04. Interpolação

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Interpolação
Everton Lopes
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Ajuste de curvas
Pode ser feito por :
1) Regressão (Mínimos quadrados)
2) Interpolação 
1) A curva obtida tem que mostrar a tendência dos pontos.
O somatório dos quadrados dos erros é mínimo
A curva não precisa passar obrigatoriamente pelos pontos
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Definição de interpolação 
Dados (n+1) pontos x0, x1, x2, ..., xn e os respectivos y0, y1, y2,..., yn , deseja-se obter uma função interpolante g(x) tal que:
 
 Criterio geral da interpolação 
x0, x1, x2, ..., xn  nós da interpolação 
G(x0) = y0 , G(x1) = y1 , G(x2) = y2 , ... , G(xn) = yn
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Interpolação polinomial
Dados (n+1) pontos x0, x1, x2, ..., xn e os respectivos y0, y1, y2,..., yn , deseja-se obter um polinômio de grau n da seguinte forma :
Pn (x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn
Aplicando-se o critério:
Pn (x0) = y0 , Pn (x1) = y1, Pn (x2) = y2 , ... , 
Pn (xn) = yn  n+1 equações 
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Interpolação polinomial
Obs: Se o grau for maior que n, teria-se mais incógnitas do que equações e, portanto, infinitas soluções.
Dados 
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Interpolação polinomial
Sistema linear com n+1 equações e n+1 incógnitas.
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Interpolação polinomial
A = 
Matriz de Vandermonde 
Tem sempre determinante ≠ 0 , desde que
 x0, x1, ..., xn sejam distintos.
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Interpolação polinomial
Dados n+1 pontos, existe um e somente um polinômio de grau ≤ n que interpola todos os pontos.
Ex: x0 = 0,1 ; x1 = 0,2 ; x2 = 0,3 ; x3 = 0,4
 y0 = 5 ; y1 = 13 ; y2 = -4 ; y3 = -8
Determinar a0, a1, a2, a3.
 Fórmulas de Lagrange e de Newton
Sistema linear
Polinômio
Interpolador
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Interpolação polinomial