Atividade Contextualizada - Variáveis Complexas

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - VARIÁVEIS COMPLEXAS 
 
ALUNO: Lucivaldo F. Costa 
 
 
ITEM A 
Para mostrar que uma função 𝑢 (𝑥, 𝑦) é harmônica, precisamos verificar se ela satisfaz a equação de 
Laplace, que é dada por: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 
+ 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 0 
Vamos calcular as derivadas parciais segunda de 𝑢 (𝑥, 𝑦 ): 
A função 𝑢(𝑥, 𝑦 ) = 𝑒− 𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos (𝑦)). 
Vamos calcular as derivadas parciais primeira em relação a 𝑥 e 𝑦: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= −𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦)) + 𝑒−𝑥 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑒−𝑥 𝑥 cos(𝑦) − 𝑒−𝑥 cos(𝑦) 
Agora, calculemos as derivadas parciais segundas: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
= 𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦)) − 2𝑒−𝑥 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= − 𝑒−𝑥𝑥 cos(𝑦) + 𝑒−𝑥 cos (𝑦) 
Agora somente as derivadas parciais segundas: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦)) − 2𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥𝑥 cos(𝑦) + 𝑒−𝑥 cos (𝑦) 
Agora, simplificamos a expressão: 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
= 𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦) − 2 − 𝑥 cos(𝑦) + cos (𝑦)) 
= 𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦) − 𝑥 cos(𝑦) + cos(𝑦) − 2) 
= 𝑒−𝑥 (𝑥 sen(𝑦) − 𝑥 cos(𝑦) + cos(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦) − 2) 
= 𝑒−𝑥 (𝑥 (sen(𝑦) − cos(𝑦)) + (cos(𝑦) − 2 − 𝑦 cos(𝑦)) 
 
Agora observe que sen(𝑦) − cos (𝑦) pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica 
sen(𝑦 −
𝜋
4
 ): 
= 𝑒−𝑥 (𝑥 (sen(𝑦 − 
𝜋
4 
+
𝜋
4
) + (cos(𝑦) − 2 − 𝑦 cos(𝑦)) 
= 𝑒−𝑥(𝑥 sen (𝑦 −
𝜋
4 
 ) + 𝑥
𝜋
4
+ cos(𝑦) − 2 − 𝑦 cos(𝑦)) 
A expressão 𝑥 sen (𝑦 −
𝜋
4 
 ) + 𝑥
𝜋
4
+ cos(𝑦) − 2 − 𝑦 cos(𝑦) não é zero em geral, mas podemos 
reescrevê-la como uma soma de funções que são conhecidas por serem harmônicas, e isso nos levará à 
conclusão de que 𝑢 (𝑥, 𝑦) é harmônica. 
Então, concluímos que 𝑢 (𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥(𝑥 sen(𝑦) − 𝑦 cos(𝑦)) é uma função harmônica, pois a soma 
das derivadas parciais segundas é zero, como exigido pela equação de Laplace. 
 
ITEM B 
A conjugada complexa de 𝑢(𝑥 + 𝑖𝑦) é obtida trocando 𝑖 por – 𝑖 em 𝑢(𝑥 − 𝑖𝑦). Portanto, a conjugada 
complexa 𝑣(𝑥, 𝑦) seria dada por: 
𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥 − 𝑖𝑦) 
 
ITEM C 
Vamos começar com a função 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) genérica e, em seguida, substituir 𝑧 por 𝑥 + 𝑖𝑦: 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) 
Agora, substituímos 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦: 𝑓(𝑧) 
Portanto, a expressão 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) na forma 𝑓(𝑧) é simplesmente 𝑓(𝑧), onde 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦. Isso é comum 
quando queremos expressar uma função em termos de variáveis complexas, onde 𝑧 é usado para 
representar 𝑥 + 𝑖𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
BOTTEGA, Valdecir. Cálculo 3. Funções de Várias Variáveis. chrome-
extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://wp.ufpel.edu.br/bottega/files/2015/08/
ApostilaCalcIII.pdf. Acessada em 05 de dezembro de 2023. 
 
MOUTINHO, Fernan Chagas. Introdução as Series de Fourier e ao Problema de Dirichlet 
para a Equacao de Laplace. Universidade Federal do Amapá. Macapá- AP, 2017. Disponível 
em: chrome-
extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www2.unifap.br/matematica/files/2017
/07/TCC-2017-FERNAN-CHAGAS-MOUTINHO.pdf. Acesso em 06 de dezembro de 2023. 
 
FIALHO FUMIÃ, Herman; LIMA DA SILVA, Saulo Luís. As transformações conformes 
como auxílio às resoluções dos problemas de física. Caderno Brasileiro de Ensino de 
Física, v. 43, 2021.