Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
i ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada 11 Aplicações de Operações Elementares 12 Exercícios 15 Respostas 18 Apêndice A – Determinante 19 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Definição 24 Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24 Classificação de Sistemas 25 Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26 Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28 Sistema Homogêneo 37 Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38 Exercícios 39 Respostas 40 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição 41 Subespaço Vetorial 42 Combinação Linear 43 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44 Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45 Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46 Operações com Subespaços Vetoriais 47 Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49 Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50 Exercícios 51 Respostas 54 Apêndice B – Teoremas 55 ii TRANSFORMAÇÕES LINEARES Transformação Linear 62 Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 63 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 66 Transformação Linear Injetora 68 Transformação Linear Sobrejetora 68 Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 69 Matriz Associada a uma Transformação Linear 70 Operações com Transformações Lineares 72 Exercícios 73 Respostas 77 Apêndice C – Teoremas 78 GLOSSÁRIO 82 BIBLIOGRAFIA 84 1 MATRIZES Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos. = mnmm n n a...aa ............ a...aa a...aa A 21 22221 11211 Notação: nmijaA ×= )( com njmi ,...,2,1 e ,...,2,1 == ija - elemento genérico da matriz A i - índice que representa a linha do elemento ija j - índice que representa a coluna do elemento ija nm × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”. Representações: ( )=A [ ]=A =A Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 88× . 2) A matriz 32)( ×= ijaA onde jiaij += 2 é 2 3 4 5 6 7 . 3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: cidade A cidade B cidade C cidade D 010362704957 1036035721244 270435720638 95712446380 Dcidade C cidade Bcidade A cidade Esta é uma matriz 44 × (quatro por quatro). 4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans 257012030 60010070 40258050 IIIloja IIloja Iloja Esta é uma matriz 43× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas. 2 Igualdade Duas matrizes de mesma ordem nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( são iguais quando ijij ba = para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Matrizes Especiais 1. Matriz Linha Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: nijaA ×= 1)( Exemplo: ( ) 31438 ×− 2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: 1)( ×= mijaA Exemplo: 13 1 9 3 × 3. Matriz Nula Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 0=ija para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Notação: nm×0 Exemplo: 32000 000 × 4. Matriz Quadrada Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, nm = . Notação: == × nnnn n n nnij aaa aaa aaa aA ... ............ ... ... )( 21 22221 11211 Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde ji = para todo nji ,...,2,1, = . Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1+=+ nji para todo nji ,...,2,1, = . Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. nn n k kk aaaatrA +++==∑ = ...2211 1 Exemplo: − = ×9110 075 432 33 A Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. 18972 =++=trA 3 5. Matriz Diagonal Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji ≠ para todo nji ,...,2,1, = . Exemplo: 33 300 010 002 × 6. Matriz Identidade Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: nI Exemplo: 22 2 10 01 × =I 7. Matriz Triangular Superior Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji > para todo nji ,...,2,1, = . Exemplo: − − ×2000 0100 7650 4321 44 8. Matriz Triangular Inferior Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji < para todo nji ,...,2,1, = . Exemplo: − ×037 084 001 33 Operações com Matrizes 1. Adição Sejam nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma BAC += tal que nmijcC ×= )( e ijijij bac += para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos: 1) Sejam −= 435 121 A e − −= 55,04 5,270 B . Então −= ++− +−−+=+ 95,31 5,151 545,0345 5,217201 BA . 4 2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. preço custo preço custo compra transporte compra transporte 25 812 153 C substância Bsubstância A substância 53 99 86 C substância Bsubstância A substância Fornecedor 1 Fornecedor 2 A matrizque representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por: 78 1721 239 Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, )()( CBACBA ++=++ . A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ABBA +=+ . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , CBA =+ e DAB =+ . ijijijijijij dabbac =+=+= para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, DC = . Logo, a operação de adição é comutativa. A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, AAA nmnm =+=+ ×× 00 . A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem nm × existe uma matriz S de mesma ordem tal que nmASSA ×=+=+ 0 . Sendo nmijaA ×= )( tem-se nmijnmij asS ×× −== )()( . Notação: AS −= Assim, nmAAAA ×=+−=−+ 0)()( . Além disso, BABA −=−+ )( . A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, trBtrABAtr +=+ )( . Dem: Considere as matrizes de ordem n. )()()...()...()(...)()( 11111111 BtrAtrbbaababaBAtr nnnnnnnn +=+++++=++++=+ 5 2. Multiplicação por Escalar Sejam nmijaA ×= )( uma matriz e R∈k um escalar, define-se a matriz produto por escalar AkB ⋅= tal que nmijbB ×= )( e ijij akb ⋅= para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos: 1) Sejam 3 e 71 53 01 −= − −= kA . Então − − − = −−− −−− −− =⋅− 213 159 03 7).3()1).(3( )5).(3(3).3( 0).3(1).3( )3( A 2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano. TRIGO CEVADA MILHO ARROZ REGIÃO I 1200 800 500 700 REGIÃO II 600 300 700 900 REGIÃO III 1000 1100 200 450 Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é: 90040022002000 180014006001200 1400100016002400 Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , AkAkAkk ⋅+⋅=⋅+ 2121 )( . E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , )()( 2121 AkkAkk ⋅⋅=⋅⋅ . E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar R∈k , BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )( . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCkBAk =⋅=+⋅ )( e GFEBkAk =+=⋅+⋅ . ijijijijijijijijij gfebkakbakckd =+=⋅+⋅=+⋅=⋅= )( , para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = . Logo, vale a propriedade. E4. Para toda matriz A de ordem nm × , nmA ×=⋅ 00 . E5. Para toda matriz A de ordem nm × , AA =⋅1 . E6. Para toda matriz quadrada A e para todo trAkAktrk ⋅=⋅∈ )(,R . 6 3. Multiplicação Sejam as matrizes pmijaA ×= )( e npijbB ×= )( , define-se a matriz produto BAC ⋅= tal que nmijcC ×= )( e ∑ = ⋅= p k kjikij bac 1 , isto é, pjipjijiij bababac ⋅++⋅+⋅= ...2211 para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos: 1) Sejam − = 41 12 01 A e −= 101 132 B . Então −+−+−+− −+++ −+++ =⋅ )1.(41).1(0.43).1(1.42).1( )1.(11.20.13.21.12.2 )1.(01.10.03.11.02.1 BA −− = 532 165 132 Observe que 333223 )( e )( , )( ××× === ijijij cCbBaA . 2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II. A B C 105 034 II alimento I alimento Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por: ( ) ( ) ( )21530120502355245 105 034 25 =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅= ⋅ Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C. Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens nllppm ××× e , , respectivamente, )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ . Dem.: Considere ECDCBA =⋅=⋅⋅ )( e GFACBA =⋅=⋅⋅ )( . =⋅⋅=⋅= ∑ ∑∑ = == l k kj p t tkit l k kjikij cbacde 1 11 )( ljpliplijpipijpipi cbabacbabacbaba )...(...)...()...( 112212111111 +++++++++= ljplipljlijpipjijpipji cbacbacbacbacbacba +++++++++= ............ 11222121111111 )...(...)...( 221112121111 ljpljpjpipljljji cbcbcbacbcbcba ++++++++= ij p t tjit p t l k kjtkit gfacba =⋅=⋅⋅= ∑∑ ∑ == = 11 1 )( para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GE = . Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes. 7 M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem pm × , para toda matriz C de ordem np × e para toda matriz D de ordem ml × , CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )( e BDADBAD ⋅+⋅=+⋅ )( . M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, AAIIA nn =⋅=⋅ M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, )()( ABtrBAtr ⋅=⋅ . M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo R∈k , )()()( BkABAkBAk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, nnnnnn AA ××× =⋅= 000. Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, ABBA ⋅≠⋅ . Quando ABBA ⋅=⋅ , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 23)( ×= ijbB . ABDdcCBA ijij ⋅==≠==⋅ ×× 3322 )()( . 2) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 13)( ×= ijbB . 12)( ×==⋅ ijcCBA e a matriz produto AB ⋅ não é definida. 3) Sejam = 43 21 A e −= 21 01 B . ABBA ⋅= −−≠ =⋅ 107 21 81 41 4) Sejam −= 12 21 A e −= 11 11 B . Assim, ABBA ⋅= −=⋅ 31 13 . Logo, as matrizes A e B comutam entre si. Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. nIA =0 AA =1 AAA ⋅=2 ..................................... AAAAA kkk ⋅=⋅= −− 11 Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A. 8 Exemplos: 1) Seja = 10 31 A . Então = ⋅ =⋅= 10 61 10 31 10 312 AAA . 2) Sejam o polinômio 112)( 2 −+= xxxf e a matriz −= 34 21 A . Determinando o valor )(Af : 0122 112112)( xxxxxxf −+=−+= 2 12012 112112)( IAAAAAAf ⋅−⋅+=⋅−⋅+= ⋅− −⋅+ − −= 10 01 11 34 21 2 178 49 )(Af = − −+ −+ − −= 00 00 110 011 68 42 178 49 A matriz A é uma raiz do polinômio, já que 22)( ×= 0Af . Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando AA =2 . Exemplo: A matriz −− −− − 455 343 112 é idempotente. (Verifique!) 4. Transposição Seja a matriz nmijaA ×= )( , define-se a matriz transposta B tal que mnijbB ×= )( e jiij ab = , istoé, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: tAB = Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz A, AA tt =)( . T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ttt BABA +=+ )( . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCBA tt ==+ )( e GFEBA tt =+=+ . ijijijjijijiij gfebacd =+=+== para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = . T3. Para toda matriz A e para todo escalar R∈k , tt AkAk ⋅=⋅ )( . T4. Para toda matriz A de ordem pm × e para toda matriz B de ordem np × , ttt ABBA ⋅=⋅ )( . T5. Para toda matriz quadrada A, trAAtr t =)( . 9 Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando AAt = . Exemplo: − − 501 023 134 Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 2. Matriz Anti-simétrica Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando AAt −= . Exemplo: − − − 071 703 130 Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários. 3. Matriz Invertível ou Não-singular Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que nIABBA =⋅=⋅ . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A. Notação: 1−= AB nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 Exemplos: 1) A matriz 31 52 é invertível e sua inversa é − − 21 53 pois: = ⋅ − −= − −⋅ 10 01 31 52 21 53 21 53 31 52 2) Obtendo a matriz inversa da matriz −= 01 12 A Considere = ty zx B Se nIBA =⋅ então = −−= ⋅ − 10 0122 01 12 zx tzyx ty zx Assim, = =− = =− 1 02 0 12 z tz x yx Desta forma, −= 21 10 B 10 Verifica-se também que nIAB =⋅ . Então a matriz inversa da matriz A é −= − 21 101A . 3) A matriz 987 654 321 não possui inversa. Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução: AA =−− 11 )( . I2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA . dem.: nn IAAAIAABBAABBA =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Analogamente, nn IBBBIBBAABBAAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Logo, o produto é invertível. I3. tt AA )()( 11 −− = . Semelhança de Matrizes Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ tal que APPB 1−= . Exemplo: As matrizes 01 10 e −11 01 são semelhantes. Considere −= 11 12 P e −= − 3 2 3 1 3 1 3 1 1P . Assim, −⋅ ⋅ −= − 11 12 01 10 11 01 3 2 3 1 3 1 3 1 . 4. Matriz Ortogonal Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando tAA =−1 . Exemplo: − θθ θθ cos cos sen sen 5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, AAAA tt ⋅=⋅ . Exemplo: − 63 36 11 Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j. ji LL ↔ OE2. A multiplicação da linha i por um escalar R∈k não nulo. ii k LL ⋅← OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com R∈k não nulo. jii k LLL ⋅+← Exemplo: 51 42 00 L1↔L3 1 5 2 4 0 0 L2← 1 2 L2 1 5 1 2 0 0 L2←L2+(-1)L1 − 00 30 51 Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A. Exemplo: A matriz 0 0 2 4 1 5 é equivalente a matriz − 00 30 51 , pois usando somente operações elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas. Exemplos: −1000 6200 5010 3017 2 0 0 5 0 0 3 1 0 0 0 5 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 − 0000 0000 0410 5021 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12 Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada: Exemplos: 1) 987 654 321 122 )4( LLL −+← −− 987 630 321 133 )7( LLL −+← 1260 630 321 −− −− 233 )2( LLL −+← −− 000 630 321 2) − 310 210 030 200 31 LL ↔ − 310 200 030 210 122 )3( LLL −+← − − 310 200 600 210 144 LLL +← − 500 200 600 210 26 1 2 )( LL −← 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 0 5 233 )2( LLL −+← 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 5 244 )5( LLL −+← 0 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: AP Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. Passo 1: Construir a matriz ( )nIA | de ordem nn 2× . Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( )nIA | de forma a transformar o bloco A na matriz identidade nI . Caso seja possível, o bloco nI terá sido transformado na matriz 1−A . Se não for possível transformar A em nI é porque a matriz A não é invertível. Exemplo: Seja = 111 013221 A . A matriz inversa é −− − − =− 512 613 201 1A . 13 100111 010013 001221 122 )3( LLL −+← −−− 100111 013650 001221 133 )1( LLL −+← −−− −−− 101110 013650 001221 32 LL ↔ −−− −−− 013650 101110 001221 22 )1( LL −← −−− − 013650 101110 001221 233 5LLL +← −− − 512100 101110 001221 211 )2( LLL −+← −− − − 512100 101110 201001 133 )1( LL −← −− − − 512100 101110 201001 322 )1( LLL −+← −− − − 512100 613010 201001 Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente por linha a matriz nI . Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz nI , transforma a matriz nI na matriz 1−A . Exemplo: Considere a matriz = 30 21 A . A redução da matriz A à matriz identidade é: −+← ← 10 01 L)2(LL 10 21 L 3 1L 30 21 21122 Aplicando em nI a mesma seqüência de operações: − −+← ← 3 10 3 21 L)2(LL 3 10 01 L 3 1L 10 01 21122 Assim, a matriz − 3 10 3 21 é a inversa da matriz A. 14 2. Cálculo do Determinante A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: AA ou det É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal. b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de uma certa linha forem multiplicados por k. c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo jii k LLL ⋅+← . (Teorema de Jacobi). d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima. Exemplos: 1) = − 162 963 510 det = − 162 321 510 det3 = − − 162 510 321 det)3( = − − − 5100 510 321 det)3( 165)55(11)3( 5500 510 321 det)3( =−⋅⋅⋅−= − − − 2) = −− − − 3210 5211 3002 1432 det = − − −− − 3210 1432 3002 5211 det)1( = − −− − 3210 11010 7420 5211 det)1( = − −− 3210 7420 11010 5211 det = − −− 8200 29400 11010 5211 det = − −− − 29400 8200 11010 5211 det)1( = − −− − 29400 4100 11010 5211 det)2( 9045111)2( 45000 4100 11010 5211 det)2( −=⋅⋅⋅⋅−= − −− − Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A. 15 3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo. Exercícios 1) Resolva a equação matricial , 67 18 423 = −+ +− dacd cbba indicando os valores para a, b, c e d. 2) Considere − − = 412 540 312 A , − −− = 674 210 538 B , − = 993 471 320 C e 4=k . Verifique se: a) )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ b) CkBkCBk ⋅−⋅=−⋅ )( c) trBtrABAtr +=+ )( d) trCtrACAtr ⋅=⋅ )( 3) Seja = 63 21 A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que 22×=⋅ 0BA . 4) Seja = 11 12 A . Resolva a equação matricial 2IXA =⋅ , onde 22)( ×= ijxX . 5) Mostre que, em geral, )()(22 BABABA +⋅−≠− , sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem. 6) Seja = 10 21 A . Encontre nA . 7) Verifique que a matriz −18 03 é uma raiz do polinômio 32)( 2 −−= xxxf . 8) Considere = 14 02 A . a) Indique a matriz 2 2 2 IAA +⋅− b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique 313 )( −− = AA . 9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 1 0 0 0 quanto com a matriz 0 1 0 0 são múltiplas de 2I . 10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz − 12 21 . 16 11) Sejam −= 43 21 A e −= 76 05 B . Verifique a igualdade ttt ABBA ⋅=⋅ )( . 12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e CABA ⋅=⋅ então CB = . (Lei do Corte) 13) Sejam − = 100 201 312 A e = 3 2 1 B . É possível calcular X, na equação BXA =⋅ ? 14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável. a) CXBA =⋅⋅ b) CXAC t =⋅⋅ c) CBXACXA ⋅⋅⋅=⋅⋅ 2 d) ACXBA ⋅=⋅⋅ −1 e) ABAXA t ⋅⋅=⋅2 15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz )( AAt ⋅ é invertível. A matriz tt AAAA ⋅⋅⋅ −1)( é simétrica? E idempotente? 16) Mostre que a matriz − θθ θθ cos cos sen sen é uma matriz ortogonal. 17) Determine a, b e c de modo que a matriz cba 2 1 2 10 001 seja ortogonal. 18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2AB ⋅ também é simétrica? Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o elemento ija da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.17 Gelato Delícia Suave 2,02,06,0 1,05,04,0 1,01,08,0 Suave Delícia Gelato a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas. 24) Verifique se a matriz − −− − 372 511 421 é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa. 25) Para que valores de a a matriz − a11 110 121 admite inversa? 26) Dada a matriz −= 210 152 031 A . Indique a matriz ( )3| IA e determine 1−A . 27) Dada a matriz − − − =− 121 210 331 1A . Indique a matriz A. 28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz a21 212 111 seja invertível. 29) Calcule o determinante das matrizes 1 2 4 2 3 5 3 4 6 − − − e − 214 642 103 . 30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que 5det =A , determine: a) )3det( A⋅ b) tAdet c) )det( A− d) 2det A 31) Encontre todos os valores de a para os quais 0 30 51 det = + − a a . 18 Respostas 1) 1,4,3,5 ==−== dcba 23) a) 0,1 e 0,6 b) 12,020,068,0 11,031,058,0 11,015,074,0 3) ∈ −−= *22 R,t,z tz tz B 24) −− − −− =− 2 1 2 3 2 5 2 1 2 5 2 71 31116 A 4) − −= 21 11 X 25) 2−≠a 6) = 10 21 n An 26) − −− − =− 112 124 3611 1A 8) a) 1 0 4 0 b) − 1 0 2 7 8 1 27) − −= 6 1 6 5 6 1 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 A 10) ∈ − R,x,yxy yx 28) 1≠a 13) Sim, − = 3 0 4 X 29) 0 e 24, respectivamente. 14) a) CABX ⋅⋅= −− 11 b) tAX )( 1−= c) BX = d) ACABX ⋅⋅⋅= −1 e) tABAX )( 1 ⋅⋅= − 30) a) 53 ⋅n b) 5 c) − contrário caso 5 par for se 5 n d) 25 15) Sim. Sim. 31) 3 ou 1 −== aa 17) e 2 2 2 2 −== cb ou e 2222 =−= cb 19 Apêndice A - Determinante Permutações Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora AAf →: . Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem !n permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja },{ baA = e as bijeções abaixo: a a a a b b b b A notação usual é: ba ba ab ba Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados. 2) Seja }3,2,1{=A . 1 2 3 2 1 3 , 1 2 3 1 3 2 e 1 2 3 3 1 2 são três das seis permutações possíveis em A. 3) Seja },,,{ dcbaA = . adcb dcba é uma das 24 permutações possíveis. Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos: 1) Seja }3,2,1{=A com a ordem numérica usual, isto é, 1 2 3≤ ≤ . 1 2 3 2 1 3 e 1 2 3 1 3 2 são permutações ímpares e 1 2 3 3 1 2 é par. 2) Seja },,,{ dcbaA = com a ordem lexicográfica (alfabética) usual. adcb dcba é uma permutação ímpar. Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo. 20 O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: nnijaAA ×)det( det Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3, = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , e as permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. A partir da permutação ímpar 1 2 3 1 3 2 associa-se o produto “ 322311 aaa− ” , tal que os índices linha correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por: 312313322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−= Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos ija da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) 6)6det( = 2) 72.07).1( 72 01 det 21122211 −=−−=−= − aaaa 3) 312213322113312312332112322311332211 2 1 00 401 252 det aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−−= − − 0.0).2( 2 1).1).(2(0.4.50).1.(5 2 1.4.20.0.2 −−−−++−−−= 3−= 21 Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n, = nnnn n n a....aa ................ a....aa a....aa A 21 22221 11211 Considere um elemento ija qualquer, com nji ,...,1, = e a submatriz ijA de ordem )1( −n obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz ijA sinalizado por ji+− )1( é denominado o cofator do elemento ija . Exemplo: Seja a matriz − − 00 401 252 2 1 . O cofator do elemento 23a , isto é, de 4 é : 11).1( 2 10 52 det.)1( 32 −=−= − + O cofator do elemento 031 =a a31 é: 2020.140 25 det.)1( 13 == −− + Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por: ∑ = + ⋅−⋅= n j ij ji ij AaA 1 det)1(det A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser: ∑ = + ⋅−⋅= n i ij ji ij AaA 1 det)1(det Exemplos: 1) −= 72 01 A fixada a linha 2. 22 22 2221 12 21 det)1(det)1(det AaAaA ++ −+−= 1.)1.(70.)1.(2 43 −−+−= )1.(1.70).1.(2 −+−= 7−= 2) − − = 00 401 252 2 1 A fixada a linha 1. 13 31 1312 21 1211 11 11 det)1(det)1(det)1(det AaAaAaA +++ −+−+−= 2 10 01 .1).2( 00 41 ).1.(50 2 1 40 .1.2 − −+−−+= 22 Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: +−+−= ++ ]det.)1.(4det.)1.(0.[1.2det 12211111 AAA +−+−−− ++ ]det.)1.(4det.)1).(1).[(1.(5 12211111 AA ]det.)1.(0det.)1).(1.[(1).2( 12 21 11 11 AA ++ −+−−− ]0).1.(0 2 1.1).1.[(1).2(]0).1.(40.1).1).[(1.(5] 2 1).1.(40.1.0.[1.2 −+−−+−+−−+−+= 314 2 1.1).2(0).1.(5)2.(1.2 −=+−=−+−+−= Propriedades Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e R∈k não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então nnaaaA ...det 2211= . dem: Considere a matriz = nn n n a.... ............. a....a a....aa A 00 .. 0 222 11211 . Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, 1 1 121 12 2111 11 11 1 1 1 1 det)1(...det)1(det)1(det)1(det n n n n i i i i AaAaAaAaA +++ = + −++−+−=−= ∑ ∑− = +−= = 1 1 1 1 111 333 22322 11 det)1( ... 0 0 ...................... ... 0 ... det n i i i i nn n n Aaa a aa aaa a ]det)1(...det)1([ 1)1( 11 11 11 2211 − +−+ −++−= nnnn AaAaa ∑− = +−= = 2 1 1 1 12211 444 33433 2211 det)1( ... 0 0 ...................... ... 0 ... det n i i i i nn n n Aaaa a aa aaa aa ]det)1(...det)1([ 1)2( 12 11 11 332211 − +−+ −++−= nnnn AaAaaa nnaaa ...2211= Corolários: i) 0det =n0 ii) 1det =nI iii) Se A é uma matriz diagonal então nnaaaA ...det 2211= . D2. 0det =A , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. 0det =A , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. AkAk n det)det( ⋅=⋅ D5. BABA detdet)det( ⋅=⋅ D6. tAA detdet = 23 D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: a) Li ↔Lj : AB detdet −= b) Li ←k.Li : AkB detdet ⋅= dem: Considere a matriz = nnnn inii n aaa aaa aaa A ... ........................ ... ......................... ... 21 21 11211 . Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes, ∑ = +−= n j ij ji ij AaA 1 det)1(det Seja a matriz = nnnn inii n aaa kakaka aaa B ... ........................ ... ......................... ... 21 21 11211 obtida pela operação elementar Li ←k.Li. AkAakAkaB n j ij ji ij n j ij ji ij detdet)1(det)1)((det 11 ⋅=−⋅=−= ∑∑ = + = + c) Li ←Li + k.Lj : AB detdet = D8. A é uma matriz invertível se e somente se 0det ≠A . D9. Se A é uma matriz invertível então A A det 1det 1 =− . D10. Se A e B são matrizes semelhantes então BA detdet = . D11. Se A é uma matriz ortogonal então 1det ±=A . Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações. a) 1 2 3 4 b) 1 4 7 2 5 8 3 6 9 2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace. a) 1 4 7 2 5 8 3 6 9 b) − 1021 1413 1152 1101 3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis. a) x87 654 321 b) − − 11 11 11 x x x 24 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Dados os números reais baaa n ,,...,, 21 , com 1≥n , a equação bxaxaxa nn =⋅++⋅+⋅ ...2211 onde nxxx ,...,, 21 são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis nxxx ,...,, 21 . Os números reais naaa ,...,, 21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx ,...,, 21 , respectivamente, e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações lineares com 1≥n variáveis, e é representado por: =⋅++⋅+⋅ =⋅++⋅+⋅ =⋅++⋅+⋅ mnmnmm nn nn bxa...xaxa ............................................ bxa...xaxa bxa...xaxa 2211 22222121 11212111 ....... Com R∈iij ba , , njmi ,...,1 e ,...,1 == . Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial: = ⋅ mnmnmm n n b b b x x x a...aa ............ a...aa a...aa ...... 2 1 2 1 21 22221 11211 444 3444 21 { { C X B Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial BXC =⋅ . Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema. = mmnmm n n b ... b b a...aa ............ a...aa a...aa A 2 1 21 22221 11211 25 Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,( 21 nsss que satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s , 2x por 2s , ... e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções. Exemplo: Dado o sistema =+ =− 2 42 yx yx , o par ordenado )0,2( é solução deste sistema. Assim, o conjunto solução )}0,2{(=S . De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como: • Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) • Determinado (SPD): há uma única solução • Indeterminado (SPI): há infinitas soluções • Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução. Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana. A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução. Exemplo: Os sistemas =− =+ 4 22 yx yx e =− =+ 822 22 yx yx são equivalentes poisambos possuem o mesmo conjunto solução )}2,2{( −=S . O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada. 2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares. 3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo: Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada escalonada )( AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )( CP . Assim: a) Se nPP CA == , o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se nPP CA <= , o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se CA PP ≠ , o sistema é Impossível (SI). 4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla. 26 b) Se o sistema for SPI, escolher APn − variáveis livres ou independentes. O número, APn − também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis livres. c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S . Exemplo: Seja o sistema =−+− =+− =++ 25 032 1 zyx zyx zyx com 3 equações e 3 incógnitas. A matriz ampliada é −− − 2511 0312 1111 . Após o escalonamento, a matriz escalonada é − − 2 1 3 2 3 1 100 10 1111 . E a matriz de coeficientes é: − 100 10 111 3 1 . Análise: 3=== nPP CA . Logo, o sistema é possível determinado (SPD). O sistema equivalente é −= =− =++ 2 1 3 2 3 1 1 z zy zyx Após as substituições, 2 1=y e 1=x . A solução do sistema é ( ){ }2121 ,,1 −=S . Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por }e |),{( RRR 2 ∈∈= yxyx . Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0( , denominado origem. Exemplos: 1) Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis: =+ =+ 732 1 yx yx Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana: Matriz ampliada 1 1 1 2 3 7 . Matriz escalonada: 1 1 1 0 1 5 . 27 Matriz de coeficientes 1 1 0 1 . Análise, 2=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD). Sistema equivalente = =+ 5 1 y yx Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se 4−=x . Logo a solução do sistema é descrita por )}5,4{(−=S . Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto )5,4(− . X Y 2) Dado o sistema: −=− −=− 442 22 yx yx Matriz ampliada: 1 2 2 2 4 4 − − − − . Matriz escalonada: −− 000 221 Matriz de coeficientes: − 00 21 . Análise, 21 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente = −=− 00 22 y yx A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de y, isto é, 22 −= yx . A solução do sistema é }),,22{(}22|),{( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxS . Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 442 −=− yx é múltipla da equação 22 −=− yx . Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos. X Y 28 3) Dado o sistema −=+ =+ 3 2 yx yx Matriz ampliada − 311 211 . Matriz escalonada: − 500 211 . Matriz de coeficientes 00 11 . Análise, CA PP =≠= 12 : Sistema Impossível. Sistema equivalente −= =+ 50 2 y yx , isto é, −= =+ 50 2yx A solução é ∅=S . Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas. X Y Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro: Retas Classificação do Sistema Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado Paralelas Impossível Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por }e ,|),,{( RR RR 3 ∈∈∈= z yxzyx . Geometricamente tem-se o espaço R3, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0,0( , denominado origem. 29 Exemplos: 1) Considere o sistema =+ =+ =++ 22 22 3 zy zy zyx Matriz ampliada 1 1 1 3 0 2 1 2 0 1 2 2 , matriz escalonada −− 2300 2210 3111 e matriz de coeficientes − 300 210 111 . Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD) . Sistema equivalente −=− =+ =++ 23 22 3 z zy zyx Sendo 3 2=z , fazendo-se as substituições: 3 2=y e 3 5=x . A solução do sistema é ( ){ }323235 ,,=S . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto ( )323235 ,, . 30 2) Dado o sistema =− =+ =++ 1 22 3 zx zy zyx Matriz ampliada − 1101 2210 3111 , matriz escalonada 1 1 1 3 0 1 2 2 0 0 0 0 e matriz de coeficientes 1 1 1 0 1 2 0 0 0 . Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente = =+ =++ 00 22 3 z zy zyx Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é, zy 22 −= . A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que zx +=1 .Esta sistema possui grau de liberdade 1. A solução do sistema é }),,22,1{( R∈−+= zzzzS . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta. 31 3) Seja o sistema =++ −=−−− =++ 6242 32 32 zyx zyx zyx Matriz ampliada −−−− 6242 3121 3121 , matriz escalonada 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 e matriz de coeficientes 1 2 1 0 0 0 0 0 0 . Análise, 31 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente = = =++ 00 00 32 z y zyx As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está amarrada pela relação zyx −−= 23 . A solução do sistema é },),,,23{( R∈−−= zyzyzyS . Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano é solução para o sistema. 32 4) Seja o sistema =++ =−− =−− 1 69123 234 zyx zyx zyx Matriz ampliada −− −− 1111 69123 2341 , matriz escalonada − −− 0000 10 2341 5 1 5 4 e matriz de coeficientes −− 000 10 341 5 4 . Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente = −=+ =−− 00 5 1 5 4 234 z zy zyx A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão assumir valores de acordo as relações 5 4z1−−=y e 5 z6 −=x . A solução é ( ){ }R∈= −−− zzS zz ,,, 54156 . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma reta. 33 5) Seja o sistema −=+ −=++ −=++ 40 202 10 zy zyx zyx Matriz ampliada 1 1 1 10 2 1 1 20 0 1 1 40 − − − , matriz escalonada 1 1 1 10 0 1 1 40 0 0 0 40 − − − e matriz de coeficientes 1 1 1 0 1 1 0 0 0 . Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente −= −=+ −=++ 400 40 10 z zy zyx A terceira equação é equivalente a 400 −= , o que é impossível. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum. 34 6) Dado o sistema =++ =++ =++ 30 20 10 zyx zyx zyx Matriz ampliada 1 1 1 10 1 1 1 20 1 1 1 30 , matriz escalonada 1 1 1 10 0 0 0 10 0 0 0 20 e matriz de coeficientes 1 1 1 0 0 0 0 0 0 . Análise, 13 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente = = =++ 200 100 10 z y zyx As duas últimas equações são impossíveis. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos. 35 7) Dado o sistema: =−+ =+− −=−+ 501062 2327 2053 zyx zyx zyx Matriz ampliada − − −− 501062 2327 20531 , matriz escalonada − −− 90000 14238230 20531 e matriz de coeficientes − − 000 38230 531 . Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente = =+− −=−+ 900 1423823 2053 z zy zyx A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro. 36 8) Seja o sistema =+−− =−+ =−+ 459 3210218 1659 zyx zyx zyx Matriz ampliada −− − − 4519 3210218 16519 , matriz escalonada − 0000 20000 16519 e matriz de coeficientes − 000 000 519 . Análise, 12 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). Sistema equivalente = = =−+ 00 200 1659 z y yx A segunda equação não possui solução. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro. 37 Sistema Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. =⋅++⋅+⋅ =⋅++⋅+⋅ =⋅++⋅+⋅ 0 ....... 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xa...xaxa ............................................ xa...xaxa xa...xaxa A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, )}0,...,0,0{(=S . No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem. Exemplos: 1) Seja o sistema =−+ =+− =−+ 02 02 0 zyx zyx zyx Matriz ampliada − − − 0121 0112 0111 , matriz escalonada − 0300 0010 0111 e matriz de coeficientes − 300 010 111 . Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD). Sistema equivalente = = =−+ 03 0 0 z y zyx Este sistema só admite solução trivial. Assim, )}0,0,0{(=S . 2) Seja o sistema =−− =−− =−− =++ 0636032 022 0 zyx zyx zyx zyx Matriz ampliada −− −− −− 0636 0321 0212 0111 , matriz escalonada 0000 0000 010 0111 3 4 e matriz de coeficientes 000 000 10 111 3 4 . 38 Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). Sistema equivalente = =+ =++ 00 0 3 4 0 z zy zyx A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas. A solução do sistema é ( ){ }R∈−= zzzzS ,,, 3431 . Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com nm = , pode ser representado pela equação matricial BXC =⋅ , sendo C uma matriz quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa 1−C , significa que o sistema é possível e determinado. BXC =⋅ BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( BCXI n ⋅=⋅ −1 BCX ⋅= −1 Como X é uma matriz de ordem 1×n , BC x x x X n ⋅= = −12 1 ... Exemplo: Seja o sistema =−+− =+− =++ 25 032 1 zyx zyx zyx A equação matricial BXC =⋅ é: −− − 511 312 111 . z y x = 1 0 2 . A matriz inversa da matriz C é −− −−=− 10 3 5 1 10 1 10 1 5 2 10 7 5 2 5 3 5 1 1C . Assim, − = ⋅ −− −−= 2 1 2 1 10 3 5 1 10 1 10 1 5 2 10 7 5 2 5 3 5 1 1 2 0 1 z y x . A solução do sistema é )},,1{( 2121 −=S . 39 Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana: 1) Resolva o sistema =+− =+− =+− 7643 3532 242 zyx zyx zyx . 2) Indique a solução do sistema =−+ =−− =−− 5232 144 232 zyx zyx zyx , o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de coeficientes. 3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa. Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana Modelagem 16 12 8.60 Polimento 8 6 4.60 Pintura 30 15 13.60 Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o. 4) Determine os valores de a de modo que o sistema =++ =++ =−+ 23 332 1 zayx azyx zyx seja: a) SPD b) SPI c) SI 5) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema =−+ =−+ =++ 16 4463 22 zbyx zyx azyx seja SPI e resolva-o para estes valores. 6) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema =−−− =++ =++ czyx bzyx azyx 43 363 242 seja possível. 40 7) Escreva a condição para que o sistema =+− =−+ =−+ czyx bzyx azyx 2167 245 28 tenha solução. 8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo =−+− =++ =++ 03 032 0 zyx zyx zyx . 9) Determine o conjunto solução S do sistema =+−− =−−+− =+−+ =++− 032 0 0 0 tzyx tzyx tzyx tzyx 10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de liberdade igual a dois. Resolva-o. 11) Considere o sistema =−+ =−+ =−+ 3573 2452 122 zyx zyx zyx . Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando a inversão de matrizes. Respostas 1) Sistema Impossível 6) qualquer e 032 cab =− 2) )}2,,{( 79710 −−=S 7) 023 =+− cba 3) 16,18 == yx 8) )}0,0,0{(=S 4) a) 3 e 2 −≠≠ aa b) 2=a c) 3−=a 9) }),2,,,2{( R∈−= zzzzzS ou ( ){ }R∈−= tttS tt ,,,, 22 5) 2 e 711 == ba 11) −− − − =− 111 012 243 1C e = 0 0 1 X 41 ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar. uvuv VVV + →×+ a),( : vkvk VV ⋅ →×⋅ a),( : R V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas: EV1. (Associativa) Para quaisquer Vwuv ∈,, , )()( wuvwuv ++=++ . EV2. (Comutativa) Para todo Vuv ∈, , vuuv +=+ . EV3. (Elemento Neutro) Existe Ve∈ tal que para todo Vv∈ , vevve =+=+ . Notação: Ve 0= EV4. (Elemento Simétrico) Para todo Vv∈ , existe Vv ∈' tal que Vvvvv 0=+=+ '' . Notação: vv −=' Assim, uvuv −=−+ )( EV5. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , vkkvkk ⋅=⋅⋅ )()( 2121 . EV6. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , )()()( 2121 vkvkvkk ⋅+⋅=⋅+ . EV7. Para todo R∈k e para quaisquer Vuv ∈, , )()()( ukvkuvk ⋅+⋅=+⋅ . EV8. Para todo Vv∈ , vv =⋅1 . Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares. Exemplos : 1) R2 com as operações: ),(),(),( tyzxtzyx ++=+ ),(),( kykxyxk =⋅ É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição V0 é o par ordenado )0,0( . 2) Rn com as operações: ),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ),...,,(),...,,( 2121 nn kxkxkxxxxk =⋅ 3) O conjunto das matrizes reais de ordem nm × , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal que o elemento neutro da adição é a matriz nula. 4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações abaixo: )()(...)()()( 0011 baxbaxbaxqxp n nn ++++++=+ 01...)( kaxkaxkaxpk n n +++=⋅ onde 01...)( axaxaxp n n +++= e 01...)( bxbxbxq nn +++= . É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição V0 é o polinômio 00...0 +++ xx n .42 5) R2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial. )0,(),(),( zxtzyx +=+ ),(),( kykxyxk =⋅ Não possui elemento neutro, pois: Seja ),( 21 eeV =0 tal que ),(),(),( 21 yxeeyx =+ . Mas, )0,(),(),( 121 exeeyx +=+ . Assim, )0,(),( 1exyx += . Portanto, para todo 0, =∈ yy R . Logo, não existe elemento neutro. Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio VS ⊆ com as seguintes propriedades: Sub1. SV ∈0 . Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ . Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ . Notação: VS ≤ . Exemplos: 1) }),0,0,{( R∈= xxS é um subespaço vetorial do R3 com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2ª e 3ª coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço. 1. SV ∈0 ? Sim, S∈)0,0,0( . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ? Sejam SxvSxu ∈=∈= )0,0,( e )0,0,( 21 . Então Sxxvu ∈+=+ )0,0,( 21 . Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores. 3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? Seja Sxu ∈= )0,0,( 1 . Então Skxuk ∈=⋅ )0,0,( 1 . Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar. O subespaço S poderia ser descrito ainda por }0 e 0|),,{( ==∈ zyzyx 3R . 2) O conjunto } e 0|),,{( zyxzyxS ≥=∈= 3R não é um subespaço vetorial do R3 com as operações usuais. 1. SV ∈0 ? Sim, )0,0,0( satisfaz as condições zyx ≥= e 0 . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ? Sejam SrtvSzyu ∈=∈= ),,0( e ),,0( , com rtzy ≥≥ e . 43 Então rztySrztyvu +≥+∈++=+ com ,),,0( . 3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? Não. (Contra-exemplo) Sejam R∈−∈− 2 e )1,4,0( S . S∉−=−⋅− )2,8,0()1,4,0()2( , pois 28 ≤− . 3) }1|),,{( +=∈= yxzyxS 3R não é um subespaço do R3, pois S∉)0,0,0( . O fato do vetor V0 pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto }{ V0 , chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais subespaços próprios de V. Combinação Linear Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 . Um vetor Vw∈ está escrito como combinação linear dos vetores nvvv ,...,, 21 quando existem R∈nkkk ,...,, 21 tais que nn vkvkvkw ⋅++⋅+⋅= ...2211 . Exemplos: 1) O vetor )1,1( −− é uma combinação linear dos vetores )2,1( e (3,5) , pois: )5,3()1()2,1(2)1,1( ⋅−+⋅=−− 2) O vetor )3,2,1( não pode ser escrito como combinação linear dos vetores )1,0,0( e )0,0,1( , pois: (*) )3,2,1()1,0,0()0,0,1( 21 =⋅+⋅ kk )3,2,1(),0,0()0,0,( 21 =+ kk )3,2,1(),0,( 21 =kk Assim, = = = 3 20 1 2 1 k k O sistema é impossível. Logo não existem valores reais para 21 e kk que satisfaçam a igualdade (*). 3) Determinando a “lei” que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear de )1,0,0( e )0,0,1( . ),,()1,0,0()0,0,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),0,0()0,0,( 21 zyxkk =+ ),,(),0,( 21 zyxkk = Assim, = = = zk y xk 2 1 0 O sistema é possível quando 0=y e para quaisquer R∈zx, . Assim, }0|),,{( =∈ yzyx 3R é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de )1,0,0( e )0,0,1( . Geometricamente, trata-se do plano XZ. 44 Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 e ],...,,[ 21 nvvv o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto ],...,,[ 21 nvvv é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores nvvv ,...,, 21 . O conjunto },...,,{ 21 nvvv é o conjunto gerador do subespaço ],...,,[ 21 nvvv . Exemplos: 1) O vetor 2R∈)2,1( gera o conjunto }),2,{()]2,1[( R∈= xxx . ),()2,1( yxk =⋅ ),()2,( yxkk = Assim, =∴= = xyyk xk 22 O conjunto de todas as combinações lineares do vetor )2,1( é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, )]2,1[( é uma reta definida pela equação 02 =− xy . 2) }0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( =+−∈= zyxzyx 3R . ),,()1,2,1()0,1,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),2,()0,,( 22211 zyxkkkkk =+ ),,(),2,( 22121 zyxkkkkk =++ Assim, = =+ =+ zk ykk xkk 2 21 21 2 Matriz ampliada z y x 10 21 11 e matriz escalonada +− − xyz xy x 00 10 11 . Para se determinar os vetores que são combinações lineares de )1,2,1( e )0,1,1( é necessário que o sistema seja possível, isto é, 0=+− zyx . Logo, },),,,{(}0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( RR 3 ∈−==+−∈= zyzyzyzyxzyx . Geometricamente, )]1,2,1(),0,1,1[( é um plano no 3R com equação 0=+− zyx . 3) 2R=)]2,4(),3,1[( . ),()2,4()3,1( 21 yxkk =⋅+⋅ ),()23,4( 2121 yxkkkk =++ Assim, =+ =+ ykk xkk 21 21 23 4 Matriz ampliada y x 23 41 e matriz escalonada − 10 310 41 yx x . Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo, 2R=)]2,4(),3,1[( . 45 4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores )3,1,1( e )1,0,2(),2,1,1( −− . O espaço gerado é o conjunto de vetores 3R∈= ),,( zyxv que possam ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é, ),,()3,1,1()1,0,2()2,1,1( 321 zyxkkk =−⋅+−⋅+⋅ . Assim, 322 0 2 321 321 321 =++ =++ =−− zkkk ykkk xkkk Matriz ampliada −− z y x 312 101 121 e matriz escalonada +− −−− 2 25000 2 110 121 zyx xy x . Para que o sistema seja possível é necessário que 025 =+− zyx . Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores 3R∈),,( zyx que são combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é }025|),,{( =+−∈ zyxzyx 3R , que geometricamente representa um plano em R3. Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes Um conjunto de vetores Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é linearmente independente (LI) quando Vnn vkvkvk 0=⋅++⋅+⋅ ...2211 se e somente se 0...21 ==== nkkk . Se existir pelo menos um 0≠ik , com ni ,...,1 = , então o conjunto é linearmente dependente (LD). Exemplos: 1) )}2,4(),3,1{( é LI, pois: )0,0()2,4()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()23,4( 2121 =++ kkkk Assim, =+ =+ 023 04 21 21 kk kk Matriz ampliada 023 041 e matriz escalonada 1 4 0 0 1 0 . O sistema é possível e determinado com 021 == kk . Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro. Foi visto que o espaço gerado por {(1,3), (4,2)} é R2, ou seja [(1,3), (4,2)] = R2. 2) )}6,2(),3,1{( é LD, pois: )0,0()6,2()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()63,2( 2121 =++ kkkk Assim, 063 02 21 21 =+ =+ kk kk 46 Matriz ampliada 1 2 0 3 6 0 e matriz escalonada 1 2 0 0 0 0 . O sistema é possível e indeterminado, com 21 2kk −= . Então, o conjunto é LD, pois ).3,1(2)6,2( ⋅= Os vetores (1,3) e (2,6) pertencem a uma mesma reta. O espaço gerado pelo conjunto {(1,3), (2,6)} é },3|),{( xyyx =∈ 2R isto é, }.3|),{()]6,2(),3,1[( xyyx =∈= 2R 3) {(2,0,5),(1,2,3),(3,2,8)} é
Compartilhar