ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA VARIAVEIS COMPLEXAS

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA VARIAVEIS COMPLEXAS 
 
 
Rui Viana da Rocha Malcher junior 
03252866 
Engenharia Elétrica/Mecânica 
 
Durante o curso de Variáveis complexas, você se deparou com diversas 
fórmulas e teoremas de matemáticos, cientistas de renome, como Bernhard 
Riemann e Augustin-Louis Cauchy. Porém, além de Riemann e Cauchy, muitos 
outros contribuíram significativamente para o desenvolvimento da ciência e 
foram cruciais para o avanço de estudos de engenharia, principalmente da 
Engenharia Elétrica. Não obstante, alguns outros teoremas, outras teorias, 
outras fórmulas que tiveram como base os números complexos, surgiram para, 
de certa forma, facilitar a compreensão de alguns fenômenos e permitir o avanço 
tecnológico. 
 
Diante do contexto acima, participe, seguindo os três passos abaixo: 
 
1. Descreva pelo menos um/uma teorema/teoria de cientistas distintos que 
façam uso dos números complexos. Busque por teorias que façam parte, de 
alguma forma, do mundo da Engenharia (Elétrica). Leia a teoria e explique com 
suas palavras, não se prenda aos números neste momento. Se achar válido 
contextualizar a época vivida pelo cientista, seu principal ramo de atuação, por 
exemplo, será um excelente complemento. 
 
2. Descreva como seu conhecimento em variáveis complexas te ajuda a 
entender essas e outras teorias. Qual a parte do conteúdo estudado foi/é mais 
fundamental? Busque fazer analogias com o curso de Engenharia Elétrica e 
outras disciplinas estudadas. 
 
3. Exemplifique, se possível também matematicamente, uma aplicação de um 
dos teoremas na resolução de um problema de Engenharia (Elétrica), seja mais 
teórico, juntando teoria e prática. Contextualize com a época atual, com os 
avanços tecnológicos recentes. 
 
Atividade: 
Um físico e matemático alemão chamado Georg Simon Ohm (1787-1854) 
descobriu a relação diretamente proporcional da corrente elétrica (i) que 
percorre um condutor com a tensão elétrica (V) aplicada a ele, e que é 
inversamente proporcional a resistência (R) do condutor à passagem da 
corrente elétrica, e assim em uma publicação realizada em 1827 chamada 
“Medidas Matemáticas de Correntes Elétricas” postulou a conhecida Lei de 
Ohm, onde a tensão é igual ao produto da corrente pela resistência, isto é, 
𝑽 = 𝑹 × 𝒊 
 
A resistência elétrica, medida em Ohms (Ω), também é uma medida usada 
para medir valores de impedância. A impedância é um valor total de 
resistência ao fluxo de corrente elétrica entre dois pontos de um circuito 
que leva em consideração a resistência de todos os seus componentes, mas 
para circuitos de corrente alternada (CA), leva-se em conta também as 
reatâncias. A impedância em CA é composta em parte pelas reatâncias 
que podem ser capacitivas(𝑿𝑪) ou indutivas(𝑿𝑳), e que são naturalmente 
números complexos. A Lei de Ohm foi elaborada para um circuito 
puramente resistivo, e para ser aplicada à impedância complexa, quando há 
reatâncias também presente no circuito, deve ser escrita para incluir a 
impedância (z) total no circuito, da seguinte forma: 
 
𝒊 = 
𝑽
 
𝒛 
 
No universo da engenharia elétrica o conhecimento sobre a estrutura algébrica 
e manipulação das operações matemáticas com números complexos ajudam 
no entendimento e resolução de diversos teoremas, como esta aplicação da 
Lei de Ohm para a impedância em CA, pois, não é usada a simples resistência 
elétrica do circuito, e sim se trata da impedância, que como foi dito, é composta 
por números complexos. Para entender melhor à impedância devemos falar 
um pouco sobre as reatâncias. As reatâncias podem ser indutivas ou 
capacitivas, sendo a resistência oferecida por indutores e capacitores no 
circuito. A reatância indutiva é produzida por indutores que são componentes 
que criam um campo magnético que se opõem a mudança de fase em circuitos 
CA e quanto maior for a frequência, maior será sua reatância. A reatância 
capacitiva é produzida por capacitores, componentes capazes de armazenar 
cargas elétricas, que se carregam e descarregam conforme a mudança de 
fase do circuito e quanto maior for a frequência, menor é sua reatância, isto é, 
reatâncias indutivas e capacitivas são opostas. As reatâncias capacitivas e 
indutivas porem ser expressas matematicamente de forma cartesiana, da 
seguinte forma: 
 
 
Onde C é a capacidade do capacitor e sua unidade de medida é dada em 
Farads, e f é a frequência da corrente CA, medida em Hertz; 
 
 
 
Onde L é o valor da indutância do indutor, medido em Henries e f é a 
frequência da corrente CA medida em Hertz. 
Para cálculo da impedância total é importante entender na representação 
algébrica das reatâncias que o produto do ângulo em radianos pela 
frequência se dá também em radianos e é representado pela letra 𝑚 
(ômega minúsculo), e o resultado é a velocidade angular do circuito. 
Da mesma maneira é importante a interpretação geométrica dessas 
grandezas no círculo trigonométrico, pois o cálculo da impedância envolve 
fasores, ou seja, a interpretação das reatâncias, da impedância e da 
resistência como vetores em um plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Representação geométrica das grandezas da reatância 
 
Assim, estes então são componentes da impedância complexa em CA. 
Sabendo isso, então podemos dizer agora que a impedância total do circuito 
em corrente alternada é dada por: 𝑍= 
𝑣
𝑖
 onde Z é termo de proporcionalidade 
da impedância e é um número complexo, que é representado 
algebricamente da forma 𝒛 = 𝑹 + 𝒋𝑿, onde nota-se que Z é composto de 
uma parte real e uma parte imaginaria. Analisando sua forma algébrica, a 
parte real da impedância é a resistência (R) do circuito, e Xc e XL são a 
parte imaginária da impedância, que no caso é a reatância do circuito, seja 
ela indutiva ou capacitiva ou ambas. A letra j é bastante usada em 
engenharia elétrica para representar a variável complexa em vez da letra 
i, convencionalmente usada na matemática, para evitar confusão com 
a simbologia de corrente elétrica, assim neste caso 𝑗2 =√−1. O cálculo de 
impedância total pode ser expresso geometricamente da seguinte 
maneira, para 𝑋𝐿 e 𝑋𝐶: 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 Interpretação geométrica do vetor da impedância complexa em relação a XL e Xc 
 
Nota-se na figura acima que a utilização de números complexos nos 
teoremas de engenharia elétrica muitas vezes se relaciona com equações 
diferenciais ordinárias, devido as manipulações algébricas geralmente 
gerarem equações lineares. 
Uma aplicação pratica do cálculo da impedância complexa está no controle 
do fator de potência. As industrias são dependentes em grande parte do 
trabalho realizado motores elétricos, estes motores são bobinados 
condutores que tem as características dos indutores, ou seja, geram uma 
reatância indutiva e causam uma defasagem na corrente elétrica em 
relação à tensão elétrica, como foi citado aqui anteriormente, que a 
reatância capacitiva se opõe à reatância indutiva, para a correção desse efeito 
indutivo causado por processos industriais, são dimensionados bancos de 
capacitores, de forma que atenuem a defasagem da corrente elétrica no 
sistema de distribuição de energia. 
 
 
 
Geometricamente, o triangulo das potências mostra que quanto maior o 
ângulo entre o cateto adjacente e a hipotenusa, maior se torna o cateto 
oposto, isto é, quanto maior o fator de potência (FP), ou seja o valor do 
ângulo entre potência aparente e a potência ativa, que chamamos de Cos𝜑, 
maior se torna a potência reativa, e com isso pode ser dimensionado um 
banco de capacitores, com reatância capacitiva equivalente para se opor a 
reatância indutiva e trazer este valor sempre para próximo de 1. 
 
 
Referencias: 
https://sites.icmc.usp.br/szani/complexa.pdf 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/vc/vc.htm 
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3683/5/Disserta%C3%A7%C3%
A3o%20-%20Vitail%20Jos%C3%A9%20Rocha%20-%202014.pdf 
https://sites.icmc.usp.br/szani/complexa.pdfhttp://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/vc/vc.htm
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3683/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Vitail%20Jos%C3%A9%20Rocha%20-%202014.pdf
https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/3683/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Vitail%20Jos%C3%A9%20Rocha%20-%202014.pdf
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm 
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/impcom.html#c2 
https://pep.ifsp.edu.br/wp-content/uploads/2015/03/apostila-de-eletricidade-
2.pdf 
https://www.ifsc.edu.br/documents/30701/523474/livro_calculo_numerico_AVIL
A_final.pdf/73592cec-4ae3-4f43-98ff-5da567c1a60e 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/impcom.html#c2
https://pep.ifsp.edu.br/wp-content/uploads/2015/03/apostila-de-eletricidade-2.pdf
https://pep.ifsp.edu.br/wp-content/uploads/2015/03/apostila-de-eletricidade-2.pdf
https://www.ifsc.edu.br/documents/30701/523474/livro_calculo_numerico_AVILA_final.pdf/73592cec-4ae3-4f43-98ff-5da567c1a60e
https://www.ifsc.edu.br/documents/30701/523474/livro_calculo_numerico_AVILA_final.pdf/73592cec-4ae3-4f43-98ff-5da567c1a60e