Slides Aulas Algebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Rogério Matos
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso
Campus Alta Floresta
Bacharelado em Zootecnia
Alta Floresta - MT
2016
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 2 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 2 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matrizes
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 3 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
MATRIZES
O que iremos estudar:
1 Conceito de matriz;
• Definição de matriz;
• Notação geral.
2 Igualdade de matrizes;
3 Tipos especiais de matrizes;
• Matriz quadrada, nula, identidade, diagonal e etc.
4 Operações com matrizes.
• Matriz transposta;
• Adição e subtração de matrizes;
• Multiplicação de uma matriz por um escalar;
• Multiplicação de matrizes.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
O que é uma matriz?
Definição de matriz:
Denomina-se matriz de ordem m× n (lê-se m por n) a toda
tabela de m · n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
2x −12 3
0 x
 , [3 0 1] , [1] ,
36
7
 .
Observação: Os elementos de uma matriz podem ser: números, funções, polinômios,
etc.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Curiosidade
Vocês sabiam que o que vemos na tela do computador (ou
no televisor) é uma enorme matriz, e que cada valor guardado
nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido
mostrado na tela (pixel).
Resolução é a quantidade de pixels que uma imagem pode ter.
Quanto maior a resolução, quanto mais pontos a imagem tiver,
melhor será a imagem.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 6 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Curiosidade
Vocês sabiam que o que vemos na tela do computador (ou
no televisor) é uma enorme matriz, e que cada valor guardado
nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido
mostrado na tela (pixel).
Resolução é a quantidade de pixels que uma imagem pode ter.
Quanto maior a resolução, quanto mais pontos a imagem tiver,
melhor será a imagem.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Curiosidade
Vocês sabiam que o que vemos na tela do computador (ou
no televisor) é uma enorme matriz, e que cada valor guardado
nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido
mostrado na tela (pixel).
Resolução é a quantidade de pixels que uma imagem pode ter.
Quanto maior a resolução, quanto mais pontos a imagem tiver,
melhor será a imagem.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Curiosidade
Vocês sabiam que o que vemos na tela do computador (ou
no televisor) é uma enorme matriz, e que cada valor guardado
nas linhas e colunas da matriz representa um ponto colorido
mostrado na tela (pixel).
Resolução é a quantidade de pixels que uma imagem pode ter.
Quanto maior a resolução, quanto mais pontos a imagem tiver,
melhor será a imagem.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Notação
representa-se as matrizes por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por
dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento pertence.
quando queremos especificar a ordem de uma matriz
A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos
Am×n.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Notação
representa-se as matrizes por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por
dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento pertence.quando queremos especificar a ordem de uma matriz
A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos
Am×n.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Notação
representa-se as matrizes por letras maiúsculas e seus
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por
dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento pertence.
quando queremos especificar a ordem de uma matriz
A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos
Am×n.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
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ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Observação: Nesse curso, as matrizes aparecerão
sempre entre colchetes. Porém, em algumas bibliogra-
fias, podem aparecer outras notações para matrizes,
como parênteses ou duas barras.
Por exemplo:
A =
(
1 2
3 4
)
ou B =
∥∥∥∥∥1 23 4
∥∥∥∥∥
representaremos assim:
A =
[
1 2
3 4
] Fiq
ue at
ento!
A not
ação
∣∣∣∣1 23 4
∣∣∣∣, é usada p
ara
repres
entar
o det
ermin
ante d
e
uma m
atriz.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Representação genérica de uma matriz
Representamos genericamente uma matrizA, de ordemm×n,
do seguinte modo:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
 .
Ou, simplesmente, por A = [aij]m×n .
Por exemplo:
A2×2 =
[
a11 a12
a21 a22
]
ou A3×2 =
a11 a12a21 a22
a31 a32

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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes ReferênciasComo já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Como já mencionado anteriormente, o primeiro índice i indica a
linha a qual pertence o elemento da matriz, e o segundo índice
j a coluna a qual o elemento da matriz pertence. Por exemplo,
na matriz:
A2×3 =
[
1 0 − 4
4 − 3 2
]
,
o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é −4,
isto é, a13 = −4.
Ainda nesse exemplo, temos:
a11 = 1, a12 = 0, a21 = 4, a22 = −3 e a23 = 2.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Resolva:
1. Identifique:
a) os elementos a11, a22 e a13 na matriz
 2 6 10
4 −5 −1
 .
b) os elementos a31, a23 e a33 na matriz

1 3 0
−4 10 2
6
√
3
√
2
 .
2. Escreva as matrizes:
a) A = [aij ]2×2 tal que aij = i2 − j2;
b) B = [aij ]3×2 tal que aij = i2;
c) C = [aij ]3×3 tal que aij = (−1)i+j ;
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Respostas:
1. a) a11 = 2, a22 = −5 e a13 = 10.
b) a31 = 6, a23 = 2 e a33 =
√
2.
2. a) A =
 0 −3
3 0
 .
b) B =

1 1
4 4
9 9
 .
c) C =

1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
 .
Quan
do é q
ue du
as
matri
zes sã
o igua
is?
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Respostas:
1. a) a11 = 2, a22 = −5 e a13 = 10.
b) a31 = 6, a23 = 2 e a33 =
√
2.
2. a) A =
 0 −3
3 0
 .
b) B =

1 1
4 4
9 9
 .
c) C =

1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
 .
Quan
do é q
ue du
as
matri
zes sã
o igua
is?
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Respostas:
1. a) a11 = 2, a22 = −5 e a13 = 10.
b) a31 = 6, a23 = 2 e a33 =
√
2.
2. a) A =
 0 −3
3 0
 .
b) B =

1 1
4 4
9 9
 .
c) C =

1 −1 1
−1 1 −1
1 −1 1
 .
Quan
do é q
ue du
as
matri
zes sã
o igua
is?
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Igualdade de matrizes
Definição:
Duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s são iguais,
se elas possuem o mesmo número de linhas (m = r) e o
mesmo número de colunas (n = s), e todos os seus elementos
correspondentes são iguais (aij = bij).
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Igualdade de matrizes
Definição:
Duas matrizes A = [aij]m×n e B = [bij]r×s são iguais,
se elas possuem o mesmo número de linhas (m = r) e o
mesmo número de colunas (n = s), e todos os seus elementos
correspondentes são iguais (aij = bij).
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de x e y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Exemplos:
1. As matrizes abaixo são iguais:32 1 log 1
2 22 5
 =
9 sen 90o 0
2 4 5

2. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 2 x + 1
2y 1
 . Determine
o valor de xe y para que A = B. 2 5
10 1
 =
 2 x + 1
2y 1
 então:
5 = x + 110 = 2y ⇒ x = 4 e y = 5.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
3. Vamos determinar x e y para que sejam iguais as matrizes[
3x + 2y 2
2 −3x + 3y
]
e
[
7 2
2 3
]
.
Pela definição, para que as matrizes sejam iguais devemos ter: 3x + 2y = 7−3x + 3y = 3 ⇒ x = 1 e y = 2.
4. Sendo A =

−5x − 4 1 5
6 4 y − 12
w2 3 −z + 8
 e B =

−19 1 5
6 4 −12
144 3 −1
 .
Para que A = B devemos ter:
x = 3, y = 0, w = ±12 e z = 9.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Resolva:
1. Determine x e y para que se tenha
x + 3 2
9 2y − 7
 =
−5 2
9 13
 .
Resposta: x = −8 e y = 10.
2. Sabendo que
a − b c
3b a + 3d
 =
2 5
9 26
 , determine a, b, c e d.
Resposta: a = 5, b = 3, c = 5 e d = 7.
3. Determine m e n para que se tenha
m −2n +m
0 1
 =
1 0
0 1
.
Resposta: m = 1, e n = 12 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 16 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Resolva:
1. Determine x e y para que se tenha
x + 3 2
9 2y − 7
 =
−5 2
9 13
 .
Resposta: x = −8 e y = 10.
2. Sabendo que
a − b c
3b a + 3d
 =
2 5
9 26
 , determine a, b, c e d.
Resposta: a = 5, b = 3, c = 5 e d = 7.
3. Determine m e n para que se tenha
m −2n +m
0 1
 =
1 0
0 1
.
Resposta: m = 1,e n = 12 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 16 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Resolva:
1. Determine x e y para que se tenha
x + 3 2
9 2y − 7
 =
−5 2
9 13
 .
Resposta: x = −8 e y = 10.
2. Sabendo que
a − b c
3b a + 3d
 =
2 5
9 26
 , determine a, b, c e d.
Resposta: a = 5, b = 3, c = 5 e d = 7.
3. Determine m e n para que se tenha
m −2n +m
0 1
 =
1 0
0 1
.
Resposta: m = 1, e n = 12 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 16 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Resolva:
1. Determine x e y para que se tenha
x + 3 2
9 2y − 7
 =
−5 2
9 13
 .
Resposta: x = −8 e y = 10.
2. Sabendo que
a − b c
3b a + 3d
 =
2 5
9 26
 , determine a, b, c e d.
Resposta: a = 5, b = 3, c = 5 e d = 7.
3. Determine m e n para que se tenha
m −2n +m
0 1
 =
1 0
0 1
.
Resposta: m = 1, e n = 12 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 16 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Tipos especiais de matrizes
Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem
algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colu-
nas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm
propriedades que as diferenciam de uma matriz qual-
quer. Por isso recebem nomes especiais, vejamos a
seguir alguns tipos.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 17 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Tipos especiais de matrizes
Ao trabalhar com matrizes, observamos que existem
algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colu-
nas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm
propriedades que as diferenciam de uma matriz qual-
quer. Por isso recebem nomes especiais, vejamos a
seguir alguns tipos.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 17 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 18 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 18 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 18 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 18 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 18 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Quadrada
Matriz Quadrada:
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de
colunas, ou seja, m = n.
Exemplos:
A =
 1 −2 03 1 4
5 6 7
 , B = [1 23 4
]
, C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 .
Observação: A ordem da matriz quadrada é n × n, ou
simplesmente n.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j = n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 19 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j = n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j = n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j= n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j = n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Diagonais de uma matriz quadrada
Numa matriz quadrada A = [aij], de ordem n, temos que:
Os elementos a11, a22, a33, · · · , ann formam a
diagonal principal .
A outra diagonal, denominada diagonal secundária, é
formada pelos elementos aij em que i + j = n + 1.
Vejamos o exemplo abaixo de uma matriz quadrada de ordem 4:
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Nula
Matriz Nula:
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A =
[
0 0
0 0
]
, B =
[
0 0 0
0 0 0
]
, C =
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 20 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 21 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 21 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Coluna
Matriz-Coluna:
É aquela que possui uma única coluna (n = 1).
Exemplos:
A =
02
5
 , B = [xy
]
, C =

1
2
3
4
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz-Linha
Matriz-Linha:
É aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
A =
[
3 −1 4
]
, B =
[
1 0
]
, C =
[
1 0 3 5
]
.
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Diagonal
Matriz Diagonal:
É uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para
i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos.
Exemplos:
A =
1 0 00 3 0
0 0 8
 , B = [1 00 2
]
, C =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 .
Um exemp
lo importan
te de matr
iz diagonal
vem a segu
ir
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Identidade
Matriz Identidade:
Também conhecida por matriz unidade, é uma matriz
diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1. É denotada por In , onde n é a ordem da matriz,
ou simplesmente por I .
Exemplos:
A =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , I2 =
[
1 0
0 1
]
, C =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
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Conceito de matrizIgualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 00 1 6
0 0 4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 01 6
4
 , B = [1 40 1
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 01 6
4
 , B = [1 41
]
, C =

5 0 4 2
0 3 − 3 0
0 0 − 1 5
0 0 0 12
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 25 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Superior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 − 2 − 1 01 6
4
 , B = [1 41
]
, C =

5 0 4 2
3 − 3 0
− 1 5
12
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 − 4 − 1 0
4 4 − 3 1
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 26 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 − 4 − 1 0
4 4 − 3 1
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 26 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 − 4 − 1 0
4 4 − 3 1
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 26 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 − 4 − 1 0
4 4 − 3 1
 .
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Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0
2 − 4 − 1 0
4 4 − 3 1
 .
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Matrizes) 26 / 47
Conceito de matriz Igualdade de matrizes Tipos especiais de matrizes Operações com matrizes Referências
Matriz Triangular Inferior
Matriz Triangular Inferior:
É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal principal são nulos.
Exemplos:
A =
 2 0 02 1 0
1 3 3
 e B =

1 0 0 0
3 3 0 0