luís está enganado, mas não Júlio
d) o filme, "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
e) José não irá ao cinema
158. José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a
primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2%
ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o
mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:
a) 9.739,65
b) 9.729,65
c) 9.709,65
d) 9.719,65
e) 9.749,65
159. José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a
primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2%
ao mês, o valor atual, em reais, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o
mesmo valor que irá receber no parcelamento, é de:
a) 9.709,65
b) 9.719,65
c) 9.729,65
d) 9.739,65
e) 9.749,65
160. Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de feijão. Quanto pagará por 8,5 kg?
a) R$ 4,50 
b) R$ 5,95
c) R$ 5,90
d) R$ 6,20
e) R$ 6,10 
161. Luís obteve as seguintes notas mensais: Meses Português Matemática abril 20 75 maio 90 80 junho
80 80 agosto 95 65 setembro 95 80 outubro 70 70. Comparando as notas das duas disciplinas, Luís
obteve em Português:
a) média mais baixo;
b) média mais alta;
c) mediana mais alta;
d) mediana mais baixa.
162. Máquina produz 2/6 metros em 3/11 do minuto. Quantos metros produzirá em 9 minutos?
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a) 140m 
b) 120m 
c) 100 m
d) 11m
e) 13m
163. Meio litro de suco de laranja é vendido por R$ 1,20, enquanto 0,25 litro de suco de tangerina custa
R$ 0,70. A diferença entre os preços de um litro de cada tipo de suco, em reais, é de:
a) 0,20
b) 0,40
c) 0,50
d) 0,70
e) 0,80
164. Na cidade de Coimbra 6% dos habitantes são analfabetos. Os habitantes que sabem ler são 14 100
pessoas. Quantos indivíduos moram nesta cidade?
a) 12.000
b) 13.000
c) 18.000
d) 17.000
e) 15.000
165. Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$ 7.650,00 pelo objeto.
Nessas condições qual era o preço original desse objeto?
a) 9.000
b) 9.900
c) 10.000
d) 10.500
e) 10.700
166. Na minha sala de aula, o piso é coberto com pisos sintéticos que medem 30 cm x 30 cm. Contei 21
lajotas paralelamente a uma parede e 24 pisos na direção perpendicular. Qual a área dessa sala?
a) 45,36 m2
b) 44,36 m2
c) 45,30 m2
d) 45,00 m2
e) 46,36 m2 
167. Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12 cm de comprimento.
Ao construir o apartamento, a sala ficou com um largurade 7,5 m. A media do comprimento dessa sala
é:
a) 5,6 
b) 10,0 m 
c) 11,0 m
d) 9,0 m
e) 8,6 m 
168. Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o preço de custo.
Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda é: 
a) 1/5; 
b) 2/5; 
c) 2/3; 
d) 3/4; 
e) 5/6. 
169. Naira teve um reajuste salarial de 41%, passando a ganhar R$ 4 089,00. Qual era o salário antes do
reajuste?
a) 1.850 reais 
b) 2.700 reais
c) 3.100 reais
d) 2.900 reais
e) 2.750 reais
170. Nas receitas culinárias é comum aparecer "1/3 de xícara de chá". Sabendo-se que essa medida
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corresponde a 80 gramas de certa farinha, ¾ de xícara de chá corresponderão a uma quantidade de
farinha igual a:
a) 180 gramas
b) 170 gramas
c) 160 gramas
d) 150 gramas
e) 140 gramas
171. Nélson é 21 anos mais velho que seu filho e 42 anos mais velho que seu neto. A soma de sua idade
com a do seu neto é de 74 anos. Qual a idade do filho?
a) 35
b) 37
c) 38
d) 40
172. Nilson decidiu compra um sítio e vai dar como entrada 25% do preço total, que corresponde a R$ 25
000,00. Qual o preço do sítio.
a) 150,00
b) 125,00
c) 95,00
d) 100,00
e) 98,00
173. No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?
a) 39 unidades de tempo
b) 40 unidades de tempo
c) 49 unidades de tempo
d) 55 unidades de tempo
174. Num almoxarifado podemos armazenar 1.000 caixas de 90 cm de comprimento , 40 cm de largura e
30 cm de altura. Quantas caixas de 1 m de comprimento, 50 cm de largura e 60 cm de altura podemos
armazenar nesse mesmo almoxarifado ?
a) 277
b) 36.000
c) 540
d) 2.770
e) 360
175. Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, o valor do prêmio é
R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundo uma P.G., qual é o valor do prêmio na
última rodada, se na 5ª. rodada ele for de R$10 125,00?
a) R$ 75 786,72
b) R$ 76 886,72
c) R$ 73 776,72
d) R$ 79 446,62
176. Num certo dia, 87, 5% dos funcionários de uma Agencia Bancária compareceram ao serviço,
enquanto que quatro faltaram. Supondo que não houve contratações e nem demissões, o número de
funcionários da Agência é:
a) 21
b) 35
c) 43
d) 45
e) 32
177. Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninos
corresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.
a) 216 
b) 210 
c) 220 
d) 215 
e) 218 
178. Num mapa, cuja escala é 1:5.000.000, a distância entre as cidades do Rio de Janeiro e Juiz de Fora
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é de 3,7 cm. A distância real entre as duas cidades é, aproximadamente de:
a) 155 km
b) 185 km
c) 1.550 km
d) 1.850 km
e) 18.500 km
179. Num pacote há 51 balas e pirulitos. O número de balas é igual ao número de pirulitos, aumentado
de 7 unidades. Determine o número da balas.
a) 38
b) 28
c) 30
d) 29
e) 25
180. Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas dez
músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis seqüências dessas músicas
serão necessários aproximadamente:
a) 10 dias 
b) Um século 
c) 10 anos 
d) 100 séculos
e) 10 séculos 
181. Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a
diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?
a) 2 a 10me 10d 
b) 1 a 2me 14d 
c) 1 a 7me 14d 
d) 2 a 9me 10d 
e) 1 a 10me 14d 
182. Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militar da cidade convocou,
para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12 no 3º., e assim por diante. Quantos jovens
ainda devem ser convocados para o exame após o 10º. dia de convocações?
a) 31
b) 34
c) 36
d) 37
183. Numa fazenda existem patos e porcos, num total de 22 cabeças e 58 pés. Determine o números de
patos que existem nesta fazenda.
a) 13 patos
b) 15 patos
c) 16 patos
d) 18 patos
184. Numa loja há um desconto de 15% no valor de qualquer prestação paga com 15 dias de
antecedência do seu vencimento. Nestas condições, uma prestação no valor de R$ 52.000,00, com
vencimento em 30/01/92, se for paga em 15/01/92, poderá ser paga com a quantia de:
a) R$ 38.800,00
b) R$ 41.500,00
c) R$ 42.800,00
d) R$ 44.200,00
e) R$ 45.500,00
185. Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia, 5 pessoas ficam
sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no 10º. dia?
a) 98 415
b) 99 315
c) 100 415
d) 96 320
186. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um
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carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas
terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida?
a) 6 
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
187. Numa sacola estão bolas numeradas de 1 a 20 . Qual a chance em percentagem de uma pessoa tirar
uma bola numerada com um número primo ?
a) 15% 
b) 30% 
c) 40% 
d) 55%
e) 65%
188. Numa sacola estão bolas numeradas de 1 a 20. Qual a chance em percentagem de uma pessoa tirar
uma bola numerada com um número primo?
a) 15% 
b) 30% 
c) 40%
d) 55%
e) 65% 
189. Numa sacola há tomates e batatas. O número de tomates é igual ao número de batatas, diminuído
de 6 unidades. Qual é o número de tomates?
a) 12
b) 15
c) 14
d) 17
e) 11
190. Numa sala quadrada, foram gastos 24,80 m de rodapé de madeira. Essa sala tem apenas uma porta
de 1,20 m de largura. Considerando que não foi colocado rodapé na largura da porta, calcule a medida
de cada lado dessa sala.
a) 6,3 m
b) 5,0 m
c) 7,2 m
d) 6,0 m
e) 6,5 m
191. Numa seção de uma repartição pública trabalham 20 atendentes judiciários a menos que o número
de auxiliares judiciários. Se o número de auxiliares corresponde a ¾ do número total de funcionários
dessa seção, o número de atendentes é ?
a) 10 
b) 15
c) 18
d) 20
e) 22
192. Numa seção do TJ trabalham 32 funcionários dando atendimento ao público. A razão entre o
número de homens e o número de mulheres, nessa ordem, é de 3 para 5. É correto afirmar que, nessa
seção, o atendimento é dado por ?
a) 20 homens e 12 mulheres 
b) 18 homens e 14 mulheres 
c) 16 homens e 16 mulheres
d) 12 homens e 20 mulheres
e) 10 homens e 22 mulheres 
193. Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor 18cm. Qual o número
de rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 no mesmo tempo?
a) 65 rotações
b) 70 rotações
c) 85 rotações
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d) 75 rotações
e) 90 rotações
194. O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro. Durante quanto tempo
esteve empregado ?
a) 1 ano 
b) 1 ano e 3 meses
c) 1 ano e 6 meses
d) 1 ano e 8 meses
e) 1 ano e 2 meses
195. O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00 de juro. Durante
quanto tempo esteve empregado ?
a) 1 ano 3 meses e 2 dias 
b) 1 ano 4 meses e 6 dias
c) 1 ano 6 meses 
d) 1 ano 4 meses e 20 dias
e) 1 ano 5 meses e 20 dias
196. O estacionamento de certa agência bancária, de formato retangular, tem 25 m de comprimento.
Para cimentá-lo foram gastos R$ 675.000,00, à razão de R$ 1.500,00 o metro quadrado. A largura desse
estacionamento, em metros,
a) 28
b) 25
c) 22
d) 20
e) 18
197. O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B
trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito?
a) 2 horas e 7 minutos.
b) 2 horas e 5 minutos.
c) 1 hora e 57 minutos.
d) 1 hora e 43 minutos.
e) 1 hora e 36 minutos.
198. O IBGE contratou um certo número de entrevistados para realizar o recenseamento em uma cidade.
Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriamvisitadas. Como, no entanto, todas
as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?
a) 3060
b) 30
c) 2860
d) 3600
e) 2060
199. O número de múltiplos de 11 entre 50 e 200 é: 
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
200. O operário A pode fazer um trabalho em 15 dias e o operário B, que é mais eficiente pode executar
o mesmo trabalho em 10 dias. Os dois trabalhando juntos poderão realizar o mesmo trabalho, em
quantos dias?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
201. O perímetro de um retângulo mede 234 metros. Calcular sua área, sabendo-se que as medidas (em
metros) das duas dimensões (comprimento e largura) são dois números consecutivos.
a) 3410 m² 
b) 3390 m² 
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c) 3422 m² 
d) 3430 m² 
202. O perímetro de um triângulo eqüilátero corresponde a 5/6 do perímetro de um quadrado que tem 9
cm de lado. Qual é a medida, em metros, do lado desse triângulo eqüilátero?
a) 10 m
b) 8 m
c) 7 m
d) 11 m
e) 9 m
203. O perímetro de um triângulo mede 12 cm. Se as medidas dos lados são números consecutivos,
calcule a medida do lado maior.
a) 1,5 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 5 cm 
204. O preço de um artigo em promoção sofreu um desconto de 20%. Terminada a promoção, foi
aumentado em 20%. Seu preço atual é:
a) igual ao inicial 
b) 98% do inicial
c) 96% do inicial
d) 94% do inicial
e) 92% do inicial
205. O produto de dois números é 154. Somando-se 4 unidades a um deles, o produto passa a ser igual
a 198. Qual o número menor?
a) 88
b) 4
c) 44
d) 132
e) 11
206. O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104. Qual é a idade de
Reinivaldo?
a) 9 anos
b) 10 anos
c) 11 anos
d) 13 anos
207. O salário de uma pessoa era, em setembro de 1998, R$ 12.000,00 e em dezembro de 1998, R$
13.886,46. Sabe-se que as taxas de reajustes aplicadas ao seu salário em outubro e novembro foram
respectivamente de 5% e 3%. Qual foi a taxa de reajuste relativa ao mês de dezembro?
a) 7% 
b) 8%
c) 10%
d) 9%
e) 11%
208. O salário mensal de um funcionário é calculado considerando-se o mês com 30 dias e cada dia com
6 horas de trabalho. Recebendo R$ 1.200,00 por hora de trabalho, se trabalhar apenas 5/8 de um mês
deixará de receber.
a) 18.000,00
b) 36.000,00
c) 54.000,00
d) 76.000,00
e) 81.000,00
209. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$2.300,00 e mais uma
comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de
descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor
recebeu, líquido, respectivamente, R$4.500,00 e R$5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas
vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:
Página: 160 de 204
a) 30%
b) 20%
c) 33
d) 41%
e) 18%
210. O terreno de uma escola é retangular, com 100 m de comprimento por 65 m de largura. Em todo o
contorno desse terreno será plantada árvores distantes 1,50 m uma da outra. Quantas árvores serão
necessárias?
a) 210
b) 220
c) 215
d) 230
e) 225
211. O volume de 0,7m3 de uma solução líquida deve ser distribuído em ampolas cujo volume máximo é
de 250 cm3. Quantas ampolas serão usadas?
a) 1800 ampolas
b) 2800 ampolas
c) 2200 ampolas
d) 2500 ampolas
e) 1900 ampolas
212. O volume inicial de um tanque é 1m3 de ar. Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 100dm3 de
ar desse tanque. Após o 7º golpe da bomba, quantos m3 de gás permanecem no tanque?
a) 0,1 m3
b) 0,6 m3
c) 0,2 m3
d) 0,3 m3
e) 0,7 m3
213. Os 2/3 da idade de Pedro são iguais a 24 anos e a idade de Paulo é igual aos 4/9 da de Pedro.
Calcular a idade de Paulo.
a) 32
b) 96
c) 16
d) 48
e) 60
214. Os 2/5 da capacidade de um tanque correspondem a 500 litros. Qual será a capacidade de 3/8 do
mesmo tanque?
a) 200 lit.
b) 25 lit.
c) 600/8 lit
d) 468 3/4 lit.
e) 70 lit.
215. Os 4/5 mais os 3/4 de 2/3 de um número excedem em 270 ao número. Qual o número?
a) 123
b) 540
c) 810
d) 48
e) 900
216. Os 5/6 mais 2/5 somados a 1/3 de um número equivalem a mais 34 unidades deste. Qual o número?
a) 62
b) 72
c) 42
d) 60
e) 272
217. Os carros de Artur, Bernardo, e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma
Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Bernardo não
é verde e não é a Brasília. As cores de Brasília, da Parati e do Santana são respectivamente:
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a) azul, verde e cinza
b) cinza, azul e verde
c) azul, cinza e verde 
d) cinza, verde e azul
e) verde, azul e cinza
218. Os dados publicados pela revista Veja de 12/04/2000 mostram que de cada 100 pessoas com o
ensino médio, apenas 54 conseguem emprego. Se num determinado grupo de 3000 pessoas, 25% têm
ensino médio, o número provável de pessoas do grupo, com ensino médio que, de acordo com os
dados da pesquisa irão conseguir emprego é:
a) 375 
b) 405 
c) 450
d) 750 
e) 1620
219. Os rendimentos mensais de quatro indivíduos são: R$ 200,00, R$ 230,00, R$ 250,00 e R$ 970,00.
Sobre a média aritmética destes rendimentos pode-se afirmar que:
a) é mais representativa que a mediana da série.
b) é uma medida bastante representativa dos valores dados;
c) é uma medida típica dos valores dados;
d) não é uma medida representativa dos valores dados pois está afetada pelo valor extremo R$ 970,00;
220. Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras)
excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras?
a) 200 reais 
b) 150 reais 
c) 225 reais 
d) 175 reais 
e) 180 reais
221. Para abrir uma valeta de 50 m de comprimento e 2 m de profundidade, 10 operários levam 6 dias.
Quantos dias são necessários para abrir 80m de valeta com 3 m de profundidade, dispondo de 16
operários?
a) 8 dias 
b) 9 dias 
c) 10 dias 
d) 11 dias 
e) 7 dias 
222. Para alimentar 50 porcos durante 15 dias são necessários 90kg de ração. Quantos porcos são
possíveis alimentar por 20 dias com 117 kg de ração?
a) 45 
b) 43
c) 50
d) 39
e) 48 
223. Para arrumar 120 salas, 2 pessoas gastam 5 dias. Se precisamos que as salas sejam arrumadas em
um único dia, será necessário contratar mais n pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das duas
iniciais. O valor de n é: 
a) 6; 
b) 8; 
c) 11; 
d) 13; 
e) 14
224. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura, 100
operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses e meio. Aumentando de 40 o número de
operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, pergunta-se: em quanto tempo os operários
construíram um segundo canal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e
largura duplas da do primeiro?
a) 3 meses
b) 5 meses
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c) 7 meses
d) 9 meses
e) 10 meses
225. Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm de comprimento por 3cm de
largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por 7,5cm de largura são necessários para um piso
cuja superfície é dupla da anterior?
a) 75 tacos
b) 70 tacos
c) 80 tacos
d) 85 tacos
e) 95 tacos
226. Para o plantio de laranja em todo o contorno de um terreno retangular de 42 m x 23 m. Se entre os
pés de laranjas a distância é de 2,60 m, quantos pés de laranjas foram plantados?
a) 45
b) 55
c) 48
d) 50
e) 53
227. Para produzir mil livros de 240 páginas, uma editora consome 360 kg de papel. Quantos livros de
320 páginas é possível fazer com 720 kg de papel?
a) 1.350
b) 1 500 
c) 1.550
d) 1.600
e) 1.650
228. Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã. Quantos metros serão
tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?
a) 28,75 metros
b) 28,15 metros
c) 40,75 metros
d) 53,65 metros
e) 38,75 metros
229. Passadas 170 horas das 14 horas de umasegunda -feira estaremos em ?
a) um domingo às 10 horas
b) uma outra segunda-feira às 16 horas 
c) uma outra segunda - feira às 18 horas
d) uma terça - feira às 2 horas 
e) uma Terça - feira às 8 horas.
230. Paulo participou de um concurso público que tinha 20 questões em cada questão que acertava
ganhava 5 pontos e em cada questão que errava perdia 2 pontos. Ao terminar a prova havia conseguido
65 pontos. Quantas questões acertou?
a) 14 
b) 13 
c) 15 
d) 16 
231. Paulo recebeu a noticia de que o aluguel da casa onde mora vai passar de 154 reais para 215,60
reais. De quanto será o percentual de aumento que o aluguel vai sofre. 
a) 40%
b) 35%
c) 32%
d) 42%
e) 41%
232. Paulo tem o triplo da idade de André. A soma das idades é 44 anos. Determine a idade de André
a) 10 
b) 11
c) 14
Página: 163 de 204
d) 13
e) 9
233. Paulo tem o triplo da idade de Júlia. Encontre a idade de Paulo, sendo de 26 anos a diferença de
idade entre Paulo e Júlia.
a) 40
b) 38
c) 37
d) 39
e) 41
234. Pedro e Daniel foram à papelaria comprar lápis e cadernos. Pedro gastou R$ 4,40 ao comprar 1
caderno e 3 lápis, enquanto Daniel, que comprou 4 lápis e 2 cadernos, gastou R$ 8,20. O preço de cada
lápis, em reais, corresponde a:
a) 0,30
b) 0,60
c) 0,94
d) 1,58
e) 3,50
235. Perdi 2/9 do meu dinheiro, gastei 1/5 do resto e com a importância restante quis comprar 15 metros
de fazenda a R$650,00 o metro verifiquei que me faltavam R$510,00. Qual o dinheiro inicial?
a) R$1.160,00
b) R$9.240,00
c) R$10.260,00
d) R$14.850,00
e) R$14.000,00
236. Por 3/5 de uma coleção pague mais R$ 1.800,00 do que se comprasse 3/7. Quanto pagaria por toda
a coleção?
a) R$ 10.800,00
b) R$ 10.000,00
c) R$ 11.200,00
d) nda
237. Por qual número se deve dividir 16.119 para diminuí-lo em 14.328?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 9
e) 8
238. Por qual número se deve multiplicar 5/4 para que se obtenha 2 1/2?
a) 3/4
b) 2
c) 5
d) 2 5/8
e) 1 1/3
239. Por qual o número se deve multiplicar 534 par aumentá-lo em 3.738?
a) 4
b) 9
c) 10
d) 12
e) 8
240. Por quanto deve vender os rádios que comprei a R$ 60,00 cada para ganhar em 15 o preço de
compra de 5?
a) R$ 90,00
b) R$ 160,00
c) R$ 70,00
d) R$ 110,00
e) R$ 80,00
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241. Por quanto José deve dividir + 13 para obter -1/2 ?
a) - 6,5 
b) - 26
c) + 6,5
d) - 13
e) - 2 
242. Possuía R$9.000,00. Perdi 3/5 e emprestei 5/6 do restante. Quanto me restou?
a) R$6.000,00
b) R$600,00
c) 1.000,00
d) R$540,00
e) R$5.400,00
243. Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2
000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao
trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de:
a) R$ 5 320,00
b) R$ 5 480,00
c) R$ 5 620,00
d) R$ 5 680,00
e) R$ 5 720,00
244. Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60 dias produziu o
montante de R$ 24.997,50 ?
a) 5,0 % 
b) 3,9 %
c) 4,9 %
d) 5,5 %
e) 6.0 %
245. Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado por um
comprimento de 5cm?
a) 1:00
b) 1:10
c) 1:40
d) 1:60
e) 1:50
246. Qual é a taxa anual de juro simples que faz um capital de R$ 1.000.000,00 produzir um montante de
R$ 1.120.000,0 em 3 meses ?
a) 12%
b) 18%
c) 24%
d) 36%
e) 48%
247. Qual é o menor número que dividido por 6, 10 e 15 deixa sempre resto 1?
a) 137 
b) 149 
c) 16 
d) 713 
e) 31
248. Qual é o número que aumentado de seus 2/5 e diminuído de seus 3/7 equivale a 102?
a) 52
b) 51
c) 105
d) 102
e) 87
249. Qual é o número que tem 27 de diferença entre 2/5 e seus 3/9?
a) 17
b) 405
Página: 165 de 204
c) 23
d) 27 6/54
e) 142
250. Qual o capital que colocado a 6% , produz um montante de R$ 100.000,00 no fim de 15 anos ?
a) 52.631,58 
b) 52.634,23
c) 51.990,00
d) 53.100,00
e) 52.730,00
251. Qual o capital que, aplicado à taxa de juros de 18% ao ano , rende R$ 7,00 por dia ?
a) R$ 8.000,00.
b) R$ 12.000,00.
c) R$ 15.000,00.
d) R$ 14.000,00
e) R$ 11.000,00. 
252. Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?
a) R$ 2.500,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.900,00
d) R$ 2.300,00
253. Qual o máximo divisor comum (M.D.C.) entre 72, 84 e 216?
a) 12
b) 24
c) 6
d) 3
254. Qual o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) entre 10, 25 e 30?
a) 100
b) 90
c) 150
d) 120
255. Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5% ?
a) 153.000,00
b) 155.000,00
c) 160.000,00
d) 158.000,00
e) 149.000,00
256. Qual o número cujos 18% valem 108?
a) 630
b) 600
c) 700
d) 620
e) 710
257. Qual o número cujos 43% valem 374,1?
a) 670
b) 770
c) 850
d) 990
e) 870
258. Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?
a) 400 
b) 270 
c) 390 
d) 360 
e) 460 
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259. Qual o número que multiplicado por 3, adicionadas ao produto quatro unidades e dividida a soma
obtida por 5 dá como resultado 8?
a) 4
b) 29
c) 7
d) 15
e) 12
260. Qual o número que, somado com seu triplo e mais 6 unidades, dá 26?
a) 44
b) 8
c) 32
d) 20
e) 5
261. Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homens nas mesmas
condições executam em 9 dias?
a) 2 dias
b) 3 dias
c) 5 dias
d) 7 dias
e) 6 dias
262. Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a juro simples e à taxa de 40% ao
bimestre, triplique o seu valor ?
a) 10 meses
b) 1 ano
c) 1 ano e 2 meses
d) 1 ano e 4 meses
e) 1 ano e 6 meses
263. Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobre de valor ?
a) 21 anos 
b) 15 anos
c) 18 anos
d) 17 anos
e) 20 anos
264. Quantas são as maneiras que um professor pode escolher um ou mais estudantes de um grupo de
seis estudantes?
a) 72
b) 70
c) 65
d) 64
e) 63
265. Quanto rende de juro um capital de R$26.000,00, empregado à taxa de 7,5% ao mês durante 1 ano e
4 meses?
a) R$1.950,00 
b) R$195,00 
c) R$19.500,00 
d) R$31.200,00 
e) R$24.780,00 
266. Quantos cm³ existem em 10 litros?
a) 10
b) 100
c) 1.000
d) 10.000
e) 100.000
267. Quantos ha tem um sítio de terreno retangular com 3.200 m de largura por 1.800 m de
comprimento?
a) 5,76 
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b) 56,7 
c) 57,6
d) 576 
e) 5760 
268. Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que
mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura?
a) 7,00m2
b) 6,95m2
c) 6,75m2
d) 6,80m2
e) 6,90m2
269. Quantos múltiplos de 7 existem entre 12 e 864?
a) 102
b) 92
c) 112
d) 82
e) 122
270. Quatro cães consomem semanalmente 60 kl de ração. Assim, ao aumentarmos o números de cães
em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o mês de 30 dias, será de:
a) 450
b) 350
c) 400
d) 500
e) 550
271. Quatro pessoas têm direito à participação de 20% na renda de um evento, sendo que a primeira
pessoa tem direito ao dobro de participação de cada uma das outras três, que têm a mesma
participação. Qual é a participação da primeira pessoa na renda do evento?
a) 2%
b) 4%
c) 5%
d) 6%
e) 8%
272. Que abatimento terei se pagar antes da data de vencimento a promissória de R$ 456,00 e ganhar
um desconto de 3,9% ?
a) R$ 0,1778 
b) R$ 1,778
c) R$ 17,784
d) R$ 15,484
e) R$ 1,548
273. Que capital aplicado à taxa de 8% ao ano no período de 3 anos e 4 meses , produz R$ 7.200,00 de
juros ?
a) R$ 35.000,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 3.500,00 
d) R$270.000,00 
e) R$ 18.550,00 
274. Que número se deve tirar do denominador da fração 5/18 para torná-la três vezes maior?
a) 9
b) 2
c) 11
d) 13
e) 12
275. Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ?
a) 1,2,3,4
b) 1,3,4,6
c) 2,5,6,7
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d) 2,3,4,5
e) 4,3,2,1
276. Receber juros de 525% ao ano é equivalente a receber juros semestraisde:
a) 150,0%
b) 175,0%
c) 218,5%
d) 206,25%
e) 262,5%
277. Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado
por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi:
a) 31 
b) 7
c) 39 
d) 279
e) 27
278. Rendendo juros de 2,5% ao mês, uma certa quantia A será duplicada em quanto tempo?
a) 25 anos 
b) 20 meses
c) 2,5 meses
d) 80 meses
e) 40 meses 
279. Repartem-se R$ 45.185,00 entre 4 pessoas. A primeira recebe R$ 800,00 menos do que a segundo;
esta R$ 2.000,00 mais do que a terceira; esta R$ 3.143,00 menos do que a quarta. Quanto recebe a
segundo?
a) R$ 12.482,00
b) R$ 13.282,00
c) R$ 10.282,00
d) R$ 8.139,00
280. Reparto certa quantia entre 3 pessoas. À primeira dou 1/7; à segunda, 1/8 e à terceira dou o resto.
Se dei à terceira mais R$340,00 que à segunda, pergunto: quanto recebeu a segunda?
a) R$90,00
b) R$35,00
c) R$70,00
d) R$270,00
e) R$170,00
281. Ricardo comprou um terreno e, por ter pagado à vista, ganhou 15% de desconto, fazendo uma
economia de R$ 2 250,00. Determine o preço deste terreno que Ricardo vai comprar.
a) 12.000
b) 15.000
c) 13.000
d) 14.500
e) 12.500
282. Roberto comprou patos e porcos num total de 17 cabeças e 44 pés. Quantos patos comprou?
a) 24
b) 15 
c) 12
d) 42
e) 8 
283. Roberto e Márcia têm juntos 26 anos. Se Roberto tem 2 anos a mais que Márcia qual a idade dela?
a) 11
b) 12
c) 13
d) 15
e) 9
284. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede
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5 cm. Calcule a área deste trapézio.
a) 38,0 m2
b) 33,5 m2
c) 39,5 m2
d) 37,5 m2
e) 38,5 m2
285. Sabendo-se que o lado de um quadrado mede 8 cm, calcule o seu perímetro.
a) 31 cm
b) 30 cm 
c) 29 cm
d) 32 cm
e) 33 cm 
286. Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro
que sempre fala a verdade e um meio-campista que às vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída
do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles
declarou "Foi empate"; o segundo disse "Não foi empate" e o terceiro falou "Nós perdemos". O torcedor
reconheceu somente o meio-campista mas pode deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração
do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente:
a) "Foi empate" / empate
b) "Não foi empate"/ o XFC perdeu
c) "Nós perdemos"/ o XFC perdeu
d) "Não foi empate"/ empate
e) "Foi empate/ o XFC venceu
287. Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias uma parede de 22m de
comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16 operários, trabalhando também 8 horas por
dia, levantam outra parede de 18m de comprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que
a primeira?
a) 3,29 dias
b) 3,15 dias
c) 3,20dias
d) 4,15 dias
e) 3,00 dias
288. Se 12 operários, trabalham 10 horas diárias, levantam em 6 dias um muro de 20m de comprimento,
em quanto tempo 15 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantarão um muro de 30m com a mesma
altura e largura do anterior?
a) 11 dias
b) 9 dias 
c) 8 dias
d) 12 dias 
e) 6 dias 
289. Se 2/3 dos 3/4 de um número equivalem a 24, qual é o número?
a) 36
b) 12 
c) 72
d) 48
e) 144
290. Se 22 litros de álcool custarem R$ 12,10, quanto custariam 27 litros?
a) R$ 15,00 
b) R$ 13,05
c) R$ 14,85
d) R$ 13.29
e) R$ 14,75
291. Se 24 terminais eletrônicos operando durante 4 horas são capazes de atender 2 880 consultas,
quantas poderão ser atendidas por 36 terminais operando durante 6 horas ?
a) 6 480
b) 6 320
c) 5 840
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d) 5 600
e) 5 200
292. Se 3,5kg de feijão custam R$ 4,55, quanto custarão 6,5kg?
a) R$ 7,00 
b) R$ 8,45 
c) R$ 6.50
d) R$ 7.50
e) R$ 9,20 
293. Se 35 % dos 40 alunos da 5ª série de um colégio são homens, quanto são as mulheres?
a) 20
b) 23
c) 26
d) 27
e) 30
294. Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construir uma praça de forma
retangular de 225m de comprimento por 150m de largura, quantos operários serão necessários para
construir em 18 dias, trabalhando 12 horas por dia, outra praça retangular de 195m de comprimento por
120m de largura?
a) 45 operários
b) 25 operários
c) 49 operários
d) 28 operários
e) 39 operários
295. Se A é um número compreendido entre 0 e 1, então é FALSO que: 
a) 1 
b) A2 > A
c) 0,9 . A < A
d) - A > - 1
e) A ¸ 2A = 0,5
296. Se a um número acrescento mais 23, subtraio 41 da soma e o resto multiplico por 2, obtendo 132,
pergunto: qual o número?
a) 135
b) 260
c) 41
d) 130
e) 84
297. Se adquiro um carro cujo custo é igual a 2/5 do que tenho e uma casa, cujo custo é igual a 5/6 do
que possuo, ficaria devendo R$28.000,00. Quanto tenho?
a) R$140.000,00
b) R$180.000,00
c) R$28.000,00
d) R$840.000,00
e) R$120.000,00
298. Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias, qual é a quantidade de
água necessária para se regar outro campo de 200 há durante 30 dias?
a) 630,666 litros
b) 666,000 litros
c) 600,660 litros
d) 666,666 litros
e) 599,650 litros
299. Se dou 2/5 do que tenho mais R$15,00, restam-me R$57,00. Quanto tenho?
a) R$72,00
b) R$150,00
c) R$120,00
d) R$420,00
e) R$80,00
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300. Se em 20 minutos estudo os 2/5 de uma página de um livro, em quanto tempo poderei estudar 12
páginas?
a) 6h e 10m
b) 3h 
c) 6h
d) 5h
e) 10h
301. Se ganhasse R$2.000,00 depois de perder a sexta parte do que tenho, ficaria com R$6.000,00.
Quanto tenho?
a) R$6.000,00
b) R$18.000,00
c) R$8.000,00
d) R$4.800,00
e) R$4.800,00
302. Se juntar 2/3 dos 3/5 de R$750,00 à importância que possuo, ficarei com R$1.260,00. Quanto
possuo?
a) R$2.010,00
b) R$1.020,00
c) R$960,00
d) R$900,00
e) R$510,00
303. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro
falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
a) Raul e Lauro mentiram
b) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
c) Raul e Júlia mentiram
d) Nestor e Júlia disseram a verdade
e) Nestor e Lauro mentiram
304. Se o número 225 for dividido em 3 partes, formando uma progressão aritmética, de maneira que a
terceira parte exceda a primeira em 140 unidades, essas três partes serão:
a) números primos entre si. 
b) todas múltiplas de 3 e de 5.
c) todas menores que 100.
d) todas maiores que 10.
e) todas fatores do número 54.375. 
305. Se os 46 bilhões de reais gastos com a previdência fossem totalmente repassados aos demais
setores de modo que 50% fossem destinados à saúde, 40% à educação e os 10% aos outros. 32)
determine o aumento que o setor de saúde teria em reais:
a) 32 bilhões de reais
b) 46 bilhões de reais
c) 19 bilhões de reais
d) 34 bilhões de reais
e) 23 bilhões de reais
306. Se somarmos 3 unidades aos termos da fração 3/4, esta ficará multiplicada por:
a) 4
b) 3/5
c) 3/28
d) 8/7
e) 6/7
307. Se somarmos 5 unidades ao numerador e 3 ao denominador da fração 7/8, esta ficará dividida por:
a) 11/9
b) 2/11
c) 77/96
d) 173/88
e) 5/3
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308. Se trabalhassem juntas, duas impressoras, A e B, executariam e 4 horas os ¾ de certo serviço. A
impressora A, trabalhando sozinha, executou 1/8 do serviço em 2 horas. Quanto tempo levará a
impressora B para terminar o serviço ?
a) 4 horas 
b) 6 horas
c) 7 horas
d) 8 horas
e) 10 horas
309. Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em quantos
dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12 horas diárias?
a) 30 dias 
b) 15 dias 
c) 20 dias 
d) 25 dias 
e) 40 dias 
310. Se uma solução contém 2 mg/ml de uma substância dissolvida, quanto da substância existe em um
litro da solução?
a) 200 mg
b) 2 g
c) 20 g
d) 200 g
e) 2 kg
311. Se uma vara de 3,20m de comprimento dá uma sombrade 9,60m qual será, no mesmo instante, a
altura de uma torre, cuja sombra é de 54m?
a) 36m
b) 72m
c) 90m
d) 18m 
e) 9m
312. Se vender certo número de porcos por R$9.600,00, perco R$80,00 em cada R$1.000,00. Quanto me
custaram os porcos?
a) R$1.060,00
b) R$1.036,00
c) R$10.520,00
d) R$9.650,00
e) R$10.368,00
313. Sendo: Divisor 9; quociente 8; resto: o maior possível, calcular o dividendo.
a) 79
b) 72
c) 73
d) 90
e) 80
314. Sobre uma pista circular de 1.200 metros correm 2 ciclistas. Correndo os dois no mesmo sentido, o
primeiro encontra o segundo em cada 200 segundos e correndo em sentido contrário, o encontro passa
a ser de 100 segundos. Qual a velocidade de cada um?
a) 9 e 3m/s
b) 9 e 7m/s
c) 10 e 3m/s
d) 11 e 4m/s
315. Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com o triplo desse
mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é esse número, se ele é um número
natural?
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
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316. Subtraindo-se 72 unidades da metade de um número, obtém-se a quinta parte desse mesmo
número. Qual é ele?
a) 720
b) 240
c) 144
d) 120
e) 60
317. Suponhamos que numa dada eleição, uma cidade tivesse 18.500 eleitores inscritos. Suponhamos
ainda que, para essa eleição, no caso de se verificar um índice de abstenções de 6% entre os homens e
de 9% entre as mulheres, o número de votantes do sexo masculino será exatamente igual ao número de
votantes do sexo feminino. Determine o número de eleitores de cada sexo.
a) 12000 h e 6500 m 
b) 11000 h e 7500 m 
c) 9400 h e 9100 m 
d) 9100 h e 9400 m 
e) 8000 h e 10500 m
318. Tem-se uma folha de papel de formato retangular, medindo 30 cm de comprimento por 16 cm de
largura. Reduzindo-se o comprimento em 20% de seu valor, em que porcentagem sua largura deve ser
aumentada para obter-se um retângulo de mesma área que o anterior ?
a) 18% 
b) 18,5%
c) 20%
d) 22,5%
e) 25%
319. Tem-se uma folha de papel de formato retangular, medindo 30 cm de comprimento por 16 cm de
largura. Reduzindo-se o comprimento em 20% de seu valor, em que porcentagem sua largura deve ser
aumentada para obter-se um retângulo de mesma área que o anterior ?
a) 18% 
b) 18,5%
c) 20% 
d) 22,5%
e) 25%
320. Tenho 20 cédulas de R$ 500,00 e de R$ 200,00, no total de R$ 6.700,00. Calcule quantas cédulas
tenho de R$ 200,00.
a) 10
b) 2
c) 11
d) 12
e) 9
321. Tenho R$9.000,00. Se empresto 3/5, gasto uma quantia igual a 2/5 do que emprestei e invisto uma
quantia igual a 5/9 do que gastei, quanto me sobrará?
a) R$1.200,00
b) R$1.000,00
c) R$240,00
d) R$420,00
e) R$800,00
322. Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas ao lado em um teatro. Tânia sempre fala a
verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda
diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente,
a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à
esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
a) Janete, Angélica e Tânia
b) Janete, Tânia e Angélica
c) Angélica, Tânia e Janete
d) Tânia, Angélica e Janete
e) Angélica, Janete e Tânia
323. Três caixas de banco são capazes de atender uma média de 48 pessoas por hora. Em
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conseqüência, espera-se que quatro caixas, operando com a mesma rapidez, sejam capazes de atender
por hora uma média de:
a) 28 pessoas
b) 36 pessoas
c) 52 pessoas
d) 64 pessoas
e) 72 pessoas
324. Três irmãos têm juntos 72 anos. O mais velho tinha 2 anos quando o segundo irmão nasceu, e este
tinha 5 anos quando o mais novo nasceu. Qual a idade de cada um?
a) 21 anos; 23 anos e 27 anos
b) 19 anos; 22 anos e 57 anos
c) 20 anos; 25 anos e 27 anos
d) 23 anos; 25 anos e 26 anos
325. Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo que participaram da sociedade
durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um?
a) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00
b) Sócio1: R$ 3.700,00; Sócio2: R$ 3.500,00; Sócio 3: R$7.300,00
c) Sócio1: R$ 2.600,00; Sócio2: R$ 4.100,00; Sócio 3: R$5.300,00
d) Sócio1: R$ 1.800,00; Sócio2: R$ 3.500,00; Sócio 3: R$6.000,00
326. Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e paga uma taxa alfandegária de 15%.
Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%. Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o
mesmo preço?
a) R$ 20.250,00 
b) R$ 25250,00 
c) R$ 29.250,00 
d) R$ 30.260,00 
e) R$ 39.450,00 
327. Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00, representa quantos por cento de
desconto?
a) 18%
b) 30%
c) 28%
d) 29%
e) 38%
328. Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são colhidas dez
dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas laranjas ele colherá ao final dos
doze dias?
a) 6292 laranjas
b) 6092 laranjas
c) 6100 laranjas
d) 6192 laranjas
329. Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 a vista . Em 5 prestações mensais o preço passa a ser de
R$ 868,00. Sebendo-se que a diferença entre os preços é devida aos juros, qual a taxa de juros cobrada
ao mês por essa loja ?
a) 10,0 % 
b) 8,5 %
c) 9,0 %
d) 7,85 %
e) 8, 0 %
330. Um automóvel foi comprado por R$ 20.000,00 e sofre uma desvalorização de 20% ao ano. O ser
valor, em reais, após 3 anos será:
a) 6.553,60
b) 5.242,88
c) 10.240,00
d) 8.192,00
e) 4.194,30
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331. Um automóvel foi de São Paulo a Ubatuba, passando por Taubaté. De São Paulo a Taubaté, ele
rodou 130 km a uma velocidade média de 100 km por hora. Os 100 km restantes até Ubatuba, foram
feitos a 60 km por hora. O tempo total de viagem foi de:
a) 2 horas e 58 minutos 
b) 2 horas e 50 minutos
c) 2 horas e 42 minutos
d) 2 horas e 34 minutos
e) 2 horas e 26 minutos
332. Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros gastará num
percurso de 910km?
a) 140 litros
b) 120 litros
c) 130 litros
d) 135 litros
333. Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litros gastará num
percurso de 910km?
a) 120 litros
b) 140 litros
c) 130 litros
d) 144 litros
e) 154 litros
334. Um automóvel parte de Brasília e corre com a velocidade média de 48 km/h. Depois de 3 horas par
um outro que alcança o primeiro 8 horas após. Qual a velocidade média do segundo automóvel?
a) 64 km/h
b) 66 km/h
c) 68 km/h
d) 76 km/h
335. Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km por hora. Qual o tempo
que gastará para percorrer a mesma distância com a velocidade de 90km por hora?
a) 2 h e 35min
b) 4 h e 40min
c) 1 h e 45min
d) 2 h e 45min
336. Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distância em 6 horas. Que
tempo gastará para percorrer a mesma distância se reduzir a velocidade para 50km por hora?
a) 8 horas e 20min 
b) 9 horas e 36min 
c) 11 horas e 46min 
d) 12 horas e 30min 
337. Um banco deseja uma rentabilidade efetiva linear de 36% ao ano em operações de compra de
títulos com prazo de 60 dias. Em temos de desconto comercial, o valor do PU sobre o qual deverá
negociar estes títulos estará situado:
a) abaixo de 0,96
b) entre 0,95 e 0,96
c) entre 0,93 e 0,94
d) entre 0,94 e 0,95
e) acima de 0,93
338. Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 de altura pesa 4350kg.
Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: comprimento 2,20 largura 0,75m e
altura 1,20?
a) 2190 kg
b) 2300 kg
c) 3190 kg
d) 3400 kg
e) 3200 kg
339. Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o peso desse bloco, se cada m3 pesa 1/2
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tonelada?
a) 2 toneladas
b) 10 toneladas
c) 4 toneladas
d) 5 toneladas
e) 9 toneladas
340. Um campo de futebol possui as seguintes dimensões, 155 m decomprimento e 75 m de largura.
Quanto metro de tela serão necessárias para cercar este campo: 
a) 467 m
b) 450 m
c) 460 m
d) 455 m
e) 465 m
341. Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos de 120% a.a., com capitalização mensal,
por 4 meses. Determine a taxa de juros quadrimestral em que o mesmo poderia ser aplicado a fim de se
obter o mesmo juro.
a) 10% 
b) 33,1% 
c) 40% 
d) 41,46% 
e) 46,41% 
342. Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido
um montante de R$ 19 050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: 
a) 1 ano e 10 meses.
b) 1 ano e 9 meses.
c) 1 ano e 8 meses.
d) 1 ano e 6 meses.
e) 1 ano e 4 meses. 
343. Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização
composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão: 
a) R$ 98,00
b) R$ 101,00
c) R$ 110,00
d) R$ 114,00
e) R$ 121,00 
344. Um certo número de documentos foi distribuído entre 3 funcionários, em partes diretamente
proporcionais a 6, 8 e 9 respectivamente. O primeiro funcionário recebeu 960 documentos. O número de
documentos distribuídos entre os 3 funcionários corresponde a: 
a) 2.880
b) 2.990
c) 3.680
d) 3.706
e) 3.726
345. Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila, 28 na terceira fila, 32
na quarta fila e as demais se compõem na mesma seqüência. Quantas filas são necessárias para a casa
ter 800 lugares?
a) 16 filas
b) 13 filas
c) 14 filas
d) 18 filas
346. Um cofre contém apenas anéis e brincos, de ouro ou de prata. Sabe-se que 80% dos anéis são de
prata e 10% das jóias são brincos. A porcentagem de jóias desse cofre que são anéis de ouro é:
a) 90%; 
b) 63%; 
c) 30%; 
d) 18%; 
e) 10%. 
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347. Um comerciante tem duas peças de um mesmo tecido, de mesma largura x e de comprimentos 8,4
m e 14,4 m. Deseja obter cortes iguais desse tecido, todos de mesma largura x e com maior
comprimento possível, utilizando todo o tecido das peças. Nessas condições, o número de cortes que
ele obterá é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 17
e) 19
348. Um corredor de Fórmula I leva 1 minuto e 30 segundos para dar uma volta na pista. Se ele diminuir
em 10% essa marca, o novo tempo da sua volta será de:
a) 1 minuto e 27 segundos 
b) 1 minuto e 25 segundos
c) 1 minuto e 23 segundos
d) 1 minuto e 21 segundos
e) 1 minuto e 19 segundos
349. Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e assim
corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do percurso, em
quilômetros?
a) 15 quilômetros e 25 quilômetros
b) 13 quilômetros e 19 quilômetros
c) 14 quilômetros e 17 quilômetros
d) 10 quilômetros e 21 quilômetros
e) 14 quilômetros e 21 quilômetros
350. Um determinado relógio atrasou 26 minutos em 48 horas. Determine o atraso em 30 dias.
a) 390 min
b) 380 min
c) 400 min
d) 290 min
e) 387 min
351. Um digitador consegue da 20.000 toques de entrada de dados em 5 horas . Quantos toques dará em
3 horas e meia ?
a) 12.300 
b) 15.000 
c) 10.000 
d) 14.000 
e) 24.000 
352. Um empréstimo de R$ 200.000,00, contratado a juros efetivos de 10% ao mês, será pago em 3
prestações mensais com carência de 3 meses. Considerando que o credor deseja que o valor das 3
amortizações do principal seja constante, o valor da última prestação será de:
a) 84.333,67
b) 88.733,33
c) 80.666,67
d) 82.622,44
e) 86.066,67
353. Um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 será devolvido em 3 prestações mensais iguais e seguidas
de valor igual a R$ 416,35. O financiamento foi realizado com um taxa de juros de 12% ao mês. Ao
analisar os valores de cada parcela da operação de financiamento, calculando os valores dos juros,
amortização e saldo devedor, vemos que para a segunda prestação, estes valores, em reais, são,
respectivamente:
a) 80,18 - 336,17 - 375,95
b) 77,24 - 339,11 - 378,89
c) 67,54 - 348,81 - 388,59
d) 72,88 - 343,47 - 383,25
e) 84,44 - 331,91 - 371,74
354. Um fazendeiro compra 3.420 bezerros com a condição de receber 13 por cada 12. Quantos bezerro
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deve receber?
a) 3.570
b) 3.705
c) 285
d) 3.156
e) 3.240
355. Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma hora e meia?
a) 794 litros
b) 800 litros
c) 684 litros
d) 975 litros
e) 585 litros
356. Um homem e uma mulher bebem um barril de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a
mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem para beber o barril de vinho sozinho?
a) 19 dias
b) 24 dias
c) 20 dias
d) 25 dias
357. Um investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma
parte foi aplicada no banco Alfa, à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no banco Beta, à taxa de 6% ao
mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo, os
valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais, em cada banco,
foram, respectivamente:
a) 148.598,13 e 151.401,87
b) 149.598,13 e 150.401,87
c) 150.598,13 e 149.401,87
d) 151.598,13 e 148.401,87
e) 152.598,13 e 147.401.87
358. Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m³
dessa substância?
a) 15.000 kg
b) 10.000 kg
c) 13.000 kg
d) 19.000 kg
e) 20.000 kg
359. Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. O
número dos diferentes resultados dessa adição é: 
a) 12 
c) 216 
d) 16 
e) 15
360. Um motorista fez um percurso em 5 dias, viajando 6 horas por dia com a velocidade média de 70
km/h . Se quiser repetir o percurso em 4 dias, viajando 7 horas por dia, a velocidade média deverá ser
de:
a) 48 km/h
b) 65 km/h
c) 75 km/h
d) 80 km/h
e) 102 km/h
361. Um pai tinha 24 anos quando nasceu seu filho. Hoje, o quadrado da idade do filho é igual ao dobro
da idade do pai. As idades de ambos hoje somam:
a) 32 anos
b) 36 anos
c) 40 anos
d) 42 anos
e) 44 anos
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362. Um pichador escalou um prédio pelo lado de fora e alcançou o topo em 2 horas e meia, tendo sido
preso logo em seguida. Se ele tivesse escalado o prédio subindo 2m a mais em cada minuto, ele teria
gasto apenas 50 minutos na façanha. Qual é a altura do prédio ?
a) 225 m
b) 150 m
c) 120 m
d) 100 m
e) 75 m
363. Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5,5 m x 7 m. Para evitar que a
tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de folha de jornal ele
vai precisar?
a) 36,50 m2
b) 37,90 m2
c) 37,50 m2
d) 38,50 m2
e) 40,50 m2
364. Um professor corrigiu 30 provas de 10 questões em 4 horas. Quanto tempo levariam 2 professores
para corrigirem 50 provas com 8 questões ?
a) 15 horas
b) 5 horas 
c) 10 horas e 40 minutos
d) 2 horas e 40 minutos 
e) 3 horas e 40 minutos 
365. Um recipiente contém 5 litros de um combustível composto de 8% de álcool e o restante de
gasolina. Para que essa porcentagem passe a 20%, deve-se acrescentar de álcool no recipiente:
a) 3/4 litro
b) 1 litro
c) 1/4 litro
d) 3/2 litros
e) 1/2 litro
366. Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m³ o volume
interno desse recipiente?
a) 19 m³
b) 13 m³
c) 18 m³
d) 10 m³
e) 11 m³
367. Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas que realiza. Em um mês recebeu
de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?
a) 9.900
b) 17.300
c) 11.800
d) 14.500
e) 10.600
368. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 2 800,00 por
mês. Quanto o supermercado gastará por mês se passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por
dia?
a) 2.500
b) 3.200
c) 2.450
d) 2 625 
e) 2.800
369. Um tanque, com capacidade de 550 litros, é alimentado por2 torneiras. Uma derrama 150 litros em
5 minutos e a outra 180 litros em 9 minutos. Quanto tempo levará para encher o tanque, estando vazio,
se se abrem, ao mesmo tempo, as duas torneiras?
a) 10 min.
b) 12 min.
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c) 11 min.
d) 13 min.
e) 9 min.
370. Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Esse tijolo tem 22cm de comprimento, 10 cm
de largura e 7cm de altura. Qual é o volume de argila usado na fabricação desse tijolo?
a) 1520 cm3 
b) 1640 cm3 
c) 1040 cm3 
d) 1540 cm3 
e) 1970 cm3 
371. Uma caixa contém 100 bolas de cores distintas. Destas, 30 são vermelhas, 30 são verdes, 30 são
azuis e entre as 10 restantes, algumas são brancas e outras são pretas. O menor número de bolas que
devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos a certeza de haver pelo menos 10 bolas da
mesma cor é:
a) 31 
b) 33 
c) 35 
d) 37 
e) 38
372. Uma caixa d'água tem capacidade para 5.000 litros e contém água em quantidade correspondente a
30% de sua capacidade. A capacidade de uma Segunda caixa d'água corresponde a 70% da capacidade
da primeira e a água nela contida corresponde a 40% de sua capacidade. O número de litros de água
que faltam para completar as duas caixas é:
a) 5.200
b) 5.300
c) 5.400
d) 5.500
e) 5.600
373. Uma classe tem meninos e meninas. Se um menino faltar, os meninos serão o dobro das meninas.
Se em vez disso, faltarem 6 meninos, haverá um mesmo número de meninos e meninas na classe.
Determinar quantos são os alunos (meninos e meninas) da classe.
a) 10 meninos e 8 meninas
b) 11 meninos e 5 meninas
c) 13 meninos e 5 meninas
d) 15 meninos e 6 meninas
374. Uma escola tem 565 alunos. O número de meninos diminuído de 25 é igual ao número de meninas
aumentado de 60. Quantos são os alunos de cada sexo?
a) 241 meninas e 319 meninos
b) 245 meninas e 370 meninos
c) 240 meninas e 325 meninos
d) 235 meninas e 320 meninos
375. Uma guarnição de 1.300 homens tem víveres para 4 meses. Se se deseja que os víveres durem mais
10 dias, quantos homens teremos que dispensar?
a) 200
b) 300
c) 180
d) 150
e) 100
376. Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000 unidades. Quantas horas
deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidades em 30 dias?
a) 7 horas por dia
b) 12 horas por dia
c) 9 horas por dia
d) 10 horas por dia
e) 8 horas por dia
377. Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros ao mês e outra, no
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mesmo tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Em janeiro de 1995 ambas as montadoras
farão um contrato de exportação. Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras deverão aumentar,
respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses necessários para que as montadoras
produzam a mesma quantidade de carros é:
a) 44
b) 45
c) 48
d) 50
e) 54
378. Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo
diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamente proporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada
criança receberá?
a) 20 e 100 
b) 20 e 110 
c) 27 e 108 
d) 25 e 118 
379. Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebe capital e juros reunidos
no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado ?
a) 11.000,00
b) 11.500,00
c) 12.000,00
d) 13.000,00
e) 12.900,00
380. Uma piscina infantil, dessas infláveis, tem fundo circular com 2 metros de diâmetro e tem 40
centímetros de altura. Para enchê-la com água até três quartos de sua altura, o número aproximado de
litros necessário será:
a) 924
b) 942 
c) 1.265
d) 1.256
e) 1.526
381. Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, tem 10m de comprimento, 5m de largura e
1,75m de profundidade internamente. Quantos m3 de água são necessários para encher totalmente essa
piscina?
a) 87,50 m3
b) 77,50 m3
c) 90,50 m3
d) 60,50 m3
e) 87,00 m3
382. Uma ruela de 50m de comprimento e 8m de largura foi pavimentada com 20.000 paralelepípedos.
Quantos seriam necessários para pavimentar outra rua com o dobro de comprimento e cuja largura é
igual a 3/4 da largura da rua anterior?
a) 30.000
b) 5.000
c) 10.000
d) 1.000
e) 25.000
383. Uma torneira enche um tanque em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3 horas. Estando o
tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque:
a) nunca se esvazia
b) esvazia-se em 4horas
c) esvazia-se em 1 hora
d) esvazia-se em 7 horas
e) esvazia-se em 12 horas
384. Uma turma de 20 operários começa uma obra a 1º de março para terminá-la a 4 de abril (35dias),
trabalhando 6 horas diárias. Ao término do dia 14, o proprietário lhes diz que precisa da obra terminada
no dia 24 de março. Então, a partir do dia 15, coloca mais 8 operários e aumenta as horas diárias de
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trabalho, de modo que vê satisfeito seu desejo. Quantas horas diárias trabalharam os operários na
segunda fase?
a) 9h
b) 7h
c) 6h
d) 5h
e) 3h
385. Uma universidade tem um professor para cada 6 alunos e 3 funcionários para cada 10 professores.
Determine o número de alunos por funcionário.
a) 60 
b) 50
c) 30
d) 20
e) 10
386. Vamos calcular a área de uma praça retangular, em que o comprimento é igual a 50 m e sua largura
mede 35,6 m.
a) 1780 m2 
b) 1650 m2
c) 1790 m2
d) 1800 m2
e) 1740 m2
GABARITO: 
1-E 2-C 3-D 4-A 5-E 6-C 7-D 8-E 9-C 10-D
11-A 12-B 13-A 14-E 15-B 16-B 17-D 18-B 19-F 20-C
21-E 22-B 23-E 24-C 25-C 26-A 27-B 28-B 29-B 30-E
31-D 32-E 33-C 34-C 35-C 36-E 37-D 38-E 39-A 40-A
41-B 42-C 43-A 44-A 45-D 46-A 47-E 48-B 49-D 50-A
51-D 52-E 53-C 54-E 55-D 56-C 57-D 58-B 59-B 60-D
61-C 62-E 63-D 64-E 65-E 66-A 67-E 68-B 69-C 70-D
71-E 72-C 73-A 74-E 75-E 76-A 77-E 78-B 79-D 80-C
81-D 82-D 83-E 84-B 85-C 86-D 87-B 88-B 89-A 90-E
91-C 92-A 93-A 94-C 95-D 96-E 97-E 98-D 99-C 100-A
101-B 102-E 103-A 104-B 105-C 106-A 107-C 108-C 109-D 110-C
111-B 112-B 113-D 114-A 115-C 116-D 117-B 118-A 119-B 120-E
121-A 122-A 123-C 124-D 125-A 126-A 127-B 128-C 129-B 130-D
131-D 132-E 133-E 134-E 135-A 136-B 137-D 138-B 139-C 140-E
141-D 142-A 143-D 144-D 145-A 146-D 147-A 148-A 149-A 150-D
151-B 152-D 153-E 154-A 155-D 156-E 157-E 158-C 159-A 160-B
161-C 162-D 163-B 164-E 165-A 166-A 167-B 168-E 169-D 170-A
171-B 172-D 173-B 174-E 175-B 176-E 177-A 178-B 179-D 180-D
181-E 182-A 183-B 184-D 185-A 186-D 187-C 188-D 189-C 190-E
191-A 192-D 193-D 194-C 195-E 196-E 197-D 198-A 199-B 200-B
201-C 202-A 203-D 204-C 205-E 206-D 207-A 208-E 209-A 210-B
211-B 212-D 213-C 214-D 215-E 216-D 217-B 218-C 219-D 220-C
221-B 222-E 223-B 224-B 225-A 226-D 227-B 228-E 229-D 230-C
231-A 232-B 233-D 234-A 235-D 236-D 237-D 238-B 239-E 240-E
241-B 242-B 243-E 244-E 245-D 246-E 247-E 248-C 249-B 250-A
251-D 252-B 253-A 254-C 255-B 256-B 257-E 258-D 259-A 260-E
261-E 262-A 263-E 264-E 265-D 266-D 267-D 268-E 269-E 270-A
271-E 272-C 273-B 274-E 275-A 276-A 277-A 278-E 279-B 280-C
281-B 282-C 283-B 284-E 285-D 286-E 287-B 288-B 289-D 290-C
291-A 292-B 293-C 294-E 295-B 296-E 297-E 298-D 299-C 300-E
301-E 302-C 303-E 304-E 305-E 306-D 307-C 308-C 309-A 310-B
311-D 312-E 313-E 314-A 315-C 316-B 317-D 318-E 319-E 320-C
Página: 183 de 204
321-C 322-A 323-D 324-C 325-A 326-C 327-C 328-D 329-E 330-C
331-A 332-A 333-B 334-B 335-D 336-B 337-D 338-C 339-C 340-C
341-E 342-D 343-B 344-C 345-A 346-D 347-E 348-D 349-E 350-A
351-D 352-B 353-E 354-B 355-C 356-C 357-A 358-A 359-D 360-C
361-C 362-B 363-D 364-D 365-A 366-C 367-D 368-D 369-C 370-D
371-E 372-E 373-B 374-C 375-E 376-E 377-A 378-C 379-C 380-B
381-A 382-A 383-E 384-A 385-D 386-A **** **** ***** ******
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
 
 
 Os gabaritos encontram-se no final 
dos exercícios 
Matemática
01) Certa fortuna foi dividida em partes iguais entre 2 irmãos. Atualmente, a parte do 1º esta
aumentada 2/7 e a do 2º diminuída de 3/5 do valor primitivo. Sabendo-se que o 1º temR$
119,04 mais do que o 29, calcular a fortuna de cada um, atualmente:
a) R$ 49,20 e R$ 25,40 b) R$ 37,80 e R$ 92,40 c) R$ 35,20 e R$ 21,40
d) R$ 53,76 e R$ 172,80 e) R$ 17,00 e R$ 12,73
02) Paulo e Antônio tem juntos R$ 123,00 Paulo gastou 2/5 e Antônio 3/7 do que possuíam,
ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um?
a) Paulo R$ 60,00 e Antônio R$ 63,00 b) Paulo R$ 23,00 e Antônio R$ 100,00
c) Paulo R$ 43,00 e Antônio R$ 80,00 d) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 96,00
e) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 81,00
03) Certa quantia foi distribuída entre duas pessoas em partes proporcionais a 3 e 4; a
segunda recebeu R$ 2,00 a mais que a primeira. Qual a quantia distribuída? Qual a parte de
cada pessoa?
a) R$ 14,00 R$ 18,00 R$ 6,00 b) R$ 14,00 R$ 6,00 R$ 8,00 c) R$ 2,00 R$ 8,00
R$ 16,00
d) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 1,20 e) R$ 14,00 R$ 5,00 R$ 9,00
04) Dividindo-se uma quantia em partes proporcionais a 6, 9, 12 e sabendo-se que o quíntuplo
da 1ª parte mais o quádruplo da 2ª e mais o triplo da 3ª parte vale R$ 306,00 determine as
partes:
a) R$ 104,00 R$ 102,00 R$ 100,00 b) R$ 106,00 R$ 100,00 R$ 100,00
c) R$ 18,00 R$ 27,00 R$ 36,00 d) R$ 25,00 R$ 20,00 R$ 36,00
e) R$ 25,00 R$ 27,00 R$ 29,00
05) Um capital C foi distribuído em partes diretamente proporcionais a 5, 4 e 7, sendo a
terceira parte igual a R$ 22,40. O valor de C, em R$, é:
a) R$12,80; b) R$16,00; c) R$22,40; d) R$51,20; d) R$73,60
06) Qual a razão entre os números 1,2 e 2 1/5?
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a) 6 /2 b) 2/6 c) 5/5 d) 6/11 e) 6/6
07) Um ônibus, com a velocidade média de 60 km por hora, parte as 6 horas e chega ao seu
destino as 16 horas e 30 minutos do mesmo dia. Se sua velocidade média fosse 90 km por
hora, a que horas teria chegado ao mesmo destino?
a) 13 h b) 19 h c) 15 h d) 16 h e) 14 h
08) O lucro de R$ 180,00 de uma empresa deve ser repartido proporcionalmente entre seus
três sócios. O capital com que entrou o 2º sócio é o dobro do capital do 1º e o 3º sócio entrou
com 3/4 do capital do 2º sócio. Nestas condições, o sócio que entrou com o menor capital
recebeu:
a) R$ 60,00 b) R$ 40,00 c) R$ 35,00 d) R$ 20,00 e) R$ 15,00
09) Duas pessoas fundaram uma firma entrando com os capitais em partes iguais. o 1º sócio
trabalhou das 8h as 12h e o 2º sócio das 14h às 7h e 30min. No fim do mês, houve um lucro de
...... R$ 225,00. Nestas condições:
a) O 1º sócio devera receber R$ 6,00 a mais que o 2º
b) O 1º sócio deverá receber R$ 12,00 a mais que o 2º
c) O 1º sócio devera receber R$ 15,00 a mais que o 2º
d) O 1º sócio deverá receber R$ 12,50 a mais que o 2º
e) os dois sócios deverão receber quantias iguais
10) O valor de x na proporção:
x - 2 = 5 é um número
x - 4
a) inteiro negativo
b) inteiro positivo
c) positivo menor que 1.
d) negativo é maior que -1.
e) nulo.
11) Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram respectivamente com os capitais
de R$ 56,40 e R$ 43,501. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu mais R$ 516.00 do que o
segundo o lucro de cada sócio foi de:
a) R$ 2.147,00 e R$ 1.631,00 b) R$ 2.538,00 e R$ 2.022,00 c) R$ 2.236,00 e R$
1.740,00
d) R$ 2.452,00 e R$ 1.936,00 e) R$ 2.604,00 e R$ 2.088,00
12) Márcia comprou um automóvel por R$ 360,00. Revendeu-o com um lucro de 20%. Quanto
ganhou?
a) R$ 70,00 b) R$ 72,00 c) R$ 74,00 d) R$ 82,00
13) Antônio vendeu sua maquina fotográfica com um prejuízo de 17%. Quanto perdeu se a
maquina foi comprada por R$ 11,00?
a) R$ 1,87 b) R$ 1,78 c) R$ 1,58 d) R$ 1,95
14) Alcides faz um trabalho em 8 dias e Teodoro faz o mesmo trabalho em 4 dias. Trabalhando
juntos, em quantos dias farão esse serviço?
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a) 2 2/3 dias b) 3 dias c) 2 3/2 dias d) 5 dias
15) Quanto é 18% de 400?
a) 82 b) 72 c) 76 d) 94
16) 150% de 350:
a) 520 b) 530 c) 540 d) 525
17) Um vendedor pretende ganhar 14% sobre um artigo, que lhe custou R$ 3.000,00. Por
quanto deve vendê-lo?
a) R$ 4.320,00 b) R$ 3.420,00 c) R$ 3.240,00 d) R$ 4.600,00
18) Um batalhão de 120 soldados perdeu 30 em combate nas ilhas Malvinas. Quantos %
perdeu?
a) 20% b) 30% c) 22% d) 25%
19) A mandioca da 5% de seu peso em álcool. Quantos kg de álcool podemos extrair de 350 kg
de mandioca?
a) 17 kg b) 18 kg c) 17,5 kg d) 18,5 kg
20) 200 dólares, a R$ 15,70 por dólar, eqüivalem a:
a) R$ 3.140,00 b) R$ 1.570,00 c) R$ 314.000,00 d) R$ 414,00
21) Calcular os juros de R$ 25,00 a 80% a.a., em um ano.
a) R$ 20,00 b) R$ 80,00 c) R$ 25,00 d)R$ 15,00
22) Calcular os juros de R$ 6,00 a 24% a.a. em 2 anos e 4 meses.
a) R$ 3,36 b) R$ 3,34 c) R$ 3,63 d) R$ 4,76
23) Recebi um financiamento de R$ 50,00 a 12% a.a., durante 4 meses e 20 dias. Quanto
pagarei de juros?
a) R$ 2,80 b) R$ 3,00 c) R$ 2,70 d) R$ 4,00
24) Um parafuso penetra 3,2mm a cada 4 voltas. Quantas voltas deverá dar para penetrar
16mm?
a) 20 voltas b) 18 voltas c) 22 voltas d) 16 voltas e) n.d.a.
25) Sabe-se que 8 kg de café cru dão 6 kg de café torrado. Quantos kg de café cru devem ser
levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado?
a) 36 b) 40 c) 38 d) 26 e) n.d.a.
26) 40 pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo fazer o mesmo serviço em 8 dias,
quantos pintores seriam necessários?
a) 50 b) 48 c) 60 d) 62 e) n.d.a.
27) 8 máquinas produzem 600 peças de metal por hora. Quantas máquinas idênticas às
primeiras são necessárias para produzir 1 500 peças de metal por hora?
a) 30 b) 25 c) 40 d) 20 e) n.d.a.
28) Com velocidade de 60 km/h, um automóvel leva 50 minutos para ir de urna cidade X a urna
cidade Y. Se a sua velocidade fosse de 75 km/h, quanto tempo
levada para cobrir a mesma distância?
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a) 45 min b) 38 min c) 40 min d) 42 min e) n.d.a.
29) Uma roda de automóvel dá 2 500 voltas em 10 minutos. Quantas voltas dará em 12
minutos?
a) 3280 b) 2967 c) 3020 d) 3000 e) n.d.a.
30) Para paginar um livro com 30 linhas em cada página, são necessárias 420 páginas.
Quantas páginas (iguais às anteriores) de 40 linhas (iguais às anteriores)
cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
a) 315 b) 321 c) 347 d) 198 e) n.d.a.
31) Para transportar certo volume de areia para urna construção, foram necessários 20
caminhões com 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter
5m3 de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
a) 16 b) 20 c) 22 d) 14 e) n.d.a.
32) Uma árvore de 4,2 m de altura projeta no solo urna sombra de 3,6 m. No mesmo instante,
uma torre projeta urna sombra de 28,80 m. Qual é a altura da
torre?
a) 33,60 b) 28,90 c) 32,00 d) 19,12 e) N.D.A.
33) Para assoalhar urna sala de 80 m2 de área, foram necessários 900 tacos de madeira.
Quantostacos iguais a esses seriam necessários para assoalhar urna
sala de 60 m2 de área?
a) 700 b) 800 c) 760 d) 675 e) n.d.a.
34) Uma torneira despeja 40 litros de água em 5 minutos. Em quanto tempo esta torneira
encheria um reservatório de 2 m3 de capacidade?
a) 230min b) 220 min c) 250 min d) 242 min e) n.d.a.
35) Uma vara de bambu de 1,5 m de altura projeta no solo uma sombra de 1 m. Quanto medirá
a sombra projetada no mesmo instante por um prédio de 18 m
de altura?
a) 13 m b) 12 m c) 10,5 m d) 14,2 m e) n.d.a.
36) Para construir urna quadra de basquete, 30 operários levam 40 dias. Quantos dias
levariam 25 operários, de mesma capacidade que os primeiros, para
construir urna quadra idêntica?
a) 52 dias b) 46 c) 48 d) 45 e) n.d.a.
37) Com a velocidade de 80 km/h, um automóvel leva 1 hora e meia para percorrer certa
distância. Se a sua velocidade fosse de 72 km/h, qual o tempo que seria
gasto para cobrir a mesma distância?
a) 100 min b) 98 min c) 102 min d) 110 min e) n.d.a.
38) Um muro deverá ter 40 m de comprimento. Em três dias, foram construídos 12m do muro.
Supondo que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo,
em quantos dias será construído o restante do muro?
a) 10 dias b) 7 dias c) 8 dias d) 6 dias e) n.d.a.
39) Uma folha de alumínio de 250 cm2 de área pesa 400 g. Quanto pesará uma peça quadrada,
de 10 cm de lado, da mesma folha de alumínio?
a) 160 g b) 145 g c) 165 g d) 178 g e) n.d.a.
40) Com certa quantidade de arame, constrói-se uma tela de 20 m de comprimento por 3 m de
largura. Diminuindo-se a largura em 1,80 m, qual seria o
comprimento de outra tela fabricada com a mesma quantidade de arame?
a) 48 m b) 50m c) 52 m d) 54 m e) n.d.a.
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41) Para azulejar uma parede de 15 m2 de área foram usados 300 azulejos. Quantos azulejos
iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede retangular
de 8 m por 3 m?
a) 479 b) 500 c) 566 d) 480 e) n.d.a.
42) A velocidade de um automóvel é de 72 km/h. Qual seria a sua velocidade em m/s?
a) 22 b) 18 c) 32 d) 20 e) n.d.a.
43) Um terreno retangular tem 10 m de frente por 40 m de lateral. Se diminuirmos 2 m da frente
do terreno, quantos m devemos aumentar ao comprimento a
fim de conservar a sua área?
a) 11 m b) 12 m c) 10 m d) 9 m e) n.d.a.
44) $ 6 400,00 representam quantos % de $ 320 000,00?
a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) n.d.a.
45) 150 alunos representam quantos % de 2 000 alunos?
a) 7,5 b) 6,7 c) 7,1 d) 8,1 e) n.d.a.
46) Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual
foi a sua taxa de acertos?
a) 90% b) 88% c) 77% d) 80% e) n.d.a.
47) A 6ª série C teve, durante todo o ano, 50 aulas de Educação Física. Um aluno faltou a 8
aulas. Qual foi a taxa de faltas desse aluno?
a) 12 b) 18 c) 16 d) 14 e) n.d.a.
48) O preço de custo de um objeto é R$ 1 750,00. Sendo esse objeto vendido a R$ 2 499,00,
qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?
a) 42,8 b) 43,7 c) 39,8 d) 44,0 e) n.d.a.
49) Um quadro de futebol disputa 16 partidas, vencendo 10 e empatando 2. Pede-se : 1º) a
taxa de vitórias em relação ao número de partidas disputadas; 2º) a
taxa de empates em relação ao número de partidas disputadas.
a) 62,5 e 12,5 b) 61,0 e 11,9 c) 63,1 e 13,3 d) 62,1 e 11,9 e) n.d.a.
50) Em 1980, a população de uma cidade era de 60 000 habitantes. Em 1981, a população da
mesma cidade é de 61920 habitantes. Qual foi a taxa de
crescimento populacional em relação à de 1980?
a) 4,1 b) 3,1 c) 3,2 d) 1,9 e) n.d.a.
51) Dos 15.000 candidatos que inscreveram-se para o vestibular na PUC.SP. Foram aprovados
9600. Qual a taxa de aprovação?
a) 67 b) 71 c) 66 d) 64 e) n.d.a.
52) Em dezembro de 1996, o preço da gasolina passou de R$ 0,45 para R$ 0,51 o litro. De
quanto % foi o aumento?
a) 13,3 b) 12,9 c) 11,8 d) 14,1 e) n.d.a.
53) Na compra de uma bicicleta, cujo preço é R$ 180,00, dá-se um desconto de R$ 27,00. De
quanto % é o desconto dado?
a) 17 b) 15 c) 13 d) 11 e) n.d.a.
54) $ 300,00 representam 24% de uma quantia x. Qual é o valor de x?
a) 1320 b) 1250 c) 1145 d) 1232 e) n.d.a.
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55) Numa prova de Matemática, um aluno acertou 36 questões, o que corresponde a 72% do
número das questões. Quantas questões havia na prova?
a) 44 b) 48 c) 50 d) 53 e) n.d.a.
56) Num colégio X, 520 alunos estudam no período da manhã, o que corresponde a 65% do
número total de alunos do colégio. Quantos alunos tem esse colégio?
a) 861 b) 982 c) 870 d) 800 e) n.d.a.
57) Uma peça de ouro foi vendida com um lucro de $ 300,00. Sabe-se que essa quantia
representa 25% do preço de custo da peça. Qual o preço de custo e por
quanto foi vendida essa peça?
a) 1200 e 1500 b) 1220 e 1488 c) 1180 e 1520 d) 1190 e 1980 e) n.d.a.
58) Uma salina produz 18% de sal em volume de água que é levada a evaporar. Para produzir
117 m3 de sal, quantos m3 de água são necessários?
a) 750 b) 587 c) 710 d) 650 e) n.d.a.
59) Na 6ª série B, 6 alunos foram reprovados, o que representa 15% do número de alunos da
classe. Quantos alunos há na 6ª série B?
a) 38 b) 42 c) 40 d) 45 e) n.d.a.
60) Na compra a prazo de um aparelho, há um acréscimo de R$ 150,00, o que corresponde a
30% do preço a vista do aparelho, Qual é o preço a vista do
aparelho, e quanto vou pagar?
a) 500 e 640 b) 510 e 630 c) 530 e 678 d) 500 e 650 e) n.d.a.
61) Para assoalhar uma casa foram necessárias 18 dúzias de tábuas de 2 metros e 30
centímetros de comprimento por 10 centímetros de largura. Quantas tábuas seriam
necessárias para assoalhar a mesma casa se elas tivessem 1 metro e 80 centímetros de
comprimento por 3 decímetros de largura?
a) 92 b) 104 c) 98 d) 89 e) 95
62) Uma torneira pode encher um tanque em 9 horas e outra pode encher o mesmo tanque em
12 horas. Se essas duas torneiras funcionassem juntas e, com elas,
mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas. Em quantas horas a terceira
torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque?
a) 18 horas b) 20 c) 22 d) 16 e) 18h 30min 15s
63) As rodas traseiras de um carro têm 3,25 metros de circunferência. Enquanto as rodas
dianteiras dão 20 voltas, as traseiras dão somente 12. Qual é a
circunferência das rodas dianteiras?
a) 1,95 m b) 2,05 c) 1,88 d) 1,90 e) 2,01
64) Um viajante vai da cidade X à cidade Z em um trem que faz 60 km/h e volta em outro cuja
velocidade é de 96 km/h, Sabendo-se que a viagem de ida e volta
durou, ao todo, 9 horas e 58 minutos, pergunta-se: qual a distância entre as duas cidades?a) 368 b) 388 c) 402 d) 379 e) 354
65) Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome, em 30 dias, 9 780 quilos de
carvão. Qual o custo do carvão gasto por essa máquina durante 90 dias,
sabendo-se que nesse período trabalhou 12 horas e 30 minutos por dia e que cada tonelada de
carvão custou R$ 800 00?
a) 24.450,00 b) 25.000,00 c) 23.450,00 d) 22.980,00 e) 24.680,00
66) Se um homem caminha à razão de 4 quilômetros e 500 metros por hora, em quantas
horas, minutos e segundos, percorrerá a distância de 14 quilômetros
e 415 metros?
a) 3h 12min 12s b) 3h 11min 19s c) 2h 59min 2s d) 3h 21min 5s e) n.d.a.
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67) Sabendo que 3/4 de certa obra foram feitos por 33 pessoas em 1 ano de trabalho,
determinar quantas pessoas seriam necessárias para fazer a obra toda em
metade do tempo.
a) 91 b) 88 c) 79 d) 85 e) n.d.a.
68) Sabendo que três operários, trabalhando 7 horas por dia, durante 2 dias, fizeram 126
metros de certa obra, calcular quantos metros da mesma obra farão
dois operários, trabalhando 5 dias a 3 horas por dia.
a) 88 b) 92 c) 98 d) 95 e) 90
69) Trabalhando 4 horas diárias, durante 18 dias, 64 operários abriram uma vala de 36 metros
de comprimento, em terreno de dureza 3. Determinar o
comprimento de outra vala, aberta por 56 operários, que trabalharam 5 horas por dia, durante
16 dias, em terreno de dureza 2.
a) 61,4 b) 49,8 c) 52,5 d) 49,1 e) n.d.a.
70) Uma torneira que jorra 1 035,5 litros de água por hora enche certo reservatório em 12
horas. Determinar em quanto tempo outra torneira, que jorra 20
litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.
a) 10h 21min 18s b) 11h 10min 12s c) 9h 31min 17s d) 10h 17min 32s e) n.d.a.
71) 27 operários, trabalhando 8 horas diárias durante 15 dias, fizeram um muro de 20 metros
de comprimento, 1 metro e 80 centímetros de altura e 30
centímetros de espessura. Quantos operários seriam necessários para a construção de outro
muro de 30 metros de comprimento, 2 metros de altura e 27
centímetros de espessura, se eles trabalhassem 9 horas por dia durante 18 dias?
a) 33 b) 37 c) 29 d) 27 e) 30
72) Vinte e cinco tecelões, trabalhando 7 horas por dia, durante 18 dias, fizeram 750 metros de
certo tecido. Quantos tecelões, trabalhando 9 horas por dia,
durante 14 dias, seriam necessários para fazer 630 metros do mesmo tecido?
a) 23 b) 24 c) 21 d) 17 e) 20
73) O volante de uma máquina, dando 318 voltas em 6 minutos, põe em movimento uma fieira
que produz 265 metros de tecido em 60 minutos. Que tempo será
preciso para fabricar 564 metros de tecido, se o volante der 376 voltas em 4 minutos?
a) 75 min b) 72 min c) 69 d) 65 e) n.d.a
Gabarito 
01 - D 02 - A 03 - B 04 - C 05 - D 06 - D 07 - A 08 - B 09 - C 10 - C
11 - C 12 - B 13 - A 14 - A 15 - B 16 - D 17 - B 18 - D 19 - C 20 - A
21 - A 22 - A 23 - A 24 - A 25 - A 26 – A 27 - D 28 - C 29 - D 30 - A
31 - A 32 - A 33 - D 34 - C 35 - B 36 - C 37 - A 38 - B 39 - A 40 - B
41 - D 42 - D 43 - C 44 - B 45 - A 46 - D 47 - C 48 - A 49 - A 50 - C
51 - D 52 - A 53 - B 54 - B 55 - C 56 - D 57 - A 58 - D 59 - C 60 - D
61 - A 62 - A 63 - A 64 - A 65 - A 66 - A 67 - B 68 - E 69 - C 70 - A
71 - E 72 - C 73 - B *** *** *** *** *** *** ***
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