Lista de derivadas

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
6ª Lista de Exerc´ıcios
Conceitos importantes para as pro´ximas questo˜es:
ff Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel no intervalo aberto (a, b).
Nessas condic¸o˜es,
(a) se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente em [a, b],
(b) e se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente em [a, b].
ff Seja y = f(x) uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel em I, onde I e´ um intervalo aberto ou uma
reunia˜o de intervalos abertos. Temos que:
(a) Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I, enta˜o f ′ e´ uma func¸a˜o crescente em I e a func¸a˜o f e´
coˆncava para cima em I.
(b) Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ I, enta˜o f ′ e´ uma func¸a˜o decrescente em I e a func¸a˜o f e´
coˆncava para baixo em I.
ff Um ponto (x0, f(x0)) do gra´fico de uma func¸a˜o f e´ um ponto de inflexa˜o de f se existe um
pequeno intervalo aberto (a, b) ∈ I tal que x0 ∈ (a, b) e:
(a) f e´ coˆncava para cima em (a, x0) e coˆncava para baixo em (x0, b), ou
(b) f e´ coˆncava para baixo em (a, x0) e coˆncava para cima em (x0, b).
Em outras palavras, x0 pertence ao domı´nio de f e o gra´fico de f sofre mudanc¸a de conca-
vidade no ponto (x0, f(x0)).
1. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das
seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 4x3 − 3x (b) f(x) = ex − x
1
(c) f(x) = ln(x2 + 1)
(d) f(x) = 1√
x2+1
(e) f(x) = 3 − 5x
(f) f(x) = 3x2 + 6x + 7
(g) f(x) = x3 + 2x2 − 4x + 2
(h) f(x) = e−x
(i) f(x) = xe−x
(j) f(x) = x2x−1 .
2. Dado que a e´ uma constante e n e´ um inteiro positivo, o que pode ser dito sobre a existeˆncia
de pontos de inflexa˜o na func¸a˜o f(x) = (x − a)n? Justifique sua resposta.
3. Calcule os pontos de inflexa˜o (caso existam) e estude a concavidade das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) = −x3 + 5x2 − 6x
(b) f(x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 10x + 9
(c) f(x) = 1x+4
(d) f(x) = x2 − 13x2
(e) f(x) = x2+9(x−3)2
(f) f(x) = (x + 4)ex+4
(g) f(x) = x+1x
(h) f(x) = x√1 − x2
(i) f(x) = ln(x2 − 2x + 2)
(j) f(x) = ex2−1.
4. Em cada item, esboce uma curva cont´ınua (quando poss´ıvel) y = f(x) com as propriedades
indicadas.
(a) f(2) = 4, f ′(2) = 0, f ′′(x) > 0 para todo x
(b) f(2) = 4, f ′(2) = 0, f ′′(x) < 0 para x < 2, f ′′(x) > 0 para x > 2
(c) f(2) = 4, f ′′(x) < 0 para x ≠ 2, e ainda
lim
x→2+ f(x) = −∞ e limx→2− f(x) = −∞.
Conceitos importantes para as pro´ximas questo˜es:
ff Dizemos que um ponto x0 no domı´nio de uma func¸a˜o f e´ um ponto cr´ıtico de f se ou
f ′ (x0) = 0 ou a derivada f ′ na˜o esta´ definida no ponto x0.
ff Uma func¸a˜o f tem um extremo relativo naqueles pontos cr´ıticos em que f ′ troca de sinal.
Os seguintes testes podem ser utilizados para caracterizar os pontos cr´ıticos de uma func¸a˜o, iden-
tificando se existem ou na˜o extremos relativos e, caso sim, de que tipo sa˜o.
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ff Teorema 1 (Teste da Primeira Derivada). Suponha f cont´ınua em um ponto cr´ıtico x0.
(a) Se f ′ troca de sinal de positivo para negativo em x0, enta˜o x0 e´ um ponto cr´ıtico no
qual f assume um valor ma´ximo relativo.
(b) Se f ′ troca de sinal de negativo para positivo em x0, enta˜o x0 e´ um ponto cr´ıtico no
qual f assume um valor mı´nimo relativo.
(c) Se f ′ tiver o mesmo sinal a` esquerda e a` direita de um ponto cr´ıtico x0, enta˜o f na˜o
assume um extremo relativo em x0.
ff Teorema 2 (Teste da Segunda Derivada). Suponha que f seja duas vezes diferencia´vel em
um ponto x0.
(a) Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) > 0, enta˜o f assume um valor mı´nimo relativo em x0.
(b) Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) < 0, enta˜o f assume um valor ma´ximo relativo em x0.
(c) Se f ′(x0) = 0 e f ′′(x0) = 0, enta˜o o teste e´ inconclusivo, isto e´, f pode assumir em x0
um valor mı´nimo relativo, um valor ma´ximo relativo, ou nenhum dos dois.
Utilize os testes acima para resolver as pro´ximas questo˜es.
5. Mostre que a func¸a˜o f(x) = 3x2 − 6x + 1 tem um mı´nimo relativo em x = 1.
6. Mostre que a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x + 3 tem um mı´nimo relativo em x = 1 e um ma´ximo
relativo em x = −1.
7. Use a derivada dada para encontrar todos os pontos cr´ıticos de f e, em cada um deles,
determine se ocorre um ma´ximo relativo, um mı´nimo relativo, ou nenhum desses. Suponha,
em cada caso, que f seja cont´ınua em toda a parte.
(a) f ′(x) = x2(x3 − 5)
(b) f ′(x) = 2−3x3√x+2
(c) f ′(x) = xe1−x2
(d) f ′(x) = ln ( 21+x2 ).
8. Encontre os extremos relativos usando o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda
Derivada.
(a) f(x) = sin(2x), para 0 < x < pi (b) f(x) = x4 − 4x3 + 4x2
3
(c) f(x) = x+3x−2
(d) f(x) = ln (2 + x2)
(e) f(x) = e2x − ex
(f) f(x) = ∣3x − x2 ∣.
ff Roteiro para Esboc¸o de Gra´ficos:
(1) Domı´nio da func¸a˜o
(2) Interceptos com o eixo y e com o eixo x (esse quando fa´cil de ser calculado)
(3) Estudo das ass´ıntotas horizontais e verticais
(4) Derivadas de primeira e segunda ordem
(5) Pontos cr´ıticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f
(6) Estudo de concavidade e pontos de inflexa˜o de f
(7) Esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f .
9. Desenvolva o roteiro a seguir para as func¸o˜es indicadas.
(a) f(x) = x3 − x2 − x + 1
(b) f(x) = 1x+4
(c) f(x) = ln(x2 − 2x + 2)
(d) f(x) = xx+1
(e) f(x) = e−(x2)/2
(f) f(x) = ln(x2 − 4).
10. Uma pulga saltando na direc¸a˜o vertical alcanc¸ou a altura h, em metros (m), como uma
func¸a˜o de tempo t, em segundos (s), dada por
h(t) = (4,4)t − (4,9)t2.
Calcule a velocidade da pulga no instante t = 0, a altura ma´xima alcanc¸ada e a acelerac¸a˜o
causada pela gravidade.
11. A concentrac¸a˜o de um medicamento t horas apo´s ter sido injetado no brac¸o de um paciente
e´ dada por
C(t) = 0,15t
t2 + 0,81 .
Para que valor de t a concentrac¸a˜o do medicamento no sangue do paciente e´ ma´xima? Fac¸a
um gra´fico da concentrac¸a˜o em func¸a˜o do tempo para confirmar a sua resposta.
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12. O gerente de uma criac¸a˜o de peixes determina que t semanas depois que 300 peixes de uma
certa espe´cie sa˜o colocados em um tanque, o peso me´dio de um peixe, em miligramas (mg),
durante as primeiras 10 semanas, e´ dado por
w(t) = 3 + t − 0,05t2.
O gerente determina tambe´m que a frac¸a˜o de peixes que ainda esta˜o vivos apo´s t semanas e´
dada por
p(t) = 31
31 + t .
(a) A produc¸a˜o do tanque Y (t) apo´s t semanas e´ o peso total dos peixes que ainda esta˜o
vivos. Expresse Y (t) em termos de w(t) e p(t) e plote Y (t) para 0 ≤ t ≤ 10.
(b) Qual e´ o valor de t para o qual a produc¸a˜o e´ ma´xima? Qual e´ esta produc¸a˜o?
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Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
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Respostas da 6ª Lista de Exerc´ıcios
Observac¸a˜o. Para as questo˜es que envolvem esboc¸o de gra´fico, utilize um recurso computaci-
onal para conferir a sua resposta. Uma sugesta˜o e´ o aplicativo Geogebra, encontrado no s´ıtio
www.geogebra.org, que e´ de fa´cil utilizac¸a˜o.
1. (a) Crescente em (−∞,−1/2) ∪ (1/2,+∞), decrescente em (−1/2,1/2).
(b) Crescente em (0,+∞), decrescente em (−∞,0).
(c) Crescente em (0,+∞), decrescente em (−∞,0).
(d) Crescente em (−∞,0), decrescente em (0,+∞).
(e) Decrescente em R.
(f) Crescente em (−1,+∞), decrescente em (−∞,−1).
(g) Crescente em (−∞,−2) ∪ (2/3,+∞), decrescente em (−2,2/3).
(h) Decrescente em R.
(i) Crescente em (−∞,1), decrescente em (1,+∞).
(j) Crescente em (−∞,0) ∪ (2,+∞), decrescente em (0,1) ∪ (1,2).
2. Analise o sinal da derivada de ordem 2 de f , dada por
f ′′(x) = n(n − 1)(x − a)n−2,
atentando para a paridade de n.
3. (a) Inflexa˜o em x = 5/3, coˆncava para cima em (−∞,5/3), coˆncava para baixo em (5/3,+∞).
(b) Inflexa˜o em x = −(1/3) e x = 2, coˆncava para cima em (−∞,−(1/3)) ∪ (2,+∞),coˆncava
para baixo em (−(1/3),2).
(c) Na˜o possui pontos de inflexa˜o, coˆncava para cima em (−4,+∞), coˆncava para baixo em(−∞,−4).
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(d) Inflexa˜o em x = ±1, coˆncava para cima em (−∞,−1) ∪ (1,+∞), coˆncava para baixo em(−1,1).
(e) Inflexa˜o em x = −6, coˆncava para cima em (−6,3) ∪ (3,+∞), coˆncava para baixo em(−∞,−6).
(f) Inflexa˜o em x = −6, coˆncava para cima em (−6,+∞), coˆncava para baixo em (−∞,−6).
(g) Na˜o possui pontos de inflexa˜o, coˆncava para cima em (0,+∞), coˆncava para baixo em(−∞,0).
(h) Inflexa˜o em x = 0 e x = ±√32 , coˆncava para cima em (−1,0), coˆncava para baixo em(0,1).
(i) Inflexa˜o em x = 0 e x = 2, coˆncava para cima em (0,2), coˆncava para baixo em (−∞,0)∪(2,+∞).
(j) Na˜o possui pontos de inflexa˜o, coˆncava para cima em R.
4. Use a criatividade!
5. Utilize um dos testes expostos.
6. Utilize um dos testes expostos.
7. (a) x = 0 e´ ponto cr´ıtico mas na˜o ha´ extremos relativo, x = 3√5 e´ ponto cr´ıtico no qual ocorre
um mı´nimo relativo de f .
(b) x = −2 e´ ponto cr´ıtico no qual ocorre um mı´nimo relativo, enquanto x = 2/3 e´ ponto
cr´ıtico no qual ocorre um ma´ximo relativo de f .
(c) x = 0 e´ ponto cr´ıtico no qual ocorre um mı´nimo relativo de f .
(d) Como f ′(x) = ln ( 21+x2 ), segue que f ′(x) = 0 se e somente se x = 1 ou x = −1, ou seja,
sa˜o esses dois valores os pontos cr´ıticos de f . Se −1 < x < 1, enta˜o 21+x2 > 1 e f ′(x) =
ln ( 21+x2 ) > 0. Por outro lado, se x < −1 ou x > 1, enta˜o 21+x2 < 1 e f ′(x) = ln ( 21+x2 ) < 0.
Assim, vemos que f ′(x) troca de sinal de − para + em x = −1 e de + para − em x = 1,
donde conclu´ımos que ocorre um mı´nimo relativo em x = −1 e um ma´ximo relativo em
x = 1.
Uma alternativa e´, apo´s encontrar os pontos cr´ıticos, usar o Teste da 2ª Derivada. Nesse
caso, fica fica muito mais fa´cil!! Cuidado ao calcular f ′′(x). Usando a Regra da Cadeia
e a Regra do Quociente para derivar a func¸a˜o ‘de dentro’, voceˆ deve chegar a
f ′′(x) = 1 + x2
2
⋅ −2(2x)(1 + x2)2 = −2x1 + x2 .
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8. (a) Ma´ximo relativo em (pi4 ,1), mı´nimo relativo em (3pi4 ,−1).
(b) Ma´ximo relativo em (1,1), mı´nimos relativos em (0,0) e (2,0).
(c) Sem extremos relativos.
(d) Mı´nimo relativo em (0, ln 2).
(e) Mı´nimo relativo em (− ln 2,−14).
(f) Ma´ximo relativo em (32 , 94), mı´nimos relativos em (0,0) e (3,0).
9. (a) f(x) = x3 − x2 − x + 1
(b) f(x) =
1
x+4
8
(c) f(x) = ln(x2 − 2x + 2)
(d) f(x) =
x
x + 1
9
(e) f(x) = e−(x2)/2
(f) f(x) = ln(x
2
− 4)10. A velocidade da pulga no tempo t = 0 e´ dada por v(0) = h′(0) = 4,4 m/s. A altura ma´xima
alcanc¸ada ocorre no instante t que maximiza a func¸a˜o h(t), a saber, t = 0,4489 . . . ≈ 0,45
s. Nesse instante, a altura e´ h(0,45) = (4,4)(0,45) − (4,9)(0,45)2 = 0,99 m. A acelerac¸a˜o
causada pela gravidade e´ dada pela derivada de segunda ordem de h, isto e´, a(t) = h′′(t) =−9,8 m/s2.
11. A concentrac¸a˜o e´ ma´xima para t = 0,9 h.
10
12. (a) Y (t) =
9.300
31 + t
(3 + t − 0,05t
2
) .
(b) A produc¸a˜o da empresa e´ ma´xima quando t = 8 semanas e seu valor e´ igual a 1.860 kg.
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