Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 1 Avaliação III – Integrais As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, você pode também consultar as referências a seguir: FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Florianópolis: Editora da UFSC, 1988. GRANVILE, W. A. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Row do Brasil, 1977, Volume 1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática. Volume 1. Ed. IBEP, 1997. GIOVANI, José Ruy. Matemática. Volume 1. São Paulo: Atual, 1997. IEZZI, Gelson e MURATONI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções. Volume 1. São Paulo: Atual, 1994. MACHADO, A. dos S., Funções e Derivadas. Matemática – Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1991. Volume 6. TAYLOR, R. e Thomas, W. Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa Willey S.A. Bons Estudos! CONTEÚDOS ABORDADOS: Cálculo da superfície de sólido de revolução. Cálculo de volume dos sólidos de revolução. Cálculo de comprimento de arco de curvas Derivadas parciais Integrais duplas e triplas UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 2 1. Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação, em torno do eixo y, da curva dada por 𝑥 = 𝑦³ ; 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 . Resposta: 𝜋 27 (145 √145 − 1)𝑢𝑎 2. Determine a área da superfície de revolução obtida com a rotação da curva limitada pelas retas 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 1 , em torno do eixo ox. Resposta: 𝐴 = 2𝜋√5 𝑢𝑎 3. Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0 x 9, em torno do eixo do y. Resposta: A 258,8468 u.a. 4. Calcule o volume de revolução, em torno de ox. a) 𝑦² = (2 − 𝑥)3 ; 𝑥 = 0 𝑎 𝑥 = 1 b) 𝑦 = √𝑥 ; 𝑥 = 0 𝑎 𝑥 = 4 Respostas: a) 15π/4 uv b) 31π/5 uv 5. Calcule o volume de revolução, em torno de oy. a)2𝑦² = 𝑥³ ; 𝑦 = 0 𝑎 𝑦 = 2 b) 𝑦 = 𝑒𝑥 ; 𝑦 = 0 𝑎 𝑦 = 1 Respostas: a) 24π/7 uv b) 2π uv UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 3 6. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(x), rotacionados em torno do eixo x. )5,1(,63)() )3,2(,43)() )4,1(, 4 1 )() 2 2 2 xxxxcurvafc xxxxcurvafb xxxcurvafa Respostas: .. 5 7614 ) .. 30 251 ) .. 80 1023 ) vuc vub vua 7. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das curvas f(y), rotacionados em torno do eixo y. )3,2(,52)() )4,2(,54)() )1,0(, 4 3 )() 2 2 2 yyyycurvafc yyyycurvafb yyycurvafa Respostas: .. 15 9782 ) .. 5 3726 ) .. 80 9 ) vuc vub vua UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 4 8. Determine o volume V dos sólidos de revolução gerados pela rotação das regiões indicadas, ao redor do eixo x. xyxxyc xyxxyb yxxya 2,3) 2,2) 1,12) 2 2 2 Respostas: .. 6 625 ) .. 15 992 ) .. 5 8 ) vuc vub vua 9. Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8]. Resposta: L 9,0734 u.c. 10. Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4). Resposta: L 7,6 u.c. 11. O comprimento de arco de f(x) = 𝑥 2 3⁄ entre (8, 3) e (27, 8) Resposta: 19,65 12. O comprimento de arco de f(x) = 𝑥 3 2⁄ entre (0, 0) e (4, 8). Resposta: ( √1600 3 − 8) 27 UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 5 13. Determine o comprimento de arco da curva dada. 31, 4 1 3 1 ) 21, 8 1 4 1 ) 22,25) 3 2 4 y y yxc x x xyb xxya Respostas: .. 6 53 ) .. 32 123 ) ..264) cuc cub cua 14. Considere a função 𝑧 = 𝑥𝑦²𝑒𝑥+𝑦. Encontre as derivadas parciais 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝑒 𝜕𝑧 𝜕𝑦 . Respostas: 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦2𝑒 𝑥+𝑦 (1 + 𝑥) ; 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥𝑦(2 + 𝑦) 15. Calcule as derivadas parciais das funções : 𝑎) 𝑧 = 𝑥 + 𝑥²𝑦³ − 2𝑦2 𝑏) 𝑧 = 𝑥²𝑦 𝑥² + 2𝑦² Respostas: a) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 3𝑥² + 2𝑥𝑦³ 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 3𝑥²𝑦² − 4𝑦 b) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 4𝑥𝑦³ (𝑥2+2𝑦2)² 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥4−2𝑥²𝑦² (𝑥2+2𝑦2)² UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 6 16. Calcule x z e y z para a função z = 4xy – 2x²y² + 3x³y². Respostas: x z = 4y - 4xy² + 9x² y² y z = 4x - 4x²y + 6x³y 17. Calcule as derivadas parciais das funções : a ) h(x,y) = 443 yx Respostas: x h = 42 3 3. 42 1 43 2 2 43 yx x x yx y h = 4 2 4. 42 1 43 3 3 43 yx y y yx b) z = cos ( 5x - 3y ) Respostas: x z = -sen ( 5x - 3y ) . 5 = -5. sen ( 5x - 3y ) y z = -sen ( 5x - 3y ) . ( -3 ) = 3. sen ( 5x - 3y ) UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 7 c ) f(x,y) = 6x²y - 5x3y2 – 6y Respostas: x f = 12xy - 15x2y2 y f = 6x² - 10x3y – 6 d) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy Respostas: ∂f(x, y) /∂x = 2x + y; ∂f(x, y) / ∂y = 2y + x 18. Determinar as derivadas parciais das seguintes funções. 2),() 432),() 22 22 yxyxgb xxyyxyxfa Respostas: 2 2 ) 62 434) 22 22 2 2 yx y y g yx x x g b xyx y f yxy x f a UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 8 19. Resolver as integrais múltiplas: a)∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥2 1 2 1 b)∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 4−𝑥² 0 6 0 2 0 𝑐) ∫ ∫ 𝑦𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 = √𝑥 0 1 0 d) ∫ ∫ (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = √𝑎²−𝑥² 0 𝑎 0 𝑒) ∫ ∫ ∫ 𝑥𝑦²𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 = 5 2 2 1 3 2 f) ∫ ∫ 𝑦³𝑑𝑦𝑑𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠𝑥 2 𝜋/2 0 RESPOSTAS: a) 1006 105 b) 32 c) 1/6 d) 2𝑎³ 3 e) 35 2 f) 64 − 2𝜋 20. Calcule as integrais duplas: a) dxdyyy y 32 3 1 b) dydxx 2 0 1 0 )3( c) dydxxy x x 2 2 1 0 Respostas: a) 7/24 b) 7 c) 1/40 UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE UNACET DISCIPLINA: Cálculo II 9 21. Calcule as integrais duplas. x x x x x ydyxdxc dyxdxb dydxa 2 2 3 1 4 1 3 2 0 1 0 ) ) ) 2 2 3 Respostas: 15 1754 ) 3 16 ) 12 1 ) c b a
Compartilhar