Exercícios de Probabilidade

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AULA 7 - Exerc´ıcios
1. Suponha que as especificac¸o˜es do fabricante sobre a extensa˜o de certo tipo de cabo
para computadores sejam de 2000± 10 mil´ımetros. Nessa indu´stria, sabe-se que um
cabo menor tem a mesma possibilidade de ser defeituoso (na˜o atender as especi-
ficac¸o˜es) do que um cabo maior. Ou seja, a probabilidade de se produzir, aleatoria-
mente , um cabo maior que 2010 mm e´ igual a` probabilidade de se produzir um cabo
com menos de 1990 mm. Sabe-se que a probabilidade de que os procedimentos de
produc¸a˜o atendam a`s especificac¸o˜es e´ de 0,99.
a) Qual e´ a probabilidade de que um cabo selecionado aleatoriamente seja muito
grande? Resp: 0,005
b) Qual e´ a probabilidade de que um cabo selecionado aleatoriamente seja maior
que 1990 mm? Resp: 0,995
2. Ha´ um interesse centrado na vida u´til de um componente eletroˆnico. Suponha que
se saiba que a probabilidade de que esse componente sobreviva mais que 6.000 horas
e´ 0,42. Suponha, tambe´m, que a probabilidade de que tal componente sobreviva na˜o
mais que 4.000 horas e´ 0,04.
a) Qual e´ a probabilidade de que a vida u´til do componente seja menor ou igual a
6.000 horas?
b) Qual e´ a probabilidade de que a vida u´til deste componente seja maior que 4000
horas?
3. Considere o processo industrial em uma indu´stria teˆxtil, no qual tiras de determinado
tipo de tecido esta˜o sendo produzidas. Essas faixas de tecido podem ter dois tipos
de defeitos, no comprimento ou na natureza de sua textura. No caso de defeito
na textura, o processo de identificac¸a˜o e´ bastante complicado. Sabe-se, de dados
histo´ricos do processo, que 10% dos tecidos falham no teste de comprimento, 5%
falham no teste de textura e somente 0,8% falham em ambos os teste. Se uma faixa
de tecido for selecionada aleatoriamente ao processo e uma ra´pida medic¸a˜o indicar
que tal faixa falhou no teste de comprimento, qual e´ a probabilidade de que haja
defeito na textura? Resp:0,08
4. Considere uma caixa com 20 fus´ıveis, dentre os quais cinco apresentam defeito. Se
dois fus´ıveis, sa˜o selecionados aleatoriamente e removidos da caixa, sucessivamente,
sem reposic¸a˜o do primeiro, qual e´ a probabilidade de que ambos apresentem defeito?
Resp:0,053
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5. Uma indu´stria emprega treˆs planos anal´ıticos para criar e desenvolver certo pro-
duto. Devido aos custos, os treˆs planos sa˜o usados em momentos variados. Na
realidade, os planos 1, 2 e 3 sa˜o usados para 30%, 20% e 50% dos produtos, respec-
tivamente. O ı´ndice de defeitos e´ deferente para os treˆs procedimentos: P (D|P1) =
0, 01, P (D|P2) = 0, 03, P (D|P3) = 0, 02, onde P (D|Pj) e´ a probabilidade de um pro-
duto apresentar defeitos, dado que foi usado o plano j. Se selecionarmos um produto
aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o
plano usado e, em consequeˆncia, responsa´vel pelo defeito? Resp: Plano 3
6. Uma varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o de distribuic¸a˜o dada por:
F (X) =

0 se x < 10;
0, 2 se 10 ≤ x ≤ 12;
0, 5 se 12 ≤ x ≤ 13;
0, 9 se 13 ≤ x ≤ 25;
1 se x ≥ 25.
(1)
Determine
a) A func¸a˜o de probabilidade de X.
Resp:
X 10 12 13 25
P (X = x) 0, 2 0, 3 0, 4 0, 1
(2)
b) P (X ≤ 12) Resp: P (X ≤ 12) = F (12) = 0, 5
c) P (X < 12) Resp: P (X < 12) = F (10) = 0, 2
d) P (12 ≤ X ≤ 20) Resp: P (12 ≤ X ≤ 20) = P (X ≤ 20)− P (X < 12) = F (13)− F (10) = 0, 7
e) P (X > 18) Resp: P (X > 18) = 1− P (X ≤ 18) = 1− F (18) = 1− F (13) = 0, 1
7. Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 bilhetes consecutivos
numerados de 21 a 25, e meu colega tem outros 5 bilhetes, com os nu´meros 1, 11,
29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? (Dica: Use o modelo
uniforme discreto) Resp: Possuem a mesma chance.
8. Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletroˆnico de um fa-
bricante. O fabricante indica que a taxa de equipamentos com defeito e´ de 3%.
a) O inspetor da rede varejista seleciona 20 itens, com reposic¸a˜o, de um carrega-
mento. Qual e´ a probabilidade de que haja pelo menos um item defeituoso entre
esses 20? (Dica: Use o modelo de probabilidade binomial) Resp: 0,4562
b) Suponha que a rede varejista receba dez carregamentos por meˆs e o inspetor
selecione aleatoriamente 20 equipamentos, com reposic¸a˜o, de cada carregamento.
Qual e´ probabilidade de que haja treˆs carregamentos com pelo menos um item
com defeito? Resp: 0,1602
9. Lotes de 40 componentes cada sa˜o chamados de inaceita´veis se contiverem treˆs ou
mais itens defeituosos. O procedimento para a amostragem do lote e´ selecionar cinco
componentes aleatoriamente, sem reposic¸a˜o, e rejeitar o lote se um item defeitu-
oso for encontrado. Qual e´ a probabilidade de que exatamente um item defeituoso
seja encontrado na amostra se ha´ treˆs defeituosos no lote inteiro? (Dica: Usar a
distribuic¸a˜o hipergeome´trica) Resp: 0,3011
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10. Em certo processo de fabricac¸a˜o, sabe-se que, em me´dia, um em cada 100 itens
apresenta defeitos. Qual e´ a probabilidade de que o quinto item inspecionado seja o
primeiro item defeituoso encontrado? (Dica: Use a distribuic¸a˜o geome´trica). Resp:
0,0096
11. O nu´mero me´dio de navios petroleiros que chegam a cada dia em certo porto e´ dez.
As instalac¸o˜es do porto podem suportar no ma´ximo 15 navios por dia. Qual e´ a
probabilidade de que, em certo dia, navios tera˜o de ser mandados embora? (Dica:
Use a distribuic¸a˜o Poisson). Resp: 0,0487
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