Lista Variáveis Complexas

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Universidade Federal de Campina Gande
Centro de Cieˆncias e Tecnologia
Unidade Acadeˆmica de Matema´tica
Func¸a˜o de uma Varia´vel Complexa 2016-1
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Mostre que ez e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2ipi.
2. Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es abaixo:
(a) f(z) = ln(4z3 + cos z);
(b) h(z) = sec z;
(c) g(z) = tanh z;
(d) w(z) = cosh−1 = ln(z +
√
z2 − 1).
3. Mostre que ddz z
α = αzα−1.
4. Encontre a imagem do disco de centro na origem e raio 2 pelas trans-
formac¸o˜es abaixo:
(a) w(z) = 1z ;
(b) h(z) = z2 .
5. Encontre a imagem do disco |z−(2+i)| = 1 pela transformac¸a˜o w = 1z .
6. Seja C um contorno qualquer, ligando os pontos z1 e z2. Mostre que∫
C
1dz = z2 − z1.
7. Calcule as integrais curvil´ıneas
∫
C f(z)dz, com func¸a˜o f e curva C
dadas nos seguintes casos abaixo:
(a) f(z) = z, onde C e´ o segmento de para´bola ligando a origem ao
ponto z = 1 + i, parametrizada por z(t) = t+ it2;
(b) f(z) = z¯, onde C e´ o segmento de reta ligando a origem ao ponto
1 + im, parametrizado por z(t) = t+ imt;
(c) f(z) = e3z
2+1, onde C e´ a curva com parametrizac¸a˜o dada por
x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t, t ∈ [0, 2pi];
(d)
∫
C 1.dz, onde C o c´ırculo qualquer de centro na origem e raio 1.
8. Calcule a integral de |z| ao longo do semicr´culo z = reiθ, 0 ≤ θ ≤ pi.
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9. Mostre que
∫
C
dz
zn = 0, onde n e´ um inteiro maior ou igual a 2 e C e´
um contorno fechado envolvendo o ponto z = 0 uma vez no sentido
positivo.
10. Suponha que
∫
C f(z)dz = 0 para todo contorno fechado contido numa
regia˜o simplesmente conexa R. Mostre que a integral de f ao longo de
um contorno ligando z1 a z2 depende apenas dos pontos z1 e z1 e na˜o
do contorno em s´ı.
11. Escreva o integrando na forma f(z)z−z0 e use a fo´rmula de Cauchy para
calcular a integral ∫
|z|=3
z2 + 1
z + 2
dz.
12. Mostre que u = x − 5xy e´ harmoˆnica em todo plano e encontre sua
harmoˆnica conjugada v.
Bons Estudos!
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