3ªListaA_Linear

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Universidade Federal de Pernambuco
Terceira Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
Profa. Joelma Azevedo de Moura
1) Verifique se os operadores abaixo sa˜o diagonaliza´veis.
a) T : R3 → R3, tal que T (x, y, z) = (3x, x+ 2y, 4x+ 2z).
b) T : R5 → R5, tal que T (x1, x2, x3, x4, x5) = (−x2, x1 + x3, 2x3 − x4, 2x4 + 6x5, 3x5).
c) T : P2 → P2, tal que T (ax2 + bx+ c) = (3a+ 4b)x2 + bx− a+ 2b+ c.
2) Considere o espac¸o vetorial real V = Rn. Verifique se as aplicac¸o˜es abaixo definem um
produto interno:
a) 〈u, v〉 =
n∑
i=1
xi|yi|.
b) 〈u, v〉 =
∣∣∣∣∣
n∑
i=1
xiyi
∣∣∣∣∣.
c) 〈u, v〉 =
(
n∑
i=1
xi
)(
n∑
i=1
yi
)
.
3) Seja V um espac¸o vetorial com produto interno. Para quaisquer vetores u, v ∈ V , prove
que ‖u‖v + ‖v‖u e ‖u‖v − ‖v‖u sa˜o ortogonais.
4) Seja V um espac¸o vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e T : V → V um
isomorfismo. Mostre que a aplicac¸a˜o f : V × V → R, dada por
f(u, v) = 〈 T (u) , T (v) 〉,
define um produto interno.
5) Seja V um espac¸o vetorial euclidiano. Consideremos dois vetores unita´rios u e v que
formam um aˆngulo de
pi
3
radianos. Calcule ‖2u+ v‖.
6) Dados os vetores u = (3, 4), v = (1,−1) e w = (−1, 1) em R2, ponha em ordem crescente
os aˆngulos θu,v, θu,w e θv,w.
7) Sejam V um espac¸o vetorial real munido de produto interno e β uma base de V . Atrave´s
do processo de Gram- Schmidt, obtenha para cada um dos casos abaixo, uma base ortonor-
mal para V :
a) V =M(2× 2), β =
{[
1 1
0 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[
2 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e
〈 A,B 〉 = Tr(BtA).
b) V = P3, β = {x, x+ 1, x2 − x, x3 + 2x2 − 1} e
〈 p , q 〉 =
∫ 3
1
p(t) · q(t) dt.
c) V = R2, β = {(−1, 1), (1, 1)} e
〈 (x1, y1), (x2, y2) 〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2.
8) Considere o conjunto X formado pelos seguintes elementos de R3
u = (1, 1, 1), v = (1, 2,−3), w = (5,−4,−1).
Julgue os itens abaixo:
() Tomando o produto interno usual de R3, X e´ uma base ortogonal para este espac¸o.
() Tomando a base X e o vetor v = (1, 5,−7), temos
[ v ]X =
 20
13

9) Considere o espac¸o vetorial R4 munido de produto interno usual. Seja T : R4 → R2 a
transformac¸a˜o linear definida por
T (x, y, z, t) = (x− y − z + t,−x+ z + t).
Encontre uma base ortogonal para o nu´cleo de T .
10) Considere o espac¸o vetorial real R4 munido do produto interno usual. Seja W o sube-
spac¸o de R4 dado por: W = [(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1)]. Determine uma base para o subespac¸o
W⊥.
11) Considere o espac¸o vetorial real U = {p(x) ∈ P3(R); p(−1) = p(1) = 0} com o produto
interno
〈 p, q 〉 =
∫ 1
−1
p′(x)q′(x) dx, ∀ p, q ∈ U.
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o S = [1− x2] em U com
relac¸a˜o ao produto interno definido acima.
2
12) Considere o espac¸o vetorial R3 munido de produto interno usual. Seja T : R3 → R2 a
transformac¸a˜o linear definida por:
T (x, y, z) = (x− y − z, 2z − x).
Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal do nu´cleo de T .
13) Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual. Dados os ele-
mentos u = (1, 1, 1) e v = (2,−1, 1), determine os elementos w1 e w2 tais que v = w1 +w2,
de modo que w1 seja ortogonal ao elemento u e que o conjunto {w2, u} seja linearmente
dependente. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica.
14) Considere o espac¸o vetorial R3 com o produto interno usual. Seja T : R3 → R3 o
operador linear definido por:
T (x, y, z) = (x− y − z,−x+ y + 2z, x− y).
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o Im(T ).
15) Considere o espac¸o vetorial R3 munido do produto interno usual. Seja S o subespac¸o
de R3 dado por S = [(1, 1, 1)] e P : R3 → R3 o operador de projec¸a˜o ortogonal sobre S.
Determine o operador P (x, y, z).
16) Seja P : R3 → R3 o operador linear tal que P (v) = u e´ a projec¸a˜o ortogonal do
elemento v ∈ R3 no plano 3x+ 2y + z = 0. Pede-se:
a) Encontre o operador P (x, y, z).
b) Determine Im(T ).
c) Determine Ker(T ).
17) Considere o espac¸o vetorial real P2(R) com produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x) dx ; ∀ p, q ∈ P2(R)
Determine a projec¸a˜o ortogonal do elemento q(x) = x2 sobre o subespac¸o P1(R).
18) Considere o espac¸o vetorial R2 munido do produto interno usual. Seja S o subespac¸o
de R2 dado por
S = {(x, y) ∈ R2; y − ax = 0}
para a real. Seja R : R2 → R2 o operador reflexa˜o sobre S, paralelamente ao subespac¸o
S⊥. Determine a matriz do operador R em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R2.
3
19) Considere o espac¸o vetorial R3 munido do produto interno usual. Seja S o subespac¸o
de R3 dado por: S = [(3, 2, 1)] e R : R3 → R3 o operador de reflexa˜o sobre S. Determine
o operador R(x, y, z).
20) Seja R : R3 → R3 o operador linear tal que R(x, y, z) e´ a reflexa˜o do elemento (x, y, z) ∈
R3 sobre o plano 3x+ 2y + z = 0. Pede-se:
a) Determine o operador R(x, y, z).
b) Determine o nu´cleo do operador R.
c) Determine a imagem do operador R.
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