Aula 69 Geometria espacial

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MATEMÁTICA 
Professor Diego Viug 
GEOMETRIA ESPACIAL 
CUBO E PARALELEPÍPEDO 
2Área: 6 a 3Volume: aÁrea: 2 (ab ac bc) Volume: abc
PRISMA E CILINDRO 
BVolume: A h 2Volume: R h 
PIRÂMIDE E CONE B
1
Volume: A h
3
 2
1
Volume: R h
3
 
ESFERA 2Área: 4 R
34Volume: R
3

QUESTÃO 1 
Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura 
(de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, 
contendo 20 cm de espessura. 
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor 
aproximado de , então o preço dessa manilha é igual a: 
a) R$ 230,40. 
b) R$ 124,00. 
c) R$104,16. 
d) R$ 54,56. 
e) R$ 49,60. 
SOLUÇÃO 
20cm = 0,2 m 
O: centro da base do cilindro menor. 
Sendo V o volume de concreto, em metros cúbicos, e fazendo 
p = 3,1, temos: 
V = 3,1 ⋅ (1,2)2 ⋅ 4 – 3,1 ⋅ 12 ⋅ 4 
V = 3,1 ⋅ 4 ⋅ [(1,2)2 – 12] ∴ V = 5,456 
Logo, o preço dessa manilha em reais é igual a 10 • 5,456, ou 
seja, 54,56. 
QUESTÃO 1 
Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura 
(de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, 
contendo 20 cm de espessura. 
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor 
aproximado de , então o preço dessa manilha é igual a: 
a) R$ 230,40. 
b) R$ 124,00. 
c) R$104,16. 
d) R$ 54,56. 
e) R$ 49,60. 
QUESTÃO 2 
Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa 
fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram 
numa reunião na sala. Para fazer o café Dona Maria dispõe 
de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também 
cilíndricos. 
Com o objetivo de não desperdiçar café a diarista deseja 
colocar a quantidade mínima de água na leiteira para 
encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso 
ocorra, Dona Maria deverá: 
a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
b) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
c) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
d) Encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
e) Encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
SOLUÇÃO 
Sejam, em cm3: 
Vc: volume de um copinho; 
Va: volume de água a ser utilizado; 
VL: volume da leiteira. 
Supondo que a leiteira e os copinhos sejam cilindros circulares retos, do enunciado, temos: 
Vc =  ⋅ 22⋅ 4 
Vc = 16 (I) 
Va = 20 ⋅
1 
2
⋅⋅ 2² ⋅ 4 
Va = 160 (II) 
VL =  ⋅ 4² ⋅ 20 
VL = 320 (III) 
QUESTÃO 2 
Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa 
fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram 
numa reunião na sala. Para fazer o café Dona Maria dispõe 
de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também 
cilíndricos. 
Com o objetivo de não desperdiçar café a diarista deseja 
colocar a quantidade mínima de água na leiteira para 
encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso 
ocorra, Dona Maria deverá: 
a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
b) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
c) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
d) Encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
e) Encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
QUESTÃO 3 
Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com 
o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 
3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos 
chocolates que têm o formato de cubo é igual a: 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
SOLUÇÃO 
Sendo a medida da aresta do cubo, em centímetros, do enunciado, temos: 
3 3 18 4  3 2 23 2 3 2   33 3 33 2 3 2 6     
QUESTÃO 3 
Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com 
o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 
3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. 
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos 
chocolates que têm o formato de cubo é igual a: 
a) 5 cm. 
b) 6 cm. 
c) 12 cm. 
d) 24 cm. 
e) 25 cm. 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 
troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior — espaçados de 1 cm 
entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, 
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que 
tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com 
parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm3. 
b) 189 cm3. 
c) 192 cm3. 
d) 216 cm3. 
e) 540 cm3. 
QUESTÃO 4 
SOLUÇÃO 
O volume de parafina necessário para fabricar a vela original corresponde ao volume de 
uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 6 cm e altura 19 – 3 . 1 = 16 cm, ou 
seja, 
1
3
. 62
 
. 16 = 192 cm3. 
O volume de parafina necessário para a pirâmide superior corresponde ao volume de uma 
pirâmide quadrangular regular de aresta da base 1,5 cm e altura 
16
4
= 4 cm, ou seja, 
1
3
. (1,5)2
 
. 4 = 3cm3. 
Logo ele passará a gastar 192 – 3 = 189 cm3 com parafina para fabricar uma vela. 
Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de 
altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 
troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior — espaçados de 1 cm 
entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, 
com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que 
tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com 
parafina para fabricar uma vela? 
a) 156 cm3. 
b) 189 cm3. 
c) 192 cm3. 
d) 216 cm3. 
e) 540 cm3. 
QUESTÃO 4 
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de 
madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. 
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de 
esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a 
a) 4. 
b) 8. 
c) 16 
d) 24. 
e) 32. 
QUESTÃO 5 
SOLUÇÃO 
Como a capacidade do cubo é de 13.824 cm3, sua aresta mede 13.824
3
 = 24 
cm. Sendo 6 cm o raio das esferas, seu diâmetro mede 2 . 6 = 12 cm e, 
portanto, podem ser transportadas, no máximo 
24
12
3
= 8, esferas em uma 
caixa. 
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de 
madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. 
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de 
esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a 
a) 4. 
b) 8. 
c) 16 
d) 24. 
e) 32. 
QUESTÃO5 
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato 
de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte 
desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone 
(Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças 
fosse igual. 
Considere: e 
QUESTÃO 6 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de: 
a) 1,33. 
b) 6,00. 
c) 12,00. 
d) 56,52. 
e) 113,04. 
3
esfera
4
V R
3
  2cone
1
V R h
3
 
SOLUÇÃO 
O volume V1, em cm
3, do champanhe servido na taça representada na figura 1 é 
igual a 
1
2
 . 
4
3
 π . 33, ou seja, 18π. 
Na taça representada pela figura 2, o volume V2, em cm
3, do champanhe é igual a 
1
3
 . π . 32 . h, onde h é a medida da altura pedida, em cm. 
Do enunciado, devemos ter 18π = 
1
3
 . π . 32 . h, ou seja, h = 6. 
Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato 
de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte 
desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone 
(Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças 
fosse igual. 
Considere: e 
QUESTÃO 6 
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é 
servida completamente cheia, a altura do volume de 
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em 
centímetros, é de: 
a) 1,33. 
b) 6,00. 
c) 12,00. 
d) 56,52. 
e) 113,04. 
3
esfera
4
V R
3
  2cone
1
V R h
3
 
O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais 
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e 
montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa 
renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar 
somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado. 
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de: 
(considere   3) 
a) R$ 86,40. 
b) R$ 21,60. 
c) R$ 8,64. 
d) R$ 7,20. 
e) R$ 1,80. 
QUESTÃO 7 
SOLUÇÃO 
Como 40 cm = 0,4 m, segue que o volume de um tambor é dado por 
π.r2.h ≅ 3.
0,4
2
2
.1 = 0,12m3. 
Assim, o volume de água contido em um kit é 6.0,12 = 0,72 m3. 
Por conseguinte, o valor a ser pago por uma família que utilizar 12 vezes a 
capacidade total do kit em um mês é de 2,5 . 12 . 0,72 = R$ 21,60. 
 
O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais 
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e 
montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa 
renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar 
somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado. 
Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de: 
(considere   3) 
a) R$ 86,40. 
b) R$ 21,60. 
c) R$ 8,64. 
d) R$ 7,20. 
e) R$ 1,80. 
QUESTÃO 7