Aula 06 - Sistemas Mecânicos Rotacionais

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Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 1
1 INTRODUÇÃO
Nesta apostila aprenderemos como obter o modelo matemático de sistemas mecânicos
rotacionais, a partir da aplicação da 2a Lei de Newton para o movimento de rotação, também
conhecida como Equação de Euler. Inicialmente, apresentaremos as equações constitutivas de
cada um dos elementos que compõem o sistema mecânico rotacional e, após, mostraremos como
tais equações são inseridas na EDOL que descreve o modelo matemático do sistema.
2 RELAÇÕES ENTRE EXCITAÇÃO E RESPOSTA PARA OS ELEMENTOS
 DO SISTEMA MECÂNICO. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS
Conforme já vimos, as equações constitutivas entre excitação e resposta para os vários
elementos (considerados lineares) de um sistema mecânico são dadas por
(1) 
..
JT θ=
(2) )(CT 1
.
2
.
C θ−θ=
(3) TK = K(θ2 - θ1)
A eq. (1) nada mais é do que a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação, onde T, que é a
resultante de todos os torques externos aplicadas ao corpo rígido de momento de inércia J, é
proporcional à aceleração angular absoluta do corpo. A constante de proporcionalidade é o
momento de inércia J.
A eq. (2) diz respeito ao torque que atua sobre um amortecedor viscoso, a qual é proporcional à
velocidade angular relativa entre as extremidades do amortecedor. A constante de
proporcionalidade é o coeficiente de amortecimento viscoso C.
Já a eq. (3) mostra a proporcionalidade entre a força da mola de torção e o deslocamento angular
relativo das extremidades da mola. A constante de proporcionalidade é a rigidez K.
Observemos que a aceleração angular é absoluta, ao passo que o deslocamento angular e a
velocidade angular são relativos.
 6 Modelagem Matemática de Sistemas
Mecânicos Rotacionais pela Mecânica
Newtoniana
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 2
3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS MECÂNICOS ROTACIONAIS
Para a modelagem de sistemas rotacionais, empregamos as equações constitutivas (1), (2) e (3) em
conjunto com a 2a Lei de Newton para o movimento de rotação, também conhecida como Equaçãp
de Euler:
(4)
..
00 JT θ=
onde o membro esquerdo representa a resultante dos torques externos que atuam sobre a massa,
J0 é o momento de inércia da massa em relação ao eixo de rotação e θ é a coordenada angular
adotada.
Vamos ilustrar a técnica da modelagem através de exemplos.
Exemplo 1: sistema motor-propulsor (fig. 1)
Na fig. 1, o momento de inércia das peças rotativas do motor é representado por Je e o momento
de inércia do propulsor por Jp. O torque de acionamento do motor é dado por T(t).
Consideraremos que o eixo tem massa desprezível em comparação com as massas do motor e do
propulsor, sendo ele representado por uma rigidez torcional K. Vamos admitir, também, a
existência de um torque de resistência aerodinâmica, proporcional ao quadrado da velocidade de
rotação do propulsor.
Para o desenvolvimento do modelo matemático, vamos escrever as equações do movimento a
partir do diagrama de corpo livre da fig. 2, considerando θ2 > θ1:
Coordenada θ1: 1
..
e12
..
00 J)K(T(t) JT θθθθ =−+⇒=
Coordenada θ2: 2
..
p
2
2
.
12
..
00 JC)K(- JT θθθθθ =−−⇒=
(5) T(t)K-KJ 211
..
e =θθ+θ
(6) 0KK-CJ 21
2
2
.
2
..
p =θ+θθ+θ
Como vemos, o modelo matemático é composto de duas equações diferenciais: uma linear e outra
não linear.
Fig. 1
Fig. 2
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 3
Exemplo 2: sistema engrenado (fig. 3)
A fig. 3 mostra um sistema com duas engrenagens, estando a maior delas (N1 dentes e raio
primitivo r1) conectada a um eixo cuja outra extremidade está fixada a uma estrutura. Sobre a
engrenagem menor (N2 dentes e raio primitivo r2) atua um torque T(t) = sen ωt.
Para o desenvolvimento do modelo matemático, vamos antes transferir a inércia da engrenagem
menor para o eixo da engrenagem maior:
(7) 
2
2
1
21
2
1
.
2
.
21eq N
N
JJJJJ 


+=







θ
θ+=
O torque T(t), por sua vez, também pode ser transferido para o eixo da engrenagem maior, tendo
em vista que (ver fig. 4)
(8) T senωt = r2F
(9) Teq(t) = r1F
logo
(10) tsenT
r
r
)t(T
2
1
eq ω=
Podemos, então, escrever as equações do
movimento a partir do diagrama de corpo livre da
fig. 5:
1
..
eq1eq
..
00 JK-T JT θθθ =⇒=
Levando em conta as eqs. (7) e (10): 1
..
2
2
1
211
2
1..
00 N
N
JJK-tTsen
r
r
 JT θ






+=θω⇒θ=
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 4
Ordenando e tendo em conta que , 
2
1
2
1
N
N
r
r
 = , chegamos finalmente a
(11) tTsen
N
N
K
N
N
JJ 
2
1
11
..
2
2
1
21 ω=θ+θ






+
Exemplo 3: sistema rotacional com dois GDL (fig. 6)
Vamos representar no Espaço de Estados o sistema rotacional da fig. 6, considerando θ e .θ como
variáveis de estado e como saídas os deslocamentos angulares θ e θA.
Consideremos os diagramas de corpo livre da fig. 7:
Modelo matemático:
Mola K2: 0K)(K JT A1A2
..
00 =−−⇒= θθθθ
Disco J: 
...
A2
..
00 JC)(K - )t(T JT θθθθθ =−−⇒=
Ordenando:
(12) 0)KK(K A212 =θ+−θ ⇒ θ+=θ 21
2
A KK
K
(13) )t(TKK CJ A22
... =θ−θ+θ+θ
Fig. 6
Fig. 7
Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos Translacionais pela Mecânica Newtoniana 5
Equação de Estado:
Variáveis de estado: .
2
1
x
x
θ=
θ=
Derivando:
 
]KxKCx)t(T[
J
1]KKC)t(T[
J
1x
xx
A2122A22
...
2
.
2
.
1
.
θ+−−=θ+θ−θ−=θ=
=θ=
Levando em conta a eq. (12) e ordenando:
)]t(TCxx
KK
KK
[
J
1x
xx
21
21
21
2
.
21
.
+−+−=
=
Na forma matricial:
(14) [ ])t(T
J
1
0
x
x
J
C
)KK(J
KK
10
x
x
2
1
21
21
2
.
1
.




+





 −
+−
=



Equação de Saída:
A2
1
y
y
θ=
θ=
Considerando as variáveis de estado e a eq. (12):
1
21
2
21
2
2
11
x
KK
K
KK
K
y
xy
+=θ+=
=
Na forma matricial:
(15) [ ])t(T
0
0
x
x
0
KK
K
01
y
y
2
1
21
2
2
1 

+






+
=


EXERCÍCIOS
1 Deduzir o modelo matemático para o pêndulo simples da figura. É a equação diferencial
linear ou não-linear?
Solução
Seja θ a coordenada generalizada. Decompondo o peso em suas componentes radial e transversal
ao fio, podemos aplicar a Equação de Euler em relação ao ponto O. Evidentemente, somente a
componente transversal faz momento:
..
0 JT θ=
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..2mLL)senmg( θ=θ−
0)t(senmg)t(mL
.. =θ+θ
Vemos que o modelo matemático é uma EDO não-linear.
2 Considerando no pêndulo do exercício 2 que, para pequenas oscilações, senθ ≈ θ em
radianos (verifique na sua calculadora), linearize o modelo matemático do pêndulo,
transformando-o em uma EDOL.
Resp.: 0)t(mg)t(mL
.. =θ+θ
3 Considerando, no exemplo 2 do texto, T(t) como entrada e θ1(t) como saída, achar a
função de transferência do sistema.
4 Deduzir o modelo matemático para o pêndulo
composto da figura. Linearizar o modelo.
5 Considere o exemplo 3 do texto. Ache a função de transferência sendo T(t) a entradae θ
a saída.
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6 A figura mostra o motor de um barco (torque Te(t) e momento de inércia Je) acionando o
propulsor a hélice (momento de inércia Jp), através de acoplamentos (momentos de inércia
Jc1 e Jc2) e eixos flexíveis (rigidezes K1 e K2). Desenvolver um modelo matemático para o
sistema, incluindo o torque resistente Tw que a água oferece ao movimento.
Resp.:
7 O sistema da figura consiste de um momento de inércia J1, correspondente ao rotor de
uma turbina, o qual está acoplado ao momento de inércia J2 do propulsor. Potência é
transmitida através de um acoplamento fluido com coeficiente de atrito viscoso C e um
eixo com rigidez K. Um torque de acionamento T(t) é exercido sobre J1 e um torque de
carga TL é exercido sobre J2. Sendo a entrada o torque T(t) e a saída a velocidade
angular 2
.θ , representar o modelo matemático
(a) no espaço de estados;
(b) na forma de equação I/O
(c) na forma de função de trans-
 ferência