Geometria Analítica

Prévia do material em texto

Geometria Analítica 
Aula 3 
Ângulo entre retas no plano 
Usando a fórmula de tangente da 
diferença, temos: 
 
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼 − 𝛽 = 
𝑡𝑔 𝛼 −𝑡𝑔(𝛽)
1+𝑡𝑔 𝛼 .𝑡𝑔(𝛽)
 
 
Substituindo os valores das tangentes 
pelos coeficientes angulares, temos que: 
 
𝑡𝑔 𝜃 = 
𝑎1−𝑎2
1+𝑎1𝑎2
 
 
Como visto na aula passada... 
 
• Se a1=a2, então elas são paralelas. 
 
• Se a1.a2=-1, então elas são perpendiculares. 
 
• Se o ângulo entre elas for qualquer outro, basta usar a função inversa da tangente 
para obter o valor. 
 
 
 
• Exemplo: encontre o ângulo entre 
as retas r:8x+3y=7 e s:y-x=2. 
𝜃=arctg 
𝑎1−𝑎2
1+𝑎1𝑎2
 
Distância de um ponto a uma reta 
 
Atenção para a forma 
da equação da reta! 
Exercícios 
1) Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0. 
 
 
2) A reta r determina um ângulo de 120 graus com a reta s, cujo coeficiente angular é -1/3. 
Determine o coeficiente angular de r. 
 
 
3) Encontre a distância do ponto P(1,5) à reta y= 3x+11. 
 
 
 
 
4) Certo dia de janeiro, a temperatura em são Leopoldo, 
situada no interior do Rio Grande do Sul, subiu 
uniformemente desde 23°C, às 10 h, até 38 °C, às 15 h. 
Fazendo-se um gráfico cartesiano que represente tal 
situação térmica, no qual se marcam os tempos (em horas) 
nas abscissas e as temperaturas (em graus centígrados) nas 
ordenadas, obtém-se o segmento de reta 𝐴𝐵, como mostra 
a figura. Determine a equação da reta que passa por A e B. 
 
5) Um mapa é localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonais, de modo 
que a posição do centro de uma cidade é dada pelo ponto 𝑃(1, 3). Nessa representação, 
um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação 𝑥 + 2𝑦 = 20 . 
Considerando que no mapa as medidas são dadas em quilômetros, qual é a menor 
distância entre o centro da cidade e a rota do avião? 
 
 
6) Considere os pontos A(1,2) e B(3,4). Determine o ponto C do primeiro quadrante 
sobre a reta y=3x+2, de modo que o triângulo ABC tenha área 5. 
 
7) Um grupo de peritos analisa o cenário de um crime em que uma vítima foi atingida 
dentro de casa por dois tiros. Em um papel, os peritos fizeram algumas medições e 
elaboraram o desenho abaixo, em que PS representa a parede sul e PO representa a 
parede oeste. Estas paredes são perpendiculares e o encontro entre elas foi definido 
como a origem da referência adotada para as medições. A vítima foi encontrada no 
ponto V. O primeiro tiro atravessou uma janela no ponto A e um objeto de decoração no 
ponto M, antes de atingir a vítima. O segundo atravessou uma porta de vidro no ponto B 
e atingiu de raspão a quina de duas paredes no ponto N, antes de atingir a vítima em V. 
O ponto A encontra-se a 3 m da parede sul e o ponto B encontra-se a 2 m da parede 
oeste. Os pontos M e N encontram-se, respectivamente, a 1 m e 2,5 m da parede oeste e 
a 3,5 m e 2,25 m da parede sul. 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nestas informações, os peritos calcularam a posição da vítima e o ângulo 
formado pelas direções dos dois tiros. Determine estes valores.