Apoio Calculo Versao 2013 1

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1 
 
 
Cálculo I 
Estudo da derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO: 
 
 
REVISÃO 
1. Conjuntos numéricos .......................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 1 
1. Funções ................................................................................................................................. 
2. Função polinomial do 1º grau ............................................................................................ 
3. Função polinomial do 2º grau ............................................................................................ 
4. Função definida por partes ................................................................................................ 
5. Função raiz quadrada ........................................................................................................ 
6. Função raiz cúbica .............................................................................................................. 
7. Função modular .................................................................................................................. 
8. Funções trigonométricas .................................................................................................... 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 2 
1. Limites ................................................................................................................................. 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 3 
1. Continuidade ...................................................................................................................... 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 4 
1. Taxa de variação ................................................................................................................. 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 5 
1. Derivada .............................................................................................................................. 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 6 
1. Taxas relacionadas ............................................................................................................. 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 7 
1. Funções crescentes e decrescentes .................................................................................... 
2. Concavidade ....................................................................................................................... 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 8 
1. Extremos relativos ............................................................................................................. 
2. Extremos absolutos ............................................................................................................ 
Exercícios .................................................................................................................................. 
 
CAPÍTULO 9 
1. Problemas de otimização e aplicações de derivadas ........................................................ 
Exercícios ................................................................................................................................... 
 
Respostas dos exercícios .................................................................................................................. 
 
 
 
 
 
 
03 
 
 
05 
08 
10 
13 
14 
14 
15 
15 
18 
 
 
24 
39 
 
 
45 
49 
 
 
52 
56 
 
 
58 
68 
 
 
73 
76 
 
 
81 
82 
86 
 
 
88 
91 
94 
 
 
97 
100 
 
103 
3 
REVISÃO 
 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.1 Conjunto dos números naturais (N) 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
N
*
 = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
1.2 Conjunto dos números inteiros (Z) 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Z
*
 = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} 
Z - = {..., -3, -2, -1, 0} 
 
1.3 Conjunto dos números racionais (Q) 
Q = 






 0,,,| bba
b
a
xx
 
1.4 Conjunto dos números reais (R) 
Se todos os números racionais fossem listados em uma reta, essa reta não ficaria totalmente 
preenchida. Os pontos dessa reta que não são números racionais foram chamados de números 
irracionais. 
São exemplos de números irracionais: 
2
, 
3
, 
3 5
, 

. 
O conjunto dos números reais fica definido, portanto, como as abcissas dos pontos (todos) de 
uma reta. 
 
 
Relação de ordem no conjunto R 
Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível: 
a = b ou a > b ou a < b 
 
 A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número 
real b. 
 
 Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. 
 
 
 
 A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número 
real b. 
 
 Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. 
 
 
 
 Podemos escrever também a 

 b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a 

 b (lê-se: a é maior ou 
igual a b). 
 
 Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso 
com uma dupla desigualdade: a < c < b. 
 
 
 
 
 
a b 
a b 
b a c 
4 
 
Intervalos 
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, dados dois 
números reais a e b, com a < b, temos: 
 
a) intervalo aberto 
 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém 
todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. 
 
 
b) intervalo fechado 
 
 
 
A bolinha  indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos 
os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. 
 
 
c) intervalo semi-aberto à direita 
 
 
 
 
 
d) intervalo semi-aberto à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: 
 
 
 ax|Rx 
 ou (a, + ) 
 
 
 ax|Rx 
 ou [a, + ) 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a) 
 
 
 ax|Rx 
 ou (-, a] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação algébrica: 
 bxa|Rx 
 ou (a, b) ou ]a, b[ 
Representação algébrica: 
bxa|Rx 
 ou [a, b] 
Representação algébrica: 
 bxa|Rx 
 ou [a, b) ou [a, b[ 
Representação algébrica: 
 bxa|Rx 
 ou (a, b] ou ]a, b] 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
CAPÍTULO 1 
 
1. FUNÇÕES 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. É muito comum expressar 
fenômenos físicos, biológicos, químicos, sociais, etc por meio de funções, daí a importância de seu 
estudo. A idéia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis, uma delas 
chamada dependente e a outra chamada independente. 
 
Observe esses exemplos: 
1) Complete a tabela abaixo que relaciona a medida  do lado do quadrado e o seu respectivo 
perímetro (P). Em seguida, dê a lei matemática que relaciona o perímetro em função do lado. 
Perceba que o perímetro depende da medida do lado do quadrado, portanto, nessa situação, o lado 
é a variável independente e o perímetro a variável dependente. 
 
lado () perímetro (P) 
1 
2 
2,5 
4 

 
 
 
2) Complete a tabela abaixo que relaciona o tempo t de duração de uma viagem de 360 km em 
função da velocidade média (v) desenvolvida ao longo do trajeto. Em seguida, dê a lei matemática 
que relaciona o tempo em função da velocidade. Perceba que o tempo depende da velocidade, 
portanto, nessa situação, a velocidade é a variável independente e o tempo a variável dependente. 
 
velocidade média (km/h) tempo (t) 
10 
40 
60 
90 
120 

 
v 
 
 
Definição: 
 Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. 
Diz-se que temos uma função de A em B (f: A  B) quando existe uma relação entre os elementos 
desses dois conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em B. 
 
 
Seja f: A  B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, ou 
seja, o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o contra-
domínio da função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar relacionados aos 
elementos x; e y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os elementos x e y. 
 
6 
Nem toda relação entre 2 variáveis é chamada de função. Numa função, para todo valor 
atribuído à variável independente (x) há em correspondência APENAS UM valor da variável 
dependente (y). É fácil perceber que na relação x
2
 + y
2
 = 25, por exemplo, se x = 3 podemos ter y = 4 
ou y = -4. Observe no gráfico. Tal relação, portanto, NÃO é uma função. 
 
1.1 Domínio e imagem de uma função 
Domínio (D) de uma função é o conjunto de valores que a variável independente pode 
assumir, enquanto que imagem (Im) é o conjunto de valores que a variável dependente pode assumir, 
considerando a regra que associa as duas variáveis. Geralmente não é possível listar todos esses 
valores de modo explícito, o que torna necessário o uso da representação por conjunto ou intervalos 
numéricos. Para tornar mais clara essa ideia, observe o exemplo abaixo: 
 
 
Uma caixa sem tampa será feita recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma 
folha de papelão medindo 12cm por 12 cm e dobrando-se os lados para cima (figura abaixo). 
 
 
 
A expressão que fornece o volume V da caixa em função do lado x dos quadrados que foram 
recortados é V(x) = (12 – 2x)(12 – 2x)x. A pergunta é: Quais os possíveis valores de x (isso é o 
domínio da função)? Quais os possíveis valores de V (isso é a imagem da função)? 
Perceba que não é possível listar todos eles. É necessário apresentar a notação por intervalos, 
que indica a variação possível para a resposta. 
No caso do domínio, x não pode ser zero nem 6, pois não existiria a caixa. Qualquer valor 
entre esses números permite que a caixa exista. Portanto, temos que representar o conjunto de números 
entre 0 e 6, excluindo esses extremos. A notação de intervalo adequada é (0, 6). 
No caso da imagem, o volume certamente será maior do que zero, mas não cresce 
indefinidamente. O máximo é 128cm
3
 (verifique). Portanto, temos que representar o conjunto de 
números entre 0 e 128, excluindo o zero e incluindo o 128. A notação adequada é (0, 128]. Percebeu a 
diferença? O parêntese exclui a extremidade, enquanto o colchete inclui. 
 
 O domínio de uma função pode ser determinado diretamente pela lei da função. 
 
Exemplo: 
1) Qual o domínio das funções representadas pelas leis abaixo? 
a) f(x) = x2 
 
 
 
 
7 
b) 
16x4
8x2
y
2 


 
 
 
 
 
 
 
c) 
1x3y 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Gráfico de uma função 
Além da lei matemática, a associação entre as duas variáveis de uma função pode ser 
representada por uma tabela, um diagrama ou um gráfico. 
Considere a primeira situação apresentada na introdução do capítulo. A função que relaciona o 
lado de um quadrado com seu perímetro é P = 4. O gráfico que representa essa lei matemática pode 
ser construído a partir de uma tabela. Observe: 
 
 
 
lado Perímetro 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
 O domínio dessa função é representado pelo intervalo (0, +∞). Perceba que na representação 
gráfica há uma “bola vazada” no ponto (0, 0), o que significa que esse ponto não faz parte da função. 
No contexto, é fácil compreender, pois não conseguimos desenhar um quadrado de lado zero. 
 
 
 
1.3 Valor numérico da função 
A partir da lei da função, ou de seu gráfico, podemos obter correspondências entre as 2 
variáveis. 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) = x2 – 4x, determine o que se pede abaixo: 
a) f(2) = 
b) f(4) = 
c) f(10) = 
d) D(f) = 
 
8 
2) Dada a função y = f(x) representada pelo gráfico abaixo, determine o que se pede: 
 
 
 
 
 
1.4 Raízes (ou zeros) de uma função 
Chama-se raiz de uma função y = f(x) o valor de x que anula a função. Graficamente, as raízes 
indicam o ponto de intersecção com o eixo x. 
 
Exemplo: 
1) Determine as raízes da função f(x) = x2 – 4x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU (Função afim) 
Característica: o gráfico é uma reta 
Lei geral: y = mx + b, com m ≠ 0 
 
O coeficiente m indica a taxa de variação da função ou inclinação da reta. 
O coeficiente b indica onde a função intercepta o eixo y. 
 
 
Em toda função do 1º grau as variações dos valores de y são diretamente proporcionais às 
correspondentes variações dos valores de x. O gráfico abaixo representa a função y = 2x – 1. 
 
 
 
 
a) f(4) = 
b) f(0) = 
c) f(-3) = 
d) f(1) = 
e) D(f) = 
f) Im(f) = 
Note que para cada variação de 2 unidades no eixo y há uma 
variação de 1 unidade no eixo x. A taxa de variação é dada, 
portanto, por 
x
y


 e corresponde ao coeficiente m da função. 
Como consequência, se essa taxa é positiva, a função é 
crescente, se for negativa, é decrescente. 
 
Por outro lado, perceba que a função intercepta o eixo y na 
ordenada -1. Nesse ponto, x = 0. Temos, portanto, y = m.0 + b, o 
que implica que y = b quando x = 0. No caso, b = -1. 
9 
Exemplos: 
1) Represente graficamente as funções abaixo: 
a) y = 3x – 1 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = -2x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico contém os pontos A(1, -2) e B(3, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escalas de temperatura 
Três escalas são comumente usadas para medir a temperatura – Celsius, Kelvin e Fahrenheit. 
No Brasil adota-se a escala em graus Celsius, mas em países de língua inglesa a escala em graus 
Fahrenheit é utilizada. A escala Celsiusaponta como temperatura de fusão da água 0º e de ebulição 
100º enquanto que esses pontos na escala Fahrenheit são 32º e 212º, respectivamente. Já a escala 
Kelvin é utilizada no meio científico. Nela a ausência completa de vibração das moléculas é denotada 
como 0 K, o ponto de fusão da água ocorre em 273 K e o de ebulição em 373 K. Tomadas duas a duas, 
há uma correspondência linear entre as três escalas. Vamos determinar a função que relaciona as 
escalas Celsius e Fahrenheit. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (Função quadrática) 
Característica: o gráfico é uma parábola 
Lei geral: y = ax
2
 + bx + c, com a ≠ 0 
 
a  indica se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo. 
 a > 0: concavidade voltada para cima 
 a < 0: concavidade voltada para baixo 
 
b  indica se a parábola está “subindo” ou “descendo”, quando intercepta o eixo y. 
 b > 0: a parte crescente da parábola intercepta o eixo y 
 b < 0: a parte decrescente da parábola intercepta o eixo y 
 
c  termo independente: como todos os termos independentes de funções polinomiais, o “c” 
indica o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y. 
 c > 0: corta o eixo y acima da origem 
 c = 0: corta o eixo y na origem 
 c < 0: corta o eixo y abaixo da origem 
 
Os gráficos das funções quadráticas são parábolas cujas posições dependem dos coeficientes a, 
b e c. 
 
 
 
Vértice 
 Vértice de uma parábola é o ponto de máximo quando a concavidade é voltada para baixo e 
ponto de mínimo quando a concavidade é voltada para cima. 
 Sendo o vértice um ponto, é localizado no plano por um par de números. Chamando esse 
ponto de V, temos V(xv; yv), onde 
2
"x'x
x v


 (x’ e x” são as raízes da função) ou 
a2
b
x v 
. A 
ordenada do vértice (yv) pode ser determinada substituindo xv na função. 
 
 
 
11 
Exemplos: 
1) Dada a função y = x2 – 4x + 3, determine as coordenadas do vértice, as raízes, domínio, imagem e 
esboço do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de 
segundos em que ela fica exposta à radiação, segundo a relação p(t) = 100 – 15t + 0,5t2. 
a) Após 5s de exposição, qual é o percentual de bactérias existentes na cultura? 
b) Após quantos segundos de exposição ocorre a eliminação de toda a cultura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
3) Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida à granel a um 
preço de R$ 200,00 por unidade. Se o custo total de produção (em reais) para x unidades for 
 
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x
2
 
 
e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo 30.000 unidades em um tempo 
especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para 
o lucro ser máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um canil retangular será contruído aproveitando-se o muro do quintal e um total de 8m de cerca 
que sobraram de uma reforma. Nessas condições, qual a área máxima que esse canil pode ter? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
4. FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES 
Existem funções cuja lei de formação é dada por uma sentença composta por duas ou mais 
partes. Observe o exemplo a seguir: 
 
Os clientes das companhias telefônicas Tchau® têm a disposição o Plano 50, que consiste num 
limite preestabelecido de 50min em ligações ao custo mensal de R$ 30,00. Se esse limite é 
ultrapassado, cada minuto excedente tem um custo de R$ 1,20. 
a) Qual será o valor da conta de um cliente que usou 20min em ligações? 
 
 
 
 
 
 
b) Qual será o valor da conta de um cliente que usou 60min em ligações? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Expresse essa função em forma de uma lei matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro exemplo: 
Dada a função definida por 






0xse,1x
0xse,x
)x(f
2 , pede-se: 
a) f(4) = 
b) f(1) = 
c) f(0) = 
d) f(-3) = 
e) f(-10) = 
f) Esboce o gráfico desse função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
5. FUNÇÃO RAIZ QUADRADA 
A função raiz quadrada tem equação 
x)x(f 
. Perceba que o domínio dessa função é o 
conjunto dos números reais não negativos. 
 
O gráfico pode ser feito igualmente através da associação entre as variáveis. 
 
Exemplo: 
1) Faça o gráfico da função 
x1y 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. FUNÇÃO RAIZ CÚBICA 
A função raiz cúbica tem equação 
3 x)x(f 
. Perceba, agora, que o domínio dessa função é o 
conjunto dos números reais já que a raiz cúbica está definida também para os números negativos. 
 
O gráfico pode ser feito igualmente através da associação entre as variáveis. 
 
Exemplo: 
2) Faça o gráfico da função 
3 xy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
7. FUNÇÃO MODULAR 
 Considere a reta real de origem O e um ponto P de abcissa x. 
 
 
 Chamamos módulo, ou valor absoluto, de x, e indicamos por |x|, a distância entre os pontos P 
e O na reta real. Note que como módulo é uma distância, ele será sempre positivo ou nulo. Assim, 
define-se módulo do número x como: 






0 xse x,-
0 xse ,x
|x|
 
 
Exemplos: 
a) 
|5|
= 
b) 
|7| 
= 
c) 
|35| 
= 
d) 
 |25|
 
A função modular pode ser apresentada como 






0 xse x,-
0 xse ,x
|x|)x(f
. 
 
 
Exemplo: 
1) Faça o gráfico da função y = |x + 2| e indique domínio e imagem da função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Existem 6 razões trigonométricas que são determinadas a partir de um triângulo retângulo. As 
mais conhecidas são o seno, o cosseno e a tangente, mas temos as inversas cossecante, secante e 
cotangente. Essas razões são definidas do seguinte modo: 
 
(1) seno (sen) é o nome atribuído à razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa. 
(2) cosseno (cos) é o nome atribuído à razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa. 
(3) tangente (tan ou tg) é o nome atribuído à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um 
ângulo. 
(4) cossecante (csc ou cossec) é o nome atribuído à razão entre a hipotenusa e o cateto oposto a um 
ângulo. 
(5) secante (sec) é o nome atribuído à razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente a um ângulo. 
(6) cotangente (cot ou cotg) é o nome atribuído à razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto a 
um ângulo. 
16 
 As razões cossecante, secante e cotangente podem ser determinadas a partir do seno, cosseno e 
tangente, a saber: 
 


sen 
1
 csc
 
 


 cos
1
 sec
 
 


tan 
1
 cot
 
 
 
 Existem três unidades para medida de ângulo, sendo a mais conhecida o grau (º), que ficou 
definido como o ângulo central de uma circunferência que foi dividida em 360 partes. Ainda há o 
grado (g), que foi uma tentativa de dividir a circunferência em 400 partes e que atualmente não é 
utilizado. A última é o radiano (rad) que é a medida de um arco cujo comprimento é o próprio raio da 
circunferência que contém esse arco. 
 
 Sendo o comprimento da circunferênciade raio R igual a C = 2R, temos que “cabem” na 
circunferência 2 arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 2 rad correspondem 
a 360º. 
 
Programe sua calculadora na unidade adequada e inidique a resposta das razões pedidas abaixo: 
a) sen 30º = 
 
b) cos 200g = 
c) tan 
4

= 
d) sec 60º = 
e) csc 1 = 
f) cot 20g = 
 
(quando não aparecer unidade na razão trigonométrica pedida, subentende-se radiano) 
 
As funções trigonométricas modelam fenômenos cíclicos, como, por exemplo, a subida das 
marés, o movimento de um pêndulo, os batimentos cardíacos, entre outros. É importante conhecer as 
características dos gráficos dessas funções. Para construí-los, procedemos como nas outras funções, ou 
seja, criamos uma tabela de pontos (x, y). 
 
1) y = sen (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
2) y = cos (x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se que ambas as funções são contínuas em toda a parte, isto é, não apresentam 
interrupções. Em relação à função tangente, podemos fazer seu gráfico diretamente a partir da tabela 
de pontos (x, y) ou ainda lembrar que 
(x) cos
(x)sen 
(x) tan 
 e fazer o seu gráfico a partir dessa identidade. 
Esse gráfico, ao contrário da função seno e cosseno, não é contínuo, pois quando 
)x( cos
 for zero 
haverá uma interrupção no gráfico. A título de conheimento, abaixo são mostrados os gráficos das 
demais funções trigonométricas. 
 
 
3) y = tan (x) 
 
 
4) y = csc (x) 
 
 
 
18 
5) y = sec (x) 
 
 
 
 
 
6) y = cot (x) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a função representada pelo gráfico ao lado, 
determine: 
 
a) f(-2) = 
b) f(5) = 
c) f(-3) = 
d) D(f) = 
e) Im(f) = 
f) os valores de x em que f(x) > 0 
g) os valores de x em que f(x) < 0 
 
 
 
 
19 
2) Determine f(0), f(2), f(-2), f(3), f(
2
) e f(5) nas funções abaixo: 
 
(a) f(x) = 3x
2
 – 2 
(b) 






1 x3x,
1 x,x
)x(f
2 
 
 
 
 
3) Encontre o domínio das seguintes funções: 
a) 
3x
1
)x(f


 
b) f(x) =
3 x
 
c) 
x3)x(f 
 
d) 
25x
x
)x(g
2 

 
e) h(x) = 3 +
x
 
f) g(x) = x
3
 + 2 
 
 
 
4) Para encher uma caixa d’água cilíndrica são abertas duas torneiras que despejam água à razão 
constante. Represente um esboço do gráfico que pode representar a altura (h) do nível de água na 
caixa em função do tempo (t) em que as torneiras ficam abertas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Dada a função f(x) = x
3
 – 1, determine seu domínio e faça o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
6) Dada a função real de variável real, definida por 
5
x
3
)x(f 
, determine: 
a) D(f) = 
b) f(1) = 
c) o valor de x em que f(x) = 4 
 
7) Faça o gráfico das seguintes funções: 
 
a) y = 2x – 3 
b) y = -x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine a lei da função polinomial do 1º grau cujo gráfico passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Atualmente as escalas de temperatura em uso são Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Em 1731, o físico 
e inventor francês, René-Antoine Ferchault de Réaumur desenvoleu a escala Réaumur (ºR). É 
possível estabelecer uma relação entre as escalas Celsius e Réaumur, mostrada no gráfico abaixo. 
(a) Qual a lei matemática que relaciona R em função de C? (b) Se as escalas Celsius e Fahrenheit 
se relacionam segundo a lei F = 1,8C + 32, qual função relaciona as escalas F e R? 
 
 
 
 
21 
10) Em um dia de inverno, a temperatura T de uma região do Rio Grande do Sul, em graus Celsius, 
em função do horário x, no período das 5h às 11h, pôde ser descrita pelo gráfico abaixo. Qual a 
lei matemática que expressa a função descrita pelo gráfico nesse intervalo de tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
11) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma 
situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do 
grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada 
pela expressão h(t) = 30t – 3t2, onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em 
segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. (a) Qual a altura 
máxima atingida pelo sinalizador? (b) Após quantos segundos o sinalizador cai na água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Um projétil é lançado do solo, verticalmente para cima. A função que relaciona a altura, em 
metros, e o tempo, em segundos, é representada por h(t) = 80t – 4t2. Nessas condições, após 
quanto tempo o projétil atinge a altura máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
13) Uma pequena empresa de reciclagem tem seu lucro mensal dado por L(x) = -0,2x
2
 + 2x – 0,5, 
onde x representa a massa de produto reciclado, em dezenas de quilogramas, e L representa o 
lucro, em milhares de reais. Qual o lucro máximo mensal possível nessa empresa, segundo essa 
função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Faça o gráfico das seguintes funções, determinando as coordenadas do vértice e as raízes, caso 
existam. 
a) y = x2 – 5x + 6 
b) y = 4x – x2 
c) y = -x2 + 4x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
15) O programa de computador de uma empresa de transporte indica o preço P, em reais, dos fretes 
de acordo com a lei matemática 






100d se 100),-2(d300
100d se ,d50,250
P
, onde d é a distância, em km. 
A partir disso, pergunta-se:: 
 
a) Qual preço do frete para uma distância de 120km. 
 
 
 
 
 
 
b) O gráfico dessa função é contínuo no seu domínio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Uma empresa pública de fornecimento de água cobra R$ 60,00 a título de taxa fixa, que dá direito 
ao usuário consumir mensalmente até 15m
3
 de água. Além desse volume, é cobrado um 
acréscimo de R$ 5,00 por m
3 
de excesso. (a) Se um usuário teve que pagar R$ 80,00, qual foi seu 
consumo mensal de água? (b) Crie uma lei matemática que forneça o preço mensal P a pagar pela 
conta de água em função do número x de m
3
 de água consumidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Represente graficamente a função 









3 xse , 2
3x2 se , 4x
2 xse , x
)x(f 2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
CAPÍTULO 2 
 
 
1. LIMITES 
O conceito de limite é fundamental no estudo que desenvolveremos a partir desse capítulo: 
taxas de variação. Em várias situções do cotidiano usamos o conceito de limite sem nos darmos conta. 
Por exemplo, um fio de náilon preso numa das pontas ao teto de uma casa; há um limite máximo de 
massa que esse fio consegue suportar. A partir de um determinado “peso”, o fio não resiste e se parte. 
 O mesmo ocorre num balão. A borracha se expande até um determinado limite. Ultrapassando 
esse ponto, o balão estoura. 
 
Considere o seguinte exempo: 
O reservatório de água de uma cidade foi contaminado num acidente químico com um 
composto cancerígeno. A empresa contratada para a descontaminação apresentou como custo do 
processo uma lei matemática que leva em consideração o percentual do agente tóxico que deveráser 
removido. Tal custo é expresso pela lei 
x100
x5,0
)xC(


 
 onde representa o percentual do composto a ser removido e C(x) representa o custo, em 
centenas de milhares de reais. 
 
(a) Determine o custo da remoção para 50%, 80% e 90% do agente tóxico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Se a prefeitura dispuser de R$ 1.000.000,00 para o processo, qual percentual do agente tóxico 
consegue ser eliminado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) O que ocorre à medida que o percentual a eliminar do agente cancerígeno se aproxima de 
100%? 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 O uso mais básico de limites consiste em determinar como uma função se comporta à medida 
que aproximamos a variável independente dessa função de um determinado valor. 
 
 
Vamos começar por exemplos simples: 
 
Considere a função f(x) = x
2
 – x + 1. 
Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de 2. 
 
 
 
 
 
Aqui, percebemos que à medida que se aproxima de , por valores menores do que , a função 
se aproxima de _____. 
 
Dizemos que esse número é o limite da função quando tende a 2 pela esquerda e denotamos 


)1xx(lim 2
2x
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, percebemos que à medida que se aproxima de 2, por valores maiores do que 2, a função se 
aproxima de _____. 
 
Dizemos que esse número é o limite da função quando tende a pela direita e denotamos 


)1xx(lim 2
2x
 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como tanto pela direita como pela esquerda do , nos aproximamos do mesmo valor da 
função, dizemos que o limite (limite bilateral) da função quando se aproxima do 2 é _____. 
 


)1xx(lim 2
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Informal): Se está definida no intervalo e não necessariamente em . 
Então 
 
pode ser lido como “o limite (limite bilateral) de quando tende a é ” e significa que 
podemos fazer os valores de ficam infinitesimalmente próximos a conforme toma 
valores inifinitesimalmente próximos a . 
 
26 
Outro exemplo: 
Considere a função 
4x
16x
)x(f
2



. 
 
Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Note que a função não está definida para x = 4, mas à medida que se aproxima de 4 a função 
 se aproxima de _____. 
 
 Denotamos 



 4x
16x
lim
2
4x
 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, analisemos a função 






2x se ,x5
2x se ,1x
)x(f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função está definida para x = 2? 
 O que ocorre, nesse caso, à medida que x se 
aproxima de 2? 
 
 
 
Observe o gráfico: 
 
 Nesse caso, dizemos que 
 )(lim
2
xf
x
NÃO 
EXISTE, pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
 
 
27 
 
Lxf
kx


)(lim
 se, e somente se, 
Lxfxf
kxkx

 
)(lim)(lim
 
 
 
Mais um exemplo: 
Considere a função
x
1
)x(f 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perceba que nesse caso, à medida que aumentamos indefinidamente o valor de , tanto 
positivo como negativo, o valor resultante na função se aproxima cada vez mais de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando tende a ou , tende a ______. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Limites infinitos 
Às vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou 
decrescem indefinidamente. 
Considere novamente a função 
x
xf
1
)( 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nessa situação, escreveremos: 
 


)x(flim
0x
 
 


)(lim
0
xf
x
 
 


)(lim
0
xf
x
 


)(lim xf
x
 
 


)(lim xf
x
 
 
28 
 É importante uma distinção. Nos três casos acima o limite NÃO EXISTE, mas no primeiro e 
no segundo damos como resposta e para diferenciar do terceiro, que escrevemos textualmente 
“não existe” devido ao fato de os limites laterais serem diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assíntotas verticais 
 Do grego asymptotos, que significa “que não pode atingir”. Diz-se que a reta é uma 
assíntota (vertical) quando 


)(lim xf
kx
 ou 


)(lim xf
kx
. Assim, à medida que se aproxima 
de o valor da função cresce ou decresce indefinidamente, nunca atingindo a reta . Os gráficos 
abaixo mostram exemplos de assíntotas verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É importante ressaltar no terceiro gráfico acima que, mesmo se , a reta 
continuaria a ser uma assíntota vertical do gráfico, isto é, a assintota vertical pode atingir o gráfico em 
um dos semi-planos definidos por ela. 
 
 
Exemplos: 
1) Para a função cujo gráfico está abaixo, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) f) 


)x(flim
x
 
 
b) 


)x(flim
2x
 g) 


)x(flim
x
 
 
c)


)x(flim
2x
 h) 


)x(flim
0x
 
 
d) 


)x(flim
2x
 e) f(0) = 
Definição (Informal): Se está definida no intervalo e não necessariamente em . 
Então 
 
significa que podemos fazer os valores de ficarem arbritrariamente grandes (tanto quanto 
quisermos) por meio de uma escolha adequada de nas proximidades de . 
 
 
 
 
 
29 
2) Esboce um gráfico de uma função com as seguintes propriedades: 
i) o domínio de é 
ii) 
iii) 
3)(lim
2


xf
x
 
iv) 
0)(lim
0


xf
x
 
v) 
1)(lim
3


xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 

 2x
6
lim
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 

5x3xlim 2
2x
 
a) f(0) = e)  )2(f 
 
b)


)(lim
0
xf
x
 f) 


)(lim
2
xf
x
 
 
c) 


)x(flim
0x
 g) 


)x(flim
4x
 
 
d) 


)x(flim
0x
 h) 


)x(flim
x
 
 
 
30 
 
6) Esboce dois gráficos de funções com as seguintes características: 
a) o domínio de cada função é . 
b) 
c) é uma assíntota. 
d) se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Limites – técnicas para calcular 
Na seção anterior, o cálculo de limites foi feito por aproximação. No entanto essa técnica é 
insuficiente para o cálculo de limites em algumas funções. Considere 





 

x
seny
, cujo gráfico está 
representado abaixo. Ao lado é mostrada uma tabela com valores que faz o leitor chegar à conclusão 
errada de que à medida que se aproxima de zero a função também se aproxima de zero. Nota-se, 
pelo gráfico, que a função oscila cada vez mais rapidamente entre e à medida que tende a zero, 
portanto não se aproxima de nenhum limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Por isso, nessa seção aprenderemos técnicas algébricas para o cálculo de limites de funções. 
Começamos explorando os resultados em algumas funções, cujos gráficos são mostrados. 
 
1) 


k
ax
lim

k
x
lim
 
 


k
x
lim 
 





 

x
seny
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
 2) 


x
ax
lim
 
 


x
x
lim
 
 


x
x
lim
 
 
 
 
 
 3) 

 xx
1
lim
0
 
 

 xx
1
lim
0
 
 

 xx
1
lim
 
 

 xx
1
lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora vamos considerar a função e a função . Se fazemos , 
temos que . Calculando o limite de cada uma dessas função quando tende a , por 
exemplo, temos: 
(a) 
2xlim)x(flim
2x2x


 
(b) 
33lim)x(glim
2x2x


 (limite de uma constante é a própria constante) 
(c) 
53limxlim)3x(lim)x(hlim
2x2x2x2x


 
 
 
Teorema: Seja um número real e suponha que 
1
ax
L)x(flim 

 e 
2
ax
L)x(glim 

, 
 então: (a) 
21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim 

 
 (b) 
21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim 

 
 (c) 
21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim 

 
 (d)
2
1
ax
ax
ax L
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
 lim 








, (se L2 ≠ 0) 
 (e) 
n
1n
ax
n
ax
L)x(flim)x(flim 

 (se for par, ). 
 
 
 
32 
 
Obs.: 
1) Essas afirmações também valem para os limites laterais quando ou . 
2) Ainda que os resultados (a) e (c) tenham sido formulados para duas funções e , esses resultados 
são válidos para um número qualquer finito de funções. 
 
 No caso especial da parte (c) em que é uma função constante, temos 
)(lim)(limlim))((lim xgkxgkxgk
axaxaxax 

 
 
 Ou seja, um fator constante pode ser removido do limite. 
 
 
 
1.3. Limites de polinômios e funções racionais quando 
 
Um polinômio de grau é uma função da forma 
 
onde e . Dizemos que é uma raíz de se e nesse caso, 
existe um polinômio de grau tal que . 
 
Para qualquer polinômio 
n
n
3
3
2
210 xCxCxCxCC)x(p  
e qualquer número real , 
temos que 
  )a(paC...aCaCCxC...xCxCClim nn2210nn2210
ax


 
 
ou seja, para calcular o limite de um polinômio quando , podemos apenas substituir por . 
 
 Em relação às funções racionais 
)x(Q
)x(P
)x(f 
, em que e são polinômios, para 
calcular 
)(lim xf
ax
 temos três casos dependendo dos valores de e . 
 
 
I. o limite do denominador não é zero. 
 Nesse caso, o limite pode ser obtido apenas substituindo a variável independente, pois 
numerador e denominador são polinômios. 
 
Exemplo: 
1) 



 1x3
1x3x4
lim
2
2
1x
 
 
 
 
 
2) 



 1x
3x
lim
21x
 
 
 
 
 
33 
 
II. o limite do numerador e denominador são nulos. 
 Em matemática, a fração 
b
a
, quando a e b tendem a zero, é chamada de indeterminação do 
tipo 
0
0
. Como a e b se aproximam de zero, o resultado é indeterminado. No cálculo desse tipo de 
limite, lançamos mão de algumas técnicas algébricas. 
 
Exemplos: 
3) 



 2x2
1x3x4
lim
2
2
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 



 12xx
8x2
lim
24x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 



 4x
2x
lim
4x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 



 1
1
lim
3
1 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
III. somente o limite do denominador é nulo. 
 Nesse caso, o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador não. Com isso, o limite 
não existe e ocorre uma das três situação a seguir: 
 
a) o resultado cresce indefinidamente (limite tende a ) 
b) o resultado decresce indefinidamente (limite tende a ) 
c) o resultado cresce e decresce indefinidamente dependendo do lado da aproximação feita. 
Nesse caso, dizemos textualmente que o limite não existe. 
 
Os gráficos abaixo mostram cada uma dessas situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No cálculo desse tipo de limite, o que precisa ser feito é uma aproximação pela direita e pela 
esquerda do número que queremos investigar. 
 
 
Exemplos: 
1) 



 8x2x
x2
lim
24x
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 



 8x2x
x2
lim
24x
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
8x2x
x2
 lim
24x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
1.4. Limites de (n natural) quando ou . 
 Os gráficos abaixo mostram claramente o comportamento no infinito dos polinômios do tipo 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


x
x
 lim
 


2 lim x
x
 


3 lim x
x
 
 


x
x
 lim
 


2 lim x
x
 


3 lim x
x
 
 
 A multiplicação de um número por não afeta o limite se esse número for positivo, mas 
inverte o sinal se o número for negativo. 
 
Exemplos: 
 
1) 


67 lim x
x
 
 
 
2) 


52- lim x
x
 
 
 
1.5. Limites de polinômios e funções racionais quando ou 
 Devemos estar atentos ao termo de maior grau, pois o comportamento da função está 
diretamente relacionado ao seu comportamento quando ou . 
 
Exemplo: 
 
1) 
 

345
x
x8x9x2lim
 
 
 
 
Valor da função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É fácil perceber que o termo define o comportamento da função no infinito. Assim, para o 
cálculo de limites no infinito de um polinômio precisamos considerar apenas o termo de maior grau. 
 Por exemplo
1
, 
   4
x
24
x
x2lim7xx3x2lim 

. 
 
1
 Essa equivalência é justificada matematicamente pela propriedade (c) dos limites. Tente desenvolver esse 
raciocínio. 
 
36 
 
 No caso de funções racionais, como se trata de uma razão entre polinômios, procedemos do 
mesmo modo, apenas considerando o termo de maior grau tanto no numerador quanto no 
denominador. 
 
 
Exemplos: 
1) 



 5x2
3x4
 lim
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 



 1x4
5xx2
 lim
3
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 



 5x3
xx2
 lim
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) O custo médio, em reais, de um produto é dado pela função 
x
3000
 1,8 = )xC( 
, em que 
representa a quantidade de produtos fabricados. Calcule 
)xC( lim
x 
 e interprete o resultado 
obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
1.6. Limites envolvendo radicais 
 No cálculo de limites envolvendo radicais, a propriedade
n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim


nos permite o 
uso da mesma estratégia anterior para limites no infinito envolvendo polinômios. 
 
Exemplos: 
 
1) 




3
x 8x2
5x16
 lim
 
 
 
 
 
 
 
2) 



 5x2
4x3
 lim
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7. Limites de funções definidas por partes 
 O cálculo de limites em funções definidas por mais de uma sentença depende exclusivamente 
do local onde se quer investigar o limite. O ponto mais importante é aquele em que a função muda de 
sentença. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine 
)( lim
1
xhx
 para 






1x se ,x2
1x se ,x4
)x(h
2
2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine 
)( lim
0
xf
x
 para 






0x se 2,
0x se |,x|
)x(f
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
1.8. Assíntotas horizontais 
Anteriormente vimos que uma reta é uma assíntota vertical do gráfico de uma função 
se tende a ou quando tende a pela esquerda ou direita. 
 
Uma reta é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função se tende a 
quando tende a ou . 
 
 
Exemplos: 
1) Determine as assíntotas da função 
4x2
2x6
)x(f



, caso existam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine as assíntotas da função 
4x
2x
)x(f
2 


, caso existam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine as assíntotas da função 
4x
8x2
)x(f
2



, caso existam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Exercícios: 
 
Obs.: As questões 1 a 8 têm como fonte: 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.124. 
 
1) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
3x 
 
b) 
)xf( lim
3x 
 
c) 
)xf( lim
3x
 
d) f(3) 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
 
2) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
2x 
 
b) 
)xf( lim
2x 
 
c) 
)xf( lim
2x
 
d) f(2) 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
 
3) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
4x 
 
b) 
)xf( lim
4x 
 
c) 
)xf( lim
4x
 
d) 
f(4)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
 
4) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
2x 
 
b) 
)xf( lim
2x 
 
c) 
)xf( lim
2x
 
d) 
f(-2)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
 
 
 
 
40 
 
5) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
2x 
 
b) 
)xf( lim
2x 
 
c) 
)xf( lim
2x 
 
d) 
f(2)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
6) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
4x 
 
b) 
)xf( lim
4x 
 
c) 
)xf( lim
4x
 
d) 
f(4)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
7) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
0x 
 
b) 
)xf( lim
0x 
 
c) 
)xf( lim
0x
 
d) 
f(0)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
8) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) 
)xf( lim
0x 
 
b) 
)xf( lim
0x 
 
c) 
)xf( lim
0x
 
d) 
f(0)
 
e) 
)xf( lim
-x 
 
f) 
)xf( lim
x 
 
 
9) Resolva os limites abaixo: 
a) 


2-xlim
2x
 
 
b) 

 3x
1
lim
3x
 
 
 
 
 
 
41 
 
10) Faça o cesboço de um gráfico em que: 
 
 
i) 
)4,2()f(D 
 
ii) 
2)x(flim
0x


 
iii) 
)x(flim
0x
 não existe 
iv) 
0)2(f 
 
v) 
2)x(flim
4x


 
 
 
 
 
11) Faça o esboço de um gráfico em que: 
 
 
i) 
)4,2[)f(D 
 
ii) 
4x 
é uma assíntota 
iii) 
)x(flim
1x
 não existe 
iv) 
1)2(f 
 
v) 
1
 é raiz 
 
 
 
 
12) Um estudo dos níveis de formaldeído em casas indicou que a emissão de vários produtos 
químicos pode diminuir com o passar do tempo. Os níveis médios de formaldeído (em partes por 
milhão) em uma casa são dados por 
2t
26,0t055,0
)t(f



 
)12t0( 
 
 onde 
t
 representa a idade da casa em anos. 
 
a) Quando a casa é nova, qual é o nível médio emitido de formaldeído? 
 
 
 
 
b) A longo prazo, qual o nível de formol numa casa? 
 
 
 
 
 
13) O número de bactérias numa cultura exposta a certas condições varia de acordo com a lei 
1t
t2000
100)t(N


 em que 
t
 indica o tempo, em minutos. 
a) Qual é o número inicial de bactérias nessa cultura? 
 
b) Qual é a população limite segundo essa lei matemática? 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
14) Faça o esboço de um gráfico em que: 
 
 
i) 
)5,3()f(D 
 
ii) 
)x(flim
2x 
existe não
 
iii) 
5x 
 é uma assíntota 
iv) 


 )x(flim
1x
 
 
 
 
 
 
 
15) Determine o valor dos limites pedidos. Se não existir, diga que não existe, justificando. Se o limite 
tender a ou , indique essa resposta. 
(a) 
 
x
2)-x1)(x(
lim
2x


 
 
(b) 
4x
16x
lim
16x 


 
 
(c) 
1x
6x8x2
lim
2
2
1x 


 
 
(d) 
1x
6x8x2
lim
2
2
x 


 
 
(e) 
21x )1x(
1x
lim



 
 
(f) 
1x
5xx
lim
2
3 23
x 


 
 
(g) 
xx
1x3
lim
2x 


 
 
(h) 
3x
9x
lim
9x 


 
 
43 
 
(i) 
8x
xx3
lim
2
4
x 


 
 
(j) 
4x3x
5x6x
lim
2
2
1x 


 
 
(k) 
x
xx
x 

 4
4
lim
32
4
 
 
(l) 
xx
x2x
lim
3
32
x 


 
 
(m) 
36y
6y
lim
26y 


 
 
(n) 
)x2(lim
x


 
 
(o) 
3x
x
lim
3x 
 
 
(p) 
2x x64
x5
lim



 
 
(q) 
1x
1x
 lim
2
1x 


 
 
16) Um padeiro assa um pão num forno a uma temperatura de . Seja a temperatura do 
pão assado minutos depois de retirado do forno. A figura abaixo mostra a temperatura do pão em 
função do tempo desde que foi retirado do forno, onde denota a temperatura ambiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) Qual é o significado de 
)(lim
0
tf
t 
? 
 (b) Qual é o significado de 
)(lim tf
t 
? 
 
 
44 
 
17) Dada a função 






1 x se ,x2
1 x se ,x
)x(f
2 , determine 
)( lim
1
xf
x
ou diga que não existe, justificando sua 
resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Dada a função 






1 x se 1,x3
1 x se , 2x
)x(f
2 , determine 
)( lim
1
xf
x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Determine, se houver, as assíntotas das funções: 
a) 
2x
3x6
)x(f



 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
1x
8x2
)x(f
2



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
2x
4x
)x(f
2



 
 
 
 
 
 
 
45 
 
CAPÍTULO 3 
 
 
1. CONTINUIDADE 
 Nas funções, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, fenômenos físicos. Num gráfico, 
por exemplo, do volume de combustível no tanque em função da distância percorrida, uma possível 
representação aparece abaixo: 
 
 Note que as retas tracejadas indicam as paradas que o condutor fez para o reabastecimento do 
veículo. Nesse momento ocorre uma interrupção no traçado da função. Essa interrupção é chamada de 
descontinuidade. 
 
 Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não 
apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa idéia mais precisa, precisamos entender quais 
propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos.Em I, ocorre uma descontinuidade do tipo “bola”. Note que a função não está definida em c. 
Em II, ocorre uma descontinuidade do tipo “salto”. Perceba que 
)x(flim
cx
 não existe. 
Em III, ocorre uma descontinuidade do tipo “fenda”. Nesse caso 


)x(flim
cx
. 
Em IV, o limite em c é definido assim como f(c), mas 
)c(f)x(flim
cx


. 
 
 
 
 
I 
IV III 
II 
46 
 
Dizemos que uma função é contínua em se as seguintes condições estiverem satisfeitas: 
i. está definida 
ii. 
)(lim xf
cx
 existe, ou seja, 
)x(flim)x(flim
cxcx  

 
iii. 
)c(f)x(flim
cx


 
 
Se uma ou mais das condições dessa definição falhar, então dizemos que a função tem uma 
descontinuidade em 
 
Exemplo: 
1) Determine se as seguintes funções são contínuas. Se ocorrer descontinuidade, indique onde. 
 
a) 
1x
1x
)x(f
2



 
 
 
 
 
 
b) 











1x se 1,x
1x se ,
2x
4x
)x(f
2
 
 
 
 
 
 
 
c) 






2x se , 1x
2x se , 3x
)x(f
2 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Continuidade em um intervalo 
 Se uma função f for contínua em cada ponto do intervalo , então dizemos que é 
contínua em . Quando for contínua em , dizemos que é contínua em toda parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Considere o gráfico da função ao lado e responda 
às questões com SIM ou NÃO: 
 
a) é contínua em ? 
b) é contínua em ? 
c) é contínua em ? 
d) é contínua em ? 
e) é contínua em ? 
 
47 
 
Exemplos: 
1) Determine os valores de nos quais a função 
9x
5x2x
)x(f
2
23



 é contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Verifique se a função 










0x,
1x
4x
0x,2x
)x(f
2
 é contínua em toda parte. Se não for, indique os 
valores de onde há descontinuidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre um valor constante , se possível, que faça a função 






2x ,xk
2x ,2x4
)x(f
2
 ficar contínua 
em toda parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Descontinuidade removível 
 Diz-se que uma função tem uma descontinuidade removível em se 
)(lim xf
cx
 existe, 
ou seja, 
)(lim)(lim xfxf
cxcx  

, mas não é contínua em , ou porque não está definida em 
ou porque difere do valor do limite. 
 
 
Exemplos: 
1) A função 
2
1


x
y
 possui uma descontinuidade removível? 
 
 
 
2) A função 
3
32



x
xx
y
 possui uma descontinuidade removível? 
 
 
 
48 
 
1.3. Continuidade em funções trigonométricas 
 Percebemos pelos gráficos de y = sen (x) e y = cos (x) que ambas são funções contínuas em 
toda parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim 
)csen()xsen( lim
cx


 e 
)ccos()x(coslim
cx


. Como 
)xcos(
)xsen(
)x(tan 
, segue que: 
 
),c(tg
)ccos(
)csen(
)x(cos lim
)xsen(lim
 
)xcos(
)xsen(
 lim)x(tglim
cx
cx
cxcx




se . 
 
 
 
Teorema: 
As funções trigonométricas são contínuas em seu domínio. 
 
 
 
Exemplos: 
1) Encontre o limite 


















 3x
9x
 coslim
2
3x
 ou diga que não existe, justificando. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre o limite 
 )xcossec(lim
0x
 ou diga que não existe, justificando. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Encontre o limite 
)xtg(lim
2
x 
 ou diga que não existe, justificando. 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Exercícios: 
1) Nas funções abaixo, determine os pontos de descontinuidade, se houver: 
a) 









1x,
x
2x
1x,2x
)x(f
2
 
 
b) 
2|x|
|x|
)x(f


 
 
c) 
1x
x
)x(f
2 

 
 
 
d) 
9x
3x
)x(f
2 


 
 
 
 
e) 













0 xse,
1x
3x
0 xse,
2x
2x
)x(f
2
2
 
 
 
 
f) 














3 xpara ,
4x
42x
3 xe 0 xpara 1,-2x
0 xpara ,2x
)x(f
2
2
 
 
 
 
2) Considere a seguinte situação: Uma caixa d’água abastece uma residência ao longo de uma 
semana. Nesse tempo, diversas vezes uma bomba é acionada, levando água do poço à caixa. O 
gráfico que representa o nível h de água na caixa em função do tempo t, ao longo dessa semana 
representa uma função contínua? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
3) Determine o valor de k, se possível, que torne a função contínua. 
(a) 






2x ,kx
2x ,x28
)x(f
2
 
 
 
 
(b)






3x k,x2
3x , 2kx
)x(f
 
 
 
 
 
 
4) O que significa o resultado dos limites encontrados abaixo? 
 
(a) 
)xsen(2 lim 2
1x


 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 


















 x4x
x2x
 senlim
3
2
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 














 4x
1x
 coslim
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
)xtg(lim
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Obs.: As questões abaixo têm como fonte: 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.156. 
 
Nos Exercícios 5-8, seja f a função cujo gráfico é mostrado. Em quais dos intervalos a seguir f é 
contínua? 
(a) [1, 3] (b) (1, 3) (c) [1, 2] 
(d) (1, 2) (e) [2, 3] (f) (2, 3) 
Naqueles intervalos onde f não é contínua, estabeleça onde as descontinuidades ocorrem. 
 
 
 
Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade removível em x = c se 
f(x) lim
cx
 existe, mas 
)x(flim)c(f
cx

 ou porque f(c) é indefinida ou o valor de f(c) difere do valor do limite. Esta 
terminologia será necessária no Exercício 25. 
 
9) 
(a) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual f(c) está 
indefinida. 
(b) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual f(c) está 
definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
1. TAXAS DE VARIAÇÃO 
Considere a situação de um aluno que vem de uma cidade distante para cursar a disciplina de 
Cálculo I aqui na Unisinos. Após a aula, ele embarca no ônibus e pergunta ao motorista qual a 
quilometragem que o odômetro está registrando – 63440km. Ao chegar no seu ponto de descida, 
questiona novamente o motorista – 63560km. Se ele anotou que o ônibus começou seu deslocamento 
às 22h 40min e chegou ao seu destino às 0h 40min, qual foi a velocidade média desenvolvida nesse 
trajeto? 
 
 
 
 
 
 
 O cálculo da velocidade média, que é a taxa de variação da distância em relação ao tempo, é 
simples e faz parte do cotidiano. Ela é calculada fazendo 
t
d
Vm



. 
 Agora, prestemos atenção em outra situação: o gráfico abaixo mostra um exame corriqueiro 
para muitos – a curva glicêmica. Às 10h da manhã, ao coletar sangue em jejum, o resultado apontou 
77mg/dL de glicose. O paciente toma solução com 75g de açúcar e após 1h e 2h, são coletadas novas 
amostras para o acompanhamento da evolução glicêmica. Os índices são mostrados no gráfico. 
 
 
 
 Qualfoi a taxa de crescimento médio do índice glicêmico entre o início e o fim do exame? 
 
 
 
 
 
 
 
 O que podemos perceber é que a informação que a taxa média de variação nos fornece é muito 
limitada. No 1º caso, o ônibus em muitos momentos teve uma velocidade muito diferente da média de 
60km/h. No 2º, o crescimento de 18mg/dL a cada hora também é uma informação que não leva a 
conclusões importantes. Em ambas as situações, mais significativo seria a taxa de variação 
instantânea, a qual pode trazer informações muito mais relevantes. 
 No caso da velocidade instantânea num veículo, isso pode ser conseguido após uma espiada 
no velocímetro do carro ou no momento do registro da velocidade na lombada eletrônica. 
Matematicamente, conseguimos a velocidade instantânea quando reduzimos a um instante a variação 
de tempo. Ou seja: 
t
d
limv
0t
inst




 
53 
 
 Observe os gráficos abaixo que mostram a redução do intervalo de tempo até um único 
instante. Note que a reta que une o ponto inicial e final do trajeto considerado tem sua taxa de variação 
calculada fazendo, genericamente, 
x
y


, conforme visto anteriormente. Nos cinco primeiros gráficos, a 
reta é secante ao gráfico d x t. Conforme o intervalo de tempo considerado diminui, a inclinação da 
reta se modifica até que, quanto a variação de tempo tende a zero, a reta fica tangente ao ponto onde se 
quer determinar a velocidade. Portanto, a velocidade instantânea, ou mais genericamente, a taxa de 
variação instantânea, é dada pela declividade
2
 da reta tangente ao instante considerado. 
 
 
 
 
 A figura abaixo
3
 nos ajuda a compreender melhor o conceito de taxas de variação. A taxa de 
variação média é dada pela declividade da reta secante, enquanto que a taxa de variação instantânea é 
dada pela declividade da reta tangente ao ponto onde se quer determinar a taxa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 A declividade de uma reta determina o ângulo  dessa reta em relação ao eixo x, medido no sentido anti-
horário do eixo para a reta. Na equação y = mx + b, declividade é o coeficiente m da reta, chamado coeficiente 
angular, onde m = tan . 
3
 Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
h
)x(f)xh(f
lim
xx
)x(f)x(f
lim
x
y
limtx
h
)x(f)xh(f
xx
)x(f)x(f
x
y
tx
00
0h
0
0
xx0x
inst
00
0
0
média
0

















 
 
54 
 
Exemplos: 
1) Um projétil é lançado do solo. Desprezando-se a resistência do ar e o cano da arma, e admitindo-
se conhecida a aceleração da gravidade, calculou-se a função que relaciona o espaço, em metros, e 
o tempo, em segundos, representada pela igualdade f(t) = 80t – 4t2. Nessas condições, determine: 
a) A velocidade vertical do projétil após 5s do seu lançamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A velocidade vertical num instante t qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A velocidade no exato instante que o projétil toca o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto (1, 1). 
 
 
 
 
 
55 
 
3) Encontre a taxa de variação de y em relação a x na função y = 2x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dada a função y = x3, 
(a) encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [0,5; 1,75]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x em um ponto genérico x = x0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x em x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em situações-problema, as taxas de variação média e instantânea estão contextualizadas. 
Assim, as respostas devem vir acompanhadas das respectivas unidades. Por exemplo: 
a) se y estiver em ºC e x em horas, então a unidade da taxa de variação deve ser ºC/h. 
b) se y estiver em m/s e x em segundos, então a unidade da taxa de variação deve ser m/s2. 
 
O estudo das taxas de variação estão presentes em muitas áreas: um engenheiro pode 
necessitar saber com que taxa um fio se dilata em função da temperatura; um médico pode estar 
interessado na taxa com que o raio de uma artéria muda em função da quantidade de álcool na corrente 
sanguínea; um farmacêutico necessita saber com que rapidez um antibiótico age numa população de 
bactérias. 
 
56 
 
Exercícios: 
1) Dada a função y = x2 – 1, 
(a) encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [1; 3]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x num ponto genérico x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 – 1 no ponto (2, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As questões 3 a 5 têm como fonte: 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.176. 
 
 
3) A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para um elevador que se move para 
cima até 60m e, então, descarrega seus passageiros . 
(a) Estime a velocidade instantânea do elevador quando t = 10s. 
(b) Esboce uma curva de velocidade versus tempo para o movimento do elevador no intervalo 
20t0 
. 
 
 
 
57 
 
4) A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para certa partícula movendo-se em 
linha reta. 
(a) Onde a partícula se move mais rapidamente, em t0 ou t2 ? Explique. 
(b) Na origem, a tangente é horizontal. Que informação sobre a velocidade inicial da partícula 
isso nos dá? 
(c) A partícula está aumentando ou diminuindo sua rapidez em [t0, t1] ? Explique. 
(d) E no intervalo [t1, t2] sua rapidez está aumentando ou diminuindo ? Explique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um para-quedista cai verticalmente de um avião. A figura mostra o gráfico da distância s caída 
pelo para-quedista versus o tempo t desde o salto do avião. 
(a) Use o segmento de reta que acompanha o gráfico para estimar a velocidade escalar 
instantânea do para-quedista no instante t = 5s. 
(b) Estime a velocidade escalar instantânea do para-quedista no instante t = 17,5s. O que parece 
estar ocorrendo com a velocidade escalar do para-quedista ao longo do tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
CAPÍTULO 5 
 
 
1. DERIVADA 
O limite que usamos para determinar a inclinação da reta tangente também é usado para 
definir uma das operações fundamentais do Cálculo – a diferenciação. 
A função 
'f
 definida pela fórmula 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
0h



 
 
é denominada derivada de f em relação a x. O domínio de 
'f
 consiste em todos os valores de x do 
domínio de f para os quais existe este limite. O termo “derivada” é usado porque a função 
'f
 deriva da 
função f por meio de um limite. 
 Quando a variável independente for x, a operação de derivação pode ser denotada por 
)]x(f[
dx
d
)x('f 
 ou 
)]x(f[D)x('f x
. 
 
Quando tivermos y = f(x), a derivada costuma ser denotada por 
)x('y)x('f 
 ou 
dx
dy
)x('f 
. 
 
 Se quisermos determinar o valor da derivada num ponto x0, podemos indicar 
0xx
0 )]x(f[
dx
d
)x('f


ou 
0xx
x0 )]x(f[D)x('f 
 ou 
)x('y)x('f 00 
 ou 
0xx
0
dx
dy
)x('f


. 
 
 
Exemplo:1) Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 + 2x e use-a para encontrar a equação da reta 
tangente a f(x) em x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como a derivada é definida por um limite, esse limite pode existir ou não em determinados 
pontos da função. Isso significa que uma função pode não ser diferenciável em toda a parte. 
 Na seção anterior, vimos que esse limite é igual à declividade da reta tangente num ponto. Se y 
= mx + b é a reta tangente num ponto x0, então a derivada em x0 é igual a m, que pode ser obtido 
fazendo m = tan  ( é o ângulo de inclinação da reta tangente). 
Assim, a função não será diferenciável num local onde a reta tangente tiver um um ângulo de 
inclinação de 90º, pois tan 90º não está definida. Além disso, quando a reta tangente pela esquerda de 
um ponto tiver inclinação diferente da reta tangente visualizada pela direita desse ponto, a derivada no 
ponto também não existirá, visto que o limite bilateral não existe. Tal situação ocorre nitidamente 
numa função que apresenta “bico”. O exemplo abaixo ajuda a compreender essa ideia. 
59 
 
Exemplo: 
1) Mostre que a função y = |x – 2| é contínua em x = 2, mas não é diferenciável quando x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
 Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0. 
 
 
Prova: 
 Supondo que f é diferenciável no ponto x0, então 





 

 h
)x(f)hx(f
lim)x('f 00
0h
0
. (1) 
Se f é contínua em x0, devemos mostrar que 
)x(f)x(flim 0
xx 0


, que é equivalente a dizer que 
0)x(f)x(flim 0
xx 0


 que implica em 
  0)x(f)x(flim 0
xx 0


. 
Usando h = x – x0, devemos provar que 
  0)x(f)xh(flim 00
0h


. 
Ora, 
 )x(f)xh(flim 00
0h


 pode ser escrito 









h
h
)x(f)xh(f
lim 00
0h
 que é equivalente a 
hlim
h
)x(f)xh(f
lim
0h
00
0h 





 
. Segue que 
00)x('f 0 
, provando o teorema. 
 
 
É equivalente ao teorema acima a seguinte sentença: 
Se f não é contínua em x0, então f não é diferenciável em x0. 
 
 Como vemos, uma função pode ser contínua em um ponto, mas não diferenciável. Contudo, se 
a função f é diferenciável em x = xo, então f é contínua em x = xo. 
 Uma função f não é diferenciável em um ponto x = xo por uma das seguintes razões: 
 a função f é descontínua em xo. 
 a função f é contínua em xo e o seu gráfico tem no ponto x = xo uma reta tangente vertical. 
 A função f é contínua em xo e o gráfico de f não define uma única reta tangente no ponto x = xo. 
 
 
No caso de uma função f ser definida num intervalo [a, b], então 
'f
 não está definida nos 
extremos desse intervalo, pois derivadas são limites bilaterais. Num caso assim, nomeamos derivada 
pela esquerda e derivada pela direita, respectivamente: 
 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
0h




 e 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
0h




. 
60 
 
Exemplos: 
1) Considere a função representada pelo gráfico abaixo. Distribua em ordem crescente os números 
zero, f’(-5), f’(2) e f’(6). 
 
 
 
2) Dado que f(2) = 1 e que f’(2) = 3, encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f(x) 
no ponto de x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Técnicas de diferenciação 
 Todas as técnicas de diferenciação serão aqui apresentadas sem prova, mas decorrem da 
definição de derivada já estudada. Para visualizar tais demonstrações, consulte a bibliografia 
recomendada. 
 
 
1) Derivada de uma constante 
 
 
 
 
2) Derivada de uma função potência 
Se n é qualquer número real, então 
1nn xn]x[
dx
d 
. 
 
Exemplos: 
a) Se f(x) = x8, então 
)x('f
 = 
b) Se 
xy 
, então 
'y
 = 
Uma função constante tem o gráfico representado por uma 
reta horizontal. Em qualquer ponto do gráfico, a declividade 
da reta tangente é zero, o que nos leva à conclusão que 
0]c[
dx
d

. 
 
Exemplos: 
a) Se y = 3, então y’ = 
b) Se f(x) = -2, então f’(x) = 
61 
 
c) Se 
x)x(h 
, então 
)x('h
 = 
d) Se 
2y)y(f 
, então 
)y('f
 = 
e) Se 
3 5xy 
,
 
então y´ = 
f) Se f(x) = x0,6, então 
)x('f
 = 
g) Se 
9t
1
)t(f 
,
 
então 
)(' tf
 = 
 
3) Derivada de uma constante vezes uma função 
Se f é uma função diferenciável e c é uma constante, então 
)x(f
dx
d
c)]x(fc[
dx
d

. 
 
 
Exemplos: 
a) Se g(x) = 3x4, então 
)x('g
 = 
b) Se 
3
2
x9)x(h 
, então 
)x('h
 = 
c) Se 
x
2
y 
, então 
'y
 
 
 
4) Derivada da soma ou diferença de 2 funções 
 
A derivada de uma soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é a soma (ou diferença) de 
suas derivadas, ou seja, 
)x(g
dx
d
)x(f
dx
d
)]x(g)x(f[
dx
d

 
Exemplos: 
a) Se f(s) = s3 – 4s + 5, então 
)s('f
 
b) Se 
x2x3
2
x
)x(g 3
4

, então 
)x('g
 
c) Se 
4
10
410 x10
x
4
x10x4y 
, y’= 
d) Em quais pontos o gráfico de y = x3 – 3x + 4 tem uma reta tangente horizontal? 
 
 
 
 
 
e) Se y = (3 – 2x2)(5x + 4x3), determine y’. 
 
 
 
 
 
62 
 
5) Derivada do produto de 2 funções 
 
O produto de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável. Além disso, a derivada do produto 
pode ser calculada pela expressão 
)x(g
dx
d
)x(f)x(f
dx
d
)x(g)]x(g)x(f[
dx
d

. 
 
Exemplos: 
a) Encontre a derivada de f(x) = (3x – 2x2)(5 + 4x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Derivada do quociente de 2 funções 
 
O quociente f/g de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável em todos os pontos x para os 
quais g(x)  0. Além disso, a derivada de f/g é dada por 
2)]x(g[
)x(g
dx
d
)x(f)x(f
dx
d
)x(g
dx
)]x(g/)x(f[d


. 
 
Exemplos: 
a) Encontre a derivada de 
1x
2x5
)x(f
2 


. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se f(x) = 
x
2x3 2 
, determine f’(2). 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
1.2. Derivadas de ordem superior 
 A derivada de uma função é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. Se 
'f
 
for diferenciável, então sua derivada é denotada po 
"f
 e é chamada derivada segunda de f. Enquanto 
tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas 
terceira, quarta, quinta, etc. 
 
Notação: 
Derivada segunda: 
2
2
dx
yd
 , (x)f" , "y
 
Derivada terceira: 
3
3
'"
dx
yd
 , (x)f , '"y
 
Derivada quarta: 
4
4
(4))4(
dx
yd
 ),x(f ,y
 
Derivada n-ésima: 
n
n
(n))n(
dx
yd
 ),x(f ,y
 
 
 
 E qual o significado de uma derivada segunda, por exemplo? Para entender isso mais 
claramente, observe os gráficos: 
 
 
 
 O gráfico representa a função posição de um móvel. Sabemos que a velocidade em um ponto é 
determinada pelo valor da derivada naquele ponto, ou 
t
S
limv
0t
inst




, cuja unidade, nesse caso, é 
m/s. Ou seja, se determinarmos a velocidade em diferentes pontos, podemos esboçar a curva v x t, que 
é o gráfico da derivada da função posição, mostrado abaixo. 
 
 
 
 Fazendo idêntico raciocínio, derivando a função v(t) em diferentes pontos, obtemos a segunda 
derivada da função S(t). Como unidade, temos m/s
2
, que fisicamente traduz a aceleração de um corpo. 
Ou seja, a