ap3 ci 2009 2 gab orig

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Respostas da AP3 de Ca´lculo I
1a Questa˜o (3,0 pontos) Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) = (x2 − 1) sen (x)
Resposta: f ′(x) = 2x sen (x) + (x2 − 1) cos (x)
b) g(x) = arc sen (2x)
Resposta: g′(x) =
2√
1− 4x2
c) h(x) =
x3 − 2
x
Resposta: h′(x) =
(3x2)x− (x3 − 2)
x2
=
3x3 − x3 + 2
x2
=
2x3 + 2
x2
2a Questa˜o (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x) = −2x3 + 3x2 + 12x. Determine os
extremos absolutos de f no intervalo [0, 4].
Resposta: Ca´lculo dos pontos cr´ıticos:
f ′(x) = 6x− 6x2 + 12 = 0 ⇐⇒ x = −1 ou x = −2.
No intervalo [0, 4] temos: f(0) = 0, f(2) = 20, f(4) = −32.
Portanto, o ponto (2, 20) e´ ponto de ma´ximo absoluto e o ponto (4,−32) e´ ponto de
mı´nimo absoluto da func¸a˜o em [0, 4].
3a Questa˜o (1,5 pontos) Calcule o limite de
a) lim
x→4
x2 − x− 12
x2 − 16
Resposta: lim
x→4
x2 − x− 12
x2 − 16 = limx→4
2x− 1
2x
=
7
8
.
b) lim
x→0
2 sen (2x)
x3
− 2x
Resposta:
lim
x→0
2 sen (2x)
x3
− 2x = lim
x→0
2 sen (2x)− 2x4
x3
= lim
x→0
4 cos (2x)− 8x3
3x2
=
= lim
x→0
−8 sen (2x)− 24x2
6x
= lim
x→0
−16 cos (2x)− 48x
6
=
−16
6
=
−8
3
.
1
4a Questa˜o (1,5 pontos) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais da func¸a˜o
f(x) =
1
x2 − 5x+ 4 fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito.
Resposta: O domı´nio da func¸a˜o: Dom(f) = R− { 1, 4 }.
Comportamento assinto´tico vertical: ana´lise da func¸a˜o em torno de x = 1 e x = 4.
lim
x→1−
1
x2 − 5x+ 4 = +∞ limx→1+
1
x2 − 5x+ 4 = −∞
lim
x→4−
1
x2 − 5x+ 4 = −∞ limx→4+
1
x2 − 5x+ 4 = +∞
Comportamento assinto´tico horizontal: limites de f quando x tende a +∞ e a −∞.
lim
x→±∞
1
x2 − 5x+ 4 = 0.
Conclusa˜o: A func¸a˜o tem duas ass´ıntotas verticais, x = 1 e x = 4, e tem uma ass´ıntota
horizontal, y = 0, o eixo horizontal.
5a Questa˜o (2,0 pontos) Dada a func¸a˜o f(x) =
2
x− 3 determine o domı´nio de f e os
intervalos onde seu gra´fico tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade
voltada para baixo.
Resposta: Domı´nio: R − { 3 }
f ′(x) =
−2
(x− 3)2 < 0, ∀ x ∈ R − { 3 } f
′′(x) =
2 · 2 (x− 3)
(x− 3)4 =
4
(x− 3)3
Sinal da segunda derivada:
Sinal de f ′′(x)
− − − − − 3
w
+ + + + + + +
f e´ coˆncava para baixo em (−∞, 3). f e´ coˆncava para cima em (3,∞).
2