AP2 CI 2006 2 gab

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CA´LCULO I AP 02 – CA´LCULO I
AP02 – CA´LCULO I
Questa˜o 1 [2,0 pt] Calcule os seguintes limites.
(a) lim
x→0
1− cos2 x
x2
(b) lim
x→∞
ln x
x3
Soluc¸a˜o:
(a) lim
x→0
1− cos2 x
x2
= lim
x→0
2 cos x senx
2x
= lim
x→0
cos x senx
x
=
= lim
x→0
− senx senx+ cos x cos x
1
= lim
x→0
cos2 x− sen2 x
1
= 1
(b) lim
x→∞
ln x
x3
= lim
x→∞
1
x
3x2
= lim
x→∞
1
3x3
= 0
Questa˜o 2 [2,0 pt] Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x
√
8− x2 (b) g(x) = x
2
x− 1 .
Soluc¸a˜o:
(a) f ′(x) =
√
8− x2 − 2x2 1
2
√
8− x2 =
√
8− x2 − x
2
√
8− x2 = − 2
x2 − 4√
8− x2
b) g′(x) = 2
x
x− 1 −
x2
(x− 1)2 =
x (x− 2)
(x− 1)2
Questa˜o 3 [2,0 pt] (i) Encontre todos os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f(x) = |x2 − 1| no
intervalo [−2, 2].
(ii) Determine os pontos de extremos absolutos dessa func¸a˜o, caso
existam.
Soluc¸a˜o:
(i) Como f(x) =
{
x2 − 1 x < −1 ou x > 1
1− x2 −1 ≤ x ≤ 1
Enta˜o f ′(x) =
{
2x x < −1 ou x > 1
− 2x −1 < x < 1
A derivada na˜o existe em x = −1 e x = 1.
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Assim, no intervalo [−2, 2] os pontos cr´ıticos sa˜o:
x = 0 porque f ′(x) = 0,
x = −1 e x = 1 porque f ′(x) na˜o existe,
x = −2 e x = 2 porque sa˜o os pontos limites do intervalo.
(ii) A func¸a˜o f e´ cont´ınua no intervalo [−2, 2], logo possui ma´ximos e mı´nimos absolutos.
Portanto,
f(−2) = f(2) = 3 f(−1) = f(1) = 0 f(0) = 1.
Logo,
x = ±2 sa˜o pontos de ma´ximos absolutos,
x = ±1 sa˜o pontos de mı´nimos absolutos,
x = 0 na˜o e´ ponto extremo absoluto.
–2
–1
1
2
3
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
Questa˜o 4 [2,0 pt] Queremos cercar um terreno para fazer uma a´rea de lazer para os
meninos da vizinhanc¸a brincarem. Um dos lados desse terreno e´ limitado por um muro em
linha reta. Queremos cercar os outros treˆs lados deste terreno com uma cerca de comprimento
total dado l. Como podemos fazer isso de modo que a a´rea cercada seja ma´xima?
Soluc¸a˜o:
Vamos denotar por x o comprimento do terreno que e´ perpendicular ao muro e por y o
comprimento do terreno que e´ paralelo ao muro.
Denote por A = x y a a´rea do terreno e seja l o comprimento total de cerca dado.
Queremos maximizar a func¸a˜o A = x y. Por outro lado, l = 2 x+ y e, portanto, podemos
substituir y = l− 2x em A, obtendo A = x(l− 2x) = l x− 2 x2, que e´ uma para´bola, e neste
caso, o domı´nio de soluc¸a˜o sera´ x ∈ [0, l/2].
Assim, A′(x) = l − 4 x = 0 ⇐⇒ x = l/4 e´ o ponto cr´ıtico.
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O ponto de valor ma´ximo devera´ ocorrer no interior do intervalo [0, l/2] pois se x = 0 ou
se x = l/2, a a´rea seria nula. Como l/4 ∈ [0, l/2] e´ o u´nico ponto cr´ıtico, ali ocorre o ponto
de ma´ximo.
Portanto, ao cercarmos o terreno considerando x = l/4 e y = l − l/4 = l/2, obteremos a
maior a´rea cercada com comprimento l de cerca.
Questa˜o 5 [2,0 pt] Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 − 4.
(i) Determine as regio˜es de crescimento e decrescimento do seu gra´fico, assim como os
pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais, caso existam.
(ii) Determine as regio˜es onde o gra´fico de func¸a˜o f e´ coˆncavo para baixo e onde o gra´fico
e´ coˆncavo para cima, assim como seus pontos de inflexa˜o, caso existam.
(iii) Esboce o gra´fico desta func¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
f ′(x) = 3x2 + 6x = 0 =⇒ x = 0 ou x = −2
f ′′(x) = 6x+ 6 = 0 =⇒ x = −1
A ana´lise dos sinais dessas func¸o˜es indicam que:
f cresce nos intervalos (−∞,− 2] e [0,∞) e decresce no intervalo [− 2, 0).
A func¸a˜o tem concavidade voltada para baixo para x < − 1 e a concavidade voltada
para cima para x > − 1.
Portanto, o ponto f(− 2) = 0 e´ um ma´ximo local de f e f(0) = − 4 e´ um ponto de
ma´ximo local de f .
O ponto (− 1,− 2) e´ ponto de inflexa˜o.
Gra´fico de f :
–4
–2
2
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
3