Exercicios_trabalho02

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DISCIPLINA - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Trabalho 02 - MOSTRE TODOS OS PROCEDIMENTOS dos exerćıcios em um arquivo
(preferência em pdf) para ser inserido logo na seção de Tarefa do SIGAA. A repartição dos
exerćıcios foi feita por grupo ou individual como tenho indicado na reunião ou no email de
vocês. (Data: até 10− 11− 2020)
Profa. Dra. Katherine Zavaleta
1. Indique se as propriedades de probabilidade são violados pelas afirmações seguintes ou não, justifique
todos os items
(a) A probabilidade de um determinado espécime mineral conter cobre é 0,38 e a probabilidade de
não conter cobre é 0,42.
(b) De acordo com um médico, a probabilidade de um paciente contrair gripe é 1,12.
(c) A probabilidade de dois eventos mutuamente excludentes ocorrem simultáneamente é sempre 1.
(d) Em certa época do ano, a probabilidade de se avistar uma baleia ao largo da costa de São Diego
é de apenas 0,18, mas a probabilidade de se avistar uma foca é seis vezes maior.
(e) Jhon irá ao teatro e à opera, a probabilidade dele gostar do teatro é 0,36 a probabilidade dele
gostar ambos é 0,20 e a probabilidadde dele gostar teatro e não de opera é 0,17.
2. Em cada item, explique por que não são formas permisiveis de asumir as probabilidades nos 4
eventos A, B, C, e D, sendo que são mutuamamente exclusivos.
(a) P (A) = 0, 12 P (B) = 0, 63 P (C) = 0, 45 P (D) = 0, 20
(b) P (A) = 9120 P (B) =
45
120 P (C) =
27
120 P (D) =
46
120
3. Uma firma de procesamento de dados avalia seu pessoal de digitação em termos do número de erros
cometidos em 1000 toques (no teclado). Para um deles a probabilidade de cometer no máximo
cinco erros (por 1000 toques)é 0,62 e a probabilidade de cometer de 6 a 10 erros é de 0,28. Ache a
probabilidade de que nos proximos toques, o digitador cometa, (a) ao menos seis erros (b) ao menos
11 erros (c) no máximo 10 erros.
4. Um grande edificio industrial tem mais de 2400 vidraças. A probabilidade de que, em um periodo
em um mês, 1 a 10 vidraças devam ser substitúıdas é de 0,65, a probabilidade de 11 a 20 vidraças
devam ser substituidas é de 0,32, e a probabilidade de 21 ou mais vidraças necessitarem substituição
é de 0,02. Ache a probabilidade de que no próximo mês, devam ser substituidoas: (a) zero vidraçãs;
(b) ao menos 11 vidraças; (c) no máximo de 20 vidraças; (d) no máximo 10 vidraças.
5. Dentre seis candidatos a um posto executivo, A tem curso universitário, é estrangeiro e solteiro; B
não tem curso universitário, é estrangeiro e casado; C tem curso universitário, é brasileiro e casado;
D não tem curso universitário, é brasileiro e solteiro; E tem curso universitário, é brasileiro e casado
e F não tem curso universitário, é brasileiro e casado. Um dos candidatos deve obter o emprego, e o
evento que o emprego será dado a um candidato com curso universitário, por exemplo, é denotado
por A, C, E. Represente de maneira análoga o evento que o emprego é dado a um candidato (a)
solteiro; (b) brasileiro com curso universitário; (c) estrangeiro casado.
6. Sejam P(M)=0,30 e P(N)=0,22, onde M e N são eventos mutuamente excludentes, calcule (a)P (M̄);
(b)P (N̄); (c) P (M ∪N); (d) P (M̄ ∪N).
7. Se C e D são os eventos de o Dr. Paulo estar em seu consultório às 9 horas da manhã ou de estar
no hospital, se P (C) = 0, 48 e P (D) = 0, 27, encontre P (C̄ ∩ D̄).
8. Em relação a um concerto sinfônico programado, seja A o evento que haverá um bom compareci-
mento de público e W o evento que mais do que a metade da platéia irá embora durante o intervalo.
Expresse em palavras o que significam as probabilidades P (Ā), P (Ā ∩W ) e P (A ∩ W̄ ).
9. Se K representa ”cara”a C representa ”coroa”, obtem-se 32 resultados possiveis de cinco jogadas de
uma moeda. Se esses 32 resultados são igualmente prováveis, qual é a probabilidade de obter mais
caras do que coroas?
10. Em uma prova cairam duas questões. Sabe-se que 132 alunos acertaram a primeira questão, 86
erraram a segunda, 120 acertaram as duas e 54 apenas uma questão. Qual a probabilidade de que
um aluno escolhido (a) não tenha acertado nenhuma questão? (b) tenha acertado apenas a segundo
questão?
11. Uma pessoa viajando pelo nordeste dos EStados Unidos tem probabilidades 0,45;0,36 e 0,18 de
visitar Boston, Providence, ou ambas as cidades. Determine as probabilidades de que, (a) A pessoa
que visita Boston também visite Providence; (b) a pessoa que visita Providence visite também
Boston.
12. Entre 400 prisioneros de um establecimiento penal, alguns são primarios ouros são criminosos rein-
cidentes, alguns cumprem penas de menos de cinco anos, outros cumprem penas mais longas, os
detalhes são:
Tabela 1: Número de réus em relação ao tempo de cumprir as penas
Penas inferiores Penas mais
de cinco anos longas
Réus primários 120 40
Réus reincidentes 80 160
Se uns dos prisioneros é escolhido aleatóriamente para ser entrevistado sobre as condições da prisão,
H é o evento ”é criminoso reincidente”e L é o evento ”cumpre pena mais longa”, determine cada
uma das probabilidades seguintes: (a) P (H); (b) P (H̄ ∩ L); (c) P (L|H); (d) P (H̄ ∩ L).
13. Um jogo pouco comum requer algumas cartas especiais. Há quatro variedades: cartas com a letra
vermelha X, cartas coma a letra verde Y e cartas com a letra verde Y. Os baralhos A e B contêm
números diferentes dessas cartas.
Tabela 2: Jogo de baralhos
Baralho A
vermelha verde
X 5 14
Y 5 16
Baralho B
vermelha verde
X 5 2
Y 20 13
(a) Com o baralho A, mostre que P (X|vermelha, baralhoA) > P (X|verde,baralho A)
(b) Com o baralho B,mostre que P (X|vermelha, baralhoB) > P (X|verde,baralho B)
(c) Suponha que os dois baralhos sejam combinados (misturados) formando um baralho único de
80 cartas. Quantas cartas há de cada uma das quatro variedades?
(d) Se vamos extrair aleatoriamente uma unica carta desse baralho, é verdade que
P (X|vermelha,baralho combinado) > P (X|verde,baralho combinado)
14. Em certa comunidade, 8% de todos os adultos com mais de 50 anos têm diabetes. Se um médico local
diagnostica corretamente 95% de todas as pessoas com diabetes como tendo a doença, e diagnostica
incorretamente 2% de todas as pessoas que não têm diabetes como portadoras da doença, qual é a
probabilidade de um adulto com mais de 50 anos, diagnosticado como portador da doença, ter de
fato diabetes?
15. Em determinada população, encontra-se uma doença no sangue das pessoas de 2% das pessoas. Um
novo teste de sangue identifica corretamente 96% das pessoas que têm doença, e 94% das que não a
têm. (a) Qual a probabilidade de uma pessoa, classificada como positiva no teste, ter efetivamente
a doença?
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa, classificada como negativa no teste, não ser portadora da
doença?
16. Na Seção de revelações públicas de uma grande loja de departamentos, a probabilidade de uma
queixa de um consumidor se referir a mercadoria defeituosa é 0,65, a probabilidade de se referir a
atraso na entrega é 0,30, e a probabilidade de se referir a erros de faturamento é 0,05. As queixas
sobre mercadoria defeituosa têm 0,70 de probabilidade de ser resolvidas a contento, as queixas sobre
atraso na entrega têm 0,10 de probabilidade sobre os erros no faturamento têm 0,90 de probabili-
dade de uma solução satisfatoria.
(a) Determine a probabilidade de uma queixa ser resolvida satisfatoriamente
(b) Se uma queixa foi resolvida a contento, qual é a probabilidade dela se referir a erro de fatura-
mento.
17. Uma firma de programas de computador mantém uma linha telefónica 0800 a disposição de seus
clientes. A firma constatou que 48% das chamadas envolvem questões relativas à aplicação do
programa, 38% dizem respeito a problemas de incompatibilidade com o computador, e 14% se
referem à impossibilidade de instalar o programa no computador do usuario. Essas três categorias
de problema têm probabilidadesde 0,90;0,15 e 0,80 de ser resolvidas.
(a) Determine a probabilidade de uma chamada se referir a um problema que pode ser resolvido.
(b) Se uma chamada envolve um problema que não pode ser resolvido, determine a probabilidade
de este problema se referir à incompatibilidade com o computador.
18. As cirurgias podem ser classificadas quanto ao ńıvel do risco. Os dados abaixo apresentam os
números de operações e de mortes em cada um de dois hospitais:
(a) Mostre que a taxa de mortalidade é mais alta no hospital A para operações de baxo risco, de
risco médio e de alto risco.
(b) Mostre que a taxa global de mortalidade é mais alta no hospital B.
(c) Explique a inconsistência aparente entre as respostas das paredes (a) e (b).
Tabela 3: Risco das Cirurgias nos Hospitais A e B
HOSPITAL A HOSPITAL B
Risco Operações Mortes Operações Mortes
Baixo 120 2 40 0
Médio 100 6 90 4
Alto 60 20 160 36
Variável aleatória discreta
19. Uma urna contém 7 bolas brancas e 6 vermelhas. três bolas são escolhidas ao azar, retiradas sem
reposição (probabilidade muda sim). Seja X o número de bolas brancas. Calcular E(X) e V ar(X)
20. No lançamento de três moedas. Seja X : Número de caras. Calcule a esperança E(X), variancia
V ar(X), e desvio σ da variável discreta X.
X P (X) XP (X) X2P (X)
0
1
2
3
E(X) =
∑
(XP (X)); V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 ; σ =
√
V ar(X).
21. As probabilidades de a agência de uma companhia aérea num certo aeroporto receber 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7 ou 8 reclamações sobre extravio de bagagem por dia, são 0,06, 0,21, 0,24, 0,18, 0,14, 0,10,
0,04, 0,02 e 0,01, respectivamente. Quantas dessas reclamações essa agência pode esperar receber
por dia?
22. Uma máquina do tipo caça-ńıqueis é composta por três discos que giram de forma independente,
cada qual contendo as seguintes figuras: 2 laranjas, 3 bananas, 4 maçãs e 5 morangos. O apostador
deve pagar R$ 50 reais para jogar. Se sair 3 laranjas, ele ganha R$ 250 reais; se sair 3 bananas,
ganha R$ 200 reais; se sair 3 maçãs, ganha R$ 50 reais e se sair 3 morangos, ganha R$ 100 reais;
em qualquer outra situação ele perde. Pergunta-se: qual o lucro esperado de um jogador em uma
jogada?
Distribuição Binomial
23. Uma urna tem 14 bolas pretas e 16 brancas. REtiram-se 10 bolas com reposição. Qual é a
probabilidade de que:
(a) 3 sejam pretas?
(b) pelo menos 3 sejam pretas?
(c) no máximo 2 sejam pretas?
24. Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Os aparelhos são
vendidos em lotes com 50 unidades. Um comprador adotou o seguinte procedimento: de cada lote
ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado. Admitindo-se que o
comprador tenha aceitado o lote, qual é a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho
defeituoso? Dica: primeiro calcule P (Aceitar) = P (X < 2) e logo P (X = 1|Aceitar) usando prob.
condicional.
25. Uma cooperativa agŕıcola afirma que 95% das melancias vendidas por ela estão maduras e prontas
para consumo. Determine as probabilidades de que, dentre 18 melancias despachadas, (a) todas
as 18 estejam maduras e prontas para consumo, (b) ao menos 16 estejam maduras e prontas para
consumo, (c) no máximo 14 estejam maduras e prontas para consumo.
26. Um engenheiro de controle de qualidade deseja verificar se, de acordo com as especificações, 95%
dos produts embarcados estão em perfeitas condições. ?Para tanto seleciona aleatóriamente 10
itens de um grande lote pronto para embarque e só aprova o lote se todos os 10 itens estão em
perfeitas condições. Se nem todos os 10 estão em perfeitas condições, ele submete o lote inteiro a
uma inspecção completa. Determine as probabilidades de ele cometer o erro de
(a) Reter o lote , mesmo que apenas 90% dos itens estejam e perfeitas condições,
(b) Liberar o lote mesmo que apenas 80% dos itens estejam em perfeitas condições,
(c) Liberar o lote mesmo que apenas 70% dos itens estejam em perfeitas condições.
27. Os registros de uma loja de vendas de computadores indicam que 70% de todos os compradores de
computadores novos exigem um modem interno. DEtermine as probabilidade de que, dentre de 10
compradores de computadores novos, 0,1,. . . , 9, ou 10 exigam um modem interno.
28. 72% de todas as pessoas que entram em uma papelaria já são clientes. Determine as prbabilidades
de que das proximas 26 pessoas que entram na papelaria,
(a) ao menos 20 já sejam clientes,
(b) no máximo 21 já sejam clientes,
(c) exatamente 19 já sejam clientes,
(d) de 15 a 21 já sejam clientes.
Distribuição Poisson
29. Se 0,6% dos detonadores fornecidos a um arsenal são defeituosos, utilize a aproximação de Poisson
para determinar a probailidade de que, em uma amostra aleatória de 500 detonadores, quatro sejam
defeituosos.
30. Os registros mostram que há uma probabilidade de 0,0012 de uma pessoa se intoxicar na lanchonete
de um parque de diversões. Com a aproximação do modelo Poisson determine a probabilidade de
que de 1000 pessoas que visitam o parque,(a) uma se intoxique e (b) no máximo duas se intoxiquem.
31. O número de pedidos de empréstimo que um banco recebe por dia é uma variável aleatória com
distribuição de Poisson com λ = 7, 5. DEtermine as probabilidades de que, em um dia qualquer, o
banco receba
(a) exatamente dois pedidos de empréstimos, (b) no máximo quatro pedidos de empréstimos, (c)
no mı́nimo oito pedidos de empréstimo, (d) de cinco a 10 pedidos de empréstimo.
32. Numa estrada há dois acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em: (a) 250 km
ocorram pelo menos 3 acidentes?, (b) 300 km ocorram 5 acidentes?
33. Uma fábrica de automóveis verificou que, ao testar seus carros na pista de prova, há, em média, um
estouro de pneu em cada 300 km, e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma
distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que:
(a) um teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
(b) um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
34. O CRH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora. qual é a probabilidade de
entrevistar: (a) no máximo 3 candidatos em 2 minutos?, (b) exatamente 8 candidatos em 4 minutos?
Distribuição Normal
35. Se a quantidade de radiação cosmica a que uma pessoa esta exposta ao atravesar o território dos
Estado Unidos em um avião a jato é uma variável aleatória Normal com µ = 4.35 mrem e σ = 0, 59
mrem, determine as probabilidades de uma pessoa em tal vôo estar exposta a
(a) mais de 5,00 mrem de radiação cósmica,
(b) de 3,0 a 4,0 mrem de radiação cósmica.
36. Se uma variável aleatória tem a distribuição normal com µ = 82, 0 e σ = 4, 8, encontre a probabili-
dade de que ela vá tomar um valor (a) menor do que 85,6; (b) maior do que 68,4; (c) entre 84,0 e
86,0; (d) entre 73,6 e 88,4.
37. Um teste é aplicado para medir habilidades espećıficas. Os resultados do teste tem distribuição
Normal, N(70, 25). As pessoas examinadas são classificadas em tres grupos (infradotado, comum
e sobredotado) sendo o 28%, 48% e 24% respectivamente. Quais são as marcações que limitam os
grupos? Veja o gráfico.
38. As sardinhas procesadas por uma industria de enlatados tem comprimento médio de 4,54 polegadas,
com desvio padrão 0,25 polegadas. Se a distribuição dos comprimentos das sardinhas pode ser
aproximada por uma distribuição Normal, qual porcentagem das sardinhas, (a) tem comprimento
inferior a 4,00 polegadas; (b) tem comprimento entre 4,40 e 4,60 polegadas?
39. Uma maquina de fazer parafusos fabrica esses com longitudes distribúıdas normalmente com media
10 mm y variânça 0,25 mm. Considera-se defeituoso um parafuso se o comprimento dele difiere da
media em ±1 mm.
(a) Qual é a probabilidade de fabricar um parafuso defeituoso?
(b) Agora, se são almacenados 10 parafusos por caixa, qual a probabilidade de que numa caixa se
encontreno máximo 2 parafusos defeituosos?
40. Sacos de feijão são completados automaticamente por uma máquina, com peso médio por saco de
60 kg, desvio padrão de 1,5 kg e distribuição normal. No processo de armazenagem e transporte,
a perda média por saco é de 1,2 kg e desvio padrão de 0,40 kg, também com distribuição normal.
Calcular a probabilidade de que, numa remessa de 140 sacos de feijão, o peso total não ultrapasse
8.230 kg.
41.
Referências biliograficas
Morettin, Luiz G. Estat́ıstica Básica Probabilidade e Inferência, Volume único, Pearson Prentice Hall,
2010.
Freund, John E. Estat́ıstica Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade, 11th Edition. Book-
man, 11/2019.