CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I(2018)

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13/04/2020 Ilumno
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Local: Sala 1 - Sala de Aula / Andar / Polo Macaé / POLO MACAÉ - RJ
Acadêmico: EAD-IL10012-20183C
Aluno: VINICIUS SANTOS MOURA
Avaliação: A3
Matrícula: 20181300649
Data: 22 de Setembro de 2018 - 13:00 Finalizado
Correto Incorreto Anulada  Discursiva  Objetiva Total: 6,00/10,00
1  Código: 30787 - Enunciado:  A primeira derivada informa onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e
se o mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. A segunda derivada nos fornece informações sobre o
modo como o gráfico de uma função derivável "entorta" ou muda de direção, ou seja, muda sua concavidade, em
determinado intervalo. Determine a concavidade de .
 a) Côncavo para baixo no intervalo   e côncavo para baixo no intervalo  .
 b) Côncavo para baixo no intervalo   e côncavo para cima no intervalo  .
 c) Côncavo para cima no intervalo   e côncavo para cima no intervalo  .
 d) Côncavo para cima no intervalo   e côncavo para baixo no intervalo  .
 e) Côncavo para baixo no intervalo   e côncavo para baixo no intervalo  .
Alternativa marcada:
b) Côncavo para baixo no intervalo   e côncavo para cima no intervalo  .
Justificativa: Resposta correta:Côncavo para baixo no intervalo  e côncavo para cima no
intervalo .Sendo Distratores:Côncavo para baixo no intervalo  e côncavo para baixo no intervalo .   Errada, porque,
como a derivada segunda é positiva em (pi, 2pi), a concavidade é voltada para cima nesse intervalo.Côncavo para
cima no intervalo  e côncavo para baixo no intervalo .   Errada, porque, como a derivada segunda é negativa em (0,
pi), a concavidade é voltada para baixo nesse intervalo.Côncavo para baixo no intervalo  e côncavo para baixo no
intervalo .  Errada, porque a função não é simultaneamente côncava para cima e para baixo no mesmo intervalo de
(0, 2pi); é preciso avaliar intervalo menor.Côncavo para cima no intervalo  e côncavo para cima no
intervalo .  Errada, porque, como a derivada segunda é negativa em (0, pi), a concavidade é voltada para baixo,
nesse intervalo.
1,50/ 1,50
2  Código: 30789 - Enunciado:  Algumas integrais indefinidas podem ser determinadas a partir da relação existente
entre derivadas e primitivas, quando podemos usar regras já conhecidas de derivação para obter regras
correspondentes para a integração. Assim, temos o que chamamos de integrais imediatas, algumas delas
presentes em tabelas de integrais. Marque a alternativa que apresenta o resultado de  . 
 a) .
 b) .
 c) .
 d) .
 e) .
Alternativa marcada:
e) .
Justificativa: Resposta correta: Distratores:  Errada, porque falta a constante de integração, obrigatória.   Errada,
porque a função cuja integral envolve Ln é a 1/x.   Errada, porque desconsiderou-se a constante que multiplica
e^x.   Errada, porque a constante que multiplica e^x não inverte por ter saído do integrando.
0,00/ 0,50
3  Código: 30785 - Enunciado:  Expressar uma função racional (quociente de polinômios) como uma soma de
frações mais simples constitui uma técnica de integração chamada de frações parciais. Essas frações mais
simples são fáceis de integrar. Determine a integral  
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
1,50/ 1,50
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Alternativa marcada:
d) 
Justificativa: Resposta correta:   Distratores:   Errada, porque provavelmente não se trabalhou em frações
parciais.       Errada, porque provavelmente não se trabalhou em frações parciais.   Errada, porque os sinais entre os
ln e os dos módulos estão trocados.  Errada, porque provavelmente não se trabalhou em frações parciais.
4  Código: 30788 - Enunciado:  A primeira derivada informa onde uma função é crescente e onde ela é decrescente e
se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. A segunda derivada nos fornece informações sobre o
modo como o gráfico de uma função derivável entorta ou muda de direção, ou seja, muda sua concavidade, em
determinado intervalo. Marque a alternativa que mostra um ponto de inflexão de .
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Alternativa marcada:
a) 
Justificativa: Resposta correta:Ponto de inflexão em A curva  muda de concavidade no ponto . Como a primeira
derivada  existe para todo , vemos que a curva tem uma reta tangente de coeficiente angular  no ponto , ponto de
inflexão da curva. Distratores:  Errada, porque esse não é um ponto de inflexão no intervalo considerado, mas o
início do intervalo.  Errada, porque a coordeada que se refere ao ângulo é a abcissa, e 3 é o valor da função. 
Errada, porque a ordenada seria 3, e não um valor em radianos. Errado, as duas coordenadas se referem a ângulo.
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5  Código: 30793 - Enunciado:  O processo de diferenciação de uma função pode ser facilitado quando utilizamos
algumas estratégias algébricas, como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia, entre outras.
Para cada função distinta que precisamos diferenciar será necessário mobilizar conhecimento acerca das várias
estratégias, para que se possa escolher a mais adequada para o caso em estudo. Algumas vezes, é possível
determinar a derivada de uma função por meio de diferentes estratégias de cálculo.  Marque a alternativa que
apresenta a derivada da função  .
 a) .
 b) .
 c) .
 d) .
 e) .
Alternativa marcada:
e) .
Justificativa: Resposta correta:  Distratores:,  Errada, porque, apesar de a regra do produto indicar sinal de adição,
dependendo da função, o sinal será negativo.    Errada, porque faltou a parcela referente à constante, falha que
pode ter tido origem no mau uso da regra do produto.  Errada, porque a última parcela tem expoente 2 no
denominador. O erro pode ter ocorrido na derivação de 1/x.   Errada, talvez porque a regra do produto tenha sido
usada de forma incorreta.
0,00/ 0,50
6  Código: 30790 - Enunciado:  Algumas integrais indefinidas podem ser determinadas a partir da relação existente
entre derivadas e primitivas, quando podemos usar regras já conhecidas de derivação para obter regras
correspondentes para a integração. Assim, temos o que chamamos de integrais imediatas, algumas delas
presentes em tabelas de integrais. Marque a alternativa que apresenta o resultado de  .
 a) .
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 b) .
 c) .
 d) .
 e) .
Alternativa marcada:
b) .
Justificativa: Resposta correta: Correta, pois:  Distratores: Errada, porque a constante que multiplica 1/x é -10 e
não -1/10.    Errada, porque não se considerou a constante que multiplica 1/x.  Errada, porque a integral de 1/x
envolve o ln do módulo de x.    Errada, pois faltou a constante de integração, obrigatória.
7  Código: 30743 - Enunciado:  Problemas em que temos de determinar a taxa de variação de uma variável, quando
se sabe como a taxa de outra variável relacionada varia, são chamados de problemas de taxas relacionadas, ou
seja, são problemas para a determinação de uma taxa de variação a partir de outras taxas de variação
conhecidas. Água entra em um tanque cônico a uma taxa de 9 pés cúbicos por minuto. O tanque tem o vértice
voltado para baixo e altura de 10 pés. O raio da base é de 5 pés, conforme a figura a seguir.   (Fonte: Adaptado de
Thomas, 2012.) Determine a taxa de aumento do nível de água quando a profundidade for de 8 pés.
 
Resposta:
Justificativa: Expectativa de resposta:0,18 pé/min. aproximadamenteV= volume (pés^3) de água no tanque no
instante t (min).
x = raio (pés) da superfície da água no instante t.
y = profundidade (pés) da água no tanque no instante t.Consideramos que V, x e y sejam funções deriváveis de t. As
constantes são as dimensões do tanque.  Devemos determinar dy/dt quando.Consideramos que V, x e y sejam
funções deriváveis de t. As constantes são as dimensõesdo tanque. Devemos determinar dy/dt quando
y = 8 pés e dV/dt = 9 pés^3/min.A água forma um cone com volume de .Essa equação envolve , bem como  e . Como
no instante em questão não há informação sobre  e , precisamos eliminar . Os triângulos semelhantes na figura
oferecem uma forma de expressar  em termos de : ou .Portanto, determine  para obter a derivada.Para encontrar ,
aplicamos  pés e  pés^ Aproximadamente 0,18 pé/min.
0,00/ 2,50
8  Código: 30749 - Enunciado:  Ao estudar uma função y = f(x), frequentemente nos vemos interessados
no comportamento da função próximo a um ponto específico.  Nesse sentido, determine , quando x se aproxima
de 1.
Resposta:
Justificativa: Expectativa de resposta: 2
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