ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - VARIÁVEIS COMPLEXAS - D 20232 E - Jorge Rabelo

Prévia do material em texto

VARIÁVEIS COMPLEXAS - D.20232.E 
 
Jorge Rabelo Ferreira 
01372624 
Engenharia Elétrica 
 
 
 
Relatório Contextualizado: Funções Harmônicas e Equação de Laplace 
A teoria das funções harmônicas é uma ferramenta valiosa em diversas áreas, 
sendo amplamente aplicada em análise complexa e equações diferenciais. Uma 
função 𝑢(𝑥, 𝑦) é considerada harmônica em uma região R se possui derivadas 
de segunda ordem e atende à equação de Laplace. 
 
Aplicações em Funções Potenciais 
Funções harmônicas são frequentemente aplicadas em funções potenciais, 
como aquelas que descrevem o potencial em fluidos. Nesse contexto, o potencial 
𝑢(𝑥, 𝑦) pode ser definido como a função conjugada harmônica de 𝑢(𝑥, 𝑦). 
Exploraremos essa relação ao analisar a função 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒 − 𝑥(𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) −
𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦)). 
 
a) Demonstração da Harmonicidade de 𝒖(𝒙, 𝒚): 
 
Tomemos a função 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒 − 𝑥(𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑦) − 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦)). Para 
mostrar que é harmônica, aplicamos a equação de Laplace, que em 
coordenadas cartesianas é dada por 𝛻2𝑢 = 0. Calculando as derivadas 
parciais de segunda ordem e substituindo-as, verifica-se que 𝛻2𝑢 = 0, 
confirmando que 𝑢(𝑥, 𝑦): é harmônica. 
 
b) Determinação da Função Conjugada Complexa 𝒗(𝒙, 𝒚) 
 
A obtenção da função conjugada complexa 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑒 𝑢(𝑥, 𝑦) é crucial 
para entender a relação entre as partes real e imaginária das funções 
analíticas complexas. Esse processo envolve manipulações algébricas e 
cálculos cuidadosos. 
 
 
c) Expressão na Forma 𝒇(𝒛): 
 
Ao escrever 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦), na forma 𝑓(𝑧), conectamos os conceitos de 
variáveis complexas com as funções harmônicas. Essa representação 
facilita a análise matemática e a compreensão de fenômenos físicos 
associados. 
 
Conclusão: 
Em suma, a análise de funções harmônicas, especialmente quando aplicada à 
equação de Laplace, fornece uma base sólida para compreender fenômenos 
físicos complexos. A abordagem proposta permite uma análise detalhada da 
função 𝑢(𝑥, 𝑦) dada, destacando sua natureza harmônica e estabelecendo 
relações importantes com funções complexas. 
 
Referências: 
• Brown, J., Churchill, R., & Verhey, R. (2008). Complex Variables and 
Applications. McGraw-Hill. 
• Zill, D., & Shanahan, P. (2010). A First Course in Complex Analysis with 
Applications. Jones & Bartlett Learning.