ga p1 T2 2013

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P1 - Primeira Prova de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 17/04/2013 - T2 EPR/EHD
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
Questo˜es
1. (a) (10 pontos) Considere as matrizes A =
[
2 1
0 −1
]
, B =
[
3 2 1
4 0 −3
]
, C =
 2 10 8
0 −1

e D =
[ −1
12
]
. Determine a matriz X =
[
x1
x2
]
tal que (A+ (BC)t)X = D.
(b) (10 pontos) Uma matriz M diz-se ortogonal se MM t = I. Mostre que se M e´ ortogonal
enta˜o o determinante de M e´ 1 ou -1. Mostre tambe´m que o produto de duas matrizes
ortogonais e´ uma matriz ortogonal.
2. (a) (10 pontos) Resolva pelo me´todo de Gauss-Jordan, da maneira mais detalhada poss´ıvel,
o seguinte sistema:

−x +3y −z = −3
−2x +5y +z = 0
x −3y −2z = −3
(b) (10 pontos) Mostre que se as matrizes M e N sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo
AX = 0¯ (isto e´, AM = AN = 0¯), enta˜o a matriz C = M + αN (α e´ um nu´mero real
qualquer) tambe´m e´ uma soluc¸a˜o do sistema.
3. (20 pontos) Sejam A =
 2 3 0−2 1 1
3 4 0
 e B =
 14
1
. Determine A−1 e resolva o sistema
AX = B.
4. (a) (10 pontos) Considere um triaˆngulo ABC e sejam M e N pontos me´dios de AC e BC,
respectivamente. Prove que o vetor ~MN e´ paralelo ao vetor ~AB e tem comprimento
igual a metade do comprimento de ~AB.
(b) (10 pontos) Dados os vetores v1, . . . , vn, prove que se um deles e´ combinac¸a˜o linear dos
outros, enta˜o eles sa˜o l.d..
5. (20 pontos) Considere os vetores do plano V1 = (7,−1), V2 = (1,−1) e V3 = (1, 1) na base
canoˆnica. Escreva o vetor V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3. Verifique que o conjunto
E = {V2, V3} forma uma base para o plano e escreva as coordenadas de V1 na base E.
Boa prova!