2º lista

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2a lista de exerc´ıcios de matema´tica para economia
(1) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da func¸a˜o.
a) f(x, y) = 3x− 2y4 R: ∂f
∂x
= 3 e ∂f
∂y
= −8y3
b) z = xe3y R: ∂z
∂x
= e3y e ∂z
∂y
= 3xe3y
c) f(x, y) = x−y
x+y
R: ∂f
∂x
= 2y
(x+y)2
e ∂f
∂y
= − 2x
(x+y)2
d) z = ln(x +
√
x2 + y2) R: ∂z
∂x
= 1√
x2+y2
e ∂z
∂y
= y
x2+y2+x
√
x2+y2
e) f(x, y, z) = xy2z3 + 3yz R: ∂f
∂x
= y2z3, ∂f
∂y
= 2xyz3 + 3z e ∂f
∂z
= 3xy2z2 + 3y
f) w = ln(x + 2y + 3z) R: ∂w
∂x
= 1
x+2y+3z
, ∂w
∂y
= 2
x+2y+3z
e ∂w
∂z
= 3
x+2y+3z
(2) Determine as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) =
√
x2 + y2; ∂f
∂x
(3, 4) R: 3
5
b) f(x, y) = sen(2x + 3y); ∂f
∂y
(−6, 4) R: 3
c) f(x, y, z) = x
y+z
; ∂f
∂z
(3, 2, 1) R: −1
3
d) f(u, v, w) = w tan(uv); ∂f
∂v
(2, 0, 3) R: 6
(3) Determine as derivadas parciais de segunda ordem.
a) f(x, y) = x4 − 3x2y3 R: ∂2f
∂x2
= 12x2 − 6y3, ∂2f
∂y2
= −18x2y e ∂2f
∂x∂y
= ∂
2f
∂y∂x
= −18xy2
b) f(x, y) = ln(3x + 5y) R: ∂
2f
∂x2
= − 9
(3x+5y)2
, ∂
2f
∂y2
= − 25
(3x+5y)2
e ∂
2f
∂x∂y
= ∂
2f
∂y∂x
= − 15
(3x+5y)2
c) z = x
x+y
R: ∂
2z
∂x2
= − 2y
(x+y)3
, ∂
2z
∂y2
= 2x
(x+y)3
e ∂
2z
∂x∂y
= ∂
2z
∂y∂x
= x−y
(x+y)3
d) z = y tan(2x) R: ∂
2z
∂x2
= 8y sec2(2x)tan(2x), ∂
2z
∂y2
= 0 e ∂
2z
∂x∂y
= ∂
2z
∂y∂x
= 2 sec2(2x)
d) z = e−xsen y R: ∂
2z
∂x2
= e−xsen y, ∂
2z
∂y2
= −e−xsen y e ∂2z
∂x∂y
= ∂
2z
∂y∂x
= −e−xcos y
e) z =
√
x + y2 R: ∂
2z
∂x2
= − 1
4(x+y2)
√
x+y2
, ∂
2z
∂y2
= x
(x+y2)
√
x+y2
e ∂
2z
∂x∂y
= ∂
2z
∂y∂x
= − y
2(x+y2)
√
x+y2