Apostila de termodinâmica I

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EM 313 - TERMODINÂMICA 
 
GRADUAÇÃO 
 
Texto: Prof. Dr. José Tomaz Vieira Pereira 
 
 
Palavras Iniciais 
 
 Neste curso é apresentada uma abordagem da termodinâmica, sob o ponto de 
vista da Engenharia Mecânica, e os exemplos de aplicação procurarão abordar 
problemas usualmente encontrados pelos Engenheiros Mecânicos no exercício de seu 
trabalho. 
 
 No desenvolvimento do curso são abordados os tópicos que constam da 
ementa. 
 
 Vale enfatizar que a Termodinâmica Clássica, em sua conceituação 
macroscópica, é uma ciência que procura apresentar os fatos de forma lógica e muitas 
vezes intuitiva. Pelo fato de muitas coisas parecerem óbvias quando demonstradas por 
outros, ficamos com a impressão que tudo é muito fácil e que saberemos também 
fazer as demonstrações com a mesma facilidade. Isso tem trazido para muitos uma 
surpresa bastante desagradável na hora de verificar os conhecimentos assimilados. 
 
 
SUGESTÃO: ESTUDE E FAÇA OS EXERCÍCIOS. 
 SÓ ASSISTIR AS AULAS NÃO BASTA. 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
TERMODINÂMICA 
 
do Grego THEME - CALOR ramo da Física e da Engenharia 
 
DYNAMIS - FORÇA 
 
 Embora vários aspectos pelos quais a Termodinâmica é conhecida vem desde 
a Antigüidade, seu estudo formal começou no século XIX, motivado pela utilização 
do CALOR como força motriz. 
 Atualmente: espectro bastante abrangente, como ciência da ENERGIA e das 
relações entre as PROPRIEDADES da matéria. 
 Na Física - interesse em compreender os fundamentos dos comportamentos 
Físico e Químico da matéria e usar os princípios termodinâmicos para estabelecer 
relações entre as propriedades da matéria. 
 
 Na Engenharia - interesse em estudar sistemas e suas relações com a 
vizinhança. 
 A relação seguinte mostra algumas áreas de aplicação da Termodinâmica na 
Engenharia. 
 
Motores de automóveis 
Turbinas 
Bombas e Compressores 
Usinas Térmicas (nucleares, combustíveis fósseis, biomassa ou qualquer outra fonte 
térmica) 
Sistemas de propulsão para aviões e foguetes 
Sistemas de combustão 
Sistemas criogênicos, separação de gases e liquefação 
Aquecimento, ventilação e ar condicionado 
 Refrigeração (por compressão de vapor , absorção ou adsorção) 
 Bombas de calor 
Sistemas energéticos alternativos 
 Células de combustível 
 Dispositivos termoeléctricos e termoiônicos 
 Conversores magnetohidrodinâmicos (MHD) 
 Sistemas de aproveitamento da energia Solar para aquecimento, refrigeração e 
produção de energia elétrica 
 Sistemas Geotérmicos 
 Aproveitamento da energia dos oceanos (térmica, das ondas, e das marés) 
 Aproveitamento da energia dos ventos (energia eólica) 
Aplicações biomédicas: 
 Sistemas de suporte à vida 
 Órgãos artificiais 
 
 
1.1. SISTEMAS TERMODINÂMICOS 
 
 Um importante passo em toda análise em engenharia é a identificação precisa 
do objeto a ser estudado. Em mecânica, quando o movimento de um corpo precisa ser 
determinado, normalmente o primeiro passo é a definição de um CORPO LIVRE e 
depois a identificação de todas as forças externas exercidas sobre ele por outros 
corpos. A segunda lei do movimento de Newton é então aplicada. 
 
 Em termodinâmica, o termo SISTEMA identifica o objeto da análise. 
Pode ser um corpo livre ou algo complexo como uma Refinaria completa. 
Pode ser a quantidade de matéria contida num tanque de paredes rígidas ou uma 
tubulação através da qual a matéria flui. 
A composição da matéria dentro do sistema pode mudar (reações químicas ou 
nucleares). 
 
 Vizinhança - Tudo o que é externo ao sistema. 
 
 
 Fronteira - superfície real ou imaginária que separa o sistema de sua 
 fronteira. 
Pode estar em movimento ou repouso. 
Deve ser definida cuidadosamente ANTES de se proceder a 
qualquer análise termodinâmica. 
Sua definição é arbitrária e dever ser feita pela conveniência da 
análise a ser feita. 
 
 
1.1.1. TIPOS DE SISTEMAS 
 
 Sistema fechado e Volume de controle. 
 
 Sistema Fechado - quantidade fixa de matéria. Massa não entra, nem sai. 
 
 Volume de Controle - região do espaço através da qual ocorre fluxo de 
 massa. 
 
 Exemplos do Livro-texto: 
 
Figura 1.1 Gás num conjunto pistão-cilindro. 
 
Figura 1.2 Motor de automóvel. 
 
 Obs. Alguns autores utilizam denominações diferentes: 
 
 SISTEMA FECHADO = SISTEMA = MASSA DE CONTROLE 
 
 VOLUME DE CONTROLE = SISTEMA ABERTO 
 
 FRONTEIRA = SUPERFÍCIE DE CONTROLE 
 
 
1.1.2. PONTOS DE VISTA MACROSCÓPICO E MICROSCÓPICO 
 
MACROSCÓPICO - trata do comportamento global, inteiro do sistema. 
Nenhum modelo de estrutura molecular, atômica ou 
subatômica é utilizado diretamente. Este tratamento é o 
aplicado na termodinâmica CLÁSSICA. O sistema é 
tratado como um continuum. 
 
MICROSCÓPICO - tratamento que leva em conta a estrutura da matéria. É 
chamada de termodinâmica ESTATÍSTICA. O 
objetivo é caracterizar por meios estatísticos o 
comportamento médio das partículas e relacioná-lo 
com o comportamento macroscópico do sistema. 
 
 Para a grande maioria das aplicações em engenharia, a TERMODINÂMICA 
CLÁSSICA não somente propicia uma abordagem mais direta para análise e projeto 
mas também requer menos complicações matemáticas. 
 
 
1.2. PROPRIEDADE, ESTADO, PROCESSO E EQUILÍBRIO 
 
PROPRIEDADE - características MACROSCÓPICAS de um sistema, 
como MASSA, VOLUME, ENERGIA, PRESSÃO E 
TEMPERATURA, que não dependem da história do 
sistema. Uma determinada quantidade (massa, volume, 
temperatura, etc.), é uma PROPRIEDADE, se, e 
somente se, a mudança de seu valor entre dois estados 
é independente do processo. 
 
 
ESTADO - condição do sistema, como descrito por suas propriedades. 
Como normalmente existem relações entre as propriedades, o 
ESTADO pode ser caracterizado por um subconjunto de 
propriedades. Todas as outras propriedades podem ser 
determinadas em termos desse subconjunto. 
 
PROCESSO - mudança de estado devido a mudança de uma ou mais 
propriedades. 
 
ESTADO ESTACIONÁRIO - nenhuma propriedade muda com o tempo. 
 
CICLO TERMODINÂMICO - sequência de processos que começam e 
terminam em um mesmo estado. 
Exemplo: vapor circulando num ciclo de 
potência. 
 
 
1.2.1. PROPRIEDADES EXTENSIVAS E INTENSIVAS 
 
EXTENSIVAS - Seu valor para o sistema inteiro é a soma dos valores das 
partes em que o sistema for subdividido. 
Dependem do tamanho e extensão do sistema. 
Seus valores podem variar com o tempo. 
Exemplo: massa, energia, volume. 
 
INTENSIVAS - Não são aditivas, como no caso anterior. 
Seus valores não dependem do tamanho e extensão do 
sistema. 
Podem variar de um lugar para outro dentro do sistema 
em qualquer momento. 
Exemplo: temperatura e pressão. 
 
1.2.2. FASE E SUBSTÂNCIA PURA 
 
FASE - Quantidade de matéria que é homogênea tanto em composição 
química quanto em estrutura física. 
Homogeneidade na estrutura física significa que a matéria é 
totalmente sólida, totalmente líquida ou totalmente gasosa. 
Um sistema pode conter uma ou mais fases. Exemplo: água e seu 
vapor. 
Notar que os gases e alguns líquidos podem ser misturados em 
qualquer proporção para formar uma simples fase. 
 
SUBSTÂNCIA PURA - É invariável em composição química e é uniforme. 
Pode existir em mais de uma fase desde que seja 
garantida a condição acima. 
 
 
1.2.3. EQUILÍBRIO 
 
 Conceito fundamental em termodinâmica clássica, uma vez que ela trata das 
mudanças entre estados de equilíbrio. 
 
• EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO: 
implica em equilíbrios mecânico, térmico, de fase e químico. 
 
• UNIFORMIDADE DE PROPRIEDADES NO EQUILÍBRIO: 
não variam de um ponto para outro. Exemplo: temperatura. 
 
• PROCESSO QUASE-ESTÁTICO: 
processo idealizado composto deuma sucessão de estados de equilíbrio, 
representando cada processo um desvio infinitesimal da condição de equilíbrio 
anterior. 
 
 Esses processos representam a base para comparação dos processos reais. 
 
• PROCESSOS REAIS: 
são compostos por sucessão de estados de não equilíbrio (não uniformidade 
espacial e temporal das propriedades, e variações locais com o tempo). 
 
 
1.3. UNIDADES PARA MASSA, COMPRIMENTO, TEMPO E FORÇA 
 
 Serão considerados 2 sistemas de Unidades - SI - Sistema internacional 
 Sistema Inglês. 
 
1.3.1. SI - SISTEMA INTERNACIONAL 1.3.2. SISTEMA INGLÊS 
 
 
MASSA kg (quilograma) lb. ou lbm (libra massa) 
 
COMPRIMENTO m (metro) ft (foot = pé) 
 
TEMPO s (segundo) s (segundo) 
 
UNIDADE DE 
FORÇA(derivada) N (Newton) lbf (libra força) 
 
 
 Definições e conversões. 
 
 
Comprimento 1 ft = 12 in (polegadas) = 12 x 0,0254 m = 0,3048 m 
Massa 1 lbm = 0,45359237 kg 
Força . F= ma 
1N= 1 (kg) x 1 (m/s2) 
l lbf = 1 (lbm) x 32,174 (ft/s2) 
1 lbf = 4,448215 N 
 
 
Quantidade 
 
Unidade Símbolo 
Massa kilograma kg 
Comprimento metro m 
Tempo segundo s 
Força newton (=1 kg.m/s2 ) N 
 
Tabela 1.2. SI Unidades para Massa, Comprimento, Tempo e Força 
 
 
Fator 
 
Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 
1012 tera T 10-2 centi c 
109 giga G 10-3 mili m 
106 mega M 10-6 micro µ 
103 kilo k 10-9 nano n 
102 hecto h 10-12 pico p 
 
Tabela 1.3. SI Unidades - Prefixos 
 
 
Quantidade Unidade Símbolo 
Massa libra massa lb 
Comprimento pé ft 
Tempo segundo s 
Força libra força 
(=32.1740 lb.ft/s2) 
lbf 
 
Tabela 1.4. Unidades Inglesas para Massa, Comprimento, Tempo e Força 
 
 
1.4 - VOLUME ESPECÍFICO E PRESSÃO. 
 
 
1.4.1. MASSA ESPECÍFICA E VOLUME ESPECÍFICO 
 
 Massa específica: ρ = 





→
lim
'V V
m
V
 
 
V' = menor volume para o qual a substância pode ser tratada como meio 
contínuo. 
 
 
 Assimilando: 
V
m em V
dV
dm
dm
dV
'
'
→
→
→ =ρ 
 
 
 ∴ = ∫m dVV ρ (integral de volume ou tripla) 
 
 
 Volume específico: v =
1
ρ
 (m3/kg no SI) 
 
 Volume por kmol: v Mv= (m3/kmol) 
 
 onde M = massa molecular da substância 
kg
kmol





 
 
 
 
FATORES DE CONVERSÃO 
 
Massa e 
massa 
específica 
1 kg = 2.2046 lb 
1g/cm3 = 103 kg/m3 
1g/cm3 =62.428 lb/ft3 
 
1 b = 0.4536 kg 
1 lb/ft3 = 0.016018 g/cm3 
1 lb/ft3 = 16.018 kg/m3 
Comprimento 1 cm = 0.3937 in. 
1m =3.2808 ft 
 
1 in. = 2.54 cm 
1 ft = 0.3048 m 
Velocidade 1 km/h = 0.62137 mile/h 
 
1 mile/h = 1.6093 km/h 
Volume 1 cm3 = 0.061024 in.3 
1m3 = 35.315 ft3 
1 L =10-3m3 
1L = 0.0353 ft3 
 
1 in.3 = 16.387 cm3 
1 ft3 = 0.028317 m3 
1gal = 0.13368 ft3 
1 gal = 3.7854 x 10-3m3 
Força 1 N = 1kg m/s2 
1 N = 0.22481 lbf 
1 lbf = 32.174 lb ft/s2 
1 lbf = 4.4482 N 
 
Pressão 1 Pa - 1 N/m2 = 1.4504 x 10-4 
lbf/in.2 
1 bar = 105 N/m2 
1atm = 1.01325 bar 
 
1 lbf/in.2 = 6894.8 Pa 
1 lbf/in2 = 144 lbf/ft.2 
1 atm = 14 696 lbf/in.2 
Energia e 
Energia 
Específica 
1J = 1N . m = 0.73756 ft lbf 
1 kJ = 737.56 lbf 
1 kJ = 0.9478 Btu 
1kJ/kg = 0.42992 Btu/lb 
 
1 ft lbf = 1.35582 J 
1Btu = 778.17 ft lbf 
1 Btu = 1.0551 kJ 
1 Btu/lb = 2.326 kJ/kg 
1 kcal = 4.1868 kJ 
Taxa de 
Transferência 
de Energia 
1 W = 1 J/s = 3.413 Btu/h 
1kW = 1.341 hp 
1 Btu/h = 0.293 W 
1 hp = 2545 Btu/h 
1hp = 550 ft lbf/s 
1hp = 0.7457 kW 
Calor 
Específico 
1 kJ/kg K = 0.238846 Btu/lb 
oR 
1 kcal/kg K = 1 Btu/lb oR 
1 Btu/lb . oR = 4.1868 
kJ/kg . K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.2. PRESSÃO 
 
 Fluído em repouso em contato com área A: 
 
 Pressão: p A A
F
A
normal
=
→






lim
'
 
 
 A' = menor área onde a substância pode ser considerada um meio contínuo. 
 
 
 Assimilando: 
 
 
A dA
dF p
dF
dAFnormal
A
n
n
F
'
'
→
→ → = 
 
 A pressão num "ponto" é a mesma qualquer que seja a orientação de A, desde 
que o fluido esteja em repouso. 
 Para fluidos em movimento, a pressão corresponde à tensão normal sobre A. 
 
 Unidades de pressão: 1 Pa (pascal) = 1 N/m2 
 Outras Unidades: 1atm = 101325 N/m2 
 
 1 bar = 105 N/m2 
 
 Medidores de pressão: 
. manômetro tipo tubo em U 
. Bourdon 
. piezoelétricos 
. diafragma 
 . barômetros (patm.) 
 
 
1.5. TEMPERATURA 
 
 É uma propriedade Intensiva como P e V. 
Difícil definir rigorosamente (energia cinética das moléculas de um gás 
perfeito). 
 
 Assim como a força, o conceito de temperatura é originado de nossa percepção 
sensorial. Conseguimos distinguir que um corpo 1, está mais quente que um corpo 2, e 
este mais quente que um corpo 3, etc. No entanto por mais sensibilidade que o corpo 
humano possa ter, ele não consegue medir o valor dessa propriedade. Dessa forma é 
necessário lançar mão de dispositivos adequados (termômetros) e escalas de 
temperatura para quantificar adequadamente esta propriedade. 
 
1.5.1. EQUILÍBRIO TÉRMICO 
 
 Assim como Massa, Comprimento e Tempo, é difícil dar uma definição de 
temperatura em termos de conceitos independentes ou aceitos como primários. No 
entanto é possível se chegar a um entendimento objetivo da IGUALDADE de 
temperaturas usando o fato de que quando a temperatura de um corpo muda, outras 
propriedades também mudam. 
 Dessa forma a medida de uma dessas propriedades, como volume, resistência 
elétrica, pode ser associada a uma dada temperatura. O dispositivo que efetua essa 
medida é o termômetro. 
 Se tomarmos dois blocos de cobre, um mais quente que o outro e colocarmos 
os dois em contato, haverá interação entre eles e o bloco mais quente irá esfriar e o 
mais frio irá se aquecer. Quando as interações cessarem as quantidades mensuráveis 
pararão de variar e os blocos estarão em equilíbrio térmico e portanto à mesma 
temperatura. 
 O tempo necessário para que o equilíbrio seja atingido dependerá do contato 
entre eles, e se os blocos estiverem isolados do ambiente a troca de energia ocorrerá 
somente entre os dois blocos. 
 
 Algumas definições: 
 
Parede diatérmica: permite interação térmica (troca de calor). 
 
Parede adiabática = isolante ideal →não permite interação térmica. 
 
Processo adiabático: processo de um sistema envolvido por uma parede 
adiabática. 
 
Processo isotérmico: T=constante. 
 
 Lei Zero da Termodinâmica: Quando dois corpos estão em equilíbrio com um 
terceiro corpo eles estarão também em equilíbrio entre si (não se aplica a equilíbrio 
químico e de fases). 
 
 
1.5.2. TERMÔMETROS 
 
São dispositivos que empregam uma substância ("termométrica") que possui 
pelo menos uma propriedade variável com a temperatura. 
 
TIPOS: 
- de líquido em bulbo (volume): muito preciso; 
- de gás a volume constante (hidrogênio ou hélio) (pressão): padrão 
internacional para determinadas faixas de temperatura; 
- termopares (fem - força eletromotriz); 
- termistores (resistência elétrica); 
- pirômetros (radiação térmica). 
 
1.5.3. ESCALA DE TEMPERATURA DE GÁS E ESCALA KELVIN (SI): 
 
Ponto fixo padrão: ponto triplo da água (equilíbrio entre gêlo, água e vapor 
d'água) = 273,16 K (pressão = 0,6113 Pa = 0,006 atm). 
Estabelecido por acordo internacional - facilmente reprodutível. 
 
Ponto de gelo (equilíbrio entre gelo, água e ar a 1 atmosfera): 273,15 K. 
Ponto de vapor (equilíbrio entre a água líquida e seu vapor a 1 atm.): 
373,15K. 
Intervalo entre ponto de gelo e pontode vapor = 100 K. 
 
Termômetro de gás não pode ser usado abaixo de 1 K e para temperaturas 
muito altas. Fora daí, as escalas de gás e Kelvin coincidem. 
 
 
1.5.4. OUTRAS ESCALAS: 
 
CELSIUS: T(oC) = T(K) - 273,15 
 
RANKINE: T(oR) = 1,8 T (K) 
 
FAHRENHEIT: T(oF) = T(oR) - 459,67 
 
 T (°F) = 1,8 T(°C) + 32 
 
 
1.6. METODOLOGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 
TERMODINÂMICOS. 
 
Os primeiros passos em uma análise termodinâmica são: 
 definição do sistema; 
 identificação das interações relevantes com a vizinhança. 
 
Estabelecer: 
- o que é conhecido: resumir o problema em poucas palavras; 
- o que é procurado: resumir o que é procurado; 
- esquema e dados: definir o sistema (sistema fechado ou volume de 
controle); - identificar a fronteira; 
- anotar dados e informações relevantes; 
- hipóteses; 
- análise: feita sobre as equações (conservação da massa, conservação da 
 energia, segunda lei da termodinâmica); 
- comentários: interpretar. 
 
TERMODINÂMICA I 
 
Prof. José Tomaz Vieira Pereira 
Notas de aula preparadas a partir do livro 
FUNDAMENTALS OF ENGINEERING THERMODINAMICS 
Michael J. MORAN & HOWARD N. SHAPIRO. 
 
 
Capítulo 2 
 
Energia e Primeira Lei da Termodinâmica 
 
 Energia é um conceito fundamental em termodinâmica e um dos mais 
significativos aspectos da análise em engenharia. Neste capítulo serão discutidas e 
desenvolvidas equações para aplicar o princípio da conservação da energia, para 
sistemas fechados. No capítulo 4 o desenvolvimento será estendido para volumes de 
controle. 
 Energia é uma noção familiar e você já conhece bastante sobre ela. Alguns 
aspectos abordados neste capítulo já são do conhecimento de vocês. A idéia básica é 
que a energia pode ser armazenada dentro de sistemas em vários formas 
macroscópicas. A energia pode também ser transferida entre os sistemas e também 
transformada de uma forma para outra. A energia pode ser transferida por meio de 
calor e por meio de trabalho. A quantidade total de energia permanece constante em 
todas as transformações e transferências. 
 O propósito aqui é organizar as idéias de uma forma adequada para as análises 
em engenharia. 
 
 
2.1. CONCEITOS MECÂNICOS DE ENERGIA 
 
 As leis de Newton do movimento, que forneceram as bases para a mecânica 
clássica, conduzem aos conceitos de trabalho, energia cinética e energia potencial e 
estes conceitos conduzem a um conceito mais amplo do que seja energia. 
. Galileo, Newton: trabalho, energia cinética e energia potencial. 
2.1.1. Trabalho e Energia Cinética: 
 
2a. Lei de Newton: 
r
r
F m
dV
dt
= 
 
 
r r r r r r
r
r
r r r r
r r r r
F ds trabalho de F entre s e s ds m
dV
dt ds
mdV V mV dV
mV dV F ds
S
S
V
V
⋅ = + = ⋅
= ⋅ = ⋅
∴ ⋅ = ⋅∫∫
1
2
1
2
 
 
( )mV dV md V mV m V V
V
V
V
V
energia cinética
do corpo em s
EC
V
Vr r
123
r
r
r
r
⋅ =





 = = −∫∫
1
2
1
2
1
21
2
1
2
1
2
2 2
2
2
1
2
( )
 
 
 ( )12 22 12M V V EC− = =∆ variação de EC entre S e S2 1 
 
 
∴
 trabalho da força resultante = variação da energia cinética do corpo 
 ↓ ↓ 
 energia transferida acúmulo de energia armazenada 
 ao corpo no corpo na forma de energia cinética 
 
 Como EC mV= 1
2
2
 não depende da história 
( )⇒ =EC propriedade extensiva 
 
 
 
 
 
 Unidades de energia cinética e trabalho: 1J = 1N . 1m (SI) 
 1 KJ = 103J 
 
( )
( )
1
1
778 2 1
lbf ft
Btu
inglês
bf ft
⋅





= ⋅,
 
 
2.1.2. - Energia Potencial: 
 
 
 → mesma figura anterior 
 resultante das forças excluído o peso 
 ↑ 
 Decompondo 
r r r r r rF em F R mg g gk : = + , = - 
 
 Então: 
 
( )12 22 12 1
2
1
2
m V V R ds mg ds
S
S
S
S
− = ⋅ + ⋅ =∫∫
r r r r
 
 
( ) ( )
( )
= ⋅ + −∫∫ ⋅ + +
∴ − = ⋅ − ∫∫
r r ) ) ) )
r
R ds m gkS
S
S
S dxi dyj dzk
m V V R ds mgdzZ
Z
S
S
1
2
1
2
1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
 
 
 
 
( )
( )
( ) ( )
mgdz mg z zZ
Z
mgz energia potencial gravitacional EP
não depende da história propriedade extensiva
m V V mg z z R ds forma mecânica da conversão da energiaZ
Z
= −∫ → = =
→ ⇒
∴ − + − = ⋅ →∫
2 11
2
1
2 2
2
1
2
2 1 1
2
r r
.
 
 
 
 
∴
 trabalho da força resultante (excluída a força peso) = 
= soma das variações das energias cinética e potencial do corpo, isto é: 
 
 
 energia transferida ao corpo = 
= acúmulo de energia armazenada no corpo na forma de energia cinética e potencial. 
 
 
Se R vem
r
≡ 0 :
 
 
( ) ( )1
2 2
2
1
2
2 1 0
1
2 2
2
2
1
2 1
2
1
m V V mg z z
ou
mV mgz mV mgz const
− + − =
+ = + = .
 
 
 
∴
 energia pode ser transformada de uma forma em outra. 
 
 
2.1.3. Comentários: 
 
 Esta apresentação está centrada em sistemas nos quais as forças aplicadas 
afetam somente sua velocidade e posição. No entanto os sistemas em engenharia, em 
geral, interagem com sua vizinhança de um modo mais complicado, com 
transferências mútuas de outras propriedades. Para analisar estes outros casos os 
conceitos de energia cinética e potencial não são suficientes. Os conceitos necessários 
para essas análises serão desenvolvidos a seguir. 
 
 
2.2. Transferência de energia através de trabalho: 
 
 
( )
integral de linha dif inexata
Trabalho W F ds Fxd x Fyd y FzdzS
S
S
S
trabalho mecânico
( . )
: .
↑
= = + +∫∫ →
r r
1
2
1
2
 
 
 Outras formas de trabalho (não-mecânicas) existem. 
 
 
Definição termodinâmica de trabalho: 
 
 Trabalho é realizado por um sistema sobre sua vizinhança quando o único 
efeito sobre ela puder ser reduzido ao levantamento de um peso. 
 Trabalho é energia em trânsito → não é propriedade pois depende do caminho 
(integral de linha). 
 
 
2.2.1. Convenção de Sinais e Notação: 
 
 W > 0: realizado pelo sistema (sobre a vizinhança) → seta saindo do sistema. 
 W < 0: realizado sobre o sistema (pela vizinhança) → seta entrando no 
sistema. 
 
 Como W depende do caminho (não é propriedade) seu diferencial (inexato) é 
escrito δW Assim. : 
 
 W W= ∫ δ1
2
 
 
 Diferencial de uma propriedade = diferencial exato →notação d. 
 Exemplo: pressão 
 
 dp p p= −∫ 21
2
1 
 
 Muitos processos envolvem taxa de realização de trabalho = potência 
 
 
Potência W
W
dt
W
t
t
wdt
W
t
t
dt
Potência de uma força W F V
Unidades de potência W Watt J s KW W
lbf ft s
Bt h
hp KW
Inglês
FV
= = → =
=
= ⋅
= =
⋅
=
∫
∫





&
&
: &
: ( ) ( / ),
/
/ ( ).
δ
µ
1
2
1
2
1 1
1 1 1 103
1 0,746
r r
r r
 
 
 
2.2.2. - Trabalho de Expansão ou Compressão: 
 
 → ver figura. 
 
 
F=pA
gás (ou líquido)
sistema fechado
x
x
1
x
2
fronteira área A pressão média sobre o pistão = p
 
 
 Trabalho feito pelo sistema sobre o pistão: 
 
 {δ W F ds pA i dxi pAdx
dV
= ⋅ = ⋅ =
°
r r ) )( ) 
 
∴ = > >
< <
° °
°
∫W pdV dV ansão W
dV compressão W
1
2
0 0
0 0
a
a
exp :
:
 
 ↓ 
 não é integral tripla !! 
 
 Nos processos reais: p é difícil de obter (ex: motor de automóvel). 
→ medidas de p podem ser realizadas usando 
transdutores de pressão. 
→ alternativamente, o trabalho pode ser obtido através 
de um balanço de energia 
 
 
 
2.2.3. - Trabalho em Processos Quasiestáticos de Expansão e Compressão: 
 
 
gás oulíquido
pequenos pesos
evolução por estados de equilíbrio
p uniforme ao longo do sistema inteiro
fronteira
Representação no diagrama P - V.
Mostrar que W depende do caminho
W = 
2
1
pdV
 
 
 
 
 
Ex. 2.1. 
 
Um gás, num conjunto pistão-cilindro, passa por um processo de expansão para o qual 
a relação entre a pressão e o volume é dada por: 
 
pVn = constante 
 
Dados iniciais: Pi = 3 bar 
 Vi = 0,1 m3 
 
Dados finais: Vf = 0,2 m3 
 
 
Determine o trabalho em kJ para 
 
a) n = 1,5 
b) n = 1,0 
c) n = 0.0 
 
Solução: 
 
GAS
pV =C
Pi = 3 bars
Vi = 0,1 m 3
V2 = 0,2 m
3
n
 
 
 
 
Esquema
P
(Bar)
0,1 0,2 Vol(m3)
3,0
2,0
ÁREA=TRABALHO
1 2
n=0
n=1,0
n=1,5
 
 
 
Hipóteses: 1. O gás está em um sistema fechado. 
 2. Trabalho é realizado somente na fronteira móvel. 
 3. A expansão dos gases é um processo politrópico. 
 
 
 
Equação: w pdV
v
v
= ∫
1
2
 
 
pV C p
C
V
n
n
= ⇒ = 
 
 
( )
W C
dV
V
C
V V
nv
v
n
n n
= =
−
−
∫
− −
1
2 2
1
1
1
1
 
 
 
( )p V Cn n1 1 3 0 1= ⇒ , 
 
 
W
p V V p V V
n
p V p V
n
n n n n
=
−
−
=
−
−
− −
2 2 2
1
1 1 1
1
2 2 1 1
1 1
 
 
 
a) n = 1,5 p V p V P V
V
Pn n
n
1 1 2 2 2
1
2
1= ⇒ =






 
 
 
P bars2
1 50 1
0 2
3 0 1 06= 




 − =
,
,
, ,
,
 
P bars2 1 06= , 
 
 
1 105 2bar N m= /
 
 
( )Wa N
m
m kJ) , , , . , , ,= −




 ÷ =1 06
10
0 2 3 010 0 1 1 5 17 6
5
2
3 5
 
 
 
b) n PV C= ⇒ =1 0, 
 
W p V
V
V
=





1 1
2
1
ln 
 
W kJ= + 20 79, 
 
c) n W kJ= = +0 30 0, 
 
 
2.2.3 - Outros Exemplos de Trabalho. 
 Extensão de uma barra sólida. 
 Distensão de um filme de líquido 
 Potência transmitida por um eixo. 
 Trabalho elétrico. 
 
 
 
2.3 - Energia de um Sistema 
 
 Energia cinética e potencial podem ser alteradas como resultado do trabalho de 
forças externas. 
 O conceito de trabalho é utilizado para entender o significado amplo da 
energia do sistema. 
 
 
2.3.1 - 1a. Lei da Termodinâmica 
 
 Para introduzir a 1a lei, escolher um sistema fechado indo de um estado de 
equilíbrio, para outro estado de equilíbrio, com o trabalho como única interação com o 
meio ambiente. 
 
GAS
GÁS
Isolamento
Processo
Adiabático
 
 
 
 Para todos os processos adiabáticos que ocorrerem entre os dois mesmos 
estados o trabalho líquido terá o mesmo valor. 
 Para processos adiabáticos o trabalho líquido depende somente dos estados 
inicial e final. 
 
 
2.3.2 - Definição de variação de energia 
 
 Como o trabalho líquido realizado por (ou sobre) um sistema adiabático entre 
os mesmos estados inicial e final não depende do processo, mas somente dos estados, 
pode-se dizer que está ocorrendo a variação de alguma propriedade. 
 Essa propriedade recebe o nome de Energia e sua variação entre dois estados é 
definida por: 
 
 
E E Wad2 1− = − 
 
 O sinal negativo é em função da convenção adotada. 
E representa a energia total do sistema 
 
 
2.3.3 - Energia Interna. 
 
 A energia total do sistema E inclui ≡ E cinética, E potencial, gravitacional e 
quaisquer outras formas de Energia. 
 Outras formas: Energia armazenada por uma mola. 
 Energia armazenada por uma bateria. 
Todas essas outras formas de energia são chamadas de Energia Interna U 
 
 
1
 
2
 
 
 
E2 - E1 = (KE2 - KE1) + (PE2 - PE1) + (U2 - U1) 
 ↓ 
 energia interna 
 
E = KE + PE + U 
 
U = Energia interna: são todas as outras formas de energia excluindo as cinética e 
potencial. 
 
 
 
 
2.3.4 - Princípio da Conservação para Sistemas Fechados 
 
 Até aquí foram consideradas quantitativamente apenas aquelas interações entre 
o sistema e a vizinhança que poderiam ser classificadas como trabalho. No entanto os 
sistemas fechados podem também interagir com a sua vizinhança de modos que não 
podem ser caracterizados como trabalho. Um exemplo é propiciado por um gás ( ou 
líquido) contido em um recipiente fechado que passa por um processo enquanto está 
em contato com uma chama a uma temperatura maior que a do gás. Este tipo de 
interação é chamado interação de calor, e o processo pode ser referido como um 
processo não adiabático. 
 Quando um sistema não está isolado termicamente do ambiente, pode ocorrer 
outra espécie de interação entre sistema e ambiente. 
 
 Processo não adiabático ≡ troca de energia com ambiente ≡ calor 
 
 
A
ad
B
1
2
 
 
E2 - E1 = - Wad | O | 
E2 - E1 ≠ - WA | + QA | 
E2 - E1 ≠ - WB | - QB | 
(E2 - E1) = - W + Q | | 
 
 
E2 - E1 = Q - W 
 
Lei da Conservação da energia para um sistema fechado. 
 
 
2.4. Energia transferida pelo calor. 
 
Calor = energia transferida para ou de um sistema, unicamente por diferença de 
temperatura. 
 
 
2.4.1. Convenção de Sinais e Notação 
 
 
-Q+Q
Sistema Sistema
 
 
 
 Origem da convenção é relacionada com os motores de combustão interna ou 
máquinas térmicas para as quais se fornece uma certa quantidade de calor (na forma 
de combustão) e se produz um trabalho útil positivo. 
 O calor não é uma propriedade ≡ depende do caminho. 
 
Q Q= ∫ ∂1
2
 onde a integral deve ser lida assim. 
 
Quantidade de calor recebida ou fornecida pelo sistema em seu processo para ir do 
estado 1 até o estado 2 
 
 
 Q Q= =∫ ∂2
2
 nunca poder ser obtido como Q2 - Q1 
 
↓
 
 
Não existe calor no estado 2 
 Nem no estado 1 
 Calor é energia em trânsito. 
 
 
&Q = taxa de transferência de calor 
 
 Q = &Qdtt
t
1
2
∫ ≡ necessário saber como &Q varia com o tempo 
 
 
&q = fluxo de calor por unidade de área 
 
 
 Q = &qdAA
A
1
2
∫ 
 
 
 
Unidades: 
 
 Q W h= . BTU 
 
&Q W= BTU/h 
 
&q W
m
= 2 
BTU
h ft. 2 
 
 
 
 
2.4.2 - Modos de Transferência de Calor 
 
Condução 
 
 
 
 
e
Parede Plana
x
Fronteira
T(x)
Q]x
 
 
 
 
 
 Radiação Térmica 
 
Lei de Fourier 
 
Q
ºº
x = - KA 
dt
dx x
 
 
K = condutividade térmica 
 
A = área perpendicular ao 
fluxo de calor (coordenada 
x). 
 
SOL SOL
 
 
 
 
 
&Q Te b= ε τ 4 
 
Radiação Térmica 
 
 ε emissividade da superfície do Sistema 
0 < ε < 1,0 
 
Energia emitida por mudanças na 
configuração eletrônica de átomos e 
moléculas. 
 
τ = Constante de Stefan Boltzmann 
 
Energia transportada por ondas 
eletromagnéticas. 
 
As substâncias podem emitir, absorver e 
transmitir a radiação térmica em vários 
graus 
 
 
 
Convecção 
 
Efeito combinado da troca de energia entre o sistema e o meio líquido ou gasoso 
condução e transporte. 
O sistema aquece o fluido por condução e as moléculas do fluido transportam essa 
energia pela corrente de fluido. 
 
 
T Tbf 〈 
Perfil
de Velocidade
Tb
Fronteira
Sólido quente
Tf
Área
 
 
 
 
& ( )Q hA Tb Tf= − Lei de Newton do Resfriamento 
 
 
 h = Coeficiente de transferência de calor (não é propriedade é empírico) 
 
 
 
2.4.3. Considerações 
 
 Um corpo não contêm calor, mas energia. 
 
 Calor é energia em trânsito. É um fenômeno de fronteira. 
 
 Identificação, definição correta da fronteira é fundamental antes de estabelecerse haverá ou não fluxo de calor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Balanço de Energia para Sistemas Fechados 
 
∆
∆ ∆
E Q W
Variação da quantidade de
energia contida dentro de um
sistema num ervalo de tempo
Quantidade liquida de energia
transferida para dentro da fronteira
do sistema por transferencia de calor t
Potência líquida de energia
transferida para fora do
sistema por trabalho em t
= −










=










−









int
 
 
2.5.1. Formas do Balanço de Energia 
 
dE Q W= −∂ ∂ 
 
∆
∆ ∆ ∆
E
t
Q
t
W
t
= − ⇒ Passando ao lim ∆t → 0 
 
forma instantânea do balanço de energia 
 
dE
dt Q W
Variação de energia
no tempo contida dentro
do sistema no tempo t
Taxa líquida de
transferência de
calor para sistema
Potência líquida
produzida
pelo sistema
= −










=










−










& &
,
 
 
 
 
 
E KE PE U= + + 
 
 
 
 
dE
dt
dKE
dt
dPE
dt
dU
dt
Q W= + + = −& & 
 
 
 
GAS
Isolamento
Líquido
Gerador
Elétrico
Massa
Eixo em rotação
Placa de cobre
térmico
+
-W=0
Q
Fronteira
ou
 
a) Sistema é o gás → Q = 0 
 W < 0 
 
 
 
 
GAS
Isolamento
Líquido
Gerador
Elétrico
Massa
Eixo em rotação
Placa de cobre
térmico
+
-
W
Fronteira
ou
Q=0
 
b) Sistema inclui cilindro isolado, gás, placa de cobre gerador, polia, eixo e massa. 
 
 
GAS
Isolamento
Líquido
Gerador
Elétrico
Massa
Eixo em rotação
Placa de cobre
térmico
+
-
ou
Q=0
Q = 0, W =0
Fronteira
 
c) Sistema inclui cilindro isolado, gás, placa de cobre gerador, polia, eixo e massa. 
 
 
2.5.2. Ilustrações 
 
Exemplo 2.2. 
 
 Um sistema fechado, inicialmente em equilíbrio na superfície da terra passa 
por um processo no qual recebe 200 BTU's (líquido) na forma de trabalho. Durante o 
processo o sistema perde para a vizinhança 30 BTU's (líquido) na forma de calor. 
 
 No final do processo, o sistema está a uma velocidade de 200 pés/seg. a uma 
altitude de 200 pés. 
 
 A massa do sistema é de 50 lbm e a aceleração local da gravidade é 32,0 pé/s2. 
 
 Determine a variação da energia interna do sistema em BTU. 
 
 
Solução 
 
z
Fronteira
V
1
=0 W
200 pés
V
2
=200 pés/s
Inicial Final
1
2
Q
.
.
.
 
 
 
Hipóteses 
 
1) Sistema fechado = bola. 
2) No final do processo, o sistema se move com velocidade uniforme. 
3) A aceleração da gravidade local é constante. 
 
 g= 32,0 pés/s2 
 
 
Balanço de Energia 
 
 ∆E = ∆KE + ∆PE + ∆U = Q - W 
 
 ∆KE = 1/2 m ( V22 - V12) 
 
 ∆PE = mg (z2 - z1) 
 
 ∆U = (Q - W) - ∆KE - ∆PE 
 
 Q = - 30 BTU 
 
 W = - 200 BTU 
 
 
( )∆PE lbm pé
s
lbm pé
s
= =
1
2
50 200 102
2
2
6
2
2 
 
 
 ∆PE lbm pé
s
pés lbm pé
s
= =50 32 0 200 320 000
2
2
2
2. , . . 
 
 
1 BTU = 778 lbf.pé 
 
 
 1 1 32 174 1 32 22 2lbf lbm
pé
s
lbm pé
s
= ≅. , . , 
 
 
 
lbm pé
s
lbm pé
s
pé
2
2 2=
⋅
⋅ 
 
 
 lbm
lbf
pé s
=





32 2 2, /
 
 
 
 
lbm pé
s
lbf pé
s
pé
s
2
2
232 2
=
⋅
,
 
 
 
 
lbm pé
s
lbf
2 32 2
=
,
 
 
 
 
 
lbm pé
s
lbf pé BTU2
2 32 2
1
32 2 778=
⋅
=
⋅






, ,
 
 
 
 1
1
778
lbf pé BTU⋅ = 
 
 
 
 ∆KE BTU BTU=
⋅
=
10
32 2 778 39 9
6
,
, 
 
 
 ∆PE BTU BTU=
⋅
=
320 000
32 2 778
12 8
.
,
, 
 
 
 ∆U BTU= − − − − − = +( ) ( ) , , ,30 200 39 9 12 8 117 30 
 
 
Comentários 
 
 
 Balanço total de energia 
 
 ∆E Q W= − 
 
 
 ∆E = ∆KE + ∆PE + ∆U 
 
 170 = +39,9 + 12,8 + 117,3 
 
 
 ∆E = (-30) - (-200) = 170 BTU 
 
 
 
Exemplo 2.3. 
 
 Considere 5 Kg de vapor d'água contidos dentro de um conjunto pistão-
cilindro. O vapor passa por uma expansão a partir do estado 1 , onde a sua energia 
específica interna u1 = 2709,9 kJ/kg, até o estado 2 onde u2 = 2659,6 kJ/kg 
Durante o processo ocorre transferência de 80 kJ de energia na forma de calor, para o 
vapor. Ocorre também a transferência de 18,5 kJ na forma de trabalho, através de uma 
hélice. 
 
 Não há variação significativa de energia cinética e potencial do vapor. 
 
 Determine o trabalho realizado pelo vapor sobre o pistão, durante o 
processo. Forneça o resultado em kJ. 
 
 
Solução 
 
 
 
GAS
m=5kg
vapor
Wpw
=-18,5kJ
Fronteira do Sistema
Q=+80kJ
u
1
= 2709,9 kJ/kg
u
2
= 2659,6 kJ/kg
W pistão
 
 
Hipóteses 
 
a) O vapor é o sistema fechado 
b) As variações de energia cinética e potencial são nulas. 
 
Análise 
 
 Balanço de Energia (1a lei da Termodinâmica para Sistemas Fechados) 
 
 
 
 
E = KE PE+ U = Q - W+
0 00
 
 
 ∆U = m (u2 - u1) = Q - W 
 
 Q = Quantidade líquida de calor transferida para o sistema 
 
 W = Trabalho líquido realizado pelo sistema 
 
 W = Wpw + Wpistão 
 
 ∆U = Q - Wpw - Wpistão 
 
 Wpistão = - ∆U + Q - Wpw 
 
 Wpistão = -m (u2 - u1) + Q - Wpw 
 
 Wpistão = - 5 (Kg) (2659,6 - 2709,9) kJ/kg + 80 kJ - (-18,5 kJ) 
 
 Wpistão = -(-251,5) + 80 - (-18,5) (kJ) 
 
 Wpistão = + 350 kJ 
 
 
Comentários 
 
1. O sinal positivo significa trabalho realizado pelo sistema. 
2. Em princípio, o trabalho realizado pelo pistão poderia ser calculado a partir de 
 
 Wpistão pdV
v
v
= ∫ ,
1
2
 mas neste caso seria necessário conhecer a pressão com o 
pistão em movimento, ou seja, seria necessário conhecer a relação entre P e V. 
 
 
3. A análise pode ser sumarizada em termos de energia, da seguinte forma: 
 
Entrada (kJ) Saída (kJ) 
+ 18,5 (Trabalho da hélice) 350 (pistão 
+ 80,0 (calor transferido) 
+98,5 + 350 
 
 
 A energia do sistema diminuiu durante o processo. 
 
 ∆U = 98,5 - 350 = - 251,5 kJ 
 
 
Exemplo 2.4. 
 
 4 kg de gás é contido dentro de um conjunto pistão-cilindro. O gás passa por 
um processo no qual a relação pressão/volume é: 
 
 PV1,5 = constante 
 
 A pressão inicial é de 3 bars, o volume inicial é 0,l m3 e o volume final é 0,2 
m3. A variação da energia interna específica do gás é u2 - u1 = - 4,6 kJ/kg. As 
variações de energias cinética e potencial são desprezíveis. 
 
 Determine o calor líquido transferido para o gás durante o processo. 
 
 
 
 
Solução 
 
Sabe-se: O gás dentro de um conjunto pistão-cilindro se expande e durante o 
processo de expansão a relação pressão volume e a variação da energia interna 
específica são conhecidas. 
 
Questão 
 
Determinar o calor líquido transferido ao gás durante o processo. 
 
1
2
Área =
Trabalho
0,1 0,2
V
P
PV
1,5
= C
 
 
 
 u2 - u1 = - 4,6 kj/kg 
 
 
GAS
PV
1,5
=C
Fronteira do Sistema
 
 
 
Hipóteses 
 
1. O gás é o sistema fechado 
2. A expansão é um processo politrópico 
3. Não há variações de energias cinética e potencial 
 
 
 
 
 
 
 
Análise: 
 
 Como ∆KE e ∆PE = 0 
 
 ∆U = Q - W 
 
 Q = ∆U + W 
 
 W pdV
P V PV
nv
v
= =
−
−
=∫
1
2 2 2 1 1
1
 já resolvido no Ex. 2.1. 
 
 
 W = + 17,6 kJ∆U = m (u2 - u1) = 4 kg ( - 4,6 kJ/kg) = - 18,4 kJ 
 
 
 Q = ∆U + W 
 
 Q = - 18,4 kJ + 17,6 kJ 
 
 
Q = - 0,8 kJ 
 
 
 
Comentários 
 
1. O sinal negativo significa que o sistema perdeu energia por transferência de calor 
para a vizinhança. 
 
2. A relação entre P e V permite representar o processo num diagrama PV. 
 
 A área sob a curva entre os estados 1 e 2 representados na figura 
corresponde ao trabalho realizado durante o processo de expansão. 
 
 
2.6. Análise Energética de Ciclos 
 
 As raízes da 1a e 2a leis da Termodinâmica estão relacionadas com os estudos 
de ciclos. 
 
 Os ciclos são importantes em várias aplicações de engenharia: 
 
 Geração de potência 
 Propulsão de Veículos 
 Refrigeração 
 
2.6.1. Preliminares 
 
 O balanço de energia para um sistema que percorre um ciclo 
TERMODINÂMICO tem a seguinte forma: 
 
 ∆Eciclo = Qciclo - Wciclo 
 
 Para um ciclo: 
 
 ∆Eciclo = 0 
 
 Qciclo = Wciclo → Válida para todo e qualquer ciclo termodinâmico e 
independentemente do fluido de trabalho. 
 
 
2.6.2. Ciclos de Potência 
 
 
Frio
Quente
Qe
Qs
Wc
 
 
 
 
Qe - Qs = Wc 
 
η = = −WcicloQe
Qs
Qe1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6.3. Ciclos de Refrigeração e Bomba de Calor 
 
Frio
Quente
Qs
Qe
Wc
 
 
 
 
 
 
Wc = Qs - Qe 
 
Wliq = Qliq 
 
 
 
Para os ciclos de refrigeração e bombas de calor são usados como indicadores de 
eficiência os conceitos seguintes: 
 
 
β = QeQc = Coeficiente de desempenho para refrigeração 
 Coeficiente de eficácia 
 
 
Qe = efeito útil 
 
Wc = trabalho de compressão 
 
γ = ⇒QoutQc Coeficiente de desempenho de bomba de calor 
 
Qout = Qs = efeito útil 
Qc = trabalho de compressão 
 
 
γ =
−
Qs
Qs Qe 
 
TERMODINÂMICA I 
 
Prof. José Tomaz Vieira Pereira 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
PROPRIEDADES DE UMA SUBSTÂNCIA PURA COMPRESSÍVEL 
SIMPLES 
 
 Para aplicação do balanço de energia para um sistema, é necessário o 
conhecimento das propriedades do sistema e de como estas propriedades estão 
relacionadas. Neste capítulo serão introduzidas relações entre as propriedades que são 
relevantes para aplicação em engenharia termodinâmica. A apresentação começa com 
o princípio do estado, o qual está intimamente ligado com as relações entre as 
propriedades dos sistemas. 
 
3.1. O Princípio do Estado 
 
 Estado para um sistema em equilíbrio é descrito pelo valor de suas 
propriedades termodinâmicas. Pela observação dos sistemas termodinâmicos, é 
conhecido que nem todas essas propriedades são independentes uma das outras. O 
estado é definido pelo valor das propriedades independentes. Os valores de todas as 
outras propriedades são obtidos a partir dos valores dessas propriedades 
independentes. 
 Baseado em consideráveis evidências experimentais, pode ser concluído que 
há uma propriedade independente para cada meio que a energia do sistema pode variar 
de modo independente. No capítulo 2, vimos que a energia de um sistema fechado 
pode ser alterada de modo independente por transferência de calor ou trabalho. Assim 
uma propriedade independente pode ser associada com a transferência de calor como 
um meio de variação de energia do sistema, e uma outra propriedade independente 
pode ser contada para cada modo relevante através do qual a energia do sistema pode 
variar por trabalho. Assim, baseado em evidência experimental, pode ser estabelecido 
que o número de propriedades independentes para sistemas sujeitos às limitações 
acima é um (1) mais o número de interações relevantes na forma de trabalho. 
 Este é o princípio do Estado. A experiência indica também que para contar o 
número de interações de trabalho relevantes, é suficiente considerar somente aquelas 
que ocorrem quando o sistema passa por um processo quasiestático. 
 O termo sistema simples é utilizado quando há somente um (1) meio através 
do qual a energia varia de modo relevante pelo trabalho enquanto o sistema passa por 
um processo quasiestático. Assim contando uma propriedade independente para a 
transferência de calor e outra para o trabalho realizado no processo quasiestático, pode 
se dizer que duas propriedades independentes são necessárias para fixar o estado de 
um sistema simples. 
 
 Duas propriedades independentes definem o estado. 
 
 Pressão, energia interna específica e todas as outras propriedades intensivas 
podem ser determinadas como funções de T e v. 
 
 P = p (T, v); u = u (T, v) 
 
 
3.2. Relação P-v-T 
 
 A partir dos experimentos se observa que temperatura e volume específico 
são propriedades independentes, e a pressão pode ser determinada em função dessas 
duas: p = p(T,v). O gráfico dessa função é uma superfície, normalmente chamada de 
superfície P-v-T 
 
3.2.1. Superfície P-v-T 
 
 Diagramas 
 
 Regiões: 
 Sólido - fase única 
 Líquido - fase única 
 
 Vapor: 
 2 propriedades independentes (p,v, ou T definem o estado) 
 
 Duas fases: 
 
líquido - vapor 
sólido - líquido 
sólido-vapor 
Pressão e temperatura são 
propriedades dependentes. 
 
 
 
Linhas de Saturação 
 
"Domo" 
 
Ponto crítico: Ponto de encontro das linhas de líquido saturado e de vapor saturado. 
Pressão crítica = Pc 
Temperatura crítica = Tc 
Volume específico crítico 
 
3.2.2. P, v, T - Projeções planas 
 
Diagramas de Fase: Fig. 3.1b e Fig. 3.2b 
 
 
Ponto triplo: Temperatura 273,16K = Tpt
 
 Pressão 0,6113 kPa = Ppt
 
 
 
Água = 7 formas cristalinas diferentes (gelo) 
 
P - v - Diagrama - Fig. 3.1c e Fig. 3.2c 
 
 Muito útil para esquematizar a solução de problemas. 
 
T - v - Diagrama Figura 3.3. 
 
 
3.2.3 - Mudança de Fase. 
 
 É instrutivo estudar alguns eventos que ocorrem com uma substância pura que 
experimenta uma mudança de fase, pois será de grande valia para todos os estudos 
seguintes. 
(ver transparências manuscritas). 
 
3.3 - Propriedades Termodinâmicas. 
 
 As propriedades termodinâmicas para uso em engenharia são apresentadas em 
várias formas, incluindo gráficos, tabelas e equações. Adicionalmente, valores de 
propriedades termodinâmicas para um crescente número de substâncias estão 
disponíveis em programas para micro-computadores. Como a utilização de tabelas 
ainda é muito mais frequente por ser mais disponível será dado ênfase ao seu uso por 
representar um treinamento importante. 
 
3.3.1 - Pressão, Volume Específico e Temperatura. 
 
 Tabelas de líquido e vapor. Propriedades do vapor d'água superaquecido são 
mostradas na Tabela A-4 e para a água comprimida (líquido comprimido) estão na 
Tabela A-5. Como pressão e temperatura são propriedades independentes nas regiões 
de fase simples, elas podem ser usadas para identificar os estados nessas regiões. 
 Tabelas de Saturação. As tabelas A-2 e A-3, listam os valores das 
propriedades para os estados de líquido saturado e vapor saturado. 
 O volume específico para uma mistura bifásica de vapor e líquido pode ser 
determinado usando as Tabelas de Saturação e a definição de título 
 
título x
m
m m
vap
liq vap
= =
+
 
 
 Como na região de saturação, todo o líquido está na situação de líquido 
saturado e todo vapor está na situação de vapor saturado: 
 
 V m v V m vliq liq liq vap vap vap= = e 
 
 v
V
m
V
m
V
m
liq vap
= = + 
 
 v
m
m
v
m
m
v
liq
liq
vap
vap= + 
 
introduzindo a definição de título dada acima, o volume específico pode ser calculado 
por: 
 
v x v x v v x v vliq vap liq vap liq= − + = + −( ) ( ) ( )1 
 
 Para acompanhar a notação utilizadano livro texto, vamos representar os 
subscritos da fase vapor por (g) ao invés de (vap) e da fase líquida por (f) ao invés de 
(liq). 
 O aumento do volume específico da fase líquida para a fase vapor é 
comumente representado como volume específico de mudança de fase por 
v v vfg vap liq= − 
 
3.3.2. Energia Interna Específica e Entalpia 
 
 Em muitos processos termodinâmicos aparece a soma da Energia Interna e do 
produto P V (Pressão e Volume). Essa combinação constitui uma propriedade 
denominada entalpia 
 
 U + PV = H (entalpia) 
 u + Pv = h (entalpia específica) 
 u Pv h+ = (entalpia específica/base molar) 
 
Regiões de Saturação 
 
 Para a região do "domo", onde as fases líquida e vapor estão presentes, a 
energia interna e a entalpia são calculadas com o auxílio do título. 
 
 De forma análoga do cálculo do volume específico, tem-se: 
 
 Energia Interna
u x u x u
u u x u u
f g
f g f
u fg
= − +
= + −
( )
( )
1
124 34
 
 
 
 Entalpia
h x h x h
h h x h h
f g
f g f
h fg
= − +
= + −
( )
( )
1
124 34
 
 
 
 
Exemplo: Determinar a energia, e a entalpia, para o R-12 nas seguintes condições: 
 
 
1) 
 T = 12o C 
 
 u = 111,07 kJ/kg 
 
Da Tab. A.7, T = 12o C 
 
 uf = 46,93 kJ/kg 
 
 ug = 175,2 kJ/kg → ∴ temos o estado intermediário entre a saturação do R-
12 
 líquido e do R-12 vapor 
 
 hf = 47,26 kJ/kg 
 
 hg = uf + x (ug - uf) 
 
 x
u u
u u
f
g f
=
−
−
=
−
−
=
111 07 46 93
175 2 46 93
0 5, ,
, ,
, 
 
 h = (1 - x) hf + x hg 
 
 
 
 h = (1 - 0,5) . 47,26 + 0,5 192,56 = 119,91 kJ/kg 
 
 
Tab. A.7 - P = 4,4962 bar 
 
 v f= 0,737 . 10-3 m3/kg 
 
 v g= 38,6 . 10-3 m3/kg 
 
 1 bar = 0,1 106 Pa = 0,1 MPa 
 
 1 bar = 0,1 . 106 N/m2 
 
 hf = uf + Pvf 
 
 
 
h
kJ
kg
N
m
m
kgf = + ⋅ ⋅
⋅
46 93 0 44962 10
0 737 10
1000
6
2
3 3
, ,
,
 
 
 
 
 hf = 46,93 + 0,331 = 47,36 kJ/kg 
 
 hg = 175,2 + 0,44962 . 106 . 38,6 . 10-3 = 175,2 + 17,36 kJ/kg 
 
 hg = 195,26 kJ/kg 
 
 
Vapor Superaquecido 
 
 Sistema: água 
 P = 0,1 MPa 
 u = 2537,3 kJ/kg 
 
 
Tab. A3 - Propriedade da água saturada. 
 
 P = 0,1 Mpa = 1,0 bar 
 
 T = 99,63oC 
 
 uf = 417,36 kJ/kg 
 
 ug = 2506,1 kJ/kg u > ug ∴ Vapor Superaquecido 
 
 
Tab. A4 - Vapor superaquecido 
 
 P = 1,0 bar 
 
 T = 120oC 
 
 u = 2537,3 kJ/kg 
 
 h = 2716,6 kJ/kg 
 
 v = 1,793 m3/kg 
 
Estados de Referência e Valores de Referência 
 
Para Água 
 
Para Refrigerantes 
T = 0,01oC T = -40oC 
uf = 0,0 kJ/kg hf = 0,0 kJ/kg 
h = u + pv u = h - pv 
 
Exemplo 3.2. 
 
 
 Um tanque rígido bem isolado tem vapor d'água saturado a 100oC, e um 
Volume de 0,1 m3. O vapor é agitado rapidamente até que a pressão atinja 1,5 bar. 
 
 Determine a temperatura do estado final e o trabalho realizado durante o 
processo. 
 
 
 
 
FIGURA 
 
 
Hipóteses: 
 1. A água é o sistema fechado 
 2. Os estados inicial e final são estados de equilíbrio: ∆KE = ∆PE = 0 
 3. 1Q2 = 0 
 4. V = constante 
 
 
1a Lei: 
 ∆E = Q - W 
 
 
KE +
0
PE = Q - WU +
0 0
 
 
 
 ∆U = -W → U2 - U1 = 1W2 
 
 1W2 = -m (u2 - u1 ) 
 
 
 
Tab. A.2. 
 
 T = 100o C 
 
 P= 1,014 bar 
 
 uf = 418,94 kJ/kg 
 
 ug = 2506,5 kJ/kg 
 
 vg = 1,673 m3/kg 
 
 
Tab A.4. 
 
 P = 1,5 bar 
 
 vg = 1,673 m3/kg 
 
 
 
 
 
 
 
 Interpolação 
 
 Temp (oC) 
 
v (m3/kg) u 
a 240 1,57 2717,2 
c --------------- ------------- 1,673 
b 280 1,695 2778,6 
 
 
 (Tb - Ta) → (va - vb) 
 
 (Tc - Ta) → (va - vc) 
 
 
( ) ( )
T T
T T v v
v v
T
T
v
v
v
c a
b a a c
a b
b
a
b
a
c
− =
− −
−
=
=
=
=
=
( ) ,
,
,
280
240
1 695
1 57
1 673
 
 
 
 
 
( ) ( )
T Tc a− =
− −
−
=
280 240 1 57 1 673
157 1 695 32 96
, ,
( , , ) , 
 
 
 Tc = Ta +32,96 = 240 + 32,96 = 272,96oC 
 
 
 
 
 
 Para determinar uc, vamos interpolar usando o vc 
 
 (vb - va) → (vc - va) 
 
 (ua - ub) → (ua - uc) 
 
 
 ( ) ( )( )( )u u
u u v v
v va c
a b c a
b a
− =
− −
−
 
 
 
 ( ) ( , , ) ( , , )( , , ) ,u ua c− =
− −
−
= −
2717 2 2778 6 1 673 157
1 695 157 50 59 
 
 
 
 uc = ua + 50,59 
 
 uc = 2717,2 + 50,59 = 2767,79 kJ/kg = u2 
 
 
 1W2 = -m (u2 - u1) 
 
 
 m
V
v
m
m
kg
kg= = =
0 1
1 673
0 06
3
3
,
,
, 
 
 
 1W2 = -0,06 (2767,79 - 2506,5) = -15,62 kJ 
 
 
1W2 = - 15,62 kJ 
 
 
 
 
Ex. 3.3 
 
 A água contida num conjunto Pistão - cilindro passa por dois processos em 
série, a partir de um estado inicial onde P = 10,00 bar 
 T = 400 ºC 
 
Processo 1 - 2: A água é resfriada a pressão constante até se tornar vapor saturado a 
 P = 10,00 bar. 
 
Processo 2 - 3: A água é resfriada a volume constante até 150 ºC. 
 
a) Esquematize os processos em diagramas Pv e Tv 
 
b) Para o processo como um todo, Determine o trabalho envolvido kJkg





 . 
c) Para o processo como um todo, determine o calor transferido. (kJ/kg). 
 
 
400 ºC
2
3
150 ºC
V
P
10 bars
a)
1
400 ºC
3
V
2
150 ºC
400 ºC
10 bars
1
 
 
 
b)
? ?
∆
∆
E
Q
m
W
m
U
m
W
m
W
m
W
m
pdv pdv pdv
= − =
= + = = + ∫∫∫
1 3 1 3
1 3 1 2 2 3
2
3 0
1
2
1
3
 
 
 
1 3
1
2
2 1
W
m
pdv p v v= = −∫ ( )
 
c) 
∆
∆
U
m
Q
m
W
m
Q
m
U
m
W
m
= −
= +
1 3 1 3
1 3 1 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.3 - Calores específicos a volume constante e a pressão constante 
 
 Cp
Cv
 Propriedades derivadas da energia interna e da entalpia 
 
 
Cv
u
t
Cp
h
t
K
Cp
Cv
V
P
=



=



=
∂
∂
∂
∂ 
 
 
3.3.4 - Aproximações para determinar as propriedades dos líquidos usando as 
tabelas de líquido saturado. 
 
 
( )v t p v t
u t p u t
h t p h t
, ~ ( )
( , ) ~ ( )
( , ) ~ ( )
−
−
−
 
 
 
3.3.5 - Modelo de Substância Incompressível. 
 
 Como observado, existem regiões onde o volume específico da água líquida 
varia muito pouco e a energia interna específica varia principalmente com a 
temperatura. 
 O mesmo comportamento geral é exibido por outras substâncias nas suas fases 
líquida e sólida. Essa substância idealizada é chamada de incompressível. 
 Para essa substância a energia interna específica depende somente da 
temperatura e o calor específico é também somente função da temperatura. 
 
 c T du
dT
incompressívelv ( ) ( )= 
 
 A entalpia varia com a pressão e com a temperatura. 
 
h T P u T Pv
h
T
du
dT
h
T
Cp definição
P
P
( , ) ( )
( )
= +


 =


 =
∂
∂
∂
∂
 
 
 Assim, para uma substância incompressível 
 
 Cp = Cv = C (incompressível) 
 
 Para intervalos de temperatura não muito grandes, a variação de c pode ser 
pequena e nesses casos o calor específico pode ser tomado como constante, sem perda 
apreciável de precisão. 
 
 
u u c T dT
h h u u v p p
h h c T dT v p p
T
T
T
T
2 1
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
1
2
1
2
− =
− = − + −
− = + −
∫
∫
( )
( )
( ) ( )
 
 
 Para c= constante, 
 
 u2-u1 = c(T2-T1) 
 
 h2-h1 = c(T2-T1) + v(p2-p1).3.4 - Relações PvT para gases. 
 
 Úteis para avaliar sistemas na fase gasosa. 
 
 
 
3.4.1 - Constante Universal dos Gases. 
 
 
 
 
gás
T= constante
 
 
 O Pistão pode se mover para a obtenção de vários estados de equilíbrio à 
mesma temperatura. 
 
 Para cada estado de equilíbrio são medidos: a Pressão e o volume específico. 
Com os resultados é construído o seguinte gráfico: 
 
Pv
T
R
T1
T2
T3
T4
P
 
 
v Volume Específico Molar= 
 
 
 Quando P → 0, para todas as temperaturas, o limite tende a R , 
independentemente do gás utilizado. 
 
 lim
P
P v
T
R
→
=
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R = Constante Universal dos Gases 
 
 8,314 kJ/kmol.K 
R 1,986 BTU/lbmol.oR 
 1545pé/ lbf/lbmol.oR 
 
 
 
3.4.2. Fator de Compressibilidade (Z) 
 
Z
Pv
RT
= (adimensional) 
 
v Mv= M = Peso Atômico 
 Peso Molecular 
 
R
R
M
= 
 
 
Z
Pv
RT
= 
lim Z = 1 
P → 0 
 
 
Z = Fator de compressibilidade 
 
 
 
( )Z B T p C T p D T p= + + + +1 2 3$ ( ) $ $ ( ) ... 
 
 
Z
B T
v
C T
v
D T
v
= + + + +1 2 3
( ) ( ) ( )
... 
 
 
 Essas equações são conhecidas como expansões viriais e os coeficientes 
$
,
$
,
$B C D e B, C, D são os coeficientes viriais, e pretendem representar as forças 
entre as moléculas. 
 
$Bp
B
v
iteração entre duas moléculas= 
 
$Cp
C
v
iteração entre três moléculas2 2 ≈ 
 
 
$Dp D
v
iterações entre quatro moléculas3 3 → 
 
 e assim por diante. 
 
 
 
3.4.3. Gráfico de Compressibilidade Generalizada 
 
 Os gráficos do fator de compressibilidade são similares para os vários gases. 
 Efetuando-se modificações adequadas nos eixos coordenados é possível 
estabelecer relações quantitativas similares para os vários gases. 
 Isso é referido ao "princípio dos estados correspondentes". 
 Dessa maneira, o fator de compressibilidade é colocado num gráfico versus 
uma Pressão Reduzida e uma temperatura reduzida, definida como 
 
Pr = =
P
Pc
Tr
T
Tc
 
 
 
 
 
 
 
cartas mais apropriadas para solução de problemas são apresentadas nas Fig. A-1, A-2 
e A-3 do Apêndice. 
 
 Os valores obtidos destas cartas são aproximados e, se os cálculos exigirem 
grande precisão, será necessário lançar mão de tabelas específicas ou softwares para 
cálculo. 
 O erro máximo é da ordem de 5% e para a maioria das faixas de pressão e 
temperaturas é bem menor. 
 Nessas cartas o volume específico reduzido v
v
vR c
= é substituído pelo 
pseudo volume específico crítico v
v
RT
Pc
R
c
'
= 
 
 
 Essas cartas não fornecem bons resultados nas proximidades do ponto crítico. 
Isso pode se contornado restringindo as correlações para substâncias com o mesmo Zc 
 
 Z = f ( TR, PR, Zc ) 
 
 
Ex. 3.4. Uma quantidade fixa de vapor d'água inicialmente a 20 MPa, T = 520oC é 
resfriada a volume constante até a temperatura de 400oC. Usando as cartas de 
compressibilidade, determine: 
 
a) O volume específico do vapor d'água, em m3/kg para o estado inicial. 
 
b) A pressão em MPa no estado final. 
 
 Compare os resultados de a) e b) com aqueles obtidos das tabelas de vapor, 
A-4. 
 
 
.
1
2
v
T
520 520
400 º
20Mra
T ab A4 
v = 0,01551 m
3
Kg
=>
 
 
 
 
 
 
 
Tab. A.1 - Mágua = 18,2 
 Tc = 647,3K 
 Pc =220,9 bars 
 
Z
P v
RTc
c c
c
= = 0 233, 
 
 
T TR R1 2
520 27315
647 3 1 23
673
647 3 1 04=
+
= = =
,
,
,
,
, 
 
 
PR1
200
220 9 0 91= =, , 
 
 
 
 
 
 
Z1 = 0,83 
 
 
v
v
RT
Pc
v
v
vR c
R
c
'
= = 
 
Z
Pv
RT
v Z
RT
P
= ⇒ =1 1
1
1
 
 
 
v M v= 
 
R
R
M
= 
 
 8,314 kJ/kmolK 
R 1,986 BTU/lbmoloR 
 1545 pé lbf/lbmoloR 
 
 
v Z
R
M
T
P1 1
1
1
= . 
 
 
v
N m
kmol K
kg
kmol
N
m
m kg1
6
2
30 83
8 314
18 02
793
2010
0 0152=






















=,
,
.
, .
, / 
 
 
v m kg compressibilidade generalizada1
30 0152= →, / 
 
v m kg Tabela de vapor A1
30 01551 4= → −, / 
 
v
vP
RTR
c
c
'
,= = 112 
 
 
T
T
TR c2
2 673
647 3 1 04= = =, , 
 
 
PR c = 0 69, Carta E3-4 
 
 
P2 = Pc (PR2) = 22,09 MPa x 0,69 = 15,24 MPa 
 
P2 = 15,24 MPa 
 
P2 = 15,16 MPa → Tabela de Vapor 
 
 
 
3.5. Modelo de Gás Ideal 
 
 Considerando os dados de compressibilidade generalizada pode ser visto que: 
 
 PR ≤ 0,05 
Z ≈ 1 ou 
 TR ≥ 15 
 
 2 ≤ TR ≤ 3 
Z ≈ 1 
 Larga Faixa PR 
 
02 Tc = 154 K Pc = 50,5 bars 
 
N2 Tc = 126 K Pc = 33,9 bars 
 
Z
Pv
RT
Gás Ideal= = →1 
 
Pv = RT v
V
m
= 
 
 
PV = mRT v
v
M
= v
V
n
= 
 
 
Pv RT R
R
M
= = 
 
 
PV nRT= 
 
 
Para o Gás Perfeito 
 
u = u (T) → função só da temperatura se Z = 1 
 
h = h (T) = u (T) + RT 
 
 Lembrar sempre que o modelo de gás ideal é muito bom quando Z ≈ 1 e que 
não fornece resultados aceitáveis para todos os estados, e deve ser utilizado como uma 
aproximação para os casos reais. 
 
 
3.5.1. Energia Interna, Entalpia e Calor Específico para Gás Ideal 
 
 Z ≈ 1 → gás ideal Z
Pv
RT
= 
 
 
 Energia interna e calor específico a volume constante 
 
c T
du
dT du c T dTv v( ) ( )= → = 
 
 
 Entre dois estados 1) e 2) 
 
du c T dt u T u T c T dTv v1
2
1
2
2 2 1 1 1
2
∫ ∫ ∫= ⇒ − =( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
Entalpia e Cp 
 
C T
dh
dT dh C T dTp p( ) ( )= → = 
 
 
 Entre dois estados 1) e 2) 
 
dh C T dt h T h T C T dTp p1
2
1
2
2 2 1 1 1
2
∫ ∫ ∫= ⇒ − =( ) ( ) ( ) ( ) 
 
h T u T RT
dh
dT
du
dt R( ) ( )= + ⇒ = + 
 
 
C T C T Rp v( ) ( )= + 
 
C T C Tp v( ) ( )> 
 
 
 Assim, a razão entre os calores específicos Cp e Cv é função somente da 
Temperatura 
 
 
k
C
C
p
v
= > 1 
 
 Combinando as equações 
 
 
 
C T C T R
k
C T
C T
p v
p
v
( ) ( )
( )
( )
= +
=
 
 
C T
kR
k
C T
R
k
p
v
( )
( )
=
−
=
−
1
1
 
 
 
 Os valores de Cp e Cv variam com a temperatura e são disponíveis para a 
maioria dos gases de interesse. 
 Para os gases mono-atômicos Ar, He, Ne, a razão 
C
R
p
 é praticamente 
constante 
C
R
p
= 2 5, (Ar, Ne, He). 
 
 Para os demais gases, os valores de Cp podem ser obtidos de tabelas ou 
expressões 
 
C
R
T T T Tp = + + + +α β γ δ ε2 3 4 
 
onde α, β, γ, δ, ε são listados na Tab. A-15 para vários gases na faixa de temperaturas 
entre 300 e 1000 K. 
 
Problema: Determine a variação da entalpia específica para vapor d'água, do estado 1) 
T1=400 K e p=0,1 MPa até o estado 2) T2 = 900K P2=0,5 MPa, usando: 
 
 
a) Tabela de vapor 
b) Integração usando o modelo do calor específico para gás ideal 
C
R
T T T Tp = + + + +α β γ δ ε2 3 4 , com os coeficientes α, β, γ, δ, ε da Tab. A-15. 
 
c) Repetir a) e b) para o estado final. 
 
 
a) Da Tab. A-4 por interpolação 
 
h
kJ
kg
h h
kJ
kg
h
kJ
kg
1
2 1
2
2730 5
1031 7
3762 2
=
− =
=
,
,
,
 
 
 
 
b) 
 
h h Cp T dT Cp T
Cp T
M
R
R
M
T
T
2 1
1
2
− = =
=
∫ ( ) ( )
( )
 
 
 
C
R
T T T Tp = + + + +α β γ δ ε2 3 4 
 
 
C T Rp ( ) ( .......)= +α 
 
Cp T
R
M( ) ( ....)= +α 
 
h h
C
R
T T T T dTp
T
T
2 1
2 3 4
1
2
− = + + + +∫ ( )α β γ δ ε 
 
 
h h
R
M
T T T T T T T T T T2 1 2 1 2
2
1
2
2
3
1
3
2
4
1
4
2
5
1
5
2 3 4 5− = − + − + − + + − + −




α
β δ γ ε( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
b) h h kJkg2 1 1025 0− = , 
 
 
c) Para T1 = 400K T2=900K 
 P1 = 0,1 MPa P2 = 10 MPa 
 h1 = 2730,5 kJ/kg h2 = 3691,7 kJ/kg 
 h2-h1 = 961,2 kJ/kg 
 
 
Por integração 
 
h h Cp T dT
kJ
kgT
T
2 1 1025 0
1
2
− = =∫ ( ) , 
 
 
Comentários: Água: Tc = 647,3K 
 Pc = 220,9 bars 
 M = 18,02 kg/Kmol 
 
 
Para: T1 = 400K T2 = 900K 
 P1 = 1 bar P2 = 5 bars 
 V1 = 
 Z1 = Pv/RT 
 
 P PR R1 2
1
220 9
0 0045 5
220 9
0 023= = = =
,
,
,
, 
 
 
 T TR R1 2
400
647 3
0 06 900
647 2
1 4= = = =
,
,
,
, 
 
 
3.5.2. Tabelas de Gás Ideal 
 
 Para os gases mais comuns, avaliações de valores de energia interna específica 
e de entalpia são facilitados pelo uso de tabelas de gases ideais. 
 A determinação da entalpia é obtida pela equação 
 
h T C T dT h Tp refT
T
ref
( ) ( ) ( )= +∫ onde Tref = temperatura arbitrária 
 h(Tref) = entalpia 
 
 
 As tabelas A-16 a A-22 são baseadas em Tref = 0K e h(0) = 0 
 
 Para essas temperaturas e entalpia de referências 
 
h T C T dTp
T( ) ( )= ∫0 
 
 A energia interna foi tabulada a partir dos valores de entalpia usando: 
 u = h - RT 
 Esses valores podem também ser obtidos através de programas de computador. 
 
 
3.5.3 - Hipótese de calores específicos constantes 
 
 u(T2) - u (T1) = Cv (T2 - T1) 
 h(T2) - h(T1) = Cp (T2 - T1) 
 
 Os valores de Cv e Cp constantes são os valores médios obtidos de 
 
 Cv
Cv T dT
T T
Cp
Cp T dT
T T
T
T
T
T
=
−
=
−
∫ ∫( ) ( )
1
2
1
2
2 1 2 1
 
 
 
EXEMPLO 3.7 
 
 Determine a variação da entalpia específica do vapor d'água do estado 1 a T1= 
400K e P1 = 0,1 MPa até T 2 = 900K e P2 = 0,5 MPa, usando a tabela de gás ideal para 
vapor d'água. 
 Compare os resultados com as partes a e b do exemplo 3.6 
 Tab. A-19 Pg. 725 
 
 
T K h kJ
kmol
T K h kJ
kmol
M
h kJ
kg
h kJ
kg
h h kJ
kg
h kJ
kg
h kJ
kg
1 1
2 2
1
2
2 1 1 2
400 13 356
900 31828
18 02
741 18
1 766 26
1025 08 2 730 5 3762 2
= =
= =
=
=
=
− = = =
.
,
,
. ,
, . , ,
 
 
 EX.: 3.6 a) h 2 - h 1 = 1031,7 
kJ
kg
 (Tabela A.4) 
 b) h
 2 - h 1 = 1025,0 
kJ
kg
 
 h
 2 - h 1 = 
R
M
T T T T dT
T
T ( )α β γ δ ξ+ + + +∫
1
2 2 3 4
 
 
 
 
 EX.: 3.9 Dois tanques são conectados através de uma válvula. Um dos 
tanques contem 2 kg de CO a 77ºC e P = 0,7 bars. O outro tanque tem 8 kg de CO a 
27 ºC e P = 1,2 bars. 
 A válvula á aberta permitindo que o CO se misture enquanto recebe energia do 
ambiente. A temperatura final de equilíbrio é 42ºC. Usando o modelo de gás Ideal 
determine: 
 a) a pressão de equilíbrio em bars 
 b) o calor transferido para o processo em kJ. 
 
 
CO
2Kg, 77ºC
0,7 bars
Tq 1
x
CO
8Kg, 27ºC
1,2 bars
Tq 2
 
 
 Hipóteses: 1. A massa total de CO é o sistema 
 2. O CO é tratado como gás ideal 
 3. O gás em cada tanque está inicialmente em equilíbrio 
 O estado final é um estado de equilíbrio 
 4. Não há realização de trabalho 
 5. ∆KE = ∆PE = ∅ 
 
 Solução a) Pelas condições dadas é possível determinar os volumes totais dos 
tanques 1 e 2, nas condições iniciais. 
 Supondo que os tanques sejam rígidos, o volume final será igual ao 
inicial Vf = V1 + V2 e assim é possível determinar o volume específico final, de 
forma que 
 
P
RT
v
v
V V
m m
P
m m RT
V V
V
m RT
P
V
m RT
P
P
m m RT
m RT
P
m RT
P
m m T
m T
P
m T
P
P
kg K
kg K kg K
bars
bars
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
= =
+
+
=
+
+
=
=
=
+
+
=
+
+
=
⋅
⋅




 +
⋅





=
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1 1
1
2
2 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
1 2
1 1
1
2 2
2
10 315
2 250
0 7
8 300
1 2
1 05
( )
( ) ( )
, ,
,
 
 
 
 
 b) O calor transferido pode ser obtido por um balanço de energia 
 
 
WU = Q - 
 
 ∆U = Q = Uf - Ui 
 Uf = (m1 + m2) u (Tf) 
 Ui = m1 u (T1) + m2 u (T2) 
 Q = m1 (u (Tf) - u (T1) + m2 (u (Tf) - u (T1)) 
 U = (Tf) - u (T1) = Cv ( T f -T1) 
 U = (Tf) - u (T2) = Cv (T f - T2) 
 Q = m1 Cv (Tf - T1) + m2 Cv (Tf - T2) 
 
Cv - Tabela A - 14 - Pg. 717 
Tomando o valor médio para Cv entre T = 300 e 350 
Temos Cv = 0,745 kJ
kgK
 
( ) ( ) ( )Q kg kJkgK K K kg
kJ
kgK K K
Q kJ
=





 − + ⋅ −






= +
2 0 745 315 350 8 0 745 315 300
37 25
, ,
,
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
Tab. A 20 - Pg. 727 
 
 
Q m u K u K m u K u K
kJ
kmol
u
u
u
M
kg
kmol
Q x
Q kJ
CO
= − + −
↑
=
=
=
=
=
=
=
= − + −
= − + =
=
1 2315 350 315 300
300 6 229
315 6541
3500 7 271
28 01
222 38
233 52
259 59
2 233 52 259 59 8 233 52 222 38
52 14 89 12 36 98
36 98
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ) .
( ) .
( ) .
,
,
,
,
( , , ) ( , , )
, , ,
,
 
 
3.5.4 - Processo Politrópico para um gás ideal 
 
 Descrito por PV n = constante, com n = constante 
 Entre 2 estados 1 e 2 
 PV P V
P
P
V
V
n n
n
1 1 2 2
1
2
2
1
= ⇒ =





 
 n pode variar de - ∞ a + ∞ , dependendo do processo. 
 n = o Processo isobárico →P = constante 
 n = + ∞ Processo isométrico → V = constante 
 
 Trabalho 
 
 
( )PdV P V PV
n
n
PdV PV
V
V
n
=
−
−
≠
= =
∫
∫
2 2 1 1
1
2
1 1
2
1
1
2
1
1
1ln
 
 Essas equações se aplicam para qualquer gás (ou líquido) em um processo 
politrópico. 
 Quando o comportamento de gás ideal é apropriado podem ser obtidas as 
seguintes equações. 
 
 
( )
T
T
P
P
V
V
Pv RT
PV mRT
PV mRT
P V mRT
PdV
mR T T
n
n
PdV mRT
V
V
n processo isotérmico
n
n
n
2
1
2
1
1
1
2
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
=





 =






=
=
=
=
=
−
−
≠
= =
−
−
∫
∫
( )
ln
 
Problema 3.96 
 
 Argônio inicialmente a 500 KPa, e 100 K passa por um processo prolitrópico, 
com n=k, até atingir a temperatura final de 300 K 
 Determine o trabalho e o calor transferido por kg de Argônio. Admita 
comportamento de gás perfeito. 
 
 
( )
W
R T T
k12
2 1
1
=
−
−
 
 
Tab. A.1 MAR=39,94 
kg
kmol
 
 
Tab. A.15 Gases monoatômicos 
 
 Fig. 3.12 - pag.97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
Cp
R
R
R
M
R
kJ
KmolK
R
kJ
KmolK
kg
Kmol
Fig Pg
Cp
R
Cp
Cp
M
R
kJ
kgK STO
u h RT h CpdT K
du
dT
dh
dT R Cp Cv R
Cp xR
kJ
kgK
Cv
kJ
kg
k
Cp
Cv
W
kJ
kgK
K x kJ
kg
W
AR
AR
AR
AR
= =
=
=
−
= = =
= − = =
= − = +
= =
=
= =
= ⋅
−
−
=
−
= −
8 314
8 314
39 94
3 2 97
2 5 0 21
2 5 0 52
0 31
1 67
0 21
300 100
1 1 67
0 21 100
1 1 67 62 6912
,
,
,
. . . .
, ,
, ,
,
,
,
,
,
,
,φ
( ) ( )
( )
12
2 1
12
12
62 69
1
0 31 300 100 62 00
62 00 62 69 0 69
= −
= −
= − = − = +
= +
= + + − = −
,
.
, ,
, , ,
kJ
kg
Calor Transferido
a Lei U Q W
U Cv T T
kJ
kgK
kJ
kg
Q U W
Q kJkg
∆
∆
∆
 
 
TERMODINÂMICA I 
 
 
Prof. José Tomaz Vieira Pereira 
 
 
 
CAPÍTULO 4 - VOLUME DE CONTROLE - ANÁLISE ENERGÉTICA 
 
 Embora alguns dispositivos como turbinas, bombas e compressores, através 
dos quais há fluxo de massa, possam ser analisados como sistema fechados, é 
normalmente mais simples adotar o ponto de vista do "Volume de Controle" para 
analisar esses dispositivos. 
 
---> m e he= mehe
w
QA
m i
Hi = m hi i
 QB
Mvc (t)
.
.
.
. .
.
.
 
 
 O principal objetivo deste capítulo é estabelecer e ilustrar o uso dos princípios 
de conservação da massa e da energia para volumes de controle. 
 
4.1 - Conservação de massa para V.C. 
 Modelo de escoamento unidimensional 
 
4.1.1- Desenvolvimento do balanço do fluxo de massa 
 Uma determinada quantidade de massa m, ocupa diferentes regiões em função 
do tempo, como ilustrado nas figuras seguintes. 
 
b tempo (t + t)
mvc(t + t)mvc
a tempo (t)
(t) me
mi
 
 
 
 
tempo (t) massa do sistema ⇒ m= mvc(t) + mi 
 massa do vol. controle ⇒ mvc(t) 
 
tempo (t+∆ t) massa do sistema →m = mvc(t+∆ t) + mc 
 -11+ do vol. controle → mvc(t+∆ t) 
 
 m = mvc(t) + mi = mvc(t+∆ t) + mc 
 
 mvc(t+∆ t) - mvc (t) = mi - mc ÷ ∆ t 
 
 
m (t t) m (t)
t
mi
t
me
t
vc vc+ −
= −
∆
∆ ∆ ∆
 
 
Para ∆ t → 0 O sistema fechado e o volume de controle coincidem (ver do ponto de 
vista físico) 
 
 
( )
lim
lim &
lim &
∆
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
t 0
m t t m (t)
t
d
dt m
t 0
mi
t
mi
t 0
mc
t
mc
vc vc
vc→
+ −




 =
→ =
→ =
Fluxos de massa instantâneos
 
 Se existirem muitas entradas e muitas saídas do volume de controle o balanço 
dos fluxos instantâneos pode assumir o formato de somatório. 
 
 ∆m mi mevc
i
n
e i
m
= −
= =
∑ ∑& &
1
 
 
4.1.2 - Formas do balanço do fluxo de massa. 
 Em muitos casos pode ser conveniente expressar o balanço de massa em 
função das propriedades locais. 
 
 m t dVvc
V
( ) = ∫ ρ 
 
dA elemento de Área
V velocidade do fluxo ao cruzar 
esse elemento de Área
V t
 
 
 
 
 ( )
Quantidade de massa que cruza dA durante t
Lembrar que V deve ser sempre perpendicular à dA
Assim é melhor escrever
V t dAm
∆
∆
.
.










ρ 
 
 [Fluxo instantâneo de massa através de toda a área A] = 
ρ
ρ
V dA
m V dA
n
A
n
A
∫
∫=&
 
 Assim o balanço da massa pode ser escrito 
 
 
d
dt dV V dA V dAnAiV i
n
Ae e
ρ ρ ρ=






−





∫∑∫ ∫∑ 
 
 O estudo detalhado do princípio da conservação da massa é usualmente feito 
em Mecânica dos Fluídos e adota-se em termodinâmica formas mais simplificadas. 
 
 Fluxo unidimensional 
 
 
& & &
& &
m VA m
VA
v
VA mv
d
dt m
AiVi
vi
AeVe
ve
Para processos em Regime Permanente
mi me
vc
i e
ei
= = =
= −
=
∑ ∑
∑∑
ρ
 
 
 
 
EXEMPLO 4.1 
 
 Um alimentador de água quente opera em Regime Permanente e tem 02 
entradas e 01 saída. Na entrada 1, vapor d'água entra a P1 =7 bar e T1 = 200 ºC, com 
um fluxo de massa &m1 = 40 Kg/s. Na entrada 2, entra água líquida na pressão P2 = 7 
bars, e temperatura T2 = 40 ºC, através de uma área A2 =25 cm2. Pela única saída 
escoa líquido saturado com uma vazão (fluxo volumétrico) de VA = 0,06 m3/s. 
 Determine o fluxo de massa na entrada 2( &m2) e na saída ( &m3) e a velocidade 
na entrada 2 em m/s. 
 
12
3
A2= 25cm
2
T2= 40ºC
P2= 7 bars
Líquido Saturado
P3= 7 bars
(VA)3= 0,06 m
3/s
Superfície de Controle
(Fronteira do Vol. de Controle)
T1= 200ºCP1= 7 bars
m1
.
 = 40 kg/s
 
Solução: 
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
d
dt m mi me R P
mi m m
me m
m m m m
m
V
m VA
VA
v
VA V A V
VA
A
m
VA
v
v
m
kg Tab A
m
m
m
kg
vc
i
= − =
= +
=
+ = =
=
=
= = = ⋅ → =
= → = ⋅ →
= =
∑∑
∑
∑
=
−
−
& & . .
& & &
& &
& & & & ?
& ?
?
& ( )
& , . .
&
, /
, .
,
0
1108 10 3
0 06 2
110810
54
1
2
1 2
3
1 2 3 2
3
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
ρ
15
54 15 40 14 15
1 007810 2 40
14 15 1 007810
1
2510 5 7
5 7
2 3 1
2
2 2
2
2
3
3
2
3
3
4 2
2
kg
s
m m m
kg
s
V
m v
A
v
m
kg Tab A a C
V
kg
s
m
kg m m s
V m s
& & & , ,
&
, . . º
, , .
,
, /
, /
= − = − =
= → = →
= ⋅ =
=
−
−
−
 
Respostas: &m2 = 14,15 Kg/s 
 
&m3 = 54,15 Kg/s 
 V2 = 5,7 m/s 
 
4.2 - Conservação da energia para um V.C. 
 O desenvolvimento das equações de balanço de energia para V.C. é efetuado 
de modo similar àquele feito para o balanço de massa. 
 
4.2.1 - Desenvolvimento do balanço de energia para um V.C. 
 
tempo (t + t)
vc(t + t)vc
tempo (t)
(t) meE E e
w
.e
mi .ei
w
VC
Sistemafechado
(sombreado)
 
 
 e u
Vi
gz e u
V
gzi i i e e
e
e= + + = + +
2 2
2 2
 
 
 
 E (t) = Energia do Sistema no tempo (t) 
 
 E (t) = Evc (t) + mi ei 
 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
E t mi u
V
gz
E t t Energia do Sistema em t t
E t t E t t m u
V
gz
vc i
i
i
vc e e
e
e
+ + +






+ = +
+ = + + + +






2
2
2
2
∆ ∆
∆ ∆
 
 
 
 
 Balanço de Energia para o Sistema 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
∆
∆
∆
∆
∆
E Q W W trabalho de eixo deslocamento de fronteira elétrico
E t t E t Q W
E t t m u
V
gz E t m u
V
gz Q W
E t t E t Q W m u V gz m u V gz
t
E
vc e e
e
e vc i i i
vc vc i i i e e
e
e
= − =
+ − = −
+ + + +











 − + + +











 = −
+ − = − + + +





 − + +






÷
, ,
2
1
2
1
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
vc vc
i i
i
i e e
e
et t E t
t
Q
t
W
t
m u
V
gz
t
m u
V
gz
t
+ −
= − +
+ +






−
+ +






∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
2 2
2 2
 
Passando ao limite com ∆ t → 0 
 
 
( ) ( )
lim
lim & lim &
lim &
lim &
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
t
E t t E t
t
d
dt E
t
Q
t
Q t W
t
W
t
m u
V
gz
t
m u
V
gz
t
m u
V
gz
t
m u
V
vc vc
vc
i i
i
i
i i
i
i
e e
e
e
e e
e
→
+ −
=
→ = → =
→
+ +




















= + +






→
+ +




















= +
0
0 0
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2
+





gze
 
 
 Assim a equação para o balanço de energia para um V.C. fica. 
 
 
dE
dt Q W m u
V
gz m u
V
gzvc i i
i
i e e
e
e= − + + +





 − + +





& & & &
2 2
2 2
 
 
 
 
4.2.2 - Trabalho para um Volume de Controle 
 
 W F d d V td e= ⋅ =
r r r r
∆ 
 
 Trabalho associado ao deslocamento do fluido, no tempo ∆t 
 
 W P A V td e e e= ⋅ ⋅ ⋅ ∆ 
 
 A taxa de realização do trabalho de deslocamento