aula9_movimento_parabolico

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Movimento Parabólico 
1. Introdução 
Nesta experiência, será estudado o Movimento Parabólico que é 
executado por um projétil quando é lançado com uma velocidade inicial v ⃗_0, 
formando um ângulo q com a horizontal. A trajetória parabólica ocorrerá se a 
resistência do ar for desprezível e a altura atingida pelo projétil for pequena, de 
modo que a aceleração da gravidade pode ser considerada constante. Uma 
ilustração deste tipo de movimento está apresentada na Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Ilustração de um movimento parabólico. 
 
Podemos decompor o movimento do projétil nas direções 𝑥 e 𝑦. 
Desprezando a resistência do ar, a única força que age sobre o corpo após o 
lançamento é a força peso, que tem direção vertical (direção 𝑦). Assim sendo, o 
movimento na direção 𝑥 é retilíneo uniforme e na direção 𝑦 é retilíneo 
uniformemente variado, sob ação da aceleração da gravidade. Considerando 
que o projétil é lançado no instante 𝑡! = 0 com velocidade 𝑣!, têm-se: 
 𝑥 = 𝑥! + 𝑣!! . 𝑡 (1) 
𝑔 𝑦! 
𝐻 
𝑥 𝐴 
𝑣! 
θ 
𝑦 = 𝑦! + 𝑣!! . 𝑡 − 12𝑔𝑡! (2) 
 
 𝑣!! e 𝑣!! são as componentes da velocidade inicial nas direções de 𝑥 e 𝑦 
respectivamente e valem: 𝑣!! = 𝑣!. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (3) 𝑣!! = 𝑣!. 𝑠𝑒𝑛𝜃 (4) 
 
 Considerando um caso mais simples, ilustrado na Figura 7.2, no qual o 
projétil é lançado horizontalmente da posição inicial 𝑦! = 𝐻 e 𝑥! = 0, ou seja, 
com 𝜃 = 0, 𝑣!! = 0 e 𝑣!! = 𝑣!, as Equações 1 e 2 se reduzem a: 
 𝑥 = 𝑣!. 𝑡 (5) 𝑦 = 𝐻 − 12𝑔𝑡! (6) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Ilustração de um movimento parabólico simplificado (lançamento 
horizontal). 
O alcance (𝐴) do projétil é definido como a distância em 𝑥 entre o ponto 
de lançamento e o ponto de impacto com o solo. O instante de impacto é 
denominado de 𝑡!. 𝐴 e 𝑡! são determinados fazendo 𝑦(𝑡!) = 0 e 𝑥(𝑡!) = 𝐴 nas 
Equações 5 e 6. Desta forma: 
 
𝑦 
𝐻 𝑣! 𝑔 
𝑥 𝐴 
𝑡! = 2𝐻𝑔 (7) 
𝐴 = 𝑣!. 𝑡! = 𝑣!. 2𝐻𝑔 (8) 
2. Objetivos 
O objetivo desta experiência é contribuir para a compreensão das 
equações que regem os movimentos parabólicos por meio do lançamento 
horizontal de uma esfera metálica. Além disso, o aluno aprenderá a comparar 
dados calculados a partir de valores teóricos e condições iniciais do sistema, 
com dados obtidos experimentalmente de conservação de energia entre o 
ponto A e B e entre o ponto B e o solo. O último objetivo é a determinação do 
valor da aceleração da gravidade a partir dos dados experimentais. 
3. Materiais e Métodos 
Os materiais necessários para realização deste experimento são: 
Ø Dispositivo para lançamento horizontal de projéteis 
Ø Bola de borracha 
Ø Câmera digital ou celular para filmagem 
Ø Tripé para fixação da câmera digital ou celular 
Ø Régua graduada fixada na horizontal ou vertical 
Ø Trenas 
A Figura 3 apresenta um esquema do aparato experimental utilizado. O 
dispositivo de lançamento é uma calha de alumínio que tem uma extremidade 
fixa na base do lançador e outra extremidade móvel. A velocidade de 
lançamento é regulada pela altura da extremidade móvel da calha ou pela 
posição que a bola de borracha é posicionada e pode ser calculada por 
conservação de energia entre os pontos A e B da Figura 3. Considerando que 
em A o projétil só tem energia potencial e em B ele só tem energia cinética, 
têm-se: 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣!!2 (9) 𝑣! = 2𝑔ℎ (10) 
 
 
Figura 3. Esquema do aparato experimental. 
 
A filmagem permitirá registrar o movimento da bola desde do ponto A até 
a sua chegada no solo. Além disso, também vai permitir o registro dos 
inúmeros choques da bola com o solo, possibilitando o estudo da perda de 
energia. Supondo que a energia mecânica se conserva antes (a) e depois (d) 
colisão (veja a Figura 4), têm-se: 
 !!𝑚𝑣!! =  𝑚𝑔ℎ! =  𝑚𝑔𝐻 (11) !!𝑚𝑣!! =  𝑚𝑔ℎ! =  𝑚𝑔ℎ! (12) 
 
dividindo a equação 12 pela 11, encontra-se o coeficiente de restituição: 
 𝑟   =   !!!!  =   !!! (13) 
 
 Pode-se afirmar que a altura atingida pela bola após o choque será uma 
fração da altura de onde ela caiu (ℎ!  =  𝑟!𝐻). Mesmo que existam outros 
choques o coeficiente de restituição (r) sempre será o mesmo. A depender do 
valor de r o choque pode ser elástico (0   <  𝑟   ≤  1) ou inelástico (r = 0). Para 
0 < r < 1, será um choque elástico com perda de energia mecânica que se 
transforma em calor ou deformação, para r = 1, será um choque elástico sem 
perda de energia mecânica e para r = 0, será um choque com perda total de 
energia. Pode-se citar, como exemplo, o lançamento de uma bola de massa de 
modelar no lugar da bola de borracha. 
 
 
 
Figura 4. Desenho da trajetória do lançamento horizontal da altura H e também 
mostra a interação da bola de borracha com o solo e a altura (h’) alcançada 
após o choque. 
 
Roteiro Experimental: 
i. Escolha um sistema referencial, preferencialmente colocando o zero no 
solo; 
ii. Posicione a calha de acordo com a Figura 3, na borda da bancada, com 
uma régua que poderá está posicionada na vertical ou horizontal; 
iii. Posicione a bola na calha; 
iv. Posicione a câmera digital ou o celular alinhado com o sistema de 
referência e que o enquadramento tenha a bola desde da posição A até 
o solo, a régua de referência, incluindo pelo menos um choque no solo e 
a altura alcançada h’. Faça um teste antes de começar a filmar; 
v. Ligue a câmera digital ou celular para que efetue a filmagem; 
vi. Transfira a filmagem para o computador e realize a análise via o 
software Tracker; 
4. Tabela de Dados 
Tabela 1: Exemplo de Tabela de Dados. 
t(s) σt(s) x(m) xdireita(m) xesquerda(m) σx(m) y(m) yacima(m) yabaixo(m) σy(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Discussão 
1. Meça as coordenadas do espaço (x,y) clicando no centro da bola e o 
tempo, em cada quadro da filmagem com as respectivas incertezas; 
2. Para incerteza do tempo, adote o menor tempo que a câmera ou celular 
consegue filma entre dois quadros; 
3. Para incerteza dos espaços x e y, depois de medir as coordenadas, 
posicione o cursor nas extremidades do objeto e anote os valores de x e 
y da esquerda e da direita, acima e abaixo. O módulo da diferença 
dividido por dois corresponderá a incerteza 
(𝜎!  = !!"#$"%&!  !!"#$!%&'!   ,𝜎!  =   !!"#$!!  !!"!#$%! ); 
4. Com os valores obtidos para 𝑥, 𝑦 e 𝑡, com as respectivas incertezas, 
faça três gráficos: 𝒙 versus 𝒕, 𝒚 versus 𝒕 e y versus x , usando o 
software SCIDavis ou um outro que seja científico como o Origin ou 
QtiPlot. ATENÇÃO: os gráficos 𝒙 versus 𝒕 e 𝒚 versus 𝒕 devem ser 
feitos a partir da borda da rampa até o primeiro toque no solo e o gráfico 
y versus x deve ser feito de todo o movimento, desde do abandono na 
posição h até ultrapassar a posição h’. 
5. Discuta os gráficos. Estão dentro do esperado? 
6. A partir do gráfico 𝒙 versus 𝒕, utilizando um ajuste linear dos dados, 
determine a velocidade inicial da esfera, com sua respectiva incerteza; 
7. A partir do gráfico de 𝒚 versus 𝒕, utilizando um ajuste polinomial de 
segunda ordem dos dados, determine o valor experimental da 
aceleraçãoda gravidade, com incerteza. Compare este valor com o valor 
de 𝑔 = 9,78𝑚 𝑠! (valor da aceleração da gravidade a aproximadamente 
6o de latitude sul). Se a velocidade inicial vertical foi diferente de zero, 
discuta qual foi a origem dessa velocidade. 
8. A partir do gráfico de y versus x meça as alturas h, h’, H. 
9. Supondo que a energia da bolinha se conserva no movimento em cima 
da calha, calcule o valor teórico esperado para a velocidade inicial da 
bolinha. Compare este valor com o valor experimental de v0, 
determinada no item (6). Adote 𝑔 = 9,78𝑚 𝑠!. 
10. Utilizando o valor do H e o valor teórico de g, determine tA e A através 
das Equações 7.7 e 7.8; 
11. Determine 𝐴 a partir dos gráfico y versus x e tA a partir do gráfico 𝒚 
versus 𝒕. Compare os valores de A e tA com os valores obtidos no item 
(10). 
12. Através da equação 7.12 determine o coeficiente de restituição com a 
respectiva incerteza; 
13. Qualifique se o choque foi elástico ou inelástico, justificando a sua 
resposta. Se houve perda de energia mecânica, determine o percentual 
de perda. 
14. O que, no experimento, pode ser uma fonte de erros, ocasionando 
desvios entre as medidas e os valores esperados?