ga p1 T5 2013

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P1 - Primeira Prova de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 17/04/2013 - T5 ECO/EMA
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
Questo˜es
1. (a) (10 pontos) Considere as matrizesA =
[
2 1
0 −1
]
, B =
[
3 2 1
4 0 −3
]
, C =
 2 10 8
0 −1

e D =
[
2
11
]
. Determine a matriz X =
[
x1
x2
]
tal que (A2 + (BC))tX = D.
(b) (10 pontos) Uma matriz quadrada A diz-se sime´trica se At = A. Prove que se A e B
sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o A+B e αA tambe´m sa˜o sime´tricas, sendo α um nu´mero
real qualquer. O produto de duas matrizes sime´tricas e´ uma matriz sime´trica? Caso
julgue verdadeiro prove, caso contra´rio apresente um contra-exemplo.
2. (a) (10 pontos) Resolva pelo me´todo de Gauss-Jordan, da maneira mais detalhada pos-
s´ıvel, o seguinte sistema:

−x +3y −z = −3
−2x +5y +z = 0
x −3y −2z = −3
(b) (10 pontos) Mostre que se as matrizes M e N sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo
AX = 0¯ (isto e´, AM = AN = 0¯), enta˜o a matriz C = αM −N (α e´ um nu´mero real
qualquer) tambe´m e´ uma soluc¸a˜o do sistema.
3. (20 pontos) Sejam A =
 2 3 0−2 1 1
3 4 0
 e B =
 14
1
. Determine A−1 e resolva o sistema
AX = B.
4. (a) (10 pontos) Prove que se os vetores U, V,W sa˜o l.i. enta˜o os vetores 2U,U − V +
W, 2W − U tambe´m sa˜o l.i.. O que se pode dizer, quanto a` dependeˆncia linear, dos
vetores U + V +W,U + V,W?
(b) (10 pontos) Dados os vetores V1, . . . , Vn, prove que se k (1 ≤ k ≤ n) desses vetores
forem l.d., enta˜o todos eles sa˜o l.d..
5. (20 pontos) Considere os vetores do plano V1 = (7,−1), V2 = (1,−1) e V3 = (1, 1) na
base canoˆnica. Escreva o vetor V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3. Verifique que o
conjunto E = {V2, V3} forma uma base para o plano e escreva as coordenadas de V1 na
base E.
Boa prova!