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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 13 1o Semestre de 2017 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez a face 3 em n jogadas de um dado na˜o viciado? 2. O time X tem 2 3 de probabilidade de vencer sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, qual a probabilidade de ele vencer: a) exatamente 3 partidas? b) vencer ao menos uma partida? c) vencer mais da metade das partidas? 3. A probabilidade de um atirador acertar um alvo e´ 1 3 . Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de: a) acertar exatamente 2 tiros? b) na˜o acertar nenhum tiro? 4. Uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o binomial tem a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada dada por: FX(0) = 1 243 , FX(1) = 11 243 , FX(2) = 51 243 , FX(3) = 131 243 , FX(4) = 211 243 , FX(5) = 1. Determine: a) n , b) p , c) E(X) , d) V AR(X) , e) P (X ≥ 1) . 5. Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 2% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal suspeita e´ confirmada, determine a probabilidade que, numa amostra de 5 mesas, na˜o haja nenhuma defeituosa. 6. Um vendedor de automo´veis novos constatou que 80% dos carros vendidos sa˜o devolvidos ao departamento de mecaˆnica para corrigir defeitos de fabricac¸a˜o nos primeiros 25 dias depois da venda. De 11 carros vendidos num per´ıodo de 5 dias qual a probabilidade de que: a) todos voltem dentro de 25 dias para reparo; b) So´ um na˜o volte. 1 Soluc¸o˜es: 1. Quando lanc¸amos um dado na˜o viciado, cada uma das seis faces tem a mesma chance de ser mostrada, 1 6 . Assim, a probabilidade de sair a face 3 em um lanc¸amento de uma dado na˜o viciado e´ 1 6 . Logo: p = 1 6 ⇒ 1− p = 5 6 . Seja X a varia´vel que conta o nu´mero de vezes qua a face 3 e´ mostrada em n lanc¸amentos. Como cada lanc¸amento e´ independente do outo, enta˜o X segue uma distribuic¸a˜o binomial de probabilidade. Assim, a probabilidade de a face 3 ser mostrada pelo menos uma vez sera´: P (pelo menos uma vez) = 1− P (nenhuma) = 1− P (X = 0) = 1− [( n 0 )( 1 6 )0( 5 6 )n] = 1− 1× 1× ( 5 6 )n = 1− ( 5 6 )n . 2. Seja X a vara´vel que conta o nu´mero de vito´rias do time X . Assim, seu pro´prio nome e´ uma varia´vel aleato´ria. X segue distribuic¸a˜o binomial de probabilidade porque cada jogo tem probabilidade de vito´ria independente do outro. Em 5 jogos, temos n = 5 . a) P (X = 3) = ( 5 3 )( 2 3 )3( 1 3 )2 = 5! 2!3! × 8 27 × 1 9 = 5× 4 2 × 8 27× 9 = 160 486 = 80 243 . b) P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− [( 5 0 )( 2 3 )0( 1 3 )5] = 1− 1× 1× ( 1 3 )5 = 1− 1 35 = 1− 1 243 = 243− 1 243 = 242 243 . c) P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) =( 5 3 )( 2 3 )3( 1 3 )2 + ( 5 4 )( 2 3 )4( 1 3 )1 + ( 5 5 )( 2 3 )5( 1 3 )0 = Como vimos no item a), P (X = 3) = 80 243 . Logo: P (X ≥ 3) = 80 243 + 5× ( 2 3 )4 × 1 3 + 1× ( 2 3 )5 × 1 = 80 243 + 5× 24 35 + 25 35 = 80 243 + 80 243 + 32 243 = 192 243 = 64 81 . 2 3. Sa˜o dados da questa˜o: p = 1 3 , 1− p = 2 3 e n = 6 . a) Seja X o nu´mero de vezes que o atirador acerta o alvo. Estamos interessados em P (X = 2). P (X = 2) = ( 6 2 )( 1 3 )2( 2 3 )4 = 6! 2!4! × 1 9 × 16 81 = 6× 5× 4! 4!× 2 × 16 729 = 30 2 × 16 729 = 240 729 = 80 243 . b) Com a mesma varia´vel X definida no item anterior, desejamos encontrar P (X = 0) . P (X = 0) = ( 6 0 )( 1 3 )0( 2 3 )6 = 1× 12 6 36 = 64 729 . 4. Podemos encontrar a distribuic¸a˜o de probabilidade desta varia´vel atrave´s da func¸a˜o de distibuic¸a˜o. fX(0) = FX(0) = 1 243 , fX(1) = FX(1)− FX(0) = 11243 − 1243 = 10243 , fX(2) = FX(2)− FX(1) = 51243 − 11243 , fX(3) = FX(3)− FX(2) = 131243 − 51243 = 80243 , fX(4) = FX(4)− FX(3) = 211243 − 131243 = 80243 , fX(5) = FX(5)− FX(4) = 1− 211243 = 243−211243 = 32243 . Assim: X 0 1 2 3 4 5 fX(x) 1 243 10 243 40 243 80 243 80 243 32 243 a) n = 5. (e´ o valor ma´ximo que X pode assumir.) b) Temos que P (X = 0) = 1 243 . Como a distribuic¸a˜oe´ binomial, enta˜o: P (X = 0) = ( n 0 ) p0 (1− p)n . Como n = 5 , enta˜o: P (X = 0) = ( 5 0 ) p0 (1− p)5 = 1× 1× (1− p)5 = (1− p)5 . 3 Mas P (X = 0) = 1 243 . Logo: 1 243 = (1− p)5 ⇒ ( 1 3 )5 = (1− p)5 ⇒ 1 3 = 1− p ⇒ p = 1− 1 3 ⇒ p = 3− 1 3 ⇓ p = 2 3 . c) E(X) = n× p = 5× 2 3 = 10 3 . d) V AR(X) = n× p× (1− p) = 10 3 × 1 3 = 10 9 . e) P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1) = 1− P (X = 0) = 1− 1 243 = 242 243 . 5. Temos os seguintes dados da questa˜o: p = 0, 02 , 1− p = 0, 98 e n = 5 . Logo: P (X = 0) = ( 5 0 ) p0 (1− p)5 = 1× 1× (0, 98)5 = 0, 904. 6. Dados da questa˜o: p = 0, 8 , 1− p = 0, 2 e n = 11 . a) P (X = 11) = ( 11 11 ) (0, 8)11(0, 2)0 = 1× (0, 8)11 × 1 = 0, 086. b) Temos que 20% dos carros na˜o voltam. Assim, a probabilidade de so´ um na˜o voltar sera´: P (X = 1) = ( 11 1 ) (0, 2)1(0, 8)10 = 11× 0, 2× (0, 8)10 = 11× 0, 2× 0, 107 = 0, 235. 4
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