2 Cálculo III 2ª ARE 2020 2 Tipo 2

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FACULDADE UNINORTE 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA 
DISCIPLINA: Cálculo III 
2º AVALIAÇÃO INSTITUCIONAL 
ALUNO MATRÍCULA 
DISCIPLINA Cálculo III DATA DA PROVA 
PROFESSOR Edna Maria Barbosa dos Santos TIPO DE PROVA 1ª CHAMADA 
TURMA 
CÓDIGO DA 
TURMA 
 NOTA 
 CCG-MDL-26 Versão 00 
 
 
 
 
 
 
Questão 01: A integral de uma função de duas variáveis f(x, y) sobre uma região no plano e a 
integral de uma função de três variáveis f(x, y, z) sobre uma região no espaço, são chamadas de 
integrais múltiplas. Integrais múltiplas são usadas para calcular quantidades que variam acima de 
duas ou três dimensões, tais como a massa total ou o momento angular de um objeto de densidade 
variável e os volumes de sólidos com bordas curvas e suas áreas . De acordo com o que foi estudado 
em sala e observando a figura, determinar a área da região limitada pelas curvas y = √2𝑥 e y = x no 1º 
Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
2
3
 
b) 
5
3
 
c) 
1
3
 
d) 
3
2
 
e) 
4
3
 
ATENÇÃO: 
1) As questões deverão ser marcadas ou resolvidas com caneta esferográficas (azul ou preta). 
2) Questões rasuradas, serão anuladas. 
3) A prova resolvida deverá ser entregue na plataforma Teams – Forms – Tarefas, até a 
hora marcada. 
4) A Prova vale de 0 a 7 pontos, cada questão 0,7 pontos 
5) Atenção e tranquilidade nesse momento. Boa Prova e Boas festas 
 
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Questão 02: As integrais triplas são como as integrais duplas, mas em três dimensões. 
Elas são escritas, de forma abstrata, como ∭f dV. Elas são uma ferramenta para 
somar infinitamente grandezas infinitesimais associadas a pontos em uma região 
tridimensional. 
Uma aplicação de Integral tripla, sobre uma região no espaço, é o cálculo de volume de 
determinada figura, como por exemplo, calculando a integral tripla ∭ 12𝑥𝑦2 𝑧3
𝐺
 dV, 
na caixa retangular -1≤ 𝑥 ≤ 2; 0≤ 𝑦 ≤ 3 𝑒 0≤ 𝑧 ≤ 2 temos como solução: 
(A) 648 
(B) 864 
(C) 486 
(D) 646 
(E) 123 
QUESTÃO 03: Em matemática, as coordenadas polares são um sistema de 
coordenadas bidimensional e que cada ponto no plano é determinado por uma distância e 
um ângulo em relação a um ponto fixo de referência. Integrais duplas são calculadas 
usando coordenadas polares. Integrar usando coordenadas polares é conveniente sempre 
que sua função ou sua região apresentar algum tipo de simetria rotacional. Por exemplo, 
𝐴 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 pela curva y = √1 − 𝑥2 e pelo eixo x é calculada pela 
∬ 𝑒𝑥
2+ 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦, usando coordenadas polares o resultado é: 
(A) 2𝜋 
(B) 𝜋 + 2 
(C) 
𝜋
2
 – e 
(D) 
𝜋
2
 ( e – 1) 
(E) 𝜋 ( e + 1) 
 
Questão 04 – As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas 
Ciências Exatas. As integrais de linha são importantes no cálculo de energia potencial, 
fluxo do calor e circulação de fluidos, como também no cálculo do trabalho realizado por 
uma força variável sobre uma partícula, movendo-a de um ponto A a um ponto B no 
plano. Determinando o resultado da integral de linha ∫ (𝑥𝑦 + 𝑧3)
𝐶
 ds ao longo da hélice 
C que é representada pelas equações paramétricas x = cos t, y = sen t, z = t no intervalo 
0≤ 𝑡 ≤ 𝜋 , temos como resultado: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dimens%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
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(A) 
√2𝜋4
4
 
(B) 
√2𝜋4
2
 
(C) 
𝜋4
4
 
(D) 
√2
4
 
(E) 
√2𝜋4
3
 
. 
Questão 05 - George Green foi um matemático e físico inglês. O asteróide 12016 
Green foi batizado em sua honra. Na sua obra Essay on the Application of 
Mathematical Analysis to the Theory of Electricity and Magnetism introduziu a noção 
de função potencial no estudo dos campos magnéticos. O teorema de Green, que 
demonstrou em 1828 facilitou bastante o estudo das funções. O teorema de Green é 
usado para resolver algumas integrais de linha. Uma aplicação desse teorema, é o 
cálculo do trabalho w realizado pelo campo de forças F(x, y) = f(x, y)i + g(x, y)j numa 
partícula que se move no sentido anti-horário ao longo da curva fechada simples C. 
 Sabendo – se que o trabalho w realizado pelo campo é w = ∮ 𝐹 𝑑𝑟.
𝐶
 Dados F(x, y) = 
(𝑒𝑥 − 𝑦3)i + ( cosy + 𝑥3) 𝑗, numa partícula que percorre uma vez o círculo 
x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário. O resultado é: Dados {
𝑥2
 
+ 𝑦2 = 𝑟2
0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
. 
 
(A) 
2𝜋
3
 
(B) 
𝜋
3
 
(C) 
3𝜋
2
 
(D) 
2𝜋
5
 
(E) 2𝜋 
 
Questão 06 : As palavras diferencial e equação, obviamente sugerem a resolução de 
algum tipo de equação envolvendo derivadas. Dessa forma, a equação diferencial 
ordinária linear homogênea de coeficientes constantes 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
 +3 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
 - 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 0, tem 
como equação auxiliar ou característica: 
(A) 4 + 33 + 6 -1 = 0 
(B) 4 − 53 + 6 +2 = 0 
https://pt.wikipedia.org/wiki/12016_Green
https://pt.wikipedia.org/wiki/12016_Green
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(C) 4 + 33 -  +1 = 0 
(D) 5 + 52 + 6 +2 = 0 
(E) 3 + 32 - 6 +2y= 0 
 
Questão 07: Na Física, mostra-se que a carga q =q(t) no capacitor é regida pela 
equação 
 R
𝑑𝑞
𝑑𝑡 
+ 
𝑞
𝐶
= 𝐸, onde R é a resistência, C a capacitância e E a força eletromotriz. A 
figura 2 , abaixo, representa um circuito utilizado para carregar um capacitor 
 
 Figura 2 
: 
Supondo R, C e E constantes e q(0) = 0, a carga, no capacitor, no instante t, é: 
(A) q = EC [1 − 𝑒(− 
𝑡
𝑅𝐶
)] 
(B) q = EC [1 + 𝑒(− 
𝑡
𝑅𝐶
)] 
(C) q = EC [1 − 𝑒( 
𝑡
𝑅𝐶
)] 
(D) q = EC [−1 − 𝑒(− 
𝑡
𝑅𝐶
)] 
(E) q = EC [1 − 2𝑒(− 
𝑡
𝑅𝐶
)] 
Questão 08 – Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se for 
da forma 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + ax = f(t) , cujo resultado será dado por x = k 𝑒−𝑎𝑡 + 𝑒−𝑎𝑡 ∫ 𝑒𝑎𝑡 f(t) dt. 
Determinando a solução geral da equação 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 3𝑥 = 𝑒𝑡 , obtemos: 
(A) x = k 𝑒3𝑡 + 
1
3
 𝑒−𝑡 
(B) x = k 𝑒3𝑡 – 
1
2
 𝑒𝑡 
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(C) x = k 𝑒2𝑡 – 
1
3
 𝑒−𝑡 
(D) x = k 𝑒2𝑡 – 
1
3
 𝑒−3𝑡 
(E) x = k 𝑒−2𝑡 + 
1
2
 𝑒−𝑡 
 
Questão 9- Na resolução de Equações Lineares Homogêneas com coeficientes 
Constantes, temos que: Seja 𝑎𝑛𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑦
𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑦
𝑛−2 + …+ 𝑎2 𝑦
,,+ 𝑎1 𝑦
,+ 
𝑎0𝑦 = 0, ai, i = 1, 2, 3, …, n, constantes. 
Considerando o caso especial da equação de segunda ordem, temos a𝑦 ,, + 𝑏𝑦 ,+ cy = 0. 
Usamos a equação quadrática, chamada de equação auxiliar para resolver essa equação 
diferencial aλ2 + 𝑏λ+ c = 0, de tal forma que λ seja raíz dessa equação . Portanto, 
resolvendo a equação homogênea 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 - 4 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦 = 0, temos como solução 
 
(A) 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑥 + 𝑐2 𝑒
𝑥 
(B) 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑥 - 𝑐2𝑥 𝑒
𝑥 
(C) 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑥 + 𝑐2 𝑒
−𝑥 
(D) 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑥 + 𝑐2 𝑒
3𝑥 
(E) 𝑦 = 𝑐1 𝑒
𝑥 - 𝑐2 𝑥 𝑒
𝑥 
Questão 10 - Seja f(t), uma função definida por t ≥ 0, t R. ℒ{f(t)} = F(s) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
 é 
chamada de Transformada de Laplace da função f(t), se a integral for convergente . De acordo 
com nosso estudo, em relação a Transforma de Laplace é correto: 
(A) A Transformada de f(t) = 𝑡𝑛 𝑒𝛼𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ℒ{𝑓(𝑡)}= 
𝑛!
(𝑠+ 𝛼)𝑛+ 1(B) Se f(t) = sent 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ℒ{sent} = 
1
𝑠2+1
 
(C) Na fórmula da transformada de Laplace K (s, t) = 𝑒𝛼𝑡 
(D) coshkt = ℒ {
𝑘
𝑠2 −𝑘2
 } 
(E) ℒ{𝑡 } = 
1
𝑠