aula20_Juan

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Comportamento Hidrodinâmico
de Plataformas Oceânicas I
Juan Wanderley
Ondas Regulares
Teoria Potencial
Para utilizar a teoria linear com ondas, é necessário assumir que a 
inclinação da superfície da água é muito pequena. Isto significa que a 
declividade da onda é tão pequena que termos nas equações das 
ondas com magnitude da ordem do quadrado da declividade podem 
ser ignorados. Usando a teoria linear, os deslocamentos harmônicos, 
velocidades, acelerações das partículas da água e a pressão terão 
uma relação linear com a elevação da onda de superfície.
Ondas Regulares 
O perfil de uma onda simples com declividade pequena assemelha-
se a uma função seno ou co-seno e o movimento de uma partícula 
de água em onda depende da distância abaixo do nível de água 
tranqüila. Por esta razão, escrevemos o potencial de velocidade
da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )tkxzPtzxw ωφ −= sin,,
Ondas Regulares
O potencial de velocidade das ondas harmônicas tem que satisfazer 
quatro condições:
1. Equação de Laplace;
2. Condição de contorno no leito do mar;
3. Condição de contorno dinâmica da superfície livre;
4. Condição de contorno cinemática da superfície livre.
Ondas Regulares
Equação de Laplace
• Escoamentos não-viscosos;
• Escoamentos irrotacionais;
• Escoamentos incompressíveis
z
w
y
v
x
u www ∂
Φ∂=∂
Φ∂=∂
Φ∂= (Escoamentos irrotacionais)
(Escoamentos incompressíveis)0=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
w
y
v
x
u
02
2
2
2
2
2
=∂
Φ∂+∂
Φ∂+∂
Φ∂
zyx
www
Ondas Regulares
No caso bidimensional, que vamos estudar aqui,
02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
zx
ww φφ
Resulta a equação de Laplace bidimensional
00 2
2
=∂
Φ∂=∂
∂=∂
Φ∂=
yy
v
y
v ww
Ondas Regulares
Substituindo a expressão do potencial na equação de Laplace.
02
2
2
2
=∂
∂+∂
∂
zx
ww φφ
( ) ( ) ( )tkxzPtzxw ω−⋅=Φ sin,,
( ) ( ) 022
2
=− zPk
dz
zPd
Ondas Regulares
Solução da equação.
( ) ( ) 022
2
=− zPk
dz
zPd
Substituindo este resultado na expressão do potencial de onda, obtemos 
o seguinte:
( ) kzkz eCeCzP −+ += 21
( ) ( ) ( )tkxeCeCtzx kzkzw ω−⋅+=Φ −+ sin,, 21
Ondas Regulares
Condição de Contorno no Leito do Mar
hzem
z
w −==∂
Φ∂
0
Ondas Regulares
Substituindo o potencial de onda na condição de contorno de não-
penetrabilidade no leito do mar, resulta o seguinte:
( ) ( ) ( )tkxeCeCtzx kzkzw ω−⋅+=Φ −+ sin,, 21
hzem
z
w −==∂
Φ∂ 0
khkh
khkh
eCeCC
eCeC
+−
+−
==
=
21
21
2
Ondas Regulares
Substituindo este resultado na expressão do potencial de onda, resulta o 
seguinte:
( ) ( ) ( )tkxeCeCtzx kzkzw ω−⋅+=Φ −+ sin,, 21
khkh eCCeCC −+ ==
22 21
( ) ( ) ( )tkxzhkCtzxw ω−⋅+⋅=Φ sincosh,,
Ondas Regulares
Condição de Contorno Dinâmica da Superfície Livre
Ondas Regulares
A equação de Bernoulli
• Escoamentos não-viscosos;
• Escoamentos incompressíveis;
• Escoamentos irrotacionais;
• Regime não-permanente.
( ) *222
2
1 Cgzpwvu
t
w =+++++∂
Φ∂
ρ
Ondas Regulares
No caso bidimensional com ondas de declividade pequena (u e w pequenos), a 
equação de Bernoulli fica da seguinte forma:
( ) *222
2
1 Cgzpwvu
t
w =+++++∂
Φ∂
ρ
*Cgzp
t
w =++∂
Φ∂
ρ
Ondas Regulares
Aplicando a equação de Bernoulli à superfície livre, resulta o seguinte:
*Cgzp
t
w =++∂
Φ∂
ρ
ζζ ==+∂
Φ∂ zemg
t
w 0
Ondas Regulares
O potencial de onda na superfície livre pode ser expandido em uma 
série de Taylor, tendo em mente que o deslocamento da superfície 
livre é pequeno.
Ondas Regulares
Resultando assim a condição de contorno dinâmica linearizada:
00 ==+∂
Φ∂ zemg
t
w ζ
01 =∂
Φ∂−= zem
tg
wζ
Ondas Regulares
Substituindo a expressão do potencial de onda na condição de contorno 
dinâmica linearizada, resulta o seguinte:
( ) ( ) ( )tkxzhkCtzxw ω−⋅+⋅=Φ sincosh,,
01 =∂
Φ∂−= zem
tg
wζ
( )tkxkh
g
C ωωζ −⋅⋅= coscosh
Ondas Regulares
Portanto, podemos escrever que:
( )tkxkh
g
C ωωζ −⋅⋅= coscosh ( )tkxa ωζζ −= cos
( )kh
g
C
a cosh
ωζ =
Ondas Regulares
Combinando o resultado anterior com a expressão do potencial de onda, 
resulta o seguinte:
( ) ( ) ( )tkxzhkCtzxw ω−⋅+⋅=Φ sincosh,,
( )kh
g
C
a cosh
ωζ =
( ) ( )tkx
kh
zhkga
w ωω
ζ −⋅+=Φ sin
cosh
cosh
Ondas Regulares
Condição de Contorno Cinemática da Superfície Livre
Até o momento, a relação entre o período T e o comprimento de 
onda λ é desconhecida. A relação entre T e λ segue da condição 
de contorno cinemática. Esta condição de contorno significa que a 
velocidade de uma partícula na superfície livre é igual à velocidade 
da superfície livre. Portanto, se uma partícula está na superfície 
livre, ela irá continuar na superfície livre. Isto é expresso 
matematicamente da seguinte forma:
0=
Dt
DF
ztxtzxF −= ),(),,( ζ
onde F(x,ζ,t)=0 é a equação da superfície livre e:
Ondas Regulares
Desta forma, podemos obter a condição de contorno cinemática da 
superfície livre.
[ ] 0),( =−= ztx
Dt
D
Dt
DF ζ
z
Fw
y
Fv
x
Fu
t
F
Dt
DF
∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂=
ζζζ ==−∂
∂+∂
∂ zw
x
u
t
para0
Ondas Regulares
O segundo termo na expressão da condição de contorno 
cinemática é o produto de dois valores pequenos. Devido a nossa 
hipótese de declividade pequena, este produto resulta num valor 
ainda menor que pode ser ignorado (linearização).
ζζζ ==−∂
∂+∂
∂ zw
x
u
t
para0
ζζ ==−∂
∂ zw
t
para0
Ondas Regulares
De forma análoga, como no caso da condição de contorno 
dinâmica, a condição de contorno cinemática é aplicada em z=0
em vez de z=ζ. 
0=∂
∂=∂
Φ∂ zpara
tz
w ζ
0para0 ==−∂
∂ zw
t
ζ
Lembrando também que a velocidade é dada em termos do 
gradiente do potencial de velocidade.
Ondas Regulares
Derivando a condição de contorno dinâmica da superfície livre em 
relação ao tempo, resulta o seguinte:
00 ==+∂
Φ∂ zparag
t
w ζ
002
2
==∂
∂+∂
Φ∂ zpara
t
g
t
w ζ
Ondas Regulares
Combinando as condições de contorno dinâmica e cinemática, resulta a 
condição de Cauchy-Poisson:
002
2
==∂
∂+∂
Φ∂ zpara
t
g
t
w ζ
0=∂
∂=∂
Φ∂ zpara
tz
w ζ
0para02
2
==∂
Φ∂+∂
Φ∂ z
z
g
t
ww
Ondas Regulares
Relação de Dispersão
Agora, estamos preparados para obter a relação entre o período T
e o comprimento de onda λ. Substituindo a expressão do potencial 
de onda na condição de Cauchy-Poisson, resulta a relação de 
dispersão.
0para02
2
==∂
Φ∂+∂
Φ∂ z
z
g
t
ww
( ) ( )tkx
kh
zhkga
w ωω
ζ −+=Φ sin
cosh
cosh
khkg tanh2 =ω
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	Ondas Regulares
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