201572 14448 Cap+13+ +Gravitação

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IFMG - Campus OP
Prof. Fernando Resende
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Introdução
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O Endereço da Terra no Universo
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A Lei da Gravitação de Newton
Onde: m1 e m2 são as massas dos corpos, r é a distância entre os mesmos e G é a constante gravitacional
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A Lei da Gravitação de Newton
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro.
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mA
mB
r
A Lei da Gravitação de Newton
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A Lei da Gravitação de Newton
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Gravitação e o Princípio da Superposição
Em um grupo de partículas, a força gravitacional resultante em uma delas, exercida pelas outras partículas, pode ser calculada usando o princípio da superposição, em que o efeito resultante é obtido pela soma dos efeitos individuais.
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Para n partículas interagindo, teremos:
Onde: é a força resultante sobre a partícula 1
é a força exercida sobre a partícula 1 pela partícula 2
Gravitação e o Princípio da Superposição
é a força exercida sobre a partícula 1 pela partícula 3
Força gravitacional de um objeto real sobre uma partícula
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Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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R
MT
m
Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
Onde: MT = massa da terra
 R = raio da terra
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R
h
Caso o corpo esteja a uma altura h em relação à superfície teremos:
MT
m
m
Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Desprezando a rotação da Terra e supondo que a mesma seja um referencial inercial, a
aceleração de queda livre g pode ser dada por ag. Entretanto esses valores diferem por três motivos:
1. A Terra não é uniforme – A densidade da terra varia radialmente.
Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Desprezando a rotação da Terra e supondo que a mesma seja um referencial inercial, a
aceleração de queda livre g pode ser dada por ag. Entretanto esses valores diferem por três motivos:
1. A Terra não é uniforme – A densidade da terra varia radialmente.
2. A Terra não é uma esfera – É aproximadamente um elipsóide, achatada nos pólos e dilatada no equador.
3. A Terra gira – O eixo de rotação passa pelos seus pólos norte e sul.
Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Gravitação Próxima à Superfície Terrestre
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Energia Potencial Gravitacional
Seja uma bola de beisebol lançada na vertical se afastando da terra, ao longo da trajetória mostrada na figura a seguir:
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Seja uma bola de beisebol lançada na vertical se afastando da terra, ao longo da trajetória mostrada na figura a seguir:

Mas:
Então:
EP - EP = - W
0 - EP = - W
EP = W
Energia Potencial Gravitacional
DEP = - W
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INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA
Na figura a seguir mostra-se o movimento da bola de beisebol do ponto A ao ponto G, composto de três segmentos radiais e três circulares.
Como o trabalho independe da trajetória, a variação da energia potencial também independe da trajetória.
Energia Potencial Gravitacional
 EP = EPf - EPi = - W 
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ENERGIA POTENCIAL E FORÇA
a força aponta radialmente para dentro, em direção a M.
Lei da Gravitação do Newton
Energia Potencial Gravitacional
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Velocidade de Escape
Velocidade de escape é a velocidade mínima com que se deve lançar um corpo da superfície de um planeta para que ele vá para o infinito e nunca mais retorne.
Energia Potencial Gravitacional
E = EC + EP
EC = mv2/2
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Velocidade de Escape
Energia Potencial Gravitacional
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Sistema Geocêntrico 
 Órbitas dos planetas    circulares (modelo de Aristóteles e Ptolomeu). 
Aristóteles (384 a.C) 
Claudius Ptolemaeus (120-189) 
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Sistema Heliocêntrico
 As órbitas dos planetas são elipses de pequena excentricidade, praticamente circulares.
Nicolau Copérnico (1473-1543) 
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Kepler,com retrato de Ticho ao fundo e as órbitas elípticas dos planetas.
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Tycho Brahe (1546-1601) 
 Astrônomo dinamarquês, foi o maior gênio da astronomia observacional, antes da era dos telescópios. 
 Observatório de Uraniborg, que Tycho Brahe construiu em 1576 na ilha de Hvee, com estimulo e amparo financeiro do Rei Frederico da Dinamarca
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 Instrumentos utilizados por Tycho Brahe para medir a posição dos astros. Ainda não existia telescópio, mas suas medidas eram tão precisas que demorou quase um século para que elas fossem superadas. Serviram de base para Johannes Kepler desenvolver seu trabalho.
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Leis de Kepler
Johannes Kepler (1571-1630) 
 Observatório de Uraniborg, que Tycho Brahe construiu em 1576 na ilha de Hvee, com estimulo e amparo financeiro do Rei Frederico da Dinamarca
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1a Lei de Kepler: Lei da Órbitas 
 Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos. 
F1
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2aLei de Kepler: Lei das Áreas
Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais no plano da órbita do planeta em tempos iguais, ou seja, a taxa de variação dA/dt da área A com o tempo é constante.
Se: A1 = A2
 t1 =  t2
 t1 
 t2
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2ª Lei - Lei das Áreas
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A área é aproximadamente igual à área do triângulo com base rDq e altura r. Então, a área deste triângulo será:
 DA = 1/2.r2 Dq. 
A taxa instantânea que a área está sendo varrida será:
2aLei de Kepler: Lei das Áreas
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O momento angular L do planeta em relação ao sol será:
Mas: 

Se dA/dt é constante, então L também é constante, ou seja, se conserva.
2aLei de Kepler: Lei das Áreas
L = r p
= r (mv) =
r (mr)
L = mr2
 r2 = L/ m
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Periélio
Afélio
2aLei de Kepler: Lei das Áreas
vmáx
vmín
Afélio = 29,3 km/s
Periélio = 30,2 km/s 
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Retardado
Acelerado
http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/celeste/kepler/kepler.htm
http://astro.if.ufrgs.br/Orbit/nebraska.htm
2aLei de Kepler: Lei das Áreas
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3a Lei de Kepler: Lei dos Períodos 
Aplicando a lei de gravitação e a segunda lei de Newton ao planeta ( F = ma) tem-se:
OU: 
r
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O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita.
3a Lei de Kepler: Lei dos Períodos 
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Satélites: Órbitas e Energia 
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Satélites: Órbitas e Energia 
Quando um satélite gira em torno da terra em uma trajetória elíptica, tanto a velocidade quanto sua distância ao centro da terra variam, afetando a sua energia cinética e energia potencial gravitacional. 
Entretanto a energia mecânica E permanece constante.
A energia potencial do sistema é:
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onde v2 / r é a aceleração centrípeta do satélite. 
Pela segunda Lei de Newton, temos:
Então a energia cinética será:
ou seja, para um satélite em órbita circular tem-se:

Satélites: Órbitas e Energia 
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A energia total do satélite é:
Portanto, a energia mecânica é igual a – EC.
E = - EC
Para um satélite com órbita elíptica com semi-eixo maior a, podemos substituir r por a e obtemos:
Satélites: Órbitas e Energia 
E = EC + EP
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Trajetórias de um foguete
Direção da 
velocidade de lançamento
v
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Velocidade de Escape
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O campo Gravitacional
Como o representar?
Terra
Percursos paralelos
Percursos convergentes
Espaço plano longe da Terra
Espaço curvo perto da Terra
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