ap2 ci 2009 2 gab

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Respostas da AP2 de Ca´lculo I
1a Questa˜o (2,5 pontos) Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) = (x3 − 8) cos (x)
Resposta: f ′(x) = 3x2 cos x− (x3 − 8) sen x
b) g(x) = sen (x3 − 2x)
Resposta: g′(x) = cos (x3 − 2x) · (3x2 − 2) = (3x2 − 2) cos (x3 − 2x)
c) h(x) =
√
x2 + 2x− 1
Resposta: h′(x) =
x+ 1√
x2 + 2x− 1
2a Questa˜o (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x) = x3− 3x2− 9x. Determine os valores de
ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo [1, 4].
Resposta: Como f ′(x) = 3x2 − 6x− 9, temos que
3x2 − 6x− 9 = 0 =⇒ x2 − 2x− 3 = 0 =⇒ x = −1, x = 3.
Mas, −1 /∈ [1, 4], portanto, temos f(1) = −11, f(3) = −27 e f(4) = −20, o que implica
que o ponto (1,−11) e´ ma´ximo absoluto de f em [1, 4] e o ponto (3,−27) e´ mı´nimo absoluto
de f em [1, 4].
3a Questa˜o (1,5 pontos) Suponha que f e g sa˜o func¸o˜es tais que g(2) = 123, g e´ diferencia´vel
em x = 2, g′(2) = 7, f e´ diferencia´vel em x = 123 e f ′(123) =
1
2
. Seja h = f ◦ g. Calcule
h′(2).
Resposta: h′(2) = (f ◦ g)′ (2) = f ′(g(2)) · g′(2) = f ′(123) · 7 = 1
2
· 7 = 7
2
.
4a Questa˜o (1,0 ponto) Suponha que as hipo´teses do teorema da func¸a˜o inversa sa˜o satis-
feitas pela func¸a˜o f , que f(3) = 7 e que f ′(3) = 2. Determine (f−1)′(7).
Resposta: f(3) = 7 =⇒ f−1(7) = 3, pois f−1(7) = f−1(f(3)) = (f−1 ◦ f) (3) = 3.
Assim,
(f−1)′(7) =
1
f ′(f−1(7))
=
1
f ′(3)
=
1
2
.
1
5a Questa˜o (3,0 pontos) dada a func¸a˜o f(x) = x+
1
x
determine:
a) intervalos onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente
Resposta: f ′(x) = 1 − 1
x2
e´ cont´ınua em todos os pontos exceto no zero. f ′(x) = 0 =⇒
x = −1, x = 1. Assim, em f ′(x) > 0 nos intervalos (−∞,−1) e (1,∞) e f ′(x) < 0 nos
intervalos (−1, 0) e (0, 1). Isso significa que a func¸a˜o f e´ crescente em (−∞,−1) e (1,∞), e
f e´ decrescente em (−1, 0) e (0, 1).
b) intervalos onde f tem concavidade voltada para cima e onde f tem concavidade voltada
para baixo
Resposta: f ′′(x) =
2
x3
tal que f ′′(x) < 0 para x < 0 e f ′′(x) > 0 para x > 0. Portanto,
o gra´fico de f possui concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞, 0) e concavidade
voltada para cima no intervalo (0,∞).
c) as ass´ıntotas horizontais e verticais, se existirem, e esboce o gra´fico de f
Resposta: O eixo 0y e´ uma ass´ıntota vertical e na˜o existem ass´ıntotas horizontais.
Gra´fico
2